análisis matemático 3
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Problemas propuestosTRANSCRIPT
2.2 PRACTICAN0 02
Tema: funciones vectoriales.
1. Encuentre el Dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales:
a) /(*) = f _ íL h í A ?^2 — t t 4-3 t — A
r ,5
c) / « =
d) f ( t ) =
2 - t
r r ~ 4 9 - r <Jt2- 4 V, - 4, _ — ,— r
\ Í9 - t2 4 t2- 4t - 5
/ ( O = - t ^ - t 2, — - ,Ln(2 + 1) ̂ t — 5
2. Encuenfre el Dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales:
a) f ( f ) = {\n(t2 -4),ln(2?_1),e Iní)
/ i s , \ [ -t £ 2 l - s e c 2( / - l ) ^b) f { t )= e , , t+ 'J l - t ,■ ■ ;l (í-1 )2
C; / ( í ) = e -M » (4 -0 z, ^ ( — r)V y
/ ( o = ( | | í 2- i |
^ / (O = ( j í 3 - 9|, •v/TTJ, ln(5 - í)
f) /(O = (Ln(\+ 1), -s/F+T, Ln(l + 1)
3. Atender lo solicitado:
a) Si f ( t ) =1 - t 21 . Describir el rango de f.
vi +1 1 + 1¿
b) Si f ( f ) = (aco$t,asent,bt), t ^ R . Describir el rango de f
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c) Mostrar que el rango de ¡a junción vectorial j definida por
f ( t ) = (l + cost,sent,2sen¿j, te \ -2 n ,2 n \ esta sobre la esfera de radio 2 y
centro en el origen y sobre el cilindro (x — l)2 + y 2 = I .
d) Si /(¿ ) = (3 í'- /2,3/2,3 í+ /3 j, hallar el rango de f
e) Defina una función vectorial f : [-3,3] de tal manera que su rango sea el
tfiángulo de vértice A (2 - 1 , 3 , —1) y C (1,0,2).
(4 -3f) Sea la curva C definida por f { t ) = I — eos t, 1 - sent,— eos t I, t> 0. Demuestre
que C es una circunferencia y halle su centro y radio.
4. Encuentre el Límite requerido para cada caso, si existen.
a) LimÍ3t,-t2,3t- 2 )/-> 1
b) Limt—>2r3 - 8 t 2 + t - 6 t2 - 3 t + 2 t - 2 ’ t - 2 t 2 - 4
c) Lim t-*o
d) Limt- *2
eos t - eos t t 1sent e{ t esct
t2 - 4 f - \
i l l af■7&sL -
■e-
. T . ( t 2 - 9 r - t - 6 t 2 - 3 te) Lim ------------------- , --------< ^ ¡ 3 - t f -2 7 t - 3
j ) Lim í l - |[r]|, 1 +̂ ° S- - , f->i+ v * — t
g) Lim t—>01-cosí 2arcsen(2t)
1 - s enr n t ^ ~2~2
3 i2 31
h) Limo
eos t - ' s / l - t e2t —e* sen3t-sent t ’ sen2t — sent’ Ln( \+ t )
5. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:84
a) f{ t ) =sent, -— ,2t j , íe [0 ,l)
(-1,0,3), t e [ 1,2]
(2í -1 ,2 í ,a/ T - I ) , í < 1
f 2í2 + í -1m = \
,-2,3 - l < í < 0
, - 2 - t>0
cj m -
r-.ífl + i -1 + sent -1 arcsenltLn(l + t) ’ t
O ^-,2,1
0 <¿ <1
r/
d ) m
larcsent tzí senlt ---------—Asen — .-------3í
:,0,2
0 < r < 1
fe [1,2]
6. Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales:)
a) f ( t ) = (arcsent,Ln(l+5t),t2J
f 1_i + r
7. Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales en t0
ía) /(<) = 1
ir s i tt sen-,t 1 + e
(0, 0),
1/t
/(< )=^e2f,/2se « (l/í) j, l t- 0
(1,0), r = 0
5. Si f ( t ) = |2 f+ l||[f-3 ] |,V f,'- ¿ = , ¿existe f ' ( 4)?V ' J S - t J
2. 5? / (t) = ^1 + í2 ̂ eos i, eatsen (bt + c), —j=- , calcular / ” (í) .
85
10. Hallar el punto donde se cortan ¡as curvas Q : j ^ f )
q . y2(t^ - í{ 2,t2 -3 ) , así como el ángulo de intersección.
ef , 2 sen
86
3.7PRACTICA N° 03
Tema: curvas en el espacio tridimensional.
1. Determine una función f : I a R —>R2 que parametrice la curva indicada.
a) El cuadrado jxj + |j¡ = 1 recorrido en sentido antihorario.
b) El segmento de la curva y = |l - |jc| comprendido entre x = - 2 y x = 2 recorrido
de izquierda a derecha.
c) El segmento de la cuma y — \x2 —1| comprendido entre x ~ - 2 y x - 2
recorrido de derecha a izquierda.
2. Dadas las siguientes curvas, encontrar su representación paramétrica.
aj c . f x 2 + y2 + z2 =a(x+y)[ x + y - a
b) C : ^ z - 1 6 - 3 j2; z = x2+13y2.
c) C:{x2+y2+z2 =4; x + y —z = 0.
d) C:\x~+ y2+z2 =4: x2+ y2 =2x.
