análisis semiclásico de operadores de schrödinger

Analisis Semiclasico de Operadores deSchrondinger

Juliho David Castillo Colmenares

Escuela de Ciencias, UABJO

Juliho David Castillo Colmenares Analisis Semiclasico de Operadores de Schrondinger

Planteamiento del problemaEl efecto tunel

Demostracion de la proposicion 2.2

En la presente tesis, analizaremos el comportamiento asintotico cuandoλ→∞ del eigenvector Ω0(x ;λ), asocidado al primer eigenvalor E0(λ),del operador ,

H (λ) = −1

2∆ + λ2V (x) (1.1)

el cual actua en L2(Rn), y donde ∆ es el operador de Laplace yV : Rn → R actua por multiplicacion.




Este analisis se realizara bajo las siguientes hipotesis sobre el potencialV : Rn → R:

(1) V es C∞ y no negativa;

(2) lım‖x‖→∞ V (x) =∞;

(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2V /∂xi∂xj es unamatriz no singular para x = a, b.




De manera adicional, suponemos que

(4) lım infλ↑∞

(‖jaΩ0(λ)‖ ‖jbΩ0(λ)‖) > 0,

donde ja, jb son funciones con soporte en vecindades muy pequenas de ay b.Finalmente, pediremos que ∆V este acotado, lo que es equivalente a quela funcion V : Rn → R sea semiconcava.




En este analisis, usaremos la metrica de Agmon, que se define de lasiguiente manera

ρ(x , y) = ınf

∫ 1

0

√2V (γ(s))| ˙γ(s)|ds

∣∣∣∣γ(0) = x , γ(1) = y

, (1.2)

la distancia geodesica en la metrica Riemanniana 2V (x)dx2, conformecon la metrica Euclidiana.




Sin embargo, usaremos una version equivalente de la metrica de Agmon,que es la siguiente.

Proposicion

Sea ρ dada por (1.2). Entonces

ρ(x , y) = ınfγ,T

1

2

∫ T

0

|γ(s)|2ds +

∫ T

0

V (γ(s))ds

∣∣∣∣∣γ(0) = x , γ(T ) = y

,

(1.3)donde tambien minimizamos sobre T .




El resultado principal de esta tesis es el siguiente teorema

Teorema

Si se satisfacen las hiportesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial Ves semiconcavo, entonces para cualquier x

lım sup1

λln |Ω0(λ; x)| = − mın (ρ (x , a) , ρ (x , b)) ,

siendo este lımite uniforme en subconjuntos compactos.




En [11] se demuestra este teorema de dos maneras diferentes: la primera,usando el Metodo de Grandes Desviaciones y la segunda, con metodos deecuaciones diferenciales parciales. En la presente tesis, daremos unademostracion alternativa de nuestro resultado principal usando metodosvariacionales.




Este resultado tiene particular importancia en fısica. Nuestro estudioconsidera λ→∞, que corresponde al estudio del operador deSchrondinger, cuando ~→ 0, es decir, cuando consideramos ~ como unparametro muy pequeno, lo cual ocurre en sistemas clasicos. Por esto, sele conoce como analisis semiclasico de operadores de Schrondinger.




Consideremos el operador de Schrondinger

H = − ~2

2m∆ + V (x), (2.1)

que actua en L2(Rn), donde ∆ es el operador de Laplace y V : Rn → Res una funcion que actua por multiplicacion.




En fısica cuantica, se estudia la ecuacion conocida como deSchrondinger, la cual para sistemas cuanticos estacionarios, es decir, queno dependen del tiempo, tiene la forma

Hψ = Eψ,

donde E representa los niveles de energıa de los estados cuanticosestacionarios.




Consideremos la sustitucion formal ~2

m = 1λ2 en (2.1), de lo cual se obtiene

H = − 1

2λ2∆ + V (x), (2.2)

y a partir de (1.1), se obtiene la relacion H = λ−2H(λ). Como se puede

observar, ~2

2m → 0 es equivalente a λ→∞.




