análisis experimental

Jorge SIFUENTES SANCHO

CONTENIDO

Página

4.0. Introducción 4.1. Análisis Dimensional y números adimensionales 4.1.1. El producto de Potencias. Método de Rayleigh 4.1.2. Descripción de un flujo 4.1.3. Teorema de Buckingham – Vaschy 4.2. Análisis Fraccional

4.2.1. Relación de fuerzas 4.2.2. Relación de energías 4.2.3. Relación de propiedades 4.2.4. Otros parámetros

4.3. Método de las ecuaciones diferenciales

4.3.1. Flujo incompresible 4.3.2. Parámetros de compresibilidad

4.4. Métodos de similitud y teoría de modelos

4.4.1. Similitud de flujos 4.4.2. Teoría de modelos

Aplicaciones Bibliografía Problemas resueltos Problemas propuestos Problemas varios Evaluaciones

4.0. INTRODUCCIÓN

Potter / wiggert

A menudo el Ingeniero tiene que hacer frente a la necesidad de llegar a

resultados prácticos en situaciones que, por diversas razones, los fenómenos físicos no poseen soluciones matemáticas que describan su comportamiento; y por ello es necesario recurrir a un experimento para determinar incluso las características físicas principales del flujo. Al diseñar tales experimentos e interpretar sus resultados, el Análisis Dimensional puede resultar de gran utilidad.

Hay muy pocos problemas de interés en el campo de la mecánica de

fluidos que se resuelven utilizando únicamente el método matemático (las ecuaciones diferenciales e integrales). En casi todos los casos es necesario recurrir a métodos experimentales para establecer relaciones entre las variables de interés.

Debido a que los estudios experimentales suelen ser muy costosos, es

necesario reducir al mínimo la experimentación requerida. Esto se hace empleando una técnica denominada análisis dimensional, que se basa en el concepto de homogeneidad dimensional, que responde a lo siguiente: todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Por ejemplo : la ecuación de Bernoulli en la forma de

222

111

22z

p

g

Vz

p

g

V Ecuación dimensional

se observa que la dimensión de cada término es longitud. Si dividimos toda la ecuación entre z1 :

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1 )12

(12 z

z

z

p

zg

V

z

p

zg

V Ecuación adimensional

En esta forma la ecuación de Bernoulli todos los términos son adimensionales.

El análisis dimensional es un procedimiento analítico que ayuda a organizar información empírica sobre el flujo de un fluido. Con base en el principio de homogeneidad dimensional, es posible simplificar de alguna forma la relación existente entre las cosas que se desea conocer sobre un flujo y las restricciones que a ésta se le imponen.

El principio de homogeneidad dimensional no es capaz de producir

nueva información si no que permite apreciar como reordenar la información que se dispone para proporcionar una idea clara de las relaciones fenomenológicas.

4. Método Experimental

2

Massey <Pocas veces se puede obtener la solución completa de los problemas de ingeniería por sólo los métodos analíticos, y por lo general se hacen necesarios los experimentos para determinar en su totalidad el modo en el cual una variable depende de otras. Una técnica que ha probado ser muy útil para reducir al mínimo el número de experimentos requeridos, es la rama de las matemáticas aplicadas conocida como análisis dimensional. Aunque no produce soluciones analíticas a los problemas, proporciona información acerca de la forma de las relaciones que conectan entre sí las variables pertinentes, y sugiere el modo más efectivo de agrupar a estas variables entre sí. En relación cercana al análisis dimensional, se encuentra el concepto de la similitud física, y el principal propósito de este capítulo, es el estudio de la aplicación de este concepto a la mecánica de los fluidos.>

Durante mas de 100 años, los ingenieros han utilizado modelos a pequeña escala de las estructuras de la ingeniería a fin de obtener información que haga que sus diseños resulten más eficaces : flujos sobre diques y presas, aliviaderos de presas; interacciones de olas con muelles y rompeolas; flujos alrededor de submarinos y barcos; flujos subsónicos y supersónicos alrededor de aviones; flujos alrededor de estadios y edificios; flujos a través de bombas y turbinas de gran tamaño y flujos alrededor de automóviles y camiones. Con frecuencia, el modelado físico de estos flujos realizados en un Laboratorio es un paso necesario del diseño de dispositivos en tamaño real.

El análisis dimensional proporciona al ingeniero una herramienta que le

permite diseñar, dirigir y analizar los resultados de las pruebas del modelo, así como predecir las importantes propiedades del flujo que se encontrarán en la estructura en el tamaño real.

El uso de modelos más pequeños que el prototipo o dispositivo real se

justifica debido a que si se realizan experimentos con objetos de grandes dimensiones, resultaría un costo elevado

También hay flujos de interés en los que intervienen dimensiones más bien pequeñas como el flujo alrededor de un álabe de turbina, el flujo en un tubo capilar, el flujo alrededor de un microorganismo, el flujo a través de una válvula de control pequeña, y el flujo alrededor y dentro de una gota de agua que cae. Estos flujos requerirán un modelo más grande que el prototipo, a fin de poder hacer observaciones con un grado de exactitud aceptable.

