analisis multivariante (presentación)

8/13/2019 Analisis Multivariante (Presentacin)

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Anlisis Multivariante


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El desarrollo de la tecnologa informtica disponible hoyen da ha hecho posible avances extraordinarios en elanlisis de datos.



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Gran parte de la creciente comprensin y pericia en elanlisis de datos se debe al desarrollo de la estadstica y lainferencia estadstica, en particular de un grupo de tcnicas

conocidas como anlisis multivariante.




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Gran parte de la creciente comprensin y pericia en elanlisis de datos se debe al desarrollo de la estadstica y lainferencia estadstica, en particular de un grupo de tcnicas

conocidas comoanlisis multivariante

. Las tcnicas del anlisis multivariante estn siendoaplicadas a la industria, administracin y centros deinvestigacin del mbito universitario.




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Segn los estadsticos Hardyck y Petrinovich:Anlisis Multivariante



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Segn los estadsticos Hardyck y Petrinovich:

Elanlisis de datos multivariante predominar en el futuroy dar por resultado cambios drsticos en el modo en que

los investigadores piensan sobre los problemas y en cmodisean sus investigaciones. Esos mtodos hacen posibleplantear preguntas especficas y precisas de considerablecomplejidad lo que posibilita evaluar los efectos de las

variaciones paramtricas ocurridas de forma natural en elcontexto en el que normalmente ocurren se puedenpreservar las correlaciones naturales entre las mltiplesinfluencias sobre el comportamientosin provocar el tpico

aislamiento de esos individuos o variables.




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Qu es Anlisis Multivariante?



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En un sentido amplio, se refiere a todos los mtodosestadsticos que analizan simultneamente medidas

mltiples de cada individuo u objeto sometido ainvestigacin. Cualquier anlisis simultneo de dos variablespuede ser considerado aproximadamente como un anlisismultivariante.




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En un sentido amplio, se refiere a todos los mtodosestadsticos que analizan simultneamente medidas

mltiples de cada individuo u objeto sometido ainvestigacin. Cualquier anlisis simultneo de dos variablespuede ser considerado aproximadamente como un anlisismultivariante.

En sentido estricto, muchas tcnicas multivariantes sonextensiones del anlisis univariante (anlisis dedistribuciones de una sola variable) y del anlisis bivariante(clasificaciones cruzadas, correlacin, anlisis de varianza yregresiones simples para analizar dos variables).




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Algunos conceptos bsicos



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VALOR TERICOAlgunos conceptos bsicos



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VALOR TERICO

Es el elemento esencial del anlisis mutivariante, es unacombinacin lineal de variables con ponderaciones

determinadas empricamente.




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VALOR TERICO



El investigador especifica las variables, mientras que lasponderaciones son objeto especfico de determinacin porparte de la tcnica multivariante.




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VALOR TERICO



El investigador especifica las variables, mientras que lasponderaciones son objeto especfico de determinacin porparte de la tcnica multivariante.

Un valor torico de n variables ponderadas X1a Xnpuedeexpresarse matemticamente as:

valor terico = w1X1+ w2X2+ wnXn

donde Xies la variable observada y wila ponderacin




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ESCALA DE MEDIDAAlgunos conceptos bsicos



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ESCALA DE MEDIDA

El anlisis de los datos implica la separacin, identificacin ymedida de la variacin en un conjunto de variables, tanto

entre ellas mismas como entre una variable dependiente yuna o ms variables independientes. No es posible separaro identificar una variacin a menos que sea mesurable.




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ESCALA DE MEDIDA



Existe dos tipos bsicos de datos: no mtricos

(cualitativos) y mtricos(cuantitativos).




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ESCALA DE MEDIDA



Existe dos tipos bsicos de datos: no mtricos

(cualitativos) y mtricos(cuantitativos).Los datos no mtricos son atributos, caractersticas opropiedades categricas. Las variables medidasmtricamente reflejan cantidades relativas o grado.




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ERROR DE MEDIDAAlgunos conceptos bsicos



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ERROR DE MEDIDA

Es el grado en que los valores observados no sonrepresentativos de los valoresverdaderos.




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ERROR DE MEDIDA


Tiene mltiples fuentes, que van desde errores en laentrada de datos a la imprecisin en la medicin, pasandopor la incapacidad de los encuestados a proporcionainformacin precisa.




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ERROR DE MEDIDA



Se debe asumir que todas las variables usadas en tcnicasmultivariantes tienen algn grado de error de medida.




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ERROR DE MEDIDA



Se debe asumir que todas las variables usadas en tcnicasmultivariantes tienen algn grado de error de medida.

El error de medida aade ruido. El valor observadorepresenta tanto elefectoverdaderocomo elruido.




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ERROR DE MEDIDA




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ERROR DE MEDIDA

Para reducir el error de medida se pueden seguir varioscaminos:




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ERROR DE MEDIDA


En cualquier medicin debe considerarse la validez y lafiabilidad. Si la primera est asegurada, el investigadordebe considerar la fiabilidad de las medidas.




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ERROR DE MEDIDA


En cualquier medicin debe considerarse la validez y lafiabilidad. Si la primera est asegurada, el investigadordebe considerar la fiabilidad de las medidas.

Desarrollar mediciones multivariantes tambinconocidas como escalas sumadas, donde diversasvariables se unen en una medida compuesta pararepresentar un concepto. Se trata de evitar que una nicavariable represente un concepto y usar varias variables

como indicadores.




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Significacin estadsticafrente a Potencia estadstica


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Significacin versus Potencia



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Todas las tcnicas multivariantes (excepto el anlisiscluster y el anlisis multidimensional) se basan en lainferencia estadstica de los valores de una poblacin o larelacin entre variables a partir de muestras.




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Para interpretar las inferencias estadsticas se debenespecificar los niveles aceptables de error estadstico.



A li i M l i i


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El modo de aproximacin ms comn es determinar elnivel de error de tipo I, tambin conocido como alfa().



A li i M lti i t


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El modo de aproximacin ms comn es determinar elnivel de error de tipo I, tambin conocido como alfa().

El error de tipo I es la probabilidad de rechazar lahiptesis nula cuando es cierta.



A li i M lti i t


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Anlisis M lti a iante


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El error de tipo I es, sencillamente, la posibilidad de que laprueba muestre significacin estadstica cuando enrealidad no est presente (unfalsopositivo).





