analisis model pandemik dan prepandemik avian … · analisis model pandemik dan prepandemik avian...
TRANSCRIPT
ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK AVIAN
INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA
PANDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ABSTRAK
PANDI. Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO.
Flu burung merupakan penyakit yang diakibatkan virus influenza subtipe H5N1 yang
ditularkan melalui unggas atau manusia. Proses penularan flu burung pada populasi manusia
dijelaskan pada model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas
mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap unggas bebas penyakit yang bersifat saddle dan titik
tetap endemik yang bersifat stabil. Pada titik tetap endemik, flu burung menginfeksi unggas dan
mampu menular pada manusia saat bilangan reproduksi bernilai lebih besar dari satu. Model
prepandemik mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu
manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan terjadi pada kondisi bilangan reproduksi flu
manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu manusia terjadi saat masing-masing rasio
invasi flu manusia, invasi pandemik dan bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu burung terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik
bernilai kurang dari satu dan bilangan reproduksi flu burung bernilai lebih besar dari satu.
Kata kunci: model unggas, model prepandemik, model pandemik, bilangan reproduksi, titik
tetap bebas penyakit, titik tetap endemik, titik tetap flu burung dominan, titik tetap
flu manusia dominan.
ABSTRACT
PANDI. Model Analysis of Pandemic and Prepandemic Avian Influenza in the Human
Population. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO.
Avian influenza is a viral disease caused by a virus within the subtype of H5N1 in which its
transmission caused by birds or human. In human population, transmission process of avian influenza is discussed in the model called: bird model, prepandemic model and pandemic model.
The bird model has two equlibrium points. These are saddle disease free equilibrium and stable
endemic equilibrium. The endemic equlibrium occurred when the reproduction number of avian
influenza is greater than one. In the endemic equilibrium, avian influenza may infect both bird and
human. The prepandemic model has two equilibrium points. These are avian influenza dominant
equilibrium and human influenza dominant equilibrium. The human influenza dominant
equilibrium occurred when the reproduction number of human influenza is greater than one. The
pandemic model has one pandemic equlibrium. The human influenza pandemic occurred when the
ratio of human influenza invasion, pandemic invasion and the reproduction number of human
influenza is greater than one, respectively. The avian influenza pandemic occurred when the ratio
of human influenza invasion, pandemic invasion is less than one and the reproduction number of avian influenza greater than one, respectively.
Keywords: birds model, prepandemic model, pandemic model, reproduction number, disease free
equilibrium, stable endemic equilibrium, avian influenza dominant equilibrium,
human influenza dominant equilibrium.
ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK
AVIAN INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA
PANDI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza
pada Populasi Manusia
Nama : Pandi
NIM : G54070073
Menyetujui
Tanggal Lulus:
Pembimbing I
Dr. Paian Sianturi
NIP. 196202121990111001
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 19620305 198703 1 001
Pembimbing II
Drs. Ali Kusnanto, M. Si.
NIP. 196508201990031001
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Mengetahui:
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Mengetahui:
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP: 19650505 198903 2 004
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis
sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah
ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Keluarga tercinta: Nanang Safrudin, Tihanah dan Ramanti Hutama selaku kedua orang
tua dan kakak yang selalu menasehati, mendoakan dan memotivasiku menjadi lebih baik.
2. Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran
dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik
dan saran, motivasi serta doanya, 4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran
dan doanya,
5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan,
6. Staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Mas
Deni, dan Mas Hery atas semangat dan doanya,
7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Fani, Aswin, Eka, Ali, Lazuardi,
Imam, Aqil, Ihsan, Fajar, Rofi, Denda, Rizqy, Dian, Wahyu, Ruhiyat, Yogi, Lugina,
Sholih, Rochim, Hendro, Saeful, Tendy, Yanti, Ririh, Indin, Devi, Wenti, Yuyun, Devina,
Lilis, Sri, Rachma, Mutia, Lembayung, Della, Tyas, Nurisma, Dora, Ucu, dan teman-
teman yang lainnya.
8. Teman-teman yang membantu dalam penyusunan karya tulis ini yaitu Mutyarini, Izzudin, Irwan, Bram, Chastro, Mega, Dane, Romanto dan teman-teman lainnya.
9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2013
Pandi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Juni 1989 dari pasangan Bapak Nanang Safrudin
dan Ibu Tihanah. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara, tahun 2001 penulis lulus
dari SD Negeri 09 Lubang Buaya, tahun 2004 penulis lulus dari SMP Negeri 81 Lubang Buaya
Jakarta Timur, tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 48 Pinang Ranti Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) IPB. Selama masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB)
penulis mendapatkan juara 1 futsal dalam acara TPB CUP.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi pengajar privat mata kuliah Pengantar
Matematika dan Kalkulus tahun akademik 2010-2012. Penulis aktif dalam organisasi
kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang
dikenal dengan GUMATIKA (Gugus MahasiswaMatematika) sebagai Staf Divisi Sosial dan
Komunikasi (Coffilatae) tahun 2008-2009 dan pada tahun 20011-2012 menjadi panitia Olimpiade
Mahasiswa IPB (OMI) untuk cabang olahraga tenis meja. Penulis pernah menjadi panitia Masa
Perkenalan Departemen untuk mahasiswa angkatan 45. Penulis juga pernah menjadi panitia Pesta
Sains tahun 2008 dan 2009. Penulis juga aktif di berbagai acara kemahasiswaan lainnya.
1
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL……………............................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR……..………………………………………………………………… ix
DAFTAR LAMPIRAN….…………………………………………………………………. x
I PENDAHULUAN…...………………………………………………………………. 1
1.1 Latar Belakang……..……………………………...…………………………….. 1
1.2 Tujuan…....………………………………………….…………………………… 1 1.3 Sistematika Penulisan……...…………………...………………………………... 1
II LANDASAN TEORI…...…………………………………………………………… 2
2.1 Sistem Persamaan Diferensial…………………………………………………… 2
2.2 Titik Tetap…...…………………………………………………………………... 2
2.3 Pelinearan………………………………………………………………………... 2
2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen…………………………………………………… 2
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap…….……………………………………………. 2
2.6 Klasifikasi Titik Tetap…………………………………………………………… 3
III PEMODELAN…..…………………………………………………………………... 4
3.1 Model Unggas………………………………………………………………….... 4
3.2 Model Prepandemik……..………………………………………………………. 4 3.3 Model Pandemik…………………………………………………………………. 6
IV PEMBAHASAN…..………………………………………………………………… 8
4.1 Analisis Model Unggas………...…………….……………………...…………... 8
4.2 Analisis Model Prepandemik…..…………………………………………...…… 9
4.3 Analisis Model Pandemik………………………………………………………... 10
V
SIMULASI………...………………………………………………………………….
12
5.1 Simulasi Model Unggas...…………………………………………...…………… 12 5.1.1 Parameter Model Unggas ………………………………..……………...… 12
5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas .......………………...…………………. 12
5.2 Simulasi Model Prepandemik………………………………………..…………... 13
5.2.1 Parameter Model Prepandemik……………………...………………….…. 13
5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik………………………………… 13
5.3 Simulasi Model Pandemik……………………………..………………………… 15
5.3.1 Parameter Model Pandemik………...………………...…………………… 15
5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik………………………...………...... 15
VI SIMPULAN …..……………………………………………………………………... 18
DAFTAR PUSTAKA…. …………………………………………………………………... 18
LAMPIRAN …..……………………………………………………………………………. 19
viii
2
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Daftar parameter dan variabel bebas model unggas........................................................ 4
2 Daftar parameter dan variabel bebas model prepandemik............................................... 4
3 Daftar parameter dan variabel bebas model pandemik……………………………….... 6
4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas…………………. 10
5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik………………………………................ 11
6 Daftar nilai parameter……………………………………………………..……………. 12
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram model unggas………………...………………..…………………………..….. 4
2 Diagram model prepandemik………………………………………………………...… 4
3 Diagram model pandemik……………………………………………………………… 6
4 Dinamika populasi unggas rentan………….. ………… ……………………………… 12
5 Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung ............................................................. 13
6 Dinamika populasi manusia rentan………………………….…………………….…… 14
7 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia………….…………….……….…... 14
8 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia………….………………….…... 15
9 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ........................................................... 15
10 Dinamika populasi manusia rentan …………………….………..…………………….. 16
11 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia …………………..…………...….... 16
12 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia .................................................... 17
13 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ........................................................... 17
14 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan............... 17
15 Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung........................................... 17
ix
3
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Titik tetap model unggas …………………................................................................... 20
2
Matriks Jacobi model unggas dengan .................................................... 20
3
Nilai eigen dari …...…………………………………………….……..…... 20
4 Jenis titik tetap untuk titik tetap ……………………………………………... 21
5
Matriks Jacobi model unggas, ...................................... 24
6 Nilai eigen ……………………...…………….…………... 24
7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6………………...…..……… 24
8
Nilai eigen model unggas untuk titik tetap …………….....… 25
9 Nilai eigen model unggas titik tetap ……….……. 25
10 Titik tetap model prepandemik …………………….………………………………… 25
11 Matriks Jacobi model prepandemik…………………………………………...……… 26
12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap
......................................................................