El análisis experimental o empírico busca que formular leyes del comportamiento de un fenómeno físico en base a mediciones experimentales en laboratorio. Por lo que el uso de los modelos ha de permitir simular el comportamiento del fenómeno físico respetando márgenes de credibilidad y economía. El uso de modelos requiere definir la similitud de flujos y las leyes que la gobiernan.

Método Experimental 4.

3

La similitud es el estudio de la predicción de las condiciones de prototipos a partir de observaciones en, modelos. La similitud implica el uso de los parámetros adimensionales que se obtienen del análisis dimensional. Estos parámetros adimensionales son los que van a permitir extrapolar los resultados obtenidos en los ensayos, de los modelos, al prototipo En este capítulo se muestra:

Como el análisis dimensional puede aplicarse a cualquier problema en el que intervenga el flujo de un fluido y utilizarse para simplificar la expresión de la dependencia entre las propiedades importantes del flujo mediante las variables del flujo.

El método de producto de potencias. En el estudio sobre la resistencia al avance sobre cuerpos sumergidos en un flujo.

El uso del teorema de Buckingham. Para obtener una función adimensional a partir de partir de la ecuación dimensional.

Como deducir información útil a partir de los experimentos con el modelo.

Un estudio de las fuerzas ascensionales o de sustentación que obran sobre los cuerpos sumergidos en un flujo

4.1 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y NÚMEROS ADIMENSIONALES

La generación y uso de los números adimensionales proporciona una herramienta útil y poderosa para:

Convertir datos de un sistema de unidades a otro

Establecer y desarrollar ecuaciones

Reducir el número de variables requerido para un programa de experimentación.

Otra útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está

cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las matemáticas conocido como análisis dimensional - las matemáticas de las dimensiones de las cantidades. Aunque se puede argumentar con éxito que la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes. Después de desarrollar cierta facilidad con ambos, el estudiante llegará a familiarizarse con la interrelación de los mismos, y aprenderá a pensar en términos de ambos tópicos al atacar nuevos problemas.

Los métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la

homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe- ser dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas. Este principio se utilizó en el Capítulo 1 para obtener las dimensiones de la densidad y de la viscosidad cinemática. y se recomendó como un medio valioso para comprobar los cálculos de ingeniería.

Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcan

soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solución


4

analítica y que deben ser resueltos experimentalmente. En este caso, el análisis dimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio de la formación de grupos adimensionalas, algunos de los cuales son idénticos con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.

Antes de examinar los métodos del análisis dimensional, recuérdese que

existen dos diferentes sistemas por medio de los cuales se pueden expresar las dimensiones de las cantidades físicas. Estos sistemas son el de fuerza-longitud-

tiempo-temperatura (FLT ), y el de masa-longitud-tiempo-temperatura (MLT ). El sistema fuerza-longitud-tiempo-temperatura, generalmente preferido por los ingenieros, llega a ser el sistema newton-metro-segundo-grado kelvin cuando se expresa en unidades principales; el sistema masa-longitud-tiempo-temperatura llega a ser el sistema kilogramo-metro-segundo-grado kelvin. En el cuadro Nº 4.1 se da un resumen de las cantidades fundamentales de la mecánica de fluidos y de sus dimensiones y unidades en los varios sistemas, siguiéndose el sistema convencional de letras mayúsculas para indicar las dimensiones de las cantidades.

De los problemas anteriores, tomando en cuenta que la temperatura se mantiene constante, parece que en el análisis dimensional (de problemas de mecánica) sólo se pueden escribir tres ecuaciones, ya que sólo existen tres dimensiones fundamentales independientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utilidad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación. 4.1.1 PRODUCTO DE POTENCIAS

UNA APLICACIÓN DE GRAN UTILIDAD: CUERPOS SUMERGIDOS

El análisis de la resistencia de cuerpos sumergidos es una de las áreas más débiles de la teoría moderna de la Mecánica de Fluidos. Si se exceptúan algunos cálculos aislados mediante calculador, no existe ninguna teoría para la determinación de la resistencia de un cilindro o de una esfera salvo en el caso de movimientos lentos, donde Re < 1,0. Son casos de interés cuerpos sumergidos en aire: aterrizaje y despegue de aviones, automóviles, trenes, camiones, cohetes, paracaidistas, edificios, tanques de agua. Cuerpos sumergidos en agua: submarinos, torpedos, boyas Cuando una corriente fluida actúa sobre un cuerpo aparecen una fuerza que trata de mover al cuerpo en la dirección de la corriente fluida, ésta fuerza se denomina fuerza de arrastre (FA); una fuerza de sustentación (FS) perpendicular a la corriente fluida y hacia arriba; y un momento de volteo (M). El cálculo de estas cargas se requiere para estimar la potencia para mover al cuerpo a determinada velocidad.

V

FA

FS M


5

4.1.2 PRODUCTO DE POTENCIAS

EJEMPLO 4.01: La fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una corriente de un fluido depende de: una longitud característica L, velocidad de la

corriente fluida V, densidad del fluido , y viscosidad absoluta del fluido . Usando el método de producto de potencias, establecer una relación para la fuerza de arrastre del cuerpo sumergido.