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Al especificar un nivel alfa se fijan los mrgenes admisiblesde error especificando la probabilidad de concluir que lasignificacin existe cuando en realidad no existe.





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Cuando se especifica el nivel de error de tipo I tambin sedetermina un error asociado, el error de tipo II o beta().





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Cuando se especifica el nivel de error de tipo I tambin sedetermina un error asociado, el error de tipo II o beta().

El error de tipo II es la probabilidad de no rechazar lahiptesis nula cuando es realmente falsa.





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Una probabilidad ms interesante es 1 - , que sedenomina potenciadel test de inferencia estadstica.





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Potencia es la probabilidad de rechazar correctamente lahiptesis nula cuando debe ser rechazada.





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Potencia es la probabilidad de rechazar correctamente lahiptesis nula cuando debe ser rechazada.

Es la probabilidad de que la inferencia estadstica seindique cuando est presente.





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Realidad



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s s u a a e

Realidad

Ho es cierta



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Realidad

Ho es cierta Ho es falsa



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Realidad


Decisin

estadstica



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho

No aceptar Ho



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho 1-

No aceptar Ho



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho 1-

No aceptar Ho (error Tipo I)



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho 1- (error Tipo II)

No aceptar Ho (error Tipo I)



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Realidad


Decisin

estadstica

Aceptar Ho 1- (error Tipo II)

No aceptar Ho (error Tipo I)1-

Potencia



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Aunque alfa establece el nivel de significacinestadsticaaceptable, es el nivel de potencia el que dicta la probabilidad

dexitoen la bsqueda de diferencias si es que realmenteexisten.




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Los errores Tipo I y Tipo II estn inversamenterelacionados, a medida que el error de Tipo I se acerca a

cero el de Tipo II aumenta.




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Los errores Tipo I y Tipo II estn inversamenterelacionados, a medida que el error de Tipo I se acerca a

cero el de Tipo II aumenta. Al disminuir el error Tipo I tambin se reduce la potenciade la prueba estadstica.




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La potencia est determinada por tres factores:




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Efecto tamao: Un efecto grande es ms probable deencontrar que un efecto pequeo. Los efectos de tamaose miden en trminos estandarizados. Ej: diferencia demedias entre dos grupos o correlacin entre variables.




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Alfa: Cuando alfa disminuye la potencia decrece. Losniveles de significacin convencionales son 0.05 0.01.




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Alfa: Cuando alfa disminuye la potencia decrece. Losniveles de significacin convencionales son 0.05 0.01.

Tamao de la muestra: Para cualquier nivel de alfadado, el aumento de la muestra siempre produce unamayor potencia. Pero puede producirse demasiadapotencia (cualquier efecto es significativo).




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Las relaciones entre alfa, tamao de la muestra, efectotamao y potencia son bastante complicadas.




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Cohen (1977) ha examinado la potencia para la mayorade las pruebas de inferencia estadstica y ha proporcionadopautas para los niveles aceptables de potencia.




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Cohen (1977) ha examinado la potencia para la mayorade las pruebas de inferencia estadstica y ha proporcionadopautas para los niveles aceptables de potencia.

Sugiere que los estudios deben disearse para conseguir

niveles de alfa de 0.05 o menos, con niveles de potencia del80 porciento.




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Niveles de potencia para la comparacin de medias: variaciones por eltamao de la muestra, el nivel de significacin y el efecto tamao.


alfa = 0.05Efecto tamao

alfa = 0.01Efecto tamao

Tamaomuestral

Pequeo(0.2)

Moderado(0.5)

Pequeo(0.2)

Moderado(0.5)

20 0.095 0.338 0.025 0.144

40 0.143 0.598 0.045 0.349

60 0.192 0.775 0.067 0.54980 0.242 0.882 0.092 0.709

100 0.290 0.940 0.120 0.823

150 0.411 0.990 0.201 0.959

200 0.516 0.998 0.284 0.992



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Impacto del tamao de la muestra en la potencia de algunos niveles alfa

(0.01, 0.05, 0.10) con efecto tamao de 0.35 (entre pequeo y moderado).



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Tipos de tcnicas

multivariantes



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Clasificacin de la tcnicas multivariantes



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Se consideran tres juicios que el analista debe considerarsobre el objeto a investigar y la naturaleza de los datos:




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Pueden dividirse las variables en dependientes oindependientes?




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Si lo anterior es posible, cuntas de estas variables sontratadas como dependientes en un anlisis simple?




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Si lo anterior es posible, cuntas de estas variables sontratadas como dependientes en un anlisis simple?

Cmo son medidas las variables?




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La respuesta a esta pregunta indica si debera usarse un anlisis dedependenciao un anlisis de interdependencia.




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Anlisis de dependencia: una variable o conjunto de variables esidentificado como la variable dependiente y va a ser explicado por otrasvariables conocidas como independientes.




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Anlisis de dependencia: una variable o conjunto de variables esidentificado como la variable dependiente y va a ser explicado por otrasvariables conocidas como independientes.

Anlisis de interdependencia: Ninguna variable o grupo de variableses definido como independiente o dependiente. Se analizan todas lasvariables simultneamente.




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Cuntas de estas variables son tratadas comodependientes en un anlisis simple?




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Cuntas de estas variables son tratadas comodependientes en un anlisis simple?

En el anlisis de dependencia puede haber nicamente unavariable dependiente, varias variables dependientes o inclusovarias relaciones de dependencia/independencia.




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El anlisis de dependencia puede ser clasificado en

funcin del tipo de escala de la variable con variablesmtricas (numricas/cuantitativas) o no mtricas(cualitativas/categricas).


Seleccin de una tcnica multivarianteAnlisis Multivariante


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Seleccin de una tcnica multivariante



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Relacin dedependencia


Una variabledependiente

en unarelacinnica

Variable dependientemtrica

Variable dependiente nomtrica

Regresin mltipleAnlisis conjunto

Anlisis discriminante mltiple Modelos de probabilidad lineal

Varias variablesdependientes en

una relacinnica

Variable dependientemtrica

Variableindependiente

mtrica

Variableindependiente

no mtrica

Anlisis de correlacincannica

Anlisis multivariantede la varianza

Variable dependienteno mtrica

Anlisis de correlacincannica con variables ficticias

Mltiples relacionesde variables

dependientes eindependientes

Modelo de ecuaciones estructurales



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Relacin deinterdependencia


Relacionesentre

Variables Anlisis factorial

Relaciones entreCasos/Encuestados

Atributos mtricos

Anlisis cluster

Anlisis multidimensional

Atributos no mtricos Anlisis de correspondencias

Relaciones entreObjetos



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Regresin mltiple

Tcnicas multivariantes



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Regresin mltiple

Mtodo apropiado cuando el problema incluye una nicavariable mtrica dependiente que se supone est

relacionada con una o ms variables mtricasindependientes.