26
13
Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua………………………….. 26
14
Nilai eigen dari dari ………………………....…….……... 27
15 Jenis titik tetap untuk titk tetap …………………………….... 27
16
Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6……………..…………….. 30
17
Nilai eigen dari ……………………………….………… 31
18
Nilai eigen dari ………………….……….. 32
19
Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6.……………....…………..….. 33
20
Matriks Jacobi model pandemik…………………………………………………… 33
21
Nilai eigen dari dengan , ,
, , , …………...
34
22
Nilai eigen dengan , , , , , …………………………………………….…………………………………
34
x
4
23
Nilai eigen dengan , , ,
, , ………………………………………….…...
35
24
Nilai eigen dengan , , , , , …………………………………………………………………………..
35
25
Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6……..…………….… 36
26
Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6………….....……… 36
27
Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6……....…….. 36
28
Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6…….………..…..…... 36
29
Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6......................... 37
30
Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia ……….……………… 37
31
Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung ……… 37
32
Banyaknya manusia rentan flu manusia……………………………………...……….. 37
33
Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia……...…………………………….……… 37
34
Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia…………......…………………………. 38
35
Total populasi unggas ……..…………………………………………….…………… 38
36
Laju populasi total unggas............................................................................................. 38
37
Total populasi manusia……………………………………………………………………….……………………. 38
38
Laju populasi total manusia……………………………………………………………………………………. 38
39
Banyaknya unggas rentan flu burung…………………………………………………………….…………. 38
40
Banyaknya unggas terinfeksi flu burung…………………………………………………………………… 39
41
Banyaknya manusia rentan flu burung……………………………………………………………………… 39
42
Banyaknya manusia terinfeksi flu burung……………….………………………….………….. 39
43
Total populasi manusia saat flu burung dominan......................................................... 39
44
Dinamika populasi model unggas …………………..……...………………………… 40
45
Dinamika populasi model prepandemik …………………..………………..………… 41
46
Dinamika populasi model pandemik …………... ……..………………………..…….
43
xi
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada tahun 2003 beberapa negara di dunia
dirugikan dengan kematian hampir 10 juta
unggas yang dimusnahkan karena penyakit
avian influenza. Avian influenza atau yang
lebih dikenal flu burung menyerang unggas
liar (wild birds) dan unggas ternak (domestic
birds) dan mampu menular pada manusia.
Penyakit ini telah menginfeksi lebih dari 500
orang dan hampir 60% yang terinfeksi meninggal. (Alexander dan Capua 2007)
Flu burung adalah penyakit yang
diakibatkan virus influenza A subtitipe H5N1
yang ditularkan oleh hewan (zoonotic) yaitu
burung. Virus H5N1 mempunyai rumus kimia
hampir sama dengan penyakit flu manusia
H1N1. Virus flu burung awalnya hanya
menular pada populasi unggas seperti virus flu
manusia yang menular pada populasi manusia.
Interaksi virus flu burung dan flu manusia
membuat virus flu burung mampu
menginfeksi manusia hingga meninggal. Korban manusia meninggal yang meningkat
akibat flu burung membuat potensi terjadinya
pandemik flu burung semakin besar.
Pandemik flu burung dapat menyebabkan
kematian dalam jumlah besar tidak hanya
unggas namun juga manusia. Kemunculan
pandemik flu burung pada populasi manusia
dilihat berdasarkan jumlah invasi flu burung
dari tahun ke tahun. Reproduksi invasi yang
terjadi mendorong para ilmuwan melakukan
prediksi jumlah kasus flu burung untuk melihat kemungkinan terjadinya pandemik flu
burung pada manusia.
Studi tentang pandemik flu burung
diwujudkan dalam sebuah model matematika
yang memodelkan proses transmisi virus dari
unggas ternak menuju manusia dan transmisi
manusia ke manusia. Hasil prediksi model
dapat digunakan untuk melihat pertumbuhan
virus flu burung setiap tahun dengan melihat
jumlah unggas yang mati. Data demografi dan
data epidemik burung dan manusia menjadi
parameter dari model ini. Persamaan differensial digunakan sebagai alat untuk
mempelajari transmisi flu burung yang
menularkan unggas dan manusia untuk
menjelaskan dinamika populasi virus secara
tahunan.
Unggas yang rentan flu burung adalah
unggas liar yang hidup di alam bebas (wild
birds) dengan sifat transmisi lemah (Low
Pathogen Avian Influenza/LPAI). Unggas
ternak (domestic birds) dan manusia juga
rentan terhadap flu burung dengan transmisi
bersifat kuat (High Pathogen Avian
Influenza/HPAI). Dalam tugas akhir ini
pertumbuhan virus flu burung yang dibahas
dibatasi pada interaksi yang terjadi dalam
populasi unggas ternak (domestic birds) dan
populasi manusia.
Pada tugas akhir ini akan dianalisis
kemungkinan terjadinya pandemik flu burung atau flu manusia dalam populasi manusia.
Model yang dipakai dibagi dalam tiga model
yaitu model unggas, model prepandemik dan
model pandemik. Model unggas memodelkan
jumlah unggas yang sehat dan unggas yang
terinfeksi flu burung. Model prepandemik
memodelkan pergerakan virus flu burung
menginfeksi populasi manusia. Pada model
prepandemik dibahas juga keterkaitan
pandemik flu manusia terhadap kemungkinan
pandemik flu burung. Model pandemik
memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau pandemik flu
manusia.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah untuk menganalisis kemungkinan
munculnya pandemik flu burung atau
pandemik flu manusia dalam populasi
manusia
1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar
belakang, tujuan, dan sistematika dari
penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisikan
landasan teori yang menjadi konsep dasar
dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga
adalah pemodelan. Pada bab ini dibahas
diagram keterkaitan tiga model yakni model
unggas, model prepandemik dan model
pandemik. Bab empat yaitu analisis model
berupa pencarian titik tetap dan jenis titik
tetap. Bab lima yaitu simulasi model dengan
variasi parameter yang digunakan dan gambar-gambar dinamika populasi ketiga
model. Simpulan karya ilmiah ini akan
dibahas pada bab enam.
2
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Suatu sistem persamaan diferensial orde 1
dinyatakan sebagai berikut.
(2.1)
dengan dan adalah fungsi dari
waktu t. Jika adalah suatu fungsi matriks
A berukuran n n dengan koefisien konstan
dan dinyatakan sebagai vektor konstan b
maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem
persamaan diferensial linear sebagai berikut
, x(0)=x0 (2.2)
(Farlow 1994)
2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan persamaan diferensial
sebagai berikut.
(2.3)
Titik disebut titik tetap jika memenuhi
. Titik tetap disebut juga titik kritis
atau titik keseimbangan.