SOLUCIÓN

FA = f ( L, V , )

El segundo miembro de esta ecuación se sustituye por una serie infinita.

FA = k 1 L a1 V b1 c1

d1 + k 2 L a2 V b2

c2 d2 + ...............

donde k 1 , k 2 ,.......... son coeficientes adimensionales y a1, b1, ....a2, b2, ....... son los exponentes que requiere la serie.

Como la ecuación es dimensionalmente homogénea, en la representación dimensional basta con incluir el primer término.

FA = k 1 L a1 V b1 c1 d1

M L T –2 = La ( L T –1 ) b (M L –3 ) c ( M L –1 T –1 ) d M : 1 = c + d L : 1 = a + b - 3 c - d T : - 2 = - b - d

Resolviendo el sistema de ecuaciones en función del exponente “d”:

a = 2 - d; b = 2 - d; c = 1 - d, con lo cual :

FA = k 1 L 2 - d V 2 - d 1 - d d

= k 1 L 2 V 2 ( / V L ) d

luego: )(Re)(22

fLV

f

LV

AF [ a ]

Si se escoge como exponente independiente “ c ”, se obtiene:

)(RefVL

FA [ b ]

Si se escoge como exponente independiente “b”, se obtiene:


6

2

2)Re(fFA [ c ]

El coeficiente de fuerza es variado y depende de la elección de la variable independiente que se elija: a, b, c, d. La forma [a] es la que se utiliza mayormente; la forma [b] se utiliza mucho en movimientos lentos o movimientos muy viscosos, donde es una constante; en la forma [c], se observa que la fuerza de arrastre se hace adimensional usando únicamente las propiedades del fluido.

Considerando el resultado [ a ], como la función f ( Re ) no está definida, se

puede formar el término de la energía cinética ½ V 2 y se tendría una nueva función f „ (Re).

)(Re´2

1)Re( 2222 fLVfLVFA

Al utilizar este resultado a cilindros (corriente perpendicular al eje del cilindro con longitud / diámetro ∞ ) y esferas lisas, se define un coeficiente de arrastre de la manera siguiente :

cilindrof

DLV

FC A

A )(Re´

2

1 2

esferaf

dV

FC A

A )(Re´

42

1 22

donde la longitud característica L2 , se ha reemplazado por el área proyectada

perpendicular a la velocidad; L D para el cilindro y d 2/4 para la esfera.

C A 5 Cilindro: efecto de la longitud

10 4

< Re < 10 5

4

L / D CA

3

8

1,20

40 0,98

2

20 0,91

Cilindro bidimensional 10 0,82

1

5 0,74

Esfera 3 0,72

0 2 0,68

10 10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

1 0,64

Re V D /

Figura. E4.06


7

El coeficiente de arrastre CA es determinado experimentalmente, mediante los

ensayos en el laboratorio. En la figura E4.06, los cilindros son lisos y largos.

Si se incluyen la rugosidad y la longitud del cilindro como variables del análisis dimensional, se obtiene una función más complicada con tres parámetros.

),Re,(d

L

dfCD

Para describir adecuadamente esta función se requerirá más de 100 experimentos. Si embargo, es costumbre explorar los efectos de la longitud y rugosidad por separado para establecer tendencias. La tabla que se añade a la figura E4.06, muestra el efecto de la longitud del cilindro con rugosidad de la pared nula. Cuando la longitud decrece, la resistencia decrece más del 50%. Esto se debe a que la sobre presión cae en los extremos, ya que allí la corriente puede rodearlos en lugar de deflectarse hacia arriba y hacia abajo del cuerpo. La figura E4.06 (continuación), muestra el efecto de la rugosidad en un cilindro infinito. La caída brusca de la resistencia ocurre Re, mas bajo cuando la rugosidad aumenta a causa de que la capa límite se hace antes turbulenta. La rugosidad produce el mismo efecto en la resistencia de una esfera, un hecho que se explota en deportes como el golf, donde los hoyuelos de las pelotas les

proporciona una menor resistencia en su movimiento Re 10 5

Figura E4.06 (continuación)

Las dos figuras anteriores corresponden a un análisis experimental típico, con ayuda del análisis, de un problema de mecánica de fluidos. Cuando el tiempo, dinero y demanda lo permiten, la relación tri-paramétrica podría ampliarse con más experimentos.


8


9


10

EJEMPLO 4.02: Una esfera lisa de 7 cm de diámetro ( e = 7839 kg / m3 )

se deja caer en un depósito lleno de agua ( = 1000 kg / m3 , = 0,001 N – s / m2 ). Determinar la velocidad límite de caída o velocidad de caída sin aceleración. SOLUCIÓN

El peso de la esfera (que es constante) hace que la velocidad de la esfera aumente. Se oponen al

peso de la esfera (W), la fuerza de empuje (FE), FA FE

la fuerza de arrastre (FA). W FE es constante. FA es variable con el cuadrado de la velocidad de caída de la esfera. La velocidad máxima de caída o velocidad límite de la esfera se alcanza cuando el peso es equilibrado por la acción de la fuerza de arrastre y

empuje. La condición matemática está dado por: W = FA + FE

)()2/()( 3ee dgegFA π

3

4...........(0)

De la definición de coeficiente de arrastre:

22

42

1dVCF AA

Igualando ambas ecuaciones, se obtiene: )1(DRedgC

3/4V

A

2

Reemplazando valores: V = 2,502 / CA ..........................................( 1 )

El coeficiente de arrastre se obtiene de la figura E4.06, para lo cual se requiere calcular el número de Reynolds, que a su vez contiene la variable velocidad.