Supondremos que el potencial V cumple las hipotesis que se enunciaronen la seccion anterior. En un contexto fısico, se dice que un potencial quecumple con las hipotesis (1)-(3) tiene un doble pozo en a y b, ya que a yb son mınimos globales de este funcion. La hipotesis (4) nos dice que lafuncion de onda del estado base esta esencialmente concentrada enambos pozos (efecto tunel). La ultima suposicion tiene sentidofısicamente pues, de otra manera, las soluciones “explotarıan” en untiempo finito.




El resultado principal respecto al efecto tunel es el siguiente:

Teorema

Sea V una funcion en Rn que obedece (1)-(4). SeaH(λ) = − 1

2 ∆ + λ2V (x) y sea E1(λ),E0(λ) los dos eingenvalores maspequenos de H(λ). Entonces

lımλ→∞

−λ−1 ln [E1(λ)− E0(λ)] = ρ(a, b) (2.3)

donde ρ(a, b) es la distancia de a a b en la metrica de Agmon.




Por simplicidad, demostraremos solamente la siguiente proposicion

Proposicion

lım infλ→∞

−λ−1 ln [E1(λ)− E0(λ)] ≥ ρ(a, b). (2.4)

De manera informal, esta desigualdad nos dice que

E1(λ)− E0(λ) ≤ e−λρ(a,b),

es decir, a medida que λ→∞, el primer estado exitado decaeexponencialmente en el estado base.




Para esta demostracion, necesitaremos el teorema 1.1. De hecho,solamente necesitaremos el siguiente hecho

Observacion

Para cada ε > 0, existe una subsucesion λn , tal que

‖Ω(λn, x)‖ ≤ e−λn(ρ(x)−ε) (2.5)

donde ρ(x) ≡ mın(ρ(x , a), ρ(x , b)).




Definicion

SeaB ≡ x |ρ(a, x) = ρ(b, x) ,

al cual llamaremos como bisector geodesico.

Definimos

d(x) ≡ ρ(x , a)− ρ(x , b)

ρ(a, b), (3.1)

de manera que

d(x) =

−1 x = a

0 x ∈ B

1 x = b

(3.2)

Por la proposicion 3.3 en [6], d es diferenciable cası en todas parte y masaun, podemos suponer que lo es en todas partes.




Para cualquier α > 0 fija, escogemos hα ∈ C∞(R), con |hα| ≤ 1, y demanera que

hα(x) =

1, x ∈ [α,∞),

−1, x ∈ (−∞, α],(3.3)

y hα(−x) = −hα(x). Definimos

g(x) ≡ hα(d(x)),

y notamos que g ∈ C 1(Rn) y supp (∇g) ⊂ x | ‖d(x)‖ < α , que es unavecindad alrededor de B.




Figura: Las funciones d y g, y el bisector geodA c©sico.




Finalmente definimos, para cualquier operador A con Ω0(λ) ∈ D(A),

〈A〉λ ≡ 〈AΩ0(λ),Ω0(λ)〉.

al cual llamaremos el elemento de matriz de A en el estado Ω0(λ).Necesitamos la siguiente funcion,

f = g−〉g〈λ, 〈f 〉λ = 0, (3.4)

para la cual se tiene el siguiente

Lema

Sea E0,E1 los dos primeros eigenvalores de H(λ). Entonces

E1 − E0 ≤1

2‖|∇f |Ω0(λ)‖2 ‖f Ω0(λ)‖−2

. (3.5)





De (3.5), tenemos que

∆E ≡ lım infλ→∞

(− 1

λln[E1 − E0]

)≥ lım inf

λ→∞

(− 1

λln ‖|∇f |Ω0(λ)‖+

1

λln ‖f Ω0(λ)‖

). (3.6)

Notese que |∇f | = |∇g | , y recordemos que supp (|∇g |) esta localizadaen una vecindad alrededor de B. Ahora, a partir de 2.5, obtenemos

‖|∇f |Ω0(λ)‖2 ≤∥∥∥eλn(ρ−ε)Ω0(λ)

∥∥∥2

e−λ(ρ−ε/2)

≤ e−λ(ρ−ε/2), (3.7)

donde ρ ≡ mın ρ(x)|x ∈ supp (|∇g |) .





Ahora bien, para cualquier ε > 0, existe una α suficientemente pequena,tal que

ρ ≥ ρ(a, b)− ε2

,

ya que mın ρ(x)|x ∈ B = 12ρ(a, b). A partir de (3.6), (2.5) y (3.7),

obtenemos que para cualquier ε > 0,,

∆E ≥ ρ(a, b)− ε+ lım infλn→∞

(1

λln ‖f Ω0(λ)‖

).