Su objetivo es predecir los cambios en la variabledependiente en respuesta a cambios en varias variables

independientes.

Ejemplos: prediccin de los gastos mensuales de cenarfuera de casa con informacin referente a la renta familiar,su tamao y la edad del cabeza de familia.




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Anlisis conjunto




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Anlisis conjunto

Tcnica que se utiliza especficamente para entender cmolos encuestados desarrollan preferencias acerca de

productos o servicios. Se basa en la premisa de que losconsumidores evalan el valor de un producto o serviciocombinando cantidades separadas de valor que proporcionacada atributo.

Ejemplo: El nombre de la marca y el precio pueden ser dosfactores del anlisis conjunto. La marca puede tener dosniveles (X e Y) y el precio cuatro (39, 49, 59 y 69). En lugarde evaluar todas las combinaciones posibles se pueden

evaluar un subconjunto de estas.




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Anlisis discriminante mltiple




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Anlisis discriminante mltiple

Se emplea cuando la nica variable dependiente esdicotmica (compradorno comprador) o multidicotmica

(alto-medio-bajo). Como en la regresin lineal las variablesindependientes se suponen mtricas.

Ejemplos: Para distinguir innovadores de no innovadores deacuerdo a sus perfiles demogrficos y psicogrficos. Para

distinguir entre usuarios habituales u ocasionales,compradores de marcas de mbito nacional o restringido yel riesgo de crdito bueno del riesgo de crdito malo.




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Modelos de probabilidad lineal




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Modelos de probabilidad lineal

Son llamados a menudo anlisis logit. Consisten en unacombinacin de regresin mltiple y anlisis discriminante

mltiple. Es similar a la regresin mltiple en que una ovarias variables independientes se usan para predecir unavariable dependiente. Pero la variable dependiente es nomtrica.




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Correlacin cannica




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Correlacin cannica

Puede verse como una extensin lgica del anlisis deregresin mltiple.

Su objetivo es correlacionar simultneamente variasvariables dependientes mtricas y varias variablesindependientes mtricas.

El principio subyacente es desarrollar una combinacinlineal de cada conjunto de variables (tanto independientescomo dependientes) para maximizar la correlacin entre losdos conjuntos, o sea obtener un conjunto de ponderacionespara las variables que maximice la correlacin.




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Anlisis multivariante de la varianza




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Anlisis multivariante de la varianza

El anlisis multivariante de la varianza (MANOVA) es unatcnica que puede ser usada para explorar las relaciones

entre diversas categoras de variables independientes(tratamientos) y dos o ms variables mtricasdependientes. Representa una extensin del anlisisunivariante de la varianza (ANOVA).

Es til cuando cuando se disea una situacin experimental(manipulacin de varias variables no mtricas) paracomprobar hiptesis concernientes a la varianza derespuestas de grupos sobre dos o ms variables mtricas

dependientes.




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Concepto de VARIABLE FICTICIA




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Concepto de VARIABLE FICTICIA

Variable independiente usada para explicar el efecto quetienen los diferentes niveles de una variable no mtrica en

la prediccin de la variable criterio (variable criterio:variable a predecir o explicar por el conjunto de variablesindependientes) .

El nmero de variables ficticias es uno menos que el

nmero de niveles de la variable no mtrica.




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Es a menudo llamado como LISREL (nombre de uno de lospaquetes informticos ms populares). Esta tcnica nos

permite separar las relaciones para cada conjunto devariables dependientes. Proporciona la tcnica de estimacinms adecuada y eficiente para series de estimaciones deecuaciones simultneas mediante regresiones mltiples.

Se caracteriza por dos componentes bsicos: el modeloestructural y el modelo de medida. El primero es el modelogua. El segundo pemite usar varias variables (indicadores)para una nica variable dependiente o independiente.




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Ejemplo: la variable dependiente puede ser un conceptorepresentado en una escala aditiva, como el amor propio. En

el modelo de medida se puede evaluar la contribucin decada tem de la escala as como incorporar cmo la escalamide el concepto (fiabilidad) en la estimacin de lasvariables dependientes e independientes.




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Anlisis factorial




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Anlisis factorial

Es una aproximacin estadstica que puede utilizarse paraanalizar interrelaciones entre un gran nmero de variables y

explicar estas variables en trminos de sus dimensionessubyacentes comunes (factores).

El objetivo es encontrar un modo de condensar la informacincontenida en un nmero de variables originales en un

conjunto ms pequeo de variables (factores) con unaprdida mnima de informacin.

Con una estimacin emprica de la estructura de la variablesconsideradas es una base objetiva para crear escalas aditivas.




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Anlisis cluster




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Anlisis cluster

Es una tcnica analtica para desarrollar subgrupossignificativos de individuos u objetos. Su objetivo es clasificar

una muestra de entidades (personas u objetos) en un nmeropequeo de grupos mutuamente excluyentes basados ensimilitudes entre las entidades. A diferencia del anlisisdiscriminante, los grupos no estn predefinidos. La tcnica se

usa para identificar grupos.Implica al menos dos etapas. La primera es medir similitudespara determinar la cantidad de grupos. La segunda esdescribir a las personas o variables para determinar su

composicin.




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El objetivo es transformar los juicios de los consumidores (porejemplo, preferencias por tiendas o marcas comerciales) en

distancias representadas en un espacio multidimensional.

Si los objetos A y B son en opinin de los encuestados mssimilares que otros, las tcnicas de anlisis multidimensionallos situarn de manera que la distancia entre ellos en un

espacio multidimensional es menor que la distancia entrecualquier otro par de objetos. El mapa perceptual resultantemuestra el posicionamiento relativo entre los objetos, pero senecesita un anlisis adicional para evaluar qu atributos

predicen la posicin de cada objeto.