(Tu 1994)
2.3 Pelinearan
Diketahui
(2.4)
andaikan adalah titik tetap dari
Misalkan, dan , maka
didapatkan
dalam bentuk matriks
.
Matriks disebut matriks
Jacobi pada titik tetap . Karena
, maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear
(2.5)
(Strogatz 1994)
2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Misalkan A matriks berukuran n n, maka
suatu vektor tak nol di Rn disebut vektor eigen
dari A jika suatu skalar λ berlaku
Ax = λx. (2.6)
Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk
mencari nilai eigen dari matriks yang
berukuran n n maka persamaan (2.6) dapat
dituliskan kembali sebagai berikut
(A – λI) x = 0 (2.7)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan
(2.7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya
jika
det (A – λI) = |A – λI| = 0 (2.8)
Persamaan (2.8) disebut persamaan
karakteristikdari matriks A.
(Anton 1995)
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan suatu SPD memiliki bentuk
seperti
(2.9)
3
Matriks koefisien dari (2.9) adalah
dengan persamaan karakteristik det (A – λI) =
0, I adalah matriks identitas dan adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya
menjadi
sehingga dperoleh persamaan
2 0
dengan:
.
sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks A
yaitu
2
1,2
4
2
(2.10)
2.6 Klasifikasi Titik Tetap
Persamaan karakterisitk 2 0
dapat diubah dalam bentuk
didapat ,
Untuk Δ < 0,
Kedua nilai eigen mempunyai akar real
yang berbeda tanda, maka titik tetap
bersifat titik pelana (saddle point).
Untuk Δ > 0,
nilai eigen berupa bilangan real dengan
tanda yang sama maka titik tetapnya berupa nodes atau bilangan kompleks
conjugate titik tetapnya berupa spiral atau
center.
titik tetapnya berupa nodes
o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat
simpul tidak stabil.
o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat
simpul stabil.
, titik tetapnya berupa spiral
o Jika τ > 0 maka titik tetap bersifat
spiral tidak stabil.
o Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat
spiral stabil. o Jika τ = 0 maka titik tetap bersifat
center.
persamaan adalah garis batas antara simpul dengan spiral. Jika
kedua nilai eigen bernilai negatif maka
titik tetap tersebut bersifat simpul
sejati.
Untuk Δ = 0
setidaknya ada satu nilai eigen bernilai nol
maka titik tersebut disebut sebagai titik
tetap tak terisolasi.
(Strogatz 1994)
4
III PEMODELAN
Proses penularan flu burung pada burung
dan berpandemiknya pada populasi manusia
melibatkan tiga model. Tiga model tersebut
adalah model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan
jumlah unggas yang sehat dan unggas yang
terinfeksi flu burung. Model prepandemik
memodelkan pergerakan virus flu burung dan
flu manusia menginfeksi populasi manusia.
Model pandemik memodelkan kemungkinan
munculnya pandemik flu burung atau
pandemik flu manusia dalam populasi
manusia. Model yang dibahas dalam bab ini
berdasarkan jurnal dari Martcheva (2011).
3.1 Model Unggas
Y(t)
B(t)
βb
Vb Gambar 1 Diagram model unggas.
Tabel 1 Daftar parameter dan kompartemen
model unggas
Parameter Arti
laju kelahiran dalam
populasi unggas
µb tingkat kematian alami
unggas
βb koefisien transmisi flu
burung pada unggas
vb tingkat kematian burung
akibat flu burung
Nama
Kompartemen
Arti
banyaknya unggas rentan
banyaknya unggas
terinfeksi flu burung
total populasi unggas
Laju perubahan jumlah unggas rentan
terinfeksi flu burung terhadap waktu t
dipengaruhi rata-rata kelahiran alami burung
dalam populasi dikurangi unggas yang
terinfeksi flu burung dengan koefisien
transmisi βb dan tingkat kematian burung mati
alami µb. Laju perubahan jumlah unggas terinfeksi
flu burung terhadap waktu t dipengaruhi
banyaknya unggas terinfeksi flu burung
dikurangi tingkat kematian alami unggas dan
tingkat kematian akibat flu burung . Garis
terang/jelas tanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan.
Persamaan model unggas dijelaskan dalam
persamaan (3.1)
(3.1)
Total populasi unggas adalah
(3.1.1)
Laju populasi total unggas dibawah didapat
dari jumlah persamaan (3.1)
(3.1.2)
3.2 Model Prepandemik
Y(t)
B(t)
I(t)
R(t)
S(t)
Ib(t) w
β
α
βb
Vb
v βY
βY
Gambar 2 Diagram model prepandemik.
Tabel 2 Daftar parameter dan kompartemen
model prepandemik
Parameter Arti
laju kelahiran dalam populasi
manusia
µ tingkat kematian alami
manusia β koefisien transmisi flu
manusia
βY koefisien transmisi flu burung
pada manusia
α lama masa penyembuhan
manusia terinfeksi flu
manusia
v tingkat kematian manusia
akibat flu burung
w proporsi berkurangnya
imunitas setelah terkena flu manusia
5
Nama Kompartemen
Arti
banyaknya manusia
rentan
banyaknya manusia
terinfeksi flu manusia
banyaknya manusia
sembuh dari flu manusia
banyaknya manusia
terinfeksi flu burung
total populasi manusia
Unggas yang terinfeksi flu burung
berinteraksi dengan manusia sehingga
manusia terinfeksi flu burung. Flu burung yang terdapat pada populasi manusia
membuat manusia juga rentan terhadap flu
burung. Hal ini menggambarkan keterlibatan
model unggas dalam model prepandemik.
Pada Gambar 2 terdapat garis terang/jelas
bertanda panah merupakan garis yang
menyatakan transmisi/penularan. Garis putus-
putus bertanda panah adalah garis yang
menyatakan pengaruh atau influence.
Jumlah manusia terinfeksi flu burung yang
ditularkan unggas disimbolkan Ib(t) dengan nilai koefisien transmisi sebesar βY dan tingkat
kematian sebesar v. Manusia rentan terinfeksi
flu manusia sebesar I(t) dengan koefisien
transmisi sebesar β dan sembuh pada masa
penyembuhan sebesar α. Manusia yang
sembuh dari flu manusia yaitu R(t) dapat
terinfeksi flu burung yang ditularkan unggas
dengan koefisien transmisi sebesar βY dan
tingkat kematian sebesar v.
Model prepandemik terdapat pada
persamaan (3.2)
Laju perubahan jumlah manusia rentan
terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata
kelahiran manusia dalam populasi sebesar
ditambah jumlah manusia rentan dikurangi
jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia
dan manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi banyaknya manusia yang mati
alami. Laju perubahan jumlah manusia
terinfeksi flu manusia dalam waktu t
dipengaruhi oleh banyak manusia rentan flu
manusia dikurangi total jumlah manusia
terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian
alami manusia.
Laju perubahan manusia sembuh dari flu
manusia dalam waktu t dipengaruhi oleh
banyak manusia terinfeksi flu manusia
dikurangi orang sembuh namun kembali
terinfeksi flu burung dikurangi tingkat
kematian alami manusia dan manusia rentan.
Laju perubahan manusia terinfeksi flu burung
pada waktu t dipengaruhi oleh total jumlah manusia terinfeksi flu burung dan manusia
sembuh terinfeksi flu burung dikurangi tingkat
kematian alami manusia dan tingkat kematian
manusia terinfeksi flu burung.
Total populasi manusia dalam model
prepandemik adalah
(3.2.1)
Laju populasi total manusia terdapat pada persamaan (3.2.2)
(3.2.2)
6
3.3 Model Pandemik
Y(t)
B(t)
I(t)Z(t)
R(t)
S(t)
Ib(t) w
β
α
βb
Vb
v βY
βY
βZ
βZ
vZ
J(t)βJ βJ
VJ
ρ
Gambar 3 Diagram model pandemik.
Daftar parameter dan kompartemen pada model pandemik sebagian telah dijelaskan
pada Tabel 2.