3. La curya cuya ecuación vectorial es f (t) = {l-Jt cost,3^ftsent,*Jl — t ,̂O < t < 1 se
define sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.
4. Encuentre la longitud de la curva alabeada para la función vectorial f (t) entre ¡os
valores de “t ” indicados
o) m =f t 3 2 / 3 .\3/2 2 3
— , —\t + 4 j , - f 3 9 l } 3
O < t < 3
b ) f ( t ) = ( j 6 t \ ^ t 3 , 6 t j 3 < t < 6
c ) f ( t ) = ( a ( l - c o s í ) , a ( t - s e n t ) ) 0 < í < 2 t t
d) f ( t ) = {t, Ln{sec t), Ln(sec t + tan 0 ) O < r < —
e) f ( t ) - ( e 1 eos t, e‘sen t ,e{ \ 0 < Z < ln 3
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5. Hallar la longitud de arco de 1a curva descrita por
1 ¡3 *\/3f ( t ) = (2sen2t,sen2í.!Ln(cost))desde el punto (—,——,2Ln^— ) hasta el punto
2 2 2
,3 *J3 OT \— ,2L n -) .2 2 2
6. Hallar la longitud de arco de la curva descrita por C : \z 7 = 2ax\ 9 y 2 — 16xz desde
8 ael punto (0,0,0) hasta el punto (2a,— ,2a).
7. Sea C una curva descrita por la fiinción f : [0,l]—> R? si f (0) = (1,2,2) y
/" (O = 2tT(t) + Mt)N(t), calcular la longitud de la curva.
8. Sean , 5 t / y / ( 0 ) = ¿ , - Í - h 2 ) . Hallef(t).r + 4 í + 4 o 2
9. Demostrar que la curva C : x = 1 + 3t +12 ;y - 2 - 2t + 5t2 es plana. Hallar el plano
en que se encuentra.
10. Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal y la binoimal de la línea
x2 = 2az; y 2 — 2bz en un punto cualquiera.
11. Sea C la curva descrita por f ( t ) — a(í —sení.l — cosíAsen(t /2 )) a constante.
Hallar la ecuaci-jn de U rscm tángeme y el plano normal a la curva en el punto
. H allar
K3UL27 T
i k m na sect - zsn i hojior
Sm "WEarper T.y* j 3 * m ecmackm de . piano osculador er, e l pumo en que la curva
14. EUBmr <# majar mmmmd y tma ecuación del plano osculador para tQ= 1/2
y ̂ -i t _(1 f f ' )
15. Hallar la del Plano Normal y Rectificante. Radio de Curvatura.
Acderadám como combinación lineal de T y N. Para cada ima de las siguientes
funciones:
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a) f ( t ) = Q t - t 2,3t2,3 t+ ?) t = 2
b) / ( , ) = (, P{
o) f ( ¿ ) = (e2t,e~t,t2+4) P( 1,1,4)
d) / ( t ^ i c o s t ^ e n t , ^ ) t - n l l .
16. Dada la curva C :xs - 2yz = 0;y + z — -,¡2x— 1 = 0. Hallar la ecuación del plano
osculador en el punto (-—jL2^2 4 4
17. Dada la función vectorial, f ( t ) = (tsen t + eos t, sen t —t eos t). Demostrar que:
a) La componente tangencial de la aceleración es constante.
b) La rapidez, la componente normal de la aceleración y el radio de curvatura son
iguales para todo t>0.
18. Hallar la intersección del plano XY con el plano noimal a la curva
f (t) = (eos t, sen t, t) en el punto t = f .
19. Sean C y P la curva y el plano definido por f (t) = (eos 4?, sen41, i ) y
J >:x + 4z —3 = 0.Determine en que punto de la curva, el plano oscukaiir
paralelo a P. Hallar también la ecuación del plano osculador.
20. Considerar la curva intersección de las superficies
x2 + y 1 - 2x e z2= x2+ y2 con z> 0. encuentre el plano osculador en el punto
(2,1,6).
21. a) Paramettice la curva intersección de las superficies x2 + z 2 = 4z e y 2+4x = 0.
b)Calcule la ecuación del plano osculador en el punto P(-l,2,2).
22. Demuestre que la función vectorial a{t) = (eatsenat,ea eos at,eat), posee un radio
de curvatura para cualquier valor de “t ” igual a p = —j — eat.
23. Sea la función vectorial a(t) = (asent,a cost,bt), donde “a ” y “b ” son constantes.
Demuestre que la cwvatura para cualquier valor de “t ”, es:
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■V,
1 + t 1 — f224. Si C es una curva representada por a{f) = (t,-----, ■). Calcular su torsión.
t
25. Dada la función vectorial a(t) = (serit—2,t2 +2,t2 + 2sent—\). Hallar la torsión en
a) Encuentre una parametiización para C
b) Encuentre el vector binormal en el punto (1,-1,4)
c) Encuentre la torsión en el punto (1,-1,4).
1 Tomado de ejercicios 1-MAT024. Universidad Técnica Federico Santa María. Dpto. de Matemática.Campus Santiago de Chile
cualquier punto y determinar la ecuación del plano osculador en t — n¡4.
26. Dada la siguiente cwva,
Hallar la curvatura y la torsión en el punto (2,1,6).
27. Considerar la cuma C, la intersección de las superficies1
x + y + z = 4 e x2 +y2- x + y + z = 4
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