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Anlisis de correspondencias




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Anlisis de correspondencias

Es una tcnica de interdependencia que facilita la reduccindimensional de una clasificacin de objetos (por ejemplo,

personas, productos, etc) sobre un conjunto de atributos y elmapa perceptual (o mapa espacial) de objetos relativos aestos atributos. Difiere de otras tcnicas en su capacidad paraacomodar tanto datos no mtricos como relaciones no

lineales.Emplea una tabla de contingencia de dos variablescategricas, transforma los datos no mtricos a un nivelmtrico y realiza una reduccin dimensional y un mapa

perceptual.



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Diseo de modelos

multivariantes

Diseo de modelos multivariantes


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Primer paso: Definir el problema de investigacin, objetivosy tcnica multivariante conveniente.

Segundo paso: Desarrollo del proyecto de anlisis.

Tercer paso: Evaluacin de los supuestos bsicos de latcnica multivariante.

Cuarto paso: Estimacin del modelo multivariante y

valoracin del ajuste del modelo.Quinto paso: Interpretar el valor terico.

Sexto paso: Validacin del modelo multivariante.

Una aproximacin al Anlisis Multivariante



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Primer paso: Definir el problema de investigacin, objetivosy tcnica multivariante conveniente.

Ver el problema en trminos conceptuales, definiendo los

conceptos e identificar las relaciones fundamentales ainvestigar.

El modelo conceptual no necesita ser complejo y detallado,es una simple representacin de relaciones a estudiar.

Con los objetivos y el modelo conceptual especificados solohay que elegir la tcnica multivariante apropiada. Lasvariables se pueden especificar antes o despus de recogerlos datos.




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Segundo paso: Desarrollo del proyecto de anlisis.

Para cada tcnica se debe desarrollar un plan de anlisisespecfico. Con el modelo conceptual establecido la atencin

se dirige a la puesta en prctica de la tcnica elegida.




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Tercer paso: Evaluacin de los supuestos bsicos de latcnica multivariante.

Con la recogida de datos el primer anlisis no es estimar el

modelo multivariante sino evaluar los supuestos bsicos.

Evaluar los supuestos subyacentes, tanto estadsticos comoconceptuales, que afectan sustancialmente a su capacidadpara representar relaciones multivariantes.

Cada tcnica tiene una serie de supuestos, se debeasegurar que estos se cumplen.




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Cuarto paso: Estimacin del modelo multivariante yvaloracin del ajuste del modelo.

Una vez satisfechos los modelos, se procede a la estimacin

efectiva del modelo multivariante y a una valoracin globaldel ajuste del modelo.

En ocasiones el modelo se debe volver a especificar paraconseguir mejorar los niveles de ajuste.




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Quinto paso: Interpretar el valor terico.

Con un nivel aceptable de ajuste del modelo, al interpretarel valor o valores tericos se revela la naturaleza de las

relaciones multivariantes.

La interpretacin de los efectos para las variablesindividuales se realiza examinando los coeficientes estimados(ponderaciones) para cada variable en el valor terico.

Puede conducir a re-especificaciones adicionales de lasvariables y/o formulacin del modelo.




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Sexto paso: Validacin del modelo multivariante.

Antes de aceptar los resultados, estos deben ser sometidosa un conjunto final de diagnsticos que aseguran el grado de

generalidad de los resultados por los mtodos de validacindisponibles.

Se trata de demostrar la generalidad de los resultados alconjunto de poblacin.

Sirven para asegurar los resultados ms descriptivos de losdatos.



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Anlisis Discriminante de dos

grupos

Anlisis Discriminante de dos grupos


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Es una tcnica apropiada cuando la variable dependiente escategrica (nominal o no mtrica) y las variablesindependientes son mtricas.

En muchos casos la variable dependiente consta de dosgrupos o clasificaciones. En otras situaciones, se incluyenms de dos casos.

Cuando son dos grupos se habla de anlisis discriminante

de dos grupos. Cuando se identifican tres o ms la tcnicaes conocida como anlisis discriminante mltiple.

Anlisis Discriminante



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Esta tcnica implica obtener un valor terico, es decir, unacombinacin lineal de las variables independientes quediscrimine mejor entre los grupos definidos a priori.

La discriminacin se realiza estableciendo las ponderacionesdel valor terico para cada variable de tal forma quemaximicen la varianza entre grupos frente a la varianzaintragrupos.

La combinacin lineal para el anlisis discriminante sedenomina funcin discriminante.




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La funcin discriminanteadopta la siguiente forma:

Zjk= + W1X1K+ W2X2K+ W3X3K+ + WnXnK

donde

Zjk = puntuacin Z discriminante de la funcin discriminante jpara el objeto k

= constante

Wk = ponderacin discriminante para la variableindependiente k

Xik= variable independiente i para el objeto k




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Es la tcnica apropiada para contrastar la hiptesis de que lasmedias de los grupos de un conjunto de variablesindependientes para dos o ms grupos son iguales.

Para hacerlo, el anlisis discriminante multiplica cada variableindependiente por su correspondiente ponderacin y sumaestos productos. El resultado es una nica puntuacin Zdiscriminantecompuesta para cada individuo en el anlisis.

Promediando las puntuaciones Z discriminantes para todos losindividuos dentro de un grupo particular se obtiene la mediadel grupo o centroide.




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Cuando el anlisis engloba dos grupos hay dos centroides,con tres grupos hay tres centroides y as sucesivamente.

Los centroides indican la situacin ms comn de cualquier

individuo de un determinado grupo. Una comparacin de loscentroides de los grupos muestra lo apartados que seencuentran los grupos a lo largo de la dimensin que se estcontrastando.

El contraste para la significacin estadstica de la funcindiscriminante es una medida generalizada de la distanciaentre los centroides de los grupos. Se calcula comparando lasdistribuciones de las puntuaciones discriminantes de los

grupos



REPRESENTACION UNIVARIANTE DE LAS PUNTUACIONES Z DISCRIMINANTES


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Una empresa quiere averiguar si uno de sus nuevosproductos tendr xito comercial. Est interesada enidentificar, si es posible, a aquellos consumidores que la

compraran y a aquellos que no la compraran.Para ayudar a identificar a los compradores potenciales sedisean escalas de valoracin para tres caractersticas:duracin, funcionamiento y diseo. Que son utilizadas por los

consumidores para evaluar el nuevo producto.No se consideran las medidas separadas sino unacombinacin ponderada de ellas.

Ejemplo



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El anlisis discriminante puede obtener una combinacinponderada de las tres escalas que se utilice para predecir laverosimilitud de que un consumidor compre el producto.