Tabel 3 Daftar parameter dan kompartemen
model pandemik Parameter Arti
βJ koefisien transmisi
terinfeksi flu burung dan flu
manusia secara bersamaan
ρ proporsi mutasi genetik flu
burung
vZ tingkat kematian manusia
akibat pandemik flu burung
βZ koefisien transmisi
pandemik flu burung vJ tingkat kematian manusia
akibat terinfeksi flu burung
dan flu manusia bersamaan
Nama
Kompartemen
Arti
Z(t) banyaknya manusia
terinfeksi pandemik flu
burung
J(t) banyaknya manusia
terinfeksi flu burung dan flu
manusia secara bersamaan
Model pandemik ditandai munculnya
pandemik flu burung menyerang populasi
manusia. Jumlah manusia terinfeksi pandemik
flu burung disimbolkan dengan Z(t).
Jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan disimbolkan
J(t) dengan koefisien transmisi sebesar βJ.
Tingkat kematian manusia yang terinfeksi flu
burung dan flu manusia bersamaan
disimbolkan dengan vj. Pada gambar 3 garis
terang/jelas bertanda panah merupakan garis
yang menyatakan transmisi/penularan. Garis
putus-putus bertanda panah adalah garis yang
menyatakan pengaruh atau influence. Manusia
yang rentan berpotensi terinfeksi pandemik flu
burung. dengan koefisien transmisi pandemik
flu burung sebesar βZ dan tingkat kematian akibat flu burung sebesar vZ..
Virus flu burung mengalami rata-rata
mutasi sebesar ρ sehingga dapat menularkan
sesama manusia. Gambar 3 menunjukkan
manusia rentan, manusia yang baru sembuh
dari flu manusia dan manusia terinfeksi flu
burung menjadi objek paling rentan terinfeksi
pandemik flu burung. Flu burung dan flu
manusia hidup berdampingan (coexist)
mendorong terjadi pandemik.
7
Model pandemik dijelaskan dalam persamaan
(3.3)
Laju perubahan jumlah manusia rentan
terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata
kelahiran manusia ditambah jumlah manusia
rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu
manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi
pandemik flu burung dan tingkat kematian
alami. Laju perubahan jumlah manusia
terinfeksi flu manusia terhadap waktu t
dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan
flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi
flu manusia dan flu burung secara bersamaan
dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan
tingkat kematian alami.
Laju perubahan jumlah manusia yang
sembuh dari flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia
terinfeksi flu manusia dikurangi manusia
sembuh namun kembali terinfeksi flu burung
dan pandemik flu burung dikurangi manusia
rentan dan tingkat kematian manusia alami.
Laju perubahan jumlah penderita flu burung
pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya
manusia yang terinfeksi flu burung dan
manusia yang telah sembuh namun terinfeksi
flu burung dikurangi tingkat kematian alami
dan tingkat kematian akibat flu burung. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi
flu manusia dan flu burung secara bersamaan
terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya
manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung
secara bersamaan dikurangi tingkat kematian
alami manusia dan kematian akibat terinfeksi
keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya
kedua penyakit. Laju perubahan jumlah
manusia yang terinfeksi pandemik flu burung
terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu
tunda yang diperlukan agar flu manusia dan
flu burung menginfeksi manusia secara
bersamaan ditambah manusia terinfeksi
pandemik flu burung ditambah manusia yang
sembuh namun terinfeksi pandemik flu
burung dikurangi tingkat kematian alami dan
tingkat kematian akibat terinfeksi pandemik
flu burung.
8
IV PEMBAHASAN
Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan
reproduksi virus pada setiap model akan
dibahas dalam bab ini. Model unggas
memodelkan jumlah populasi unggas yang sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan
reproduksi flu burung pada populasi unggas.
Model prepandemik memodelkan pergerakan
virus flu burung dan flu manusia dalam
populasi manusia. Model ini juga
memodelkan reproduksi flu manusia dan
reproduksi invasi flu manusia. Model
pandemik memodelkan kemungkinan
munculnya pandemik flu burung atau flu
manusia pada populasi manusia. Model
pandemik juga memodelkan reproduksi pandemik, reproduksi invasi pandemik dan
invasi pandemik flu manusia.
Invasi pandemik menghasilkan dua
kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu
burung dan pandemik flu manusia. Dua
kemungkinan tersebut melibatkan invasi
setiap model dengan kondisi tertentu.
4.1 Analisis Model Unggas
Analisis pada model ini mengacu pada
persamaan (3.1). Reproduksi flu burung pada
model ini terjadi saat flu burung menginfeksi
populasi unggas namun belum menginfeksi
manusia. Pada persamaan (3.1) terdapat dua
persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat
sama dengan nol untuk mendapatkan titik tetapnya. Berdasarkan persamaan (3.1)
didapatkan dua titik tetap secara berturut-
turut yaitu
(Lampiran 1). Titik tetap kedua biasa disebut
titik tetap endemik. Berdasarkan persamaan (3.1) dicari
matriks Jacobi, misalkan saja yaitu
(Lampiran 2). Matriks Jacobi titik tetap
pertama adalah
. Nilai
eigen untuk titik tetap pertama adalah
dan
(Lampiran 4).
Misalkan , untuk titik
tetap berupa saddle node jika nilai eigennya
real dan berbeda tanda.
Jika dan maka
(Lampiran 4 bagian 4.1),
(Lampiran 4 bagian
4.2).
Jika dan maka
(Lampiran 4 bagian 4.3),
(Lampiran 4 bagian
4.4).
Untuk nilai eigennya real bertanda
sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya
berupa spiral. Nilai eigen persamaan (3.1) real
tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya
bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika
dan maka
(Lampiran 4 bagian 4.5),
(Lampiran 4 bagian
4.6).
Jika dan maka
(Lampiran 4 bagian 4.7),
(Lampiran 4 bagian
4.8).
Jika nodes stabil maka
(Lampiran 4 bagian 4.9).
Jika nodes tidak stabil maka
(Lampiran 4 bagian
4.10).
Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah
Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat
pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap
untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan
karena nilai eigen yang rumit sehingga
identifikasi hanya dapat dikenali dengan
memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu burung terdapat dalam persamaan (4.1)
berikut.
(4.1)
Pada reproduksi jumlah flu burung nilai
merupakan koefisien transmisi unggas
terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu.
Persamaan merupakan lamanya flu
burung menginfeksi seekor unggas sampai
timbul gejala. merupakan jumlah populasi
unggas.
9
Jumlah unggas rentan dan unggas
terinfeksi flu burung secara berturut-turut
terdapat dalam persamaan (4.2) berikut.
(4.2)
dan biasa disebut titik tetap endemik flu
burung.
4.2 Analisis Model Prepandemik
Pada model ini terdapat reproduksi flu
manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi
flu manusia terdapat pada persamaan (4.3)
berikut.
(4.3)
(Martcheva 2011)
Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β
merupakan nilai koefisien transmisi flu
manusia dalam satu unit waktu. Persamaan
merupakan lamanya flu manusia
menginfeksi manusia sampai timbul gejala.
merupakan jumlah populasi manusia.
Model prepandemik mempunyai titik tetap
bebas penyakit ). Kondisi
bebas penyakit akan berlangsung jika
dan . Berdasarkan penghitungan
ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud
karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi
(Lampiran 25 dan 26). Meningkatnya flu
burung pada unggas tidak serta merta
menginfeksi manusia secara meluas dan
berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi
. Analisis model prepandemik
mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model
prepandemik yang pertama adalah
dan titik tetap kedua
adalah
Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik
tetap pertama terdapat pada Lampiran 12.
Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat
pada Lampiran 13. Nilai eigen model
prepandemik untuk titik tetap
adalah
Misal , untuk titik
tetap berupa saddle
node jika nilai eigennya real dan berbeda
tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda
setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif
diantara semua nilai eigen yang positif.
Misalkan sedangkan .
Jika maka (Lampiran 15,
persamaan 15.1) .