V4105μ

dVρRe ..........................................( 2 )

Una manera de resolver esta situación, es asumir un valor de velocidad ( Va = 2,157 m / s ); se reemplaza éste valor en la ecuación (2) para obtener el número de Reynolds ( Re = 1,08 x 10 5 ); del gráfico se obtiene el coeficiente de arrastre ( CA = 1,16 ), se reemplaza este valor de coeficiente de arrastre en la ecuación (1) y se tiene el valor de la velocidad ( Vc = 2,16 m / s ); luego se verifica si Vc es igual al valor de la velocidad asumida Va. De no ser así, hay que continuar iterando hasta lograr la aproximación deseada.

Es evidente que hay que realizar una serie de iteraciones hasta llegar a la solución V = 2,16 m / s. Para simplificar el cálculo puede prepararse una hoja de cálculo o un nuevo gráfico, haciendo uso de los resultados experimentales anteriores.


11

De los resultados del ejemplo anterior :

AA Cf

dV

F)(Re

42

1 22

[ a ]

AA Cf

F´)(Re 2

2 [ c ]

Estableciendo una igualdad entre la forma [ a ] y la forma [ c ] :

2Re8

AC2μ

ρAF π8

2

4

2

2

1 2

dV

dV

AF........( 3 )

Se construye un gráfico : Re vs 2Re8

AC2μ

ρAF π .

Para un valor de Re = 10 :

De la figura E4.06 se obtiene el valor de CA = 3,5

De la ecuación ( 3 ), se obtiene el valor de FA / = 3,5 ( / 8) ( 10 ) 2

=

137. se lleva al gráfico éste par ( 10, 137). Se continua así para otros valores. Obteniéndose el gráfico siguiente.


12

Con el nuevo gráfico, de la ecuación ( o ) :

)()2/(3

4)( 3

ee dgegFA

se obtiene :

NgFA 049,12)10007839()035,0(3

4 3

De la ecuación ( 3 ), se obtiene :

10

6310205,1

1010

049,12AF

Con este valor se ingresa al gráfico y se obtiene Re = 1,51 x 10 5 ;

Luego

3

5

10

07,010001051,1

Re

V

dV

V 2,16 m / s Esta técnica usada (originada por Lord Rayleigh) se conoce también como el método del análisis dimensional de Rayleigh. El método del análisis dimensional de Rayleigh fue mejorado por Buckingham

con una amplia generalización que se conoce como el Teorema- . Buckíngham


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CUERPOS COMPLETAMENTE SUMERGIDOS 4.01 : La fuerza de arrastre FD sobre una esfera depende de la velocidad V, la

viscosidad , la densidad , la altura de las asperezas superficiales e, la

intensidad de fluctuación de corriente libre I, ( una cantidad adimensional ) y el diámetro D. Obtenga una expresión para FD. 4.02 : La fuerza de arrastre FD sobre una esfera lisa que cae en un líquido

depende de la velocidad de la esfera V, la densidad del sólido S, la densidad

del fluido , y su viscosidad , el diámetro de la esfera D y la gravedad g.

Obtenga una expresión para FD. 4.03 : La fuerza de arrastre FD sobre una pelota de golf depende de la

velocidad de la pelota V, la densidad de la pelota S, la densidad del fluido , y

su viscosidad , el diámetro de la pelota D, la profundidad de los hoyuelos, el

radio y la concentración C de los mismos, medida en número de hoyuelos por unidad de área. ¿Qué expresión relaciona FD con las demás variables?. 4.04 : La potencia requerida para mover una hélice depende de las variables siguientes: D = diámetro de la hélice

= densidad del fluido c = velocidad del sonido en el fluido ω = velocidad angular de la hélice V = velocidad de corriente libre μ = viscosidad del fluido De acuerdo con el teorema de π de Buckingham, ¿cuántos grupos adimensionales caracterizan este problema? 4.05 : Considere un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. Se cree que el tiempo t de descenso depende de la altura h de la caída, del peso w y de la aceleración g de la gravedad. ¿Cuál es la experimentación mínima necesaria para encontrar el tiempo t? Suponga que g es una constante. 4.06 : La ley de Stokes (veáse la ecuación (A.I.29) del apéndice) establece que para una esfera pequeña de radio R el arrastre F causado por un flujo lento permanente alrededor de la esfera está dado por

F = 6 π μ V R

¿Cómo se llegaría a esta ecuación con el mínimo de experimentación, conociendo las variables involucradas? 4.07 : El empuje producido por la hélice de un avión es función de las variables siguientes:


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Vo = velocidad del avión D = diámetro de la hélice ρ = densidad del aire μ = viscosidad del aire c = velocidad del sonido ω = velocidad angular de la hélice por consiguiente, T = f(Vo, D, ρ, μ, c, ω) Encuentre los grupos adimensionales que caracterizan el proceso. Trabájelos para obtener:

4.08 : El arrastre D sobre una campana sumergible depende de las variables siguientes: V, volumen del vehículo ρ, densidad del agua μ, viscosidad del agua s, velocidad del vehículo e, rugosidad de las superficies Deduzca un conjunto de grupos adimensionales independientes. Utilice el sistema MLT de dimensiones básicas. Se desea que ρ, s y e estén en el mismo grupo. 4.09 : En la sección A.I.7 del apéndice se calcula la viscosidad de un fluido observando la velocidad terminal VT de una esfera pequeña de radio R y densidad ρs en un fluido viscoso cuya densidad es ρL. Se obtiene el siguiente resultado:

4.10 : considere el flujo alrededor de un cilindro teniendo en cuenta transferencia de calor. Se sabe que en ciertas condiciones el coeficiente h de transferencia de calor depende de las siguientes variables: V, velocidad de corriente libre ρ, densidad del fluido μ, viscosidad del fluido


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k, coeficiente de conductividad térmica D, diámetro del cilindro cp, calor específico ¿Cuál es un conjunto de grupos adimensionales para este proceso?. Las dimensiones de h y k son

Donde θ es la representación dimensional de la temperatura. Note que se obtiene un número de Reynolds y un número de Prandtl, cp μ / k.


16

4.1.2 TEOREMA DE BUCKINGHAM - VASCHY Sea el conjunto de n variables fundamentales


17


18

EJEMPLO 4.03: Se está entregando agua a 10ºC hacia un tanque sobre el techo de un edificio, como se muestra en la figura. ¿Qué presión indica un manómetro en el punto A para que se entreguen 200 L / min de agua?. Sugerencia: use la información adicional adjunta.

Tabla i : Dimensiones de tubos de acero. Calibre 40

TAMAÑO NOMINAL DE LA TUBERÍA PULGADAS

DIÁMETRO EXTERIOR

(mm )

GROSOR DE LA PARED

( mm )

DIÁMETRO INTERIOR

( mm )

ÁREA DE FLUJO (m2 )

1 33,4 3,38 26,6 5,574 10 - 4

1 1/2 48,3 3,68 40,9 1,314 10 - 3

2 60,3 3,91 52,5 2,168 10 - 3

2 1/2 73,0 5,16 62,5 3,090 10 - 3

Tabla ii : Rugosidad de conducto. Valores de diseño.

MATERIAL Rugosidad absoluta, e

( m)

Vidrio plástico Suavidad

Cobre , latón, plomo, (tubería) 1,5 10 - 6

Hierro fundido sin revestir 2,4 10 - 4

Hierro fundido: revestido de asfalto 1,2 10 – 4

Acero comercial o acero soldado 4,6 10 - 5

Hierro forjado 4,6 10 - 5

Acero remachado 1,8 10 – 3

B


19

Tabla iii : Resistencia en válvulas y junturas expresada como longitud equivalente en diámetros de conducto

TIPO LONGITUD EQUIVALENTE

L / D

Válvula de globo----- Completamente abierta 340

Válvula de ángulo---- Completamente abierta 150

Válvula de compuerta ----Completamente abierta 8

---- ¾ abierta 35

---- ½ abierta 160

----- ¼ abierta 900

Válvula de verificación-----tipo giratorio 100

Válvula de verificación-----tipo de bola 150

Válvula de mariposa-----completamente abierta 45

Codo estándar de 90º 30

Codo de radio largo de 90º 20

Codo de calle de 90º 50

Codo estándar de 45º 16

Codo de calle de 45º 26

Codo de devolución cerrada 50

Te estándar-----con flujo a través de un tramo 20

Te estándar-----con flujo a través de una rama 60

Tabla iv : Propiedades del agua. Unidades SI.

TEMPERATURA ( ºC )

Peso específico

( N / m3 )

Densidad

( kg / m3 )

Viscosidad dinámica

( Pa –s )

Viscosidad cinemática

( m2 / s )