Si lım inf(1/λ) ln〈f Ω0, f Ω0〉 < 0, entonces o bien ‖jaΩ0‖ o bien ‖jbΩ0‖se hacen pequenas, de tal manera que por la hipotesis (A4) tenemos quelım inf 1

λ ln〈f Ω0, f Ω0〉 ≥ 0. Como ε > 0 es arbitraria, tenemos que

∆E ≥ ρ(a, b).


IntroduccionSoluciones de viscosidad

Representacion de las soluciones de viscosidadFormula estocastica de Lax

Metodo de LaplaceResultado

En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn × Rn → Rde la forma

L(x , v) =1

2|v |2 + V (x)

con el Hamiltoniano H : Rn × Rn → R asociado

H(x , p) =1

2|p|2 − V (x)

donde V : Rn → R cumple las hipotesis (A1)-(A4). De manera adicional,pediremos que ∆V este acotado, lo que es equivalente a que la funcionV : Rn → R sea semiconcava.





Como se explicara en el la siguiente seccion, para c ≥ 0, la ecuacion deHamilton-Jacobi

1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = c (4.1)

tiene soluciones φ : Rn → R, las cuales. para c = 0 no son solucionesclasicas, y que en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad.Aunque para c = 0 existe una infinidad de soluciones que solamentedifieren por una constante, tambien existen soluciones que no solamentedifieren por esta caracteristica, si no que de hecho, depende de los valoresen a y b.





Consideremos ahora la ecuacion de Hamilton Jacobi con viscosidad:

ε∆φ(x) +1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = c(ε), (4.2)

donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad. Como en el caso sinviscosidad, existe una unica constante c(ε) tal que la ecuacion deHamilton Jacobi con viscosidad. Sin embargo, en este caso, la solucionsera unica, salvo una constante y la denotaremos φε.





De hecho, si φε es una solucion de (4.2), entonces exp(φε/2ε) es unaeigenfuncion del operador de Schrondinger 2ε2∆− V (x), con eigenvalorc(ε).





Considere ahora la sustitucion ε = 1/2λ. Recordemos que si λ→∞,

entonces E0(λ)λ →

∑√ω#, esta ultima una constante. Entonces

c(1/2λ)→ 0, cuando λ→∞. De manera equivalente c(ε)→ 0, cuandoε→ 0.





Observacion

A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con lanotacion ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tenerpresente las relaciones 2ε = 1

λ y φε = eψε/2ε.





Para obtener la demostracion del teorema 1.1, estudiaremos elcomportamiento de φε cuando ε→ 0, de manera que podamos obtenersubsucesiones que convergen uniformemente y, aplicando el metodo deLaplace, obtendremos el resultado deseado. De hecho, obtendremos lametrica de Agmon como una expresion del lımite de φε, en terminos de ay b.





Definicion

Una funcion continua φ : Rn → R se dice solucion de viscosidad hacia elfuturo de la ecuacion (4.1) si satisface las siguientes propiedades:

1 Si v ∈ C 1 y φ− v tiene un mınimo local en x entonces

1

2|Dv(x)|2 − V (x) ≥ 0,

2 Si v ∈ C 1 y φ− v tiene un maximo local en x entonces

1

2|Dv(x)|2 − V (x) ≤ 0.





De hecho, una funcion es una solucion de viscosidad adelantada de (4.1)si y solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para todax ∈ Rn, t ≥ 0,

v(x) = supγ:[0,t]→Rn,γ(0)=x

v(γ(t))−∫ t

0

1

2|γ(s)|2 + V (γ(s))ds (5.1)

donde el supremo se toma sobre las curvas C 1 a trozos. Esta formula esconocida como de Lax-Oleinik o principio de programacion dinamica.





De hecho, como lo veremos en la siguiente seccion, la solucion esta dadapor

φ(x) = maxφ(a)− ρ(x , a), φ(b)− ρ(x , b). (5.2)





Definamos, para toda y ∈ Rn,

ζ(y) = ınf

∫ t

0

1

2|γ(s)|2 + V (γ(s))ds|t ≥ 1, γ(0) = γ(t) = y

,

y entonces, definimos el conjunto de Aubry A como

A = y ∈ Rn|ζ(y) = 0 .