Untuk titik tetap berupa nodes jika nilai eigennya real bertanda sama atau
bilangan kompleks titik tetapnya berupa
spiral. Nilai eigen dan
merupakan nilai eigen real bukan kompleks
sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral.
Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan
memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen.
Jika dan maka
(Lampiran 15 bagian 15.2),
(Lampiran 15 bagian 15.3),
(Lampiran 15 bagian 15.4),
(Lampiran 15 bagian 15.5).
Misal dan maka
(Lampiran 15 bagian 15.6),
(Lampiran 15 bagian 15.7),
(Lampiran 15 bagian 15.8),
(Lampiran 15, bagian 15.9).
Jika nodes stabil
maka (Lampiran 15
bagian 15.10), tidak stabil
maka
(Lampiran 15 bagian
15.11). Nilai eigen model prepandemik untuk titik
tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit
dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap
kedua hanya dapat diidentifikasi dengan
memasukkan nilai parameter. Model
prepandemik mempunyai dua titik tetap
disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik
tersebut adalah titik tetap flu burung dominan
dan titik tetap flu manusia dominan. Titik
10
tetap flu burung dominan ada dan menginfeksi
manusia karena jumlah reproduksi flu burung
lebih besar dari 1, . Titik tetap flu
burung dominan adalah
) dimana dan
didefinisikan oleh persamaan (4.4) berikut.
(4.4)
adalah jumlah manusia yang rentan
terhadap flu burung. adalah jumlah manusia
yang terinfeksi flu burung. Total populasi
manusia pada titik tetap flu burung dominan
dinotasikan oleh . Pada model prepandemik selain titik tetap flu burung
dominan terdapat titik tetap flu manusia
dominan. Titik tetap flu manusia dominan ada
jika . Berikut titik tetap flu manusia
dominan ).
adalah jumlah manusia rentan flu manusia,
adalah jumlah manusia terinfeksi flu
manusia dan adalah jumlah manusia yang
sembuh dari flu manusia.
Adanya titik tetap flu burung dan flu manusia dominan menunjukan flu burung dan
flu manusia tidak saling bergantung sama lain
dalam populasi manusia. Pada model ini
terdapat keadaan flu manusia hidup
berdampingan (coexist) dengan flu burung.
Flu burung tidak berkompetisi dengan flu
manusia untuk menyerang burung rentan
namun mereka berkompetisi menginfeksi
manusia rentan.
Pada kondisi dan flu manusia dan flu burung hidup berdampingan
(coexist) dalam populasi manusia. Reproduksi
invasi flu manusia disimbolkan dengan . yang didefinisikan pada persamaan (4.6)
berikut.
Definisi macam-macam reproduksi dan invasi
model prepandemik dan model unggas
terdapat dalam Tabel 4.
Tabel 4 Daftar reproduksi dan invasi model
prepandemik dan model unggas
Reproduksi dan
invasi
penjelasan
bilangan reproduksi flu
manusia
bilangan reproduksi flu
burung
bilangan reproduksi
invasi flu manusia
4.3 Analisis Model Pandemik Pada model pandemik penyebaran flu
burung ditularkan oleh manusia. Pada model
ini terdapat reproduksi pandemik, invasi
pandemik dan invasi pandemik flu manusia.
Pada model pandemik titik tetap dan nlai
eigen tanpa nilai parameter tidak dibahas
karena nilainya terlalu panjang, rumit dan
sangat kompleks. Titik tetap model pandemik
dengan parameter dapat dilihat pada Lampiran
19. Matriks Jacobi model pandemik dengan
nilai parameter terdapat pada Lampiran 20.
Pada model ini populasi manusia merupakan wadah kompetisi dari tiga invasi
penyakit yaitu invasi flu burung, invasi flu
manusia, dan invasi pandemik. Reproduksi
pandemik terjadi jika dimana
didefinisikan oleh persamaan (4.7) berikut.
(4.7)
Invasi pandemik didefinisikan pada
persamaan (4.8) berikut.
(4.8)
Pada persamaan (4.9) terdapat yang
merupakan jumlah manusia terinfeksi flu
manusia saat terjadi pandemik flu burung.
(4.9)
Invasi pandemik menginvasi flu burung dan flu manusia pada populasi manusia terjadi
pada kondisi . didefinisikan pada
persamaan (4.10) berikut.
(4.10)
11
Pandemik terjadi pada kondisi ,
, dan . Invasi pandemik flu
burung akan menginvasi populasi manusia
jika dimana dengan
jumlah reproduksi dan jumlah reproduksi
invasi tetap lebih besar dari satu.
(4.11)
Pandemik yang muncul akan menjadi
pandemik flu manusia pada kondisi ,
, , dan
Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi
, , , dan
.
Definisi macam-macam reproduksi dan
invasi dalam model pandemik terdapat dalam Tabel 5
Tabel 5 Daftar reproduksi dan invasi model
pandemik
Reproduksi dan
invasi
Penjelasan
bilangan reproduksi
pandemik
bilangan reproduksi
invasi pandemik
bilangan rasio invasi
flu manusia dengan
invasi pandemik
bilangan reproduksi
invasi pandemik pada populasi
manusia
12
V SIMULASI
Pada bab ini dilakukan simulasi yang
dibagi menjadi tiga bagian yaitu simulasi
model unggas, model prepandemik dan model
pandemik. Pada setiap simulasi akan dilakukan identifikasi titik tetap, pemilihan
parameter dan dilihat dinamika populasinya.
Tabel 6 Daftar nilai parameter
Parameter Nilai
unggas per tahun
½ per tahun
0.0099 unggas per tahun
vb 365/10 per tahun
manusia per tahun
1/65 per tahun
0.00122 manusia per tahun
½ per tahun
manusia per tahun
365/6 per tahun
v 365/10 per tahun
vJ 36.5 per tahun
0.00277 manusia per tahun
5.1 Simulasi Model Unggas
Simulasi model unggas mengacu pada
persamaan (3.1) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari
jumlah unggas sehat,
jumlah unggas terinfeksi flu burung,
reproduksi flu burung,
populasi total unggas,
jenis titik tetap dan kestabilannya,
dinamika populasi model unggas.
5.1.1 Parameter Model Unggas Populasi unggas yang digunakan sebagai
nilai parameter sebesar . Angka
ini didapat dari nilai titik tetap pertama persamaan (3.1) saat tidak ada unggas
terinfeksi flu burung . Tingkat kematian
alami unggas sebesar per tahun.
Koefisien transmisi flu burung sebesar
0.0099 per tahun. Tingkat kematian unggas
pada 10 hari adalah per tahun,
asumsikan masa hidup maksimal unggas yang
terifeksi adalah satu tahun. Nilai parameter
lainnya terdapat pada Tabel 6.
5.1.2 Dinamika Populasi Model
Unggas Model unggas memodelkan jumlah
populasi unggas rentan dan unggas yang
terinfeksi flu burung. Pertumbuhan flu burung
dapat dilihat pada persamaan (4.1). Pada
kondisi manusia tertular flu burung akibat berinteraksi dengan burung sakit.
Berdasarkan penghitungan persamaan (4.1)
repoduksi flu burung berjumlah
per tahun (Lampiran 25).
Pada analisis model unggas didapat dua
titik tetap yaitu
(Lampiran 7) dan dan
(Lampiran 7). Jumlah dari titik tetap kedua merupakan nilai total populasi
unggas (3.1.1). Jumlah populasi unggas saat
tidak ada flu burung sebesar . Jumlah unggas rentan saat terjadi flu burung
adalah (Lampiran 39) dan jumlah
unggas terinfeksi flu burung sebesar
(Lampiran 40). Total populasi
unggas ternak sebesar dengan
laju pertumbuhan sebesar (Lampiran
35 dan 36).
Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik
tetap dan adalah ,
titk tetapnya berupa saddle node (Lampiran
8).
Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik tetap
dan
adalah ,
titk tetapnya berupa nodes stabil (Lampiran
9).
Gambar pada model unggas diproyeksikan
oleh persamaan (3.1). Gambar dibagi menjadi
dua yaitu gambar dinamika populasi unggas
rentan dan dinamika populasi unggas
terinfeksi flu burung.