0 9810 1000 1,75 10 -3

1,75 10 - 6

5 9810 1000 1,52 10 -3

1,52 10 - 6

10 9810 1000 1,30 10 -3

1,30 10 - 6

15 9810 1000 1,15 10 -3

1,15 10 – 6

20 9790 998 1,02 10 -3

1,02 10 – 7

25 9780 997 8,91 10 -4

8,94 10 – 7

30 9770 996 8,00 10 -4

8,03 10 – 7

35 9750 994 7,18 10 -4

7,22 10 – 7

40 9730 992 6,51 10 -4

6,56 10 – 7

45 9710 990 5,94 10 -4

6,00 10 – 7

50 9690 988 5,41 10 -4

5,48 10 – 7

55 9670 986 4,98 10 -4

5,05 10 – 7

60 9650 984 4,60 10 -4

4,67 10 – 7

65 9620 981 4,31 10 -4

4,39 10 – 7

70 9590 978 4,02 10 -4

4,11 10 – 7

75 9560 975 3,73 10 -4

3,83 10 – 7

80 9530 971 3,50 10 -4

3,60 10 – 7

85 9500 968 3,30 10 -4

3,41 10 – 7

90 9470 965 3,11 10 -4

3,22 10 – 7

95 9440 962 2,92 10 -4

3,04 10 – 7

100 9400 958 2,82 10 -4

2,94 10 – 7


20

SOLUCION

Fluido: Agua a 10ºC Tubería : Acero NR40 De la tabla iv: De la tabla i, ii :

= 1000 kg / m3 Di = 0,0409 m

= 1,30 10 – 3 Pa - s A = 1,314 10 – 3 m–2

= 1,30 10 – 6 m 2 / s t = 3,68 mm.

e = 4,6 10 – 5 m. 1. Método Matemático:

- Ecuación de conservación de masa: VA A = VB A - Ecuación de conservación de cantidad de movimiento:

B

pB . AB

m V

W

∑ Fx = pB . AB + m V

∑ Fy = pA . AA + m V - W

pA . AA m V

- Ecuación de energía: E A = E B + h A-B

accesoriostuberiaB

BBA

AA hh

g

VZ

p

g

VZ

p

22

22

accesoriosprimariaA hhm

p25

9810 [ 1 ]

¿? ¿?

2. Método Experimental:

Cálculo de la pérdida primaria

p2

∆ h L p1


21

DESCRIPCIÓN DEL FLUJO

Variables geométricas : L, D, e

Variables físicas del fluido : T, , , , , E

Variables técnicas : g, V, , ∆ h

F (L, D, e, T, , , , , E, g, V, , ∆ h ) = 0

Ecuación dimensional que caracteriza el problema. Contiene 13 variables. Se pueden volver a agrupar en dos categorías:

Variables superfluas:

o Temperatura.- su efecto ya está en la densidad y en la viscosidad .

o Viscosidad cinemática .- está representada por y .

o Tensión superficial - esta fuerza tiene poco efecto en la pérdida.

o Módulo de compresibilidad E.- los líquidos se consideran incompresibles

o El flujo volumétrico .- está representada por V y D.

Variables fundamentales, que caracterizan el problema fluido dinámico:

F ( V, , D, , e, g, ∆ h, L ) = 0 n = 8 variables

Si se considera la pérdida de energía por unidad de longitud ∆h / L, el número de variables dimensionales se reduce a 7.

F ( V, , D, , e, g, ∆ h / L ) = 0 n = 7 variables.

Ecuación dimensional fundamental

TEOREMA DE BUCKINGHAM 1. La matriz dimensional:

v D e g ∆ h / L

M 1 0 0 1 0 0 0 L -3 1 1 -1 1 .1 0 T 0 -1 0 -1 0 -2 0

0 0 0 0 0 0 0

[ V ] = [ m / s ] = L T -1

[ ] = [ kg / m3 ] = M L

-3

[ D ] = [ m ] = L

[ ] = [ N – s / m2 ] = M L T

-2 . T / L

2 = M L

-1 T

-1

[ e ] = [ m ] = L

[ g ] = [ m / s2 ] = L / T

2 = L T

-2

[ ∆ h / L ] = Mº Lº Tº =


22

2. El rango de la matriz: k = 3

0 1 0 1 1

1 -3 1 = -1 = -1 0 k = 3 -1 0 0 -1 0 3. Número de parámetros adimensionales: m = n - k = 7 - 3 = 4

4. Grupo de variables independientes: V D

5. Los cuatro parámetros adimensionales:

1 = a1

V b1

D c1

.

2 = a2

V b2

D c2

. g

3 = a3

V b3

D c3

. e

4 = a4

V b4

D c4

. ∆ h / L

1 = (M L - 3 )

a1 (L T

-1 )

b1 ( L )

c1 . (M L

–1 T –1 ) = M 0 L 0 T 0

M : a1 + 1 = 0 a1 = -1

L : -3a1 + b1 + c1 -1 = 0 b1 = -1 1 = / V D T : -b1 - 1 = 0 c1 = -1

: 0 = 0

2 = (M L - 3 )

a2 (L T

-1 )

b2 ( L )

c2 . L T - 2

= M 0 L 0 T 0

M : a 2 = 0 a 2 = 0

L : -3a 2 + b 2 + c 2 + 1 = 0 b 2 = - 2 2 = g D / V 2 T : -b 2 - 2 = 0 c 2 = 1

: 0 = 0

3 = (M L - 3 )

a3 (L T

-1 )

b3 ( L )

c3 . L = M 0 L 0 T 0

M : a 3 = 0 a 3 = 0 3 = e / D L : -3a 3 + b 3 + c 3 +1 = 0 b 3 = 0 T : -b 3 = 0 c 3 = -1