Como ζ(y) ≥ V (y), y entonces, ζ(y) = 0 ⇐⇒ y = a, b, es claro queA = a, b.





Definimos S como el conjunto de soluciones de viscosidad, y paraφ ∈ S , definimos E (v) como el conjunto de curvas absolutamentecontinuas γ, que satisfacen para r < t,

φ(γ(t)) = φ(γ(r)) + ρ(φ(r), φ(t)).





Lema

Sea φ ∈ S y γ ∈ E . Existe una funcion Ψ ∈ S de manera que

φ(γ(t))− ρ(·, γ(t))→ Ψ in C (Rn),

cuando t →∞.Mas aun, Ψ = φ en γ([0,∞)) y Ψ ≤ φ en Rn.





Denotaremos por g(φ, γ), la funcion Ψ ∈ S que obtuvimos en el lemaanterior. Es decir,

g(φ, γ)(x) = lımt→∞

[φ(γ(t))− ρ(x , γ(t))] para x ∈ Rn.





Teorema (Formula de representacion de soluciones de viscosidad)

Sea φ ∈ S . Entonces, para toda x ∈ Rn,

φ(x) = sup g(φ, γ)(x)|γ ∈ E .





Observacion

Para φ ∈ S , no es existe γ ∈ E , tal que lımt→∞ |γ(t)| =∞.

Por tanto, la formula de representacion se reduce a

φ(x) = max φ(a)− ρ(x , a), φ(b)− ρ(x , b) .





La solucion a la ecuacion de viscosidad (4.2) puede ser caracterizada poruna formula variacional analoga a (5.1). En el caso viscoso, necesitamosintroducir un movimiento Browniano W (t) : Ω→ Rn. Denotaremos porE la esperanza con respecto a la medida de probabilidad P.





La solucion a la ecuacion (4.2) satisface la formula de Lax

φε(x) = supv

E(φε(Xε(τ))−

∫ τ

0

1

2|v(s)|2 + V (Xε(s))ds − c(ε)τ

),

(7.1)donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempode paro finito y Xε es la solucion de la ecuacion diferencial estocastica

dXε(t) = v(t)dt +√

(2ε)dW (t)

Xε = x ,(7.2)

que se deduce del lema 3.1 en [5].





El supremo en (7.1) se alcanza y el control optimo se obtiene de lasiguiente manera. Si consideramos la solucion del siguiente ecuaciondiferencial estocastica

dXε(t) = Dφε(Xε(t))dt +√

(2ε)dW (t)

Xε = x ,(7.3)

entonces el control optimo esta dado por la siguiente formulav(t) = Dφε(Xε(t)).





El siguiente lema se puede probar usando la Formula de Lax y la ultimahipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.

Lema

Las soluciones φε de (4.2) son Lipschitz y semiconvexa uniformemente enε, en compactos. Entonces, adicionando una condicion de“normalizacion”, como φε(x0) = 0, siempre existen subsucesiones queconvergen en la norma C 0.





Teorema

[9] Sea fn una sucecion de funciones diferenciables convexas queconvergen puntualmente a una funcion diferenciable f . Entonces Dfnconvege puntualmente a Df , y en compactos, lo hace uniformemente.





Una aplicacion inmediata de este lema (y del teorema que se enuncio) esel siguiente

Lema

Suponga que la sucesion φεn de soluciones de (4.2) converge C 0 a φ0.Supongamos que φ0 es diferenciable en un abierto V . Entonces dφεnconverge a dφ0 uniformemente en cada subconjunto compacto de V .





Recordemos que las solucion de viscosidad de (4.1) esta dada por

φ(x) = maxφ(a)− ρ(x , a), φ(b)− ρ(x , b).

En esta seccion, mostraremos que φ(a) = φ(b), usando el metodo deLaplace. Este se puede enunciar de la siguiente manera





Lema (Metodo de Laplace)

Suponga que l : Rn → R es una funcion continua que crece a los maslinealmente, y que k : Rn → R es una funcion continua, dos vecesdiferenciable en una vecindad de y0 ∈ Rn, de manera que

k(y0) = mıny∈R

k(y).