Gambar 4 Dinamika populasi unggas
rentan.
0 2 4 6 8 10 120
100
200
300
400
500
Waktu
Un
gg
as
ren
tan
13
Pada Gambar 4 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah unggas rentan flu burung misalkan
sejumlah 100 yaitu .
Gambar 5 Dinamika populasi unggas
terinfeksi flu burung.
Pada Gambar 5 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah unggas terinfeksi flu burung. Misalkan
dari 100 unggas yang sehat 50 unggas
terserang flu burung yaitu .
5.2 Simulasi Model Prepandemik
Simulasi model prepandemik mengacu
pada persamaan (3.2) sebagai modelnya. Pada
simulasi ini akan dicari
jumlah manusia rentan,
jumlah manusia terinfeksi flu burung,
jumlah manusia terinfeksi flu manusia,
jumlah manusia sembuh dari flu manusia,
reproduksi dan invasi flu manusia,
total populasi manusia,
jenis titik tetap dan kestabilannya,
dinamika populasi model prepandemik.
5.2.1 Parameter Model Prepandemik
Parameter yang digunakan dalam model
prepandemik melibatkan infeksi flu manusia
dan kondisi normal manusia tanpa terserang
penyakit. Lama masa penyembuhan penyakit
flu manusia adalah . Proporsi
hilangnya imunitas tubuh akibat terinfeksi flu
manusia sebesar tahun.
Masa hidup normal seluruh manusia di
dunia berbeda di setiap negara. Pada
parameter diambil umur rata-rata manusia
normal 65 tahun dengan tingkat kematian
alami per tahun. Populasi manusia di
dunia mendekati jumlah 6.5 milyar sehingga
nilai paramater yang diambil dengan
nilai koefisien transmisi flu manusia
. Koefisien transmisi flu burung pada
manusia Tingkat kematian manusia akibat flu
burung pada 10 hari adalah v = 36.5 tahun-1.
Nilai parameter secara jelas terangkum dalam
Tabel 6.
5.2.2 Dinamika Populasi Model
Prepandemik Pada model prepandemik dilakukan
penghitungan reproduksi flu manusia,
reproduksi invasi flu manusia. Reproduksi flu
burung didapat dari persamaan (4.1)
dengan hasil sebesar . Pada
kondisi terdapat titik tetap flu burung dominan ditandai dengan flu burung mampu
menginfeksi manusia. Titik tetap flu burung
dominan disimbolkan dengan
. Masukkan nilai parameter pada titik tetap flu burung dominan sehingga
didapat
. Berdasarkan titik tetap flu burung dominan
didapat
jumlah manusia rentan flu burung,
sebesar (Lampiran 41),
jumlah manusia terinfeksi flu burung,
sebesar (Lampiran 42).
Total populasi manusia saat flu burung
dominan sebesar (Lampiran 43)
Pada model prepandemik, populasi manusia juga rentan terhadap infeksi flu
manusia. Infeksi flu manusia terjadi dengan
adanya titik tetap flu manusia dominan. Titik
tetap flu manusia dominan disimbolkan
. Masukkan nilai
parameter pada titik tetap flu manusia
dominan sehingga didapat
.
Berdasarkan titik tetap flu manusia dominan
didapat
jumlah manusia rentan flu manusia,
sebesar (Lampiran 32),
jumlah manusia terinfeksi flu manusia,
sebesar (Lampiran 33),
jumlah manusia sembuh dari flu manusia,
sebesar (Lampiran 34).
Titik tetap flu manusia dominan terjadi saat
reproduksi flu manusia lebih besar dari 1,
. Berdasarkan penghitungan didapat
nilai (Lampiran 26).
Pada populasi manusia juga terdapat
kondisi bebas penyakit. Kondisi bebas
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
20
40
60
80
100
Waktu
Un
gg
as
teri
nfe
ksi
flu
bu
run
g
14
penyakit stabil jika dan .
Kondisi bebas penyakit adalah kondisi saat flu
burung dan flu manusia tidak menginfeksi
manusia. Kondisi bebas penyakit berada pada
titik bebas penyakit yaitu
. Masukkan nilai
parameter pada titik tetap bebas penyakit
sehingga didapat nilai
Berdasarkan penghitungan sebelumnya diketahui bahwa
titik tetap bebas penyakit tidak stabil.
Total populasi manusia sebesar
(Lampiran 37) dengan laju
pertumbuhan sebesar 0.0135 (Lampiran 38).
Flu burung pada populasi manusia akan
berinteraksi dengan flu manusia dan hidup
berdampingan disebut coexist. Kondisi coexist
terjadi saat dan . Berdasarkan
penghitungan nilai (Lampiran 27).
Dinamika populasi model prepandemik
diproyeksikan oleh persamaan (3.2).
Berdasarkan analisis persamaan (3.2) didapat
dua titik tetap yaitu nilai titik tetap pertama
( ) dan titik tetap
kedua (
). Nilai eigen untuk titik tetap pertama adalah
,
,
,
.
Titik tetap pertama berupa titik sadlle node
(Lampiran 17). Nilai eigen untuk titik tetap kedua adalah
,
,
,
.
Titik tetap kedua berupa nodes stabil
(Lampiran 18).
Gambar pada model prepandemik akan dibagi menjadi empat yaitu gambar dinamika
populasi manusia rentan, dinamika populasi
manusia terinfeksi flu manusia, dinamika
populasi manusia sembuh dari flu manusia
dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu
burung dari unggas.
Gambar 6 Dinamika populasi manusia
rentan.
Pada Gambar 6 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia rentan misalkan sejumlah
200, .
Gambar 7 Dinamika populasi manusia
terinfeksi flu manusia.
Pada Gambar 7 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia terinfeksi flu manusia.
Misalkan dari 200 manusia rentan asumsikan
manusia terinfeksi flu manusia sebesar 25
orang, .
0 2 4 6 8 10 120
50
100
150
200
Waktu
Man
usia
Ren
tan
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100
10
20
30
40
Waktu
Man
usia
Teri
nfe
ksi
Flu
Man
usia
15
Gambar 8 Dinamika populasi manusia
sembuh dari flu manusia.
Pada Gambar 8 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia sembuh dari flu manusia.
Misalkan dari 25 orang sakit flu manusia
semuanya sembuh, .
Gambar 9 Dinamika populasi manusia
terinfeksi flu burung.
Pada Gambar 9 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia terinfeksi flu burung.
Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia
diasumsikan terinfeksi flu burung,
.
5.3 Simulasi Model Pandemik
Simulasi model pandemik mengacu pada
persamaan (3.3) sebagai modelnya. Pada
simulasi ini akan dicari reproduksi dan invasi
pandemik, invasi pandemik flu manusia, jenis
titik tetap dan kestabilannya dan dinamika
populasinya.
5.3.1 Parameter Model Pandemik
Parameter pada model pandemik hampir
sama dengan parameter yang digunakan pada
model prepandemik namun dengan
penambahan parameter , , dan . Nilai
berada pada kisaran 36.5-89 namun dengan
asumsi tingkat kematian manusia akibat flu
burung sama dengan tingkat kematian
manusia akibat pandemik flu burung yaitu
, dimana didapat .
Koefisien transmisi pandemik flu burung
sebesar 0.00277 dengan asumsi tidak ada
mutasi genetik yang terjadi . Koefisien transmisi virus flu burung dan flu manusia
terinfeksi bersamaan . Parameter
sisanya terdapat pada Tabel 6.
5.3.2 Dinamika Populasi Model
Pandemik Pada tahap pandemik terdapat reproduksi
pandemik, . Kondisi coexist pada model
prepandemik memunculkan pandemik.