Adems, determinar si los clientes que seguramente comprenel nuevo producto se pueden distinguir de los que no locomprarn.

Tambin saber cul de las tres caractersticas del nuevo

producto separa mejor a los compradores de los nocompradores.

Ejemplo


Duracin Funcionamiento DiseoRESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE EVALUACION DEL NUEVO PRODUCTO


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131

(X1) (X2) (X3)

Comprara

Sujeto 1 8 9 6

Sujeto 2 6 7 5

Sujeto 3 10 6 3

Sujeto 4 9 4 4

Sujeto 5 4 8 2Media del grupo 7.4 6.8 4.0

No comprara

Sujeto 6 5 4 7

Sujeto 7 3 7 2

Sujeto 8 4 5 5

Sujeto 9 2 4 3

Sujeto 10 2 2 2

Media del grupo 3.2 4.4 3.8

Escala:1= Muy Baja10 = Excelente


9 7 5 6 2 1 4 3

10 8

DURACIN (X1)


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132

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 7 5 6 2 1 4 3

9

6 7

10 4 8 3 2 5 1

10

7 9 8

5 3 4 2 1 6

FUNCIONAMIENTO (X2)

DISEO (X3)


Funcin 1 Funcin 2 Funcin 3CONSTRUCCION DE FUNCIONES DISCRIMINANTES


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133

Z= X1 Z = X1+ X2 Z = -4.53 + 0.476 X1 + 0.359 X2

Comprara

Sujeto 1 8 17 2.51

Sujeto 2 6 13 0.84

Sujeto 3 10 16 2.38

Sujeto 4 9 13 1.19

Sujeto 5 4 12 0.25No comprara

Sujeto 6 5 9 -0.71

Sujeto 7 3 10 -0.59

Sujeto 8 4 9 -0.83

Sujeto 9 2 6 -2.14

Sujeto 10 2 4 -2.86

Punto de Corte 5.5 11 0.0


MATRICES DE CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES DISCRIMINANTES

Funcin 1 Grupo predicho


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134


Grupo real 1 2

1: Comprara 4 12: No comprara 0 5


Grupo real 1 21: Comprara 5 0

2: No comprara 0 5

Funcin 3 Grupo predichoGrupo real 1 2

1: Comprara 5 0

2: No comprara 0 5


REPRESENTACION GEOMETRICA DE LA FUNCION DISCRIMINANTE DE DOS GRUPOS


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Anlisis Discriminante en el

SPSS

Anlisis Discriminante en el SPSS


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Autovalor: Cociente entre la variacin debida a lasdiferencias entre los grupos (medida mediante la suma decuadrados inter-grupos) y la variacin que se da dentro de

cada grupo combinada en una nica cantidad (medidamediante la suma de cuadrados intra-grupos).

Se diferencia de la F del anlisis de varianza multivariante enque no intervienen los grados de libertad.

Su mnimo es 0 y no tiene mximo.El autovalor asociado a la funcin discriminante indica laproporcin de varianza total explicada por las m funcionesdiscriminantes que recoge la variable yi .

Algunos conceptos



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Correlacin cannica: Correlacin entre la combinacinlineal de las variables independientes (la funcindiscriminante) y una combinacin lineal de variables

indicadoras (unos y ceros) que recogen la pertenencia de lossujetos a los grupos. En el caso de dos grupos la correlacincannica es la correlacin simple entre las puntuacionesdiscriminantes y una variable con cdigos 1 y 0 segn cadacaso pertenezca a un grupo o a otro.

Una correlacin cannica alta indica que las variablesdiscriminantes permiten diferenciar los grupos.

Algunos conceptos



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Lambda de Wilks: Estadstico que expresa la proporcin devariabilidad total no debida a las diferencias entre los grupos.Es el cociente entre la suma de cuadrados dentro de los

grupos y la suma de cuadrados total (sin distinguir losgrupos), es decir, equivale a las desviaciones de la mediadentro de cada grupo entre las desviaciones a la media totalsin distinguir grupos. Si su valor es pequeo, la variablediscrimina mucho: la variabilidad se debe a las diferencias

entre grupos no a las diferencias dentro de los grupos.

Algunos conceptos



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Coeficientes estandarizados: Son independientes de lamtrica original de las variables discriminantes y por tantoson preferibles a los coeficientesbrutoscuando las variables

poseen una mtrica distinta.(el SPSS los ofrece por defecto, los coeficientes brutosdeben solicitarse explcitamente)

Algunos conceptos



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Matriz de estructura: Contiene las correlaciones entre lasvariables discriminantes y la funcin discriminanteestandarizada. Mientras que los coeficientes estandarizados

muestran la contribucin neta de cada variableindependiente a la funcin discriminante, las correlacionesmuestran la relacin brutaentre cada variable y la funcindiscriminante.

Conocer estas relaciones puede ayudar a interpretar mejor lafuncin discriminante.

Algunos conceptos



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142

M de Box: Prueba para el contraste de la hiptesis nula deigualdad de las matrices de varianzas-covarianzaspoblacionales. Uno de los supuestos del anlisis discriminante

es que todos los grupos proceden de la misma poblacin y,ms concretamente, que las matrices de varianzas-covarianzas poblacionales correspondientes a cada grupo soniguales entre s.

No tiene una distribucin muestral conocida pero puedetransformarse en un estadstico F e interpretarse como tal.

(muchos analistas lo critican por ser demasiado sensible apequeas variaciones de la normalidad multivariante y a

tamaos muestrales grandes)

Algunos conceptos



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143

Coeficientes no tipificados: Coeficientes brutos de lafuncin cannica discriminante. Son los coeficientes utilizadospor el programa para calcular las puntuaciones discriminantes

y la ubicacin de los centroides.No es habitual solicitarlos en el SPSS por dos motivos: elprograma calcula de manera automtica las puntuacionesdiscriminantes y estos coeficientes dependen de la

variabilidad y la mtrica de las variables, lo que dificulta suintrepretacin.

La funcin discriminante incluye una constante correctora queconsigue que las puntuaciones discriminantes tomen valor 0

en algn punto entre los centroides

Algunos conceptos



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144

Coeficientes de clasificacin de Fisher: Estoscoeficientes, propuestos por Fisher, sirven nicamente para laclasificacin. Al solicitarlos se obtiene una funcin de

clasificacin para cada grupo.Para aplicar estos coeficientes se calcula cada una de lasfunciones para un sujeto dado y se clasifica al sujeto en elgrupo en el que la funcin ofrece una puntuacin mayor.