Entonces

lımε→0

∫Rn l(y)e

−k(y)ε dy∫

Rn e−k(y)

ε dy= l(y0).





Primero observemos que ∀γ ∈ C ac(x , y) : A(γ) ≥ 0, por lo queh(x , y) ≥ 0. De donde, a, b son maximos locales de φ(x). De hecho, porla forma de la solucion, por lo menos uno deberıa ser maximo global.





Ahora bien, supongamos que φ(a) > φ(b). Entonces a es un maximoglobal. Como en una vecindad de a, φ es C 3, (por el lema 1 en [9]) y amaximo local, por el teorema de Taylor, φ tiene decrecimiento por lomenos cuadratico. Entonces, podemos aplicar el metodo de Laplace ydespues de unos calculos, obtenemos

lımε→0

∫Rn

l(y)ψ2ε(y)dy = l(a).





En particular si B = x : |x − b| < δ, para δ > 0 suficientementepequeno, y χ una particion de la unidad, con soporte conteniendo a B,tenemos que

0 = χB(a)

= lımε→0

∫Rn

χB(y)ψ2ε(y)dy

= lım infλ→∞

‖jb(Ω)‖ ,

donde ja es una funcion de soporte en B. esto contradice la hipotesis(A4). Por lo cual, tenemos que φ(a) = φ(b).





Con esto, hemos obtenido el resultado deseado. Como φ(a) = φ(b),podemos normalizar de manera que ambas constantes sean iguales acero. Ahora bien, nuestra solucion

φ(x) = lımεn→0

φεn .

Peroφεn = 2εn lnψεn .





Recordemos que ψεn es el estado base Ω(λ; x) de 1.1, y de hecho,haciendo 2εn = 1

λ ,

εnψεn =1

λΩ(λ; x)(x).

Entonces, bajo las hipotesis (A1)-(A4), ademas de suponer que la funcionV : Rn → R es semiconcava, hemos demostrado que

lımλ→∞

1

λΩ(λ; x) = max (−ρ(x , a),−ρ(x , b))

= − mın (ρ(x , a), ρ(x , b)) .


Ideas principalesAportaciones

El efecto tunel puede ser analizado al estudiar el vınculo entremecanica clasica y mecanica cuantica, ya que el comportamiento deun sistema clasico puede verse como el lımite de un sistema cuanticocuando ~→ 0. Esto se conoce como analisis semiclasico.

El vınculo entre mecanica cuantica y mecanica clasica se entiendemejor, al usar la formulacion por integral de caminos de Feynman. Atraves de esta, podemos observar como la mecanica cuantica estarelacionada con la teorıa de procesos estocasticos. En especial conprocesos de difusion, que vienen de problemas en sistemas clasicos.

La soluciones de viscosidad son una tecnica relativamente recientepara resolver ecuaciones diferenciales. A traves de esta tecnica,hemos podido estudiar el comportamiento de sistemas clasico yvincularlos con un problema de mecanica cuantica.



Por un lado, se explico el trabajo realizado por B. Simon en [11], demanera que un alumno sin estudios de posgrado pueda enteder elproblema, y se han explicado las herramientas utilizadas, de manera quepueda interesarse en el estudio de tales tecnica, tanto por su utilidad enla fısica matematica, como en la matematica pura, en especial, en elestudio de las ecuaciones diferenciales. Ademas, se presentan los terminosde la fısica, de manera que un un estudiante de matematicas pueda darsecuenta de las posibles aplicaciones de sus conocimientos.



Por otro lado, una aportacion importante fue emplear metodosvariacionales, en especial, los relacionados con soluciones de viscosidad,para resolver un problema que se habıa tratado con algunas otrastecnicas. La importancia de abordar el problema desde esta perspectivaes que este tema, que se ha empezado a investigar de manera reciente,ha sido ya utilizado ampliamente para resolver muchos otros problemasen ecuaciones diferenciales, pues echa mano de la teorıa del controlestocastico, el cual ha sido ampliamente desarrollado. Por lo cual, ofreceuna perspectiva rica y diferente de un problema importande en fısica.



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análisis semiclásico de operadores de schrödinger

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