Pandemik yang muncul terjadi pada kondisi
, , dan . Berdasarkan
penghitungan (Lampiran
28), (Lampiran 29) dan
023 (Lampiran 30). Pada
model prepandemik terdapat titik tetap
dominan flu burung dan flu manusia. Salah satu dari dua dominasi ini akan muncul
sebagai pandemik. Serangan pandemik akan
menghasilkan pandemik flu manusia atau
pandemik flu burung. Pandemik yang terjadi
dalam populasi manusia bergantung pada titik
tetap dominan penyakit pada populasi
manusia. Pandemik flu manusia muncul saat
terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu
manusia dominan dengan kondisi ,
, , dan .
Pandemik flu burung muncul saat terjadi
serangan pandemik pada titik tetap flu burung
dominan dengan kondisi , ,
, dan dimana
.
Berdasarkan penghitungan didapat
, ,
023, (Lampiran 29).
dan .
Hasil simulasi menunjukkan pandemik flu
burung mampu menginvasi dan mengubah
pandemik flu manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia.
Meskipun terjadi pandemik flu burung tetap
ada infeksi flu manusia namun dengan jumlah
kecil yaitu sebesar (Lampiran 31).
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00
10
20
30
40
50
60
Waktu
Man
usia
Sem
bu
hd
ari
Flu
Man
usia
0.00 0.05 0.10 0.15 0.200
50
100
150
200
Waktu
Man
usia
Teri
nfe
ksi
Flu
Bu
run
g
16
Dinamika populasi model pandemik
diproyeksikan oleh persamaan (3.3). Pada
model pandemik didapat tujuh titik tetap. Titik
tetap yang diambil hanya titik tetap dengan
nilai .
Berdasarkan syarat tersebut didapat empat
titik tetap yaitu sebagai berikut.
Titik tetap pertama adalah
(
) jenis titik tetapnya berupa saddle nodes (Lampiran 21).
Titik tetap kedua
( ) dengan jenis titik tetapnya berupa nodes
stabil (Lampiran 22).
Titik tetap ketiga adalah (
) dengan titik tetap berupa saddle nodes (Lampiran
23).
Titik tetap keempat adalah (
) dengan jenis titik tetap berupa nodes tidak stabil
(Lampiran 24). Berdasarkan penghitungan didapat jumlah
manusia terinfeksi pandemik flu burung
sebesar . Nilai eigen setiap titik tetap terdapat pada Lampiran 21, 22, 23 dan
24.
Gambar model pandemik akan dibagi
menjadi 6 terdiri dari:
dinamika populasi manusia rentan,
dinamika populasi manusia terinfeksi flu
manusia,
dinamika populasi manusia sembuh dari
flu manusia ,
dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung,
dinamika populasi manusia yang secara
bersamaan terinfeksi flu burung dan flu
manusia,
dinamika populasi manusia terinfeksi
pandemik flu burung.
Dinamika populasi model pandemik
memiliki kesamaan dengan model
prepandemik perbedaannya pada dinamika
populasi manusia terinfeksi pandemik flu
burung dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung bersama flu manusia.
Gambar 10 Dinamika populasi manusia
rentan.
Pada Gambar 10 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia rentan. Berbeda dari model
prepandemik, jumlah manusia rentan pada
model pandemik dimisalkan sejumlah 600,
.
Gambar 11 Dinamika populasi manusia
terinfeksi flu manusia.
Pada Gambar 11 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Enam
ratus manusia rentan diasumsikan 100 orang
diantaranya terserang flu manusia,
.
0 1 2 3 4 5
0
100
200
300
400
500
600
700
Waktu
Man
usia
ren
tan
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
20
40
60
80
100
Waktu
Man
usia
Ters
era
ng
Flu
Man
usia
17
Gambar 12 Dinamika populasi manusia
sembuh dari flu manusia.
Pada Gambar 12 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia sembuh dari flu manusia.
Asumsikan setengah dari manusia terinfeksi
flu manusia sembuh, .
Gambar 13 Dinamika populasi manusia
terinfeksi flu burung.
Pada Gambar 13 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia terinfeksi flu burung. Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia
dapat terinfeksi flu burung asumsikan sebesar
200, .
Gambar 14 Dinamika populasi manusia
terinfeksi flu burung dan flu
manusia bersamaan.
Pada Gambar 14 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia yang terinfeksi flu burung
dan flu manusia bersamaan. Manusia yang
terserang flu manusia dan flu burung
diasumsikan berjumlah 100, .
Gambar 15 Dinamika populasi manusia
terinfeksi pandemik flu burung.
Pada Gambar 15 sumbu x menyatakan
waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan
jumlah manusia terinfeksi pandemik flu
burung. Manusia yang terserang flu burung
menularkan pada manusia lain sehingga
mengakibatkan pandemik misalkan jumlahnya
200 orang, .
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
50
100
150
200
Waktu
Man
usia
Sem
bu
hd
ari
Flu
Man
usia
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
50
100
150
200
Waktu
Man
usia
Teri
nfe
ksi
Flu
Bu
run
g
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100
20
40
60
80
100
Waktu
Man
usia
Teri
nfe
ksi
Flu
Bu
run
gd
an
Flu
Man
usia
0 5 10 15 20 25 300
200
400
600
800
Waktu
Man
usia
Terin
fek
si
Pan
dem
ik
Flu
Bu
ru
ng
18
VI SIMPULAN
Flu burung merupakan panyakit yang
ditularkan virus H5N1. Flu burung tidak
hanya menginfeksi unggas namun juga
manusia. Transmisi virus melibatkan bilangan reproduksi virus yang lebih besar dari satu.
Proses transmisi flu burung dibagi dalam tiga
model yaitu model unggas, model
prepandemik dan model pandemik. Model
unggas membahas infeksi flu burung dalam
populasi unggas ternak. Model ini
memperlihatkan banyaknya unggas sehat dan
banyaknya unggas terinfeksi flu burung.
Model prepandemik membahas penularan
flu burung dari unggas ke dalam populasi
manusia. Pada model prepandemik flu manusia dan flu burung hidup berdampingan
dalam populasi manusia. Model prepandemik
memperlihatkan banyaknya manusia terinfeksi
flu burung dan flu manusia. Dalam simulasi
yang dilakukan, titik tetap bebas penyakit
tidak stabil.
Model pandemik membahas penularan flu
burung antar manusia. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu manusia diperoleh nilai
yang lebih besar dari satu. Bilangan
reproduksi untuk pandemik flu burung
diperoleh nilai yang lebih kecil dari satu.
Berdasarkan penghitungan dengan nilai
parameter yang dipilih, pandemik flu burung
mampu menginvasi manusia sehingga terjadi
pandemik flu burung pada populasi manusia.
DAFTAR PUSTAKA
Alexander DJ, Capua I. 2007. Animal and
Human Implications of Avian and
Influenza Infections. Biosci. 27: 359-372.
Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed
ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I
Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga.
Chowell G, Miller M, Vibound C. 2008.
Seasonal influenza in the United States,
France, and Australia: transmission and
prospect for control. Epidemiol Infect.
136:852-864.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to
Differential Equations and Their
Applications. New York: McGraw-Hill.
Martcheva M. 2011. Avian Flu: Modeling and
Implications for Control. Ams. 92D: 30-40.
Smith D, Lapedes A, De Jong J, Bestebroer.
2004. Mapping the antigenic and genetic
evolution of influenza virus. Science. 305:
371-376
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and
Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering.
Massachusetts: Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg,
Germany: Springer-Verlag.
[WHO] World Health Organization. 2005.