Algunos conceptos



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145

Hay dos opciones:

Introducir independientes juntas

Inclusin por pasos

En la primera opcin la funcin discriminante se construyeincorporando todas las variables independientes en el anlisis.

Los estadsticos que se obtienen se refieren al ajuste global

de la funcin discriminante.

Sobre el mtodo



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En la inclusin por pasos las variables independientes vansiendo incluidas paso a paso a la funcin discriminante trasevaluar su contribucin individual a la diferenciacin entre losgrupos.

Puede seleccionarse el estadstico a utilizar para elegir a lasvariables:

- Lambda de Wilks (la que produce el mayor cambio)

- Varianza no explicada (la que minimiza la cantidad devarianza no explicada por las variables)

- Distancia de Mahalanobis (la que maximiza esta distancia)

Sobre el mtodo



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147

- Menor razn (la que maximiza la menor razn, que es ladistancia de Mahalanobis ponderada por el tamao de losgrupos)

- V de Rao (la que produce un mayor incremento, la V de Raoes proporcional a la distancia entre los grupos)

En la inclusin por pasos se comienza seleccionando la mejorvariable independiente, es decir, aquella que es la que ms

diferencia a los grupos.Pueden seleccionarse uno de dos criterios de entrada y salidade las variables: usar el valor de F o usar la probabilidad de F.

Sobre el mtodo



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Hay dos opciones:

Todos los grupos iguales

Calcular segn tamaos de los grupos

La clasificacin se basa en las funciones discriminantes. Peropuede realizarse a partir de matrices de covarianzas distintaspor lo que el resultado puede ser diferente.

Si el punto de corte es equidistante de los dos centroides, enel caso de dos grupos, con tamaos iguales, no habraproblemas pero los grupos pudieran tener distinto tamao.

Sobre la clasificacin

b l f



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Grupos combinados: Muestra un diagrama de dispersin detodos los casos en el plano definido por las dos primerasfunciones discriminantes. Cuando solo existe una funcindiscriminante este grfico se omite.

Grupos separados: En el caso de dos grupos (una solafuncin discriminante) esta opcin ofrece el histograma decada grupo en la funcin discriminante.

En el caso de ms de dos grupos (ms de una funcindiscriminante) ofrece un diagrama de dispersin de cadagrupo en el plano definido por las dos primeras funcionesdiscriminantes.

Sobre los grficos

S b l f



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Mapa territorial: En el caso de ms de dos grupos (ms deuna funcin discriminante) muestra la ubicacin de loscentroides en el plano definido por las dos primeras funcionesdiscriminantes, as como las fronteras territoriales utilizadasen la clasificacin.

Sobre los grficos

S l i



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Un problema habitual de los modelos estadsticos es que elmodelo estimado siempre se ajusta lo ms perfectamenteposible a los datos de la muestra utilizada. Esto es uninconveniente pues la estructura de la muestra puede tener

ligeras divergencias con la estructura real de la poblacin. Sepuede hacer una validacin cruzada:

1. Seleccionar una muestra de validacin (subconjuntoaleatorio de la muestra original)

2. Estimar la funcin discriminante con los restantes(muestra de entrenamiento)

3. Utilizar esta funcin para clasificar los casos de la muestra

de validacin

Seleccionar

Anlisis Discriminante de tres grupos

Evaluacin del proveedoractual

Evaluacin del proveedoractual

Grupos basados Competitividad Nivel de Grupos basados Competitividad Nivel de servicio


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pen la intencin

de cambio

pen el precio

(x1 )servicio(x2 )

pen la intencin

de cambio

pen el precio

(x1 )(x2 )

Grupo 1: secambiarn conseguridad

Sujeto 9 5 2

Sujeto 1 2 2 Sujeto 10 5 3

Sujeto 2 1 2 Media del grupo 4.6 2.2

Sujeto 3 3 2 Grupo 3: No secambiarn conseguridad



Media del grupo 2.0 2.0 Sujeto 13 4 6

Grupo 2:Indecisos

Sujeto 14 5 6


Sujeto 7 4 3 Media del grupo 3.8 6.2

Sujeto 8 5 1


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Regresin Logstica

A li i di i i t R i l ti

Regresin logstica


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El anlisis discriminante es apropiado cuando la variabledependiente es no mtrica. Sin embargo, cuando la variabletiene solo dos grupos puede preferirse la regresinlogstica por varios motivos:

El anlisis discriminante descansa sobre un cumplimientoestricto de los supuestos de normalidad multivariante y laigualdad de matrices de varianzas covarianzas entre losgrupos, lo cual no siempre se verifican.

La regresin logstica no se enfrenta a estos supuestos tanestrictos y es mucho ms robusta cuando estos supuestos nose cumplen, haciendo su aplicacin muy apropiada en muchassituaciones.

Anlisis discriminante vs. Regresin logstica

A li i di i i t R i l ti

Regresin logstica


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Aunque se cumplieran los supuestos muchos investigadoresprefieren la regresin logstica porque es similar a laregresin.

La regresin logstica es equivalente al anlisis

discriminante de dos grupos.

Anlisis discriminante vs. Regresin logstica

Reg esin logstica

Regresin logstica


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En el anlisis discriminante el carcter no mtrico de unavariable dependiente dicotmica se adecua haciendopredicciones de pertenencia al grupo basadas en suspuntuaciones Z discriminantes y estableciendo puntuacionesde corte.

La regresin logstica lo hace parecido a la regresin. Sinembargo, se diferencia en que predice directamente laprobabilidad de ocurrencia de un suceso.

Regresin logstica

Regresin logstica

Regresin logstica


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Aunque el valor de la probabilidad es una medida mtrica,existen diferencias entre la regresin mltiple y la regresinlogstica. Los valores de la probabilidad pueden sercualesquiera entre cero y uno, pero el valor predicho debeestar acotado para que caiga en el rango entre cero y uno.

Para definir una relacin acotada por cero y uno laregresin logstica utiliza una relacin supuesta entre lasvariables dependientes e independientes: para niveles muybajos de la variable independiente la probabilidad seaproxima a cero, segn crece la variable independiente, laprobabilidad crece a lo largo de la curva, pero se acerca a unosin llegar a excederlo.