: 0 = 0

4 = (M L - 3 )

a 4 (L T

-1 )

b4 ( L )

c4 . ∆ h / L = M 0 L 0 T 0

M : a 4 = 0 a 4 = 0 4 = ∆ h / L L : -3a 4 + b 4 + c 4 = 0 b 4 = -2 T : -b 4 - 2 = 0 c 4 = 1

: 0 = 0


23

6. La función adimensional :

F ( 1; 2; 3; 4 ) = 0

0)h

;D

;

V

Dg;

V(F

2 L

e

D

7. Redefiniendo los parámetros pi :

´1 = 1 / 1 = V D / = Re

´2 = 1 / 2 = V

2 / g D

´3 = 3 = e / D = = Rugosidad relativa

´4 = 4 = ∆ h / L

0)L

;D

;Dg

V;

Vρ(F

2 heD

8. Como la función no está definida:

)D

;μ

Vρ(´F

Dg

h 2 eDV

L

2

F ´́ ( Re ; ) 02 g

L Vh

D

Ecuación cualitativa

ENSAYOS EN EL LABORATORIO

Para obtener una ecuación que permita calcular la pérdida de energía ∆h , es necesario realizar ensayos para determinar la función adimensional F´. El ensayo puede realizarse con agua, se colocan manómetros en las secciones 1 y 2, un cronómetro y un recipiente cuyo volumen se conoce. Se prepara un

gráfico: F´ vs ( Re, ).

p2

∆ h L p1

, t


24

Se hace circular el flujo de agua:

Se anotan los valores de: L, D, e. Se anota el tiempo ( t ) que demora en llenarse un volumen

determinado ( ).

- Se calcula el flujo volumétrico. = / t Se toma lectura de los manómetros p1 y p2.

- Se registra la caída de presión. ( p1 - p2.) / = ∆h

Se evalúa la velocidad media y el número de Reynolds.

- V = / A Re = V D /

Se evalúa la rugosidad relativa : . = e / D

En la ecuación:

0);Re(´Fg2

2V

D

Lh

∆ h, L, D, V son conocidos; por lo que la función F´ ya se puede determinar :

F´ ( Re; ) = f.

Se coloca en el gráfico los valores de: Re1 y f 1 hallados.

Se repite el procedimiento para otros valores de flujo volumétrico y los resultados pueden presentarse mediante gráficos, uno de ellos es el Diagrama de Moody.

De esta manera se ha determinado la función F´( Re; ), la cual viene a

ser el denominado coeficiente de fricción f . La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

g

V

D

Lfh

2

2 Ecuación de Darcy - Weisbach

Ecuación cuantitativa

Re1

= e / D

F ( Re, ) =

1

Re2

2


25

Para nuestro problema:

3

3 2

(200/ 60000) /V 2,537 /

A 1,314 10

m sm s

m

6 2

2,537 / 0,0409Re 79 818

1,3 10 /

VD m s m

m s

54,6 100,001124694

D 0,0409

e m

m

Del Diagrama de Moody, se obtiene: f = 0,023.

Luego:

fluidodemg

h 99392,42

537,2

0409,0

27023,0

2.

Rugosidad promedio de tubos comerciales

Material nuevo e (mm)

Vidrio 0,0003

Tubería estirada 0,0015

Acero, hierro forjado 0,046

Hierro fundido asfaltado 0,12

Hierro galvanizado 0,15

Hierro fundido 0,26

Madera cepillada 0,18 - 0,9

Concreto 0,3 – 3,0

0,023


26

Cálculo de la pérdida secundaria

De manera análoga al cálculo de la perdida primaria se puede establecer un procedimiento para el cálculo de las pérdidas secundarias.

g

Vh s

2

2

donde es un coeficiente particular obtenido experimentalmente.

Puede construirse un gráfico vs Re, para un determinado diámetro de accesorio y luego del gráfico considerar un determinado rango de valores de Re que usualmente se encuentran el la industria, y tomar un valor promedio de

para dicho rango de Re. luego ensayar con otros diámetros repitiendo el

procedimiento. Finalmente presentar los resultados en un gráfico vs D.

Para nuestro problema : Válvula de globo : = 7

Codo estándar : = 1,1

2

7 1,1)2,537

( 2,886852

h m de fluidog

Reemplazando valores en la ecuación [ 1 ] :

mmmmpA 8769,3288685,299392,425

9810

pA = 322 522 Pa


27

El cuadro siguiente muestra las dimensiones de algunas variables que se utilizan en la mecánica de fluidos. Esta información ayuda en la construcción de la matriz dimensional.