Avian Influenza (H5N1) infection in
humans. N Engl J Med. 353(13):
1374:1385
20
Lampiran 1 Titik tetap model unggas
Model unggas ada pada persamaan (3.1)
Titik tetap model unggas adalah dan dan
Lampiran 2 Matriks Jacobi model unggas dengan
Misal matriks Jacobi model unggas untuk titk tetap adalah
Matriks Jacobi model unggas dengan misalkan
Lampiran 3 Nilai eigen dari
dan
21
Lampiran 4 Jenis titik tetap untuk titik tetap
Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node
jika nilai eigen real dan berbeda tanda dan maka
(4.1)
rumus mencari akar :
misalkan , , ,
untuk
dan
jadi (4.2)
nilai eigen real dan berbeda tanda jika dan maka
(4.3)
22
rumus mencari akar :
, , ,
untuk
dan
jadi (4.4)
Untuk titik tetap berupa nodes jika
nilai eigen real dengan tanda yang sama jika dan maka
(4.5)
rumus mencari akar :
, , ,
untuk
dan
jadi (4.6)
23
nilai eigen real bertanda sama jika dan maka
(4.7)
rumus mencari akar :
, , ,
dan
jadi (4.8)
, ,
Jika nodes stabil maka (4.9)
Jika nodes tidak stabil maka (4.10)
24
Lampiran 5 Matriks Jacobi model unggas dengan
Matriks Jacobi model unggas untuk titik tetap misalkan
Lampiran 6 Nilai eigen
Jenis titik tetap sulit untuk dikenali tanpa nilai parameter karena nilai
eigennya yang sangat rumit
Lampiran 7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6
25
Lampiran 8 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap
Titik tetapnya berupa saddle node
Lampiran 9 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap
karena titik tetapnya berupa nodes
karena titik tetapnya stabil
titik tetapnya berupa nodes stabil
Lampiran 10 Titik tetap model prepandemik
Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)
Titik tetap model prepandemik adalah dan
26
Lampiran 11 Matriks Jacobi model prepandemik
Misalkan saja
Lampiran 12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap
Misalkan saja
Lampiran 13 Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua
Titik tetap kedua model prepandemik adalah
27
Matriks Jacobinya adalah
Lampiran 14 Nilai eigen dari
Lampiran 15 Jenis titik tetap untuk titik tetap
Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node jika
nilai eigennya real dan berbeda tanda
titik tetap dapat berupa saddle node setidaknya ada satu nilai eigen
bernilai negatif.
Ambil salah satu nilai eigen misalnya jika
28
(15.1)
Untuk titik tetap berupa nodes jika
nilai eigen real dan bertanda sama
misalkan
(15.2)
rumus mencari akar :
, , ,
dan
30
dan
jadi (15.7)
(15.8)
(15.9)
nodes stabil jika
Jika nodes stabil maka (15.10)
Jika nodes tidak stabil maka (15.11)
Lampiran 16 Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6
Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)
31
Titik tetap model prepandemik adalah
, , ,
, , ,
Lampiran 17 Nilai eigen dari
=
Titik tetapnya berupa titik saddle node
32
Lampiran 18 Nilai eigen dari
Matriks Jacobi adalah
karena titik tetapnya berupa nodes
karena titik tetapnya stabil
titik tetapnya berupa nodes stabil
Lampiran 19 Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6
Model pandemik terdapat persamaan (3.3) dengan nilai , ,
,
33
Persamaan (3.3) mempunyai 7 titik tetap yaitu
namun titik tetap yang memenuhi 0 hanya 4 titik tetap yaitu,
, , ,
, ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
Lampiran 20 Matriks Jacobi model pandemik
Misalkan saja
34
Lampiran 21 Nilai eigen dari dengan , ,
, , ,
Titik tetapnya berupa saddle nodes
Lampiran 22 Nilai eigen dengan , , , ,
,
karena titik tetapnya berupa nodes
karena titik tetapnya stabil
titik tetapnya berupa nodes stabil
35
Lampiran 23 Nilai eigen dengan , , ,
, ,
Titik tetapnya berupa saddle node
Lampiran 24 Nilai eigen dengan , , ,
, ,
karena titik tetapnya berupa nodes
karena titik tetapnya stabil
titik tetapnya berupa nodes tidak stabil
36
Lampiran 25 Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6
Jika maka flu burung mampu menular pada manusia melalui interaksi langsung. Jika
maka terdapat titik tetap flu burung dominan dengan titik tetapnya ,
Lampiran 26 Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6
Jika dan maka titik tetap bebas penyakit yaitu stabil.
Masukkan nilai parameter Tabel 6 sehingga . Satu syarat tidak terpenuhi maka titik tetap bebas penyakit tidak terwujud. Berdasarkan hasil
penghitungan titik tetap bebas penyakit tidak terwujud pada populasi manusia.
Jika maka terdapat titik tetap flu manusia dominan dengan titik tetapnya ,
Lampiran 27 Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6
Jika dan maka flu burung coexist dengan flu manusia pada populasi manusia.
Lampiran 28 Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6
0
6
4
2060 5 10
0.5 36.5 0.5
=551.189
b b b
b b bv
1
810
1 136.5
65 65
=
217168.7439
v
* *
810 0.00122
1 365 192.28 10 278378327.7 065 6 65
3084.15916
ˆ
Y YY J
2
810 0.00277
1 136.5
65 65
493079.853
Z
vZ
37
Lampiran 29 Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6
Pandemik flu manusia terjadi dengan kondisi , , , dan .
Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi , , , dan
dimana
Lampiran 30 Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia
Pandemik terjadi pada kondisi , , dan .
Lampiran 31 Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung
Lampiran 32 Banyaknya manusia rentan flu manusia
Jumlah manusia rentan flu manusia sebesar 49875.9955
Lampiran 33 Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia
Jumlah manusia terinfeksi flu manusia sebesar
*
810 0.00277
1 192.28 10 278378327.7 36.565 65
11668.96329
ˆ Z
p
ZY vY
*
9
* *
810 0.00277
1 1 10.00277 0.029059118 0 2.28 10 36.5
65 65 65
493078.7
ˆ
023
H Z
p
Z ZI Y Y vJ Y
*
1
365 1
6 65 0.00122
= 49875.9955
S
38
Lampiran 34 Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia
Jumlah manusia sembuh dari flu manusia sebesar
Lampiran 35 Total populasi unggas
Total populasi unggas sebesar
Lampiran 36 Laju populasi total unggas
Laju populasi total unggas sebesar
Lampiran 37 Total populasi manusia
Total populasi manusia sebesar
Lampiran 38 Laju populasi total manusia
Laju populasi total manusia sebesar
Lampiran 39 Banyaknya unggas rentan flu burung
Jumlah unggas rentan flu burung sebesar
39
Lampiran 40 Banyaknya unggas terinfeksi flu burung
Jumlah unggas terinfeksi flu burung sebesar
Lampiran 41 Banyaknya manusia rentan flu burung
Jumlah manusia rentan flu burung sebesar
Lampiran 42 Banyaknya manusia terinfeksi flu burung
Jumlah manusia terinfeksi flu burung sebesar
Lampiran 43 Total populasi manusia saat flu burung dominan
.
Total populasi manusia saat flu burung dominan sebesar
40
Lampiran 44 Dinamika populasi model unggas
Dinamika populasi unggas rentan
Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung
0 2 4 6 8 10 120
100
200
300
400
500
Waktu
Un
gg
asre
nta
n
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
20
40
60
80
100
Waktu
Un
gg
aste
rin
fek
sifl
ub
uru
ng
41
Lampiran 45 Dinamika populasi model prepandemik
Dinamika populasi manusia rentan
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia
0 2 4 6 8 10 120
50
100
150
200
Waktu
Man
usi
aR
enta
n
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100
10
20
30
40
Waktu
Man
usi
aT
erin
fek
siF
luM
anu
sia
42
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00
10
20
30
40
50
60
Waktu
Man
usi
aS
emb
uh
dar
iF
luM
anu
sia
0.00 0.05 0.10 0.15 0.200
50
100
150
200
Waktu
Man
usi
aT
erin
fek
siF
luB
uru
ng
43
Lampiran 46 Dinamika populasi model pandemik
Dinamika populasi manusia rentan
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia
0 1 2 3 4 5
0
100
200
300
400
500
600
700
Waktu
Man
usi
are
nta
n
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
20
40
60
80
100
Waktu
Man
usi
aT
erse
ran
gF
luM
anu
sia
44
Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung
Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
50
100
150
200
Waktu
Man
usi
aS
emb
uh
dar
iF
luM
anu
sia
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
50
100
150
200
Waktu
Man
usi
aT
erin
fek
siF
luB
uru
ng