Regresin logstica

Regresin logstica


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158

Regresin logstica

Regresin logstica


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Al igual que en la regresin mltiple, la regresin logsticaincluye un nico valor terico resumen de los coeficientesestimados para cada variable independiente, pero lo hace deuna manera totalmente diferente. La regresin mltipleemplea el mtodo de los mnimos cuadrados pero la regresinlogstica emplea el procedimiento de mximaverosimilitud.

El modelo tiene la forma concreta de una curva logstica.Para estimar un modelo de regresin logstica, se ajusta estacurva a los datos reales.

Regresin logstica

Regresin logstica


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160

Regresin logstica


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161

Regresin logstica

Regresin logstica


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Una de las ventajas de la regresin logstica es que solo senecesita saber si un suceso ocurri o no (comprar o no,riesgo de crdito o no, quiebra de la empresa o xito) paraentonces utilizar un valor dicotmico como nuestra variabledependiente.

A partir de esta valor dicotmico, el procedimiento predicesu estimacin de la probabilidad de que el suceso tenga o nolugar. Si la prediccin de la probabilidad es mayor que 0.5entonces la prediccin es s y no en el otro caso.

La regresin logstica deriva su nombre de latransformacin logstica utilizada con la variableindependiente.

Regresin logstica

Regresin logstica

Regresin logstica


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Cuando se utiliza esta transformacin la regresin logsticay sus coeficientes tienen un sentido diferente del queencontramos en la regresin con una variable dependientemtrica.

El procedimiento que calcula el coeficiente logsticocompara la probabilidad de la ocurrencia de un suceso con laprobabilidad de que no ocurra. Este odds ratio puedeexpresarse como:

Prob (evento) Bo + B1 x1 + + Bn xn

= eProb (no evento)

Regresin logstica

Regresin logstica

Regresin logstica


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Los coeficientes estimados (Bo , B1 , , Bn ) son en realidadmedidas de los cambios en el ratio de probabilidades,denominado odds ratio. Estn expresados en logaritmos, porlo que necesitaramos retransformarlos (tomando los valoresdel antilogaritmo) de tal forma que se evale ms fcilmentesu efecto sobre la probabilidad. Los programas paracomputadoras lo hacen automticamente calculando tanto elcoeficiente real como el transformado. Esto no cambia el

modo de interpretar el signo del coeficiente: un coeficientepositivo aumenta la probabilidad, mientras que uno negativodisminuye la probabilidad predicha.

Regresin logstica

Regresin logstica

Regresin logstica


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165

Veamos un ejemplo sencillo. Si Bi es positivo, sutransformacin (antilog) ser mayor que 1 y el odds ratioaumentar. Este aumento se produce cuando la probabilidadprevista de ocurrencia de un suceso aumenta y laprobabilidad prevista de su no ocurrencia disminuye. Portanto el modelo tiene una elevada probabilidad de ocurrencia.

Anlogamente, si Bi es negativo, el antilogaritmo es menorque 1 y el odds ratio disminuye. Un coeficiente cero equivalea un valor de 1, lo que no produce cambios en el odds.

Regresin logstica


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Anlisis Multivariante de la

Varianza (MANOVA)

Anlisis multivariante de la varianza (MANOVA)

MANOVA


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Es una extensin del anlisis de la varianza (ANOVA) endonde se tiene en cuenta ms de una variable de criterio.



MANOVA


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Es una tcnica de dependencia que mide las diferencias

entre dos o ms variables mtricas dependientes basadas enun conjunto de variables categricas (no mtricas) queactan como predictores.



MANOVA


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169


Es una tcnica de dependencia que mide las diferencias

entre dos o ms variables mtricas dependientes basadas enun conjunto de variables categricas (no mtricas) queactan como predictores.

Al igual que el ANOVA, el MANOVA se refiere a diferencias

entre grupos (o tratamientos). Sin embargo, el ANOVA sedenomina como proceso univariante porque para valorar lasdiferencias entre grupos se emplea una nica variabledependiente mtrica.



MANOVA


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170

El MANOVA es un proceso multivariante porque se usa paravalorar diferencias entre grupos a travs de mltiplesvariables dependientes mtricas de forma simultnea.



MANOVA


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171


En el MANOVA cada grupo de tratamiento es definido poruna o ms variables dependientes.



MANOVA


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172


En el MANOVA cada grupo de tratamiento es definido poruna o ms variables dependientes.

Ambas tcnicas proporcionan las herramientas necesariaspara juzgar la fiabilidad de cualquier efecto observado (por

ejemplo, si una diferencia observada es debida a un efectodel tratamiento o a la variabilidad del muestreo).



MANOVA


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173

El MANOVA es la extensin multivariantede las tcnicas univariantes para valorarlas diferencias entre las medias de losgrupos.


Procedimientos univariantes para valorar lasdiferencias de grupos

MANOVA


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174

Se clasifican como procedimientos univariantesno por elnmero de variables independientes sino por el nmero devariables dependientes.

En la regresin mltiple, los trminos univariante ymultivariante se refieren al nmero de variablesindependientes.

En el ANOVA y el MANOVA se aplica esta terminologa sluso de variables simples o mltiples.

diferencias de grupos


MANOVA


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175

El contraste t

Valora la significacin estadstica de las diferencias entre dos

medias muestreadas independientes.



MANOVA


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176

El contraste t

Valora la significacin estadstica de las diferencias entre dosmedias muestreadas independientes.

Ejemplo: Se consideran dos grupos de encuestados paradiferentes anuncios publicitarios que reflejan diferentesmensajes, uno informativo y otro emocional. Se pide a cadagrupo valorar sobre la pretensin del mensaje en una escala

de 1(pobre) a 10 (excelente). Los dos mensajes representanun factorcon dos niveleso tratamientos(informativo vs.emocional)



MANOVA


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177

El contraste t

Un factor es una variable independiente no mtrica,manipulada u observada experimentalmente, que puede ser

representada en varias categoras o niveles. En el ejemplo, eltratamiento es el efecto de la pretensin emocional frente a lainformativa.

Se utiliza el estadstico:

media 1 - media 2Estadstico t =

error estndar de la dif. de medias



MANOVA


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178

El contraste t

Si el valor de t es suficientemente grande, entoncespodemos decir, estadsticamente hablando, que la diferencia

no se debe a la variabilidad del muestreo, sino que representauna diferencia real.

Esto se hace comparando el valor del estadstico t con elvalor crtico del estadstico.



MANOVA


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179

El ANOVA

Si estuviramos interesados en evaluar tres mensajespublicitarios en vez de dos, podramos estar tentados a

realizar contrastes t por separado.



MANOVA


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180

El ANOVA


realizar contrastes t por separado. Pero, los contrastes t mltiples aumentan el error de Tipo I.



MANOVA


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181

El ANOVA


realizar contrastes t por separado. Pero, los contrastes t mltiples aumentan el error de Tipo I.

Se debe utilizar el ANOVA.

ANOVA es empleado para determinar la probabilidad de quelas diferencias en las medias entre varios grupos sean debidasal error muestral.



MANOVA


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182

El ANOVA

Se comparan dos clculos independientes de la varianza parala variable:



MANOVA


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El ANOVA


Varianza dentrode los grupos (cuadrado medio del error),basado en desviaciones individuales respecto a las medias delos grupos respectivos, no incluye diferencias entre las medias.



MANOVA


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184

El ANOVA


Varianza dentrode los grupos (cuadrado medio del error),basado en desviaciones individuales respecto a las medias delos grupos respectivos, no incluye diferencias entre las medias.

Varianza entre los grupos (cuadrado medio de lostratamientos), basado en las desviaciones de las medias de losgrupos respecto a la media global de todas las puntuaciones.



MANOVA


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185

El ANOVA

CMTr

Estadstico F =CME



MANOVA


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En el contraste t y en el ANOVA la hiptesis nula contrastadaes la igualdad de las medias de las variablesdependientes.



MANOVA


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187

En el contraste t y en el ANOVA la hiptesis nula contrastadaes la igualdad de las medias de las variablesdependientes.

En el MANOVA, la hiptesis nula contrastada es la igualdadde vectores de medias de variables dependientesmltiples entre los grupos.

s s u t a a te de a a a a ( O )


MANOVA


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ANOVAH0: 1= 2= = k

Las medias de todos los grupos son iguales.

( )


MANOVA


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189

ANOVAH0: 1= 2= = k

Las medias de todos los grupos son iguales.

MANOVA

11 12 1k21 22 2k

H0: = = =p1 p2 pk

Los vectores de las medias de todos los grupos son iguales.

( )


MANOVA


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El caso de dos grupos: T de Hotelling

( )

2


MANOVA


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191


En el ejemplo, se quiere conocer la intencin de compragenerada por los dos mensajes.

( )

2

2


MANOVA


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192



Si empleamos anlisis univariante se haran contrastes tseparados tanto para la pretensin de los mensajes comopara la intencin de compra generada por los mensajes.

( )

2


MANOVA


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193




Pero las medidas no estn relacionadas.

( )

2


MANOVA


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194




Pero las medidas no estn relacionadas.

Podemos usar la T de Hotelling, una forma especializadadel MANOVA que es una extensin directa del contraste tunivariante.

( )

2

2


MANOVA


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195


Proporciona un contraste estadstico del valor tericoformado por las variables dependientes que produce la

mayor diferencia entre los grupos.

Este contraste controla el aumento de la tasa del error deTipo I proporcionando un nico contraste general paracontrastar las diferencias de los grupos entre todas las

variables dependientes para un nivel de significacin alfadado.

2


MANOVA


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196


Se considera la ecuacin de un valor terico de las variablesdependientes:

C = W1Y1+ W2Y2+ + WnYn

donde

C = puntuacin del valor terico o de la combinacin para

un encuestado.Wi= ponderacin para la variable dependiente i.

Yi= variable dependiente i.

2


MANOVA


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197


Para cualquier conjunto de ponderaciones podrancalcularse puntuaciones para cada encuestado.

La T de Hotelling encuentra un conjunto de ponderacionesque generan el valor mximo del estadstico t para esteconjunto de datos.

El estadstico t mximo que se obtiene es elevado alcuadrado.

T sigue una distribucin F con p y N1+N2-2-1 grados delibertad, bajo la hiptesis nula de que no existen efectos deltratamiento

2

2

2


MANOVA


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198

El caso de k grupos: MANOVA

Es una extensin del procedimiento de la T de Hotelling.

Se idean ponderaciones de las variables dependientes paraelaborar una puntuacin del valor terico para cadaencuestado.

Se encuentra el conjunto de ponderaciones que maximizanel valor de la F del ANOVA calculado sobre las puntuacionesde los valores tericos para todos los grupos.

2

Cundo utilizar el MANOVA?

MANOVA


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199


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MANOVA


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201

Consideraremos su empleo desde las perspectivas deeficiencia y control de la precisin estadstica mientras nosproporcione la manera apropiada para contrastar cuestiones

multivariantes: Control del porcentaje de errores experimentales.

Diferencias entre una combinacin de variablesdependientes.


MANOVA


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202

Control del porcentaje de errores experimentales

El uso de ANOVAs univariantes separados puede crear un problemacuando se intenta controlar la tasa de errores experimentales.

Por ejemplo, se analiza una serie de cinco variables dependientesutilizando ANOVASs separados, cada uno usa 0.05 como significacin. Sino hay diferencias reales esperamos que no se observe ningn efecto dealguna variable dependiente el 5% de las veces.

Pero en cinco contrastes separados, la probabilidad de error de Tipo I se

situara entre 0.05 (si todas las variables dependientes estnperfectamente correlacionadas) y 1-0.95 (si todas las variables no estncorrelacionadas). Por ello los contrastes separados no permiten tenercontrol del error de Tipo I.

5


MANOVA


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203

Diferencias entre una combinacin de variablesdependientes

Una serie de contrastes univariantes ANOVA tampoco tiene en cuenta la

posibilidad de que alguna combinacin lineal de las variablesdependientes puede proporcionar evidencia de la existencia de algunadiferencia global entre los grupos, que puede no detectarse si seexamina cada variable dependiente separadamente.

Los contrastes individuales ignoran las correlaciones entre las variables

dpendientes y por ello no emplean toda la informacin disponible paravalorar las diferencias entre grupos.

El MANOVA puede detectar diferencias combinadas que no se encuentrancon anlisis univariantes.

MANOVA


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204

MANOVA


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205

Valor de Fcrtico: F, p, N1+ N221

p (N1+ N22)Valor de T crtico: x Fcritico

N1+ N2p1

Si T es mayor que Tcritico rechazamos H0

2

22


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206

Correlacin Cannica

Qu es la correlacin cannica?

Correlacin Cannica

analisis multivariante (presentación)

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