VARIABLE

SÍMBOLO UNIDADES

SI DIMENSIONES

M L T

Aceleración a m / s 2 L T - 2


28


29

CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS EN LIQUIDOS

EJEMPLO 4.04: Demostrar mediante el Teorema de Buckingham – Vaschy que una fórmula racional para la resistencia ( R ) de cuerpos que se mueven con velocidad constante ( V ), parcialmente sumergidos en

líquido ( , ), está dada por :

R = L2 V

2 { Re, Fr }

donde Re : Número de Reynolds = V L /

Fr : Número de Froude = V 2

/ L g SOLUCION

0. La función dimensional : n = 7 variables

1. La matriz dimensional:

R L V D g

M 1 1 0 0 0 1 0 L 1 -3 1 1 1 -1 1 T -2 0 0 -1 0 -1 -2

0 0 0 0 0 0 0

[ R ] = [ N ] = [ m . a ] = [ kg ] . [m / s2 ] = M L T

–2

[ ] = [ kg / m3 ] = M L

-3

[ L ] = [ m ] = L

[ V ] = [ m / s ] = L T-1

[ D ] = [ m ] = L

[ ] = [ n – s / m2 ] = M L T

-2 . T / L

2 = M L

-1 T

-1

[ g ] = [ m / s2 ] = L / T

2 = L T

-2


1 0 0 1 1

-3 1 1 = 1 = -1 0 k = 3 0 0 -1 0 -1 3. Número de parámetros adimensionales : m = n - k = 7 - 3 = 4

4. Grupo de variables independientes : V D

5. Los cuatro parámetros adimensionales :

1 = a1

V b1

D c1

. R

2 = a2

V b2

D c2

. L

3 = a3

V b3

D c3

.

4 = a4

V b4

D c4

. g


30

1 = (M L T-3 )

a1 (L T

-1 )

b1 ( L )

c1 . (M L T

–2 ) = M 0 L 0 T 0

M : a1 + 1 = 0 a1 = -1 1 = -1

V -2

D -2

. R

L : -3a1 + b1 + c1 + 1 = 0 b1 = -2 1 = R / V 2 D

2

T : -b1 - 2 = 0 c1 = -2

: 0 = 0

2 = (M L T-3 )

a2 (L T

-1 )

b2 ( L )

c2 . L = M 0 L 0 T 0

M : a 2 + 1 = 0 a 2 = 0

L : -3a 2 + b 2 + c 2 + 1 = 0 b 2 = 0 2 = L / D T : -b 2 - 2 = 0 c 2 = -1

: 0 = 0

3 = (M L T-3 )

a3 (L T

-1 )

b3 ( L )

c3 . M L -1 T -1 = M 0 L 0 T 0

M : a 3 + 1 = 0 a 3 = -1 3 = -1

V -1

D -1

.

L : -3a 3 + b 3 + c 3 - 1 = 0 b 3 = -1 3 = / V D T : -b 3 - 1 = 0 c 3 = -1

: 0 = 0

4 = (M L T -3 )

a 4 (L T

-1 )

b4 ( L )

c4 . L 1 T -2 = M 0 L 0 T 0

M : a 4 = 0 a 4 = 0 4 = V -2

D . g

L : -3a 4 + b 4 + c 4 + 1 = 0 b 4 = -2 4 = g D / V 2

T : -b 4 - 2 = 0 c 4 = 1

: 0 = 0 8. La función adimensional:

F ( 1; 2; 3; 4 ) = 0

0)

V

Dg;

DVρ

μ;

D

L;

V

R(F

222 D

9. Redefiniendo los parámetros pi:

´1 = 1 = R / V 2 D

2

´2 = ( 2 ) 2

= L 2 / D

2

´3 = 2 / 3 = V L /

´4 = 1 / ( 2 . 4 ) = V 2 / g L


31

0)gL

V;

μ

LVρ;

D

L;

Vρ

R(F

2

2

2

22 D

8. Como la función no está definida:

0)gL

V;

μ

LVρ(´F

D

L

Vρ

R 2

2

2

22 D

0)Fr;Re(LVρR φ22

Tabla i : Obtención de los números

Grupo de variables independientes

a V

b D

c

( M L –3

) a ( L T

–1)

b ( L )

c

1 2 3 4

R

L g

M : 0 = a + 1 0 1 0

L : 0 = -3a + b +c + 1 1 - 1 - 2

T : 0 = - b + - 2 0 - 1 - 2

: 0 = 0 + 0 0 0 0

a = - 1 a = 0 a = -1 a = 0

b = - 2 b = 0 b = - 1 b = - 2

c = -2 c = - 1 c = - 1 c = 1

1 = - 1

V - 2

D - 2

. R

2 = 0 V

0 D

-1 . L

3 = - 1

V - 1

D - 1

.

4 = 0 V

- 2 D

1 . g

Luego: 0)gL

V;

μ

LVρ;

D

L;

Vρ

R(F

2

2

2

22 D


32

MODELADO DE BOMBAS CENTRIFUGAS

Los parámetros característicos de una bomba son la altura total H y el

flujo volumétrico . Estos parámetros pueden modificarse variando la velocidad de rotación n y reduciendo el diámetro del impulsor o rodete. La carcasa y rodete de una bomba centrífuga se obtienen por fundición, lo cual involucra un gasto en modelos, cajas, material, maquinado, acabado, etc..

Para una bomba en particular sus parámetros son H y ; funcionando con un motor que gira a n rpm, siendo el diámetro de su rotor D y su eficiencia

.Si se utilizan 5 velocidades de rotación manteniendo constante el diámetro

del rodete, se obtienen 5 juegos de valores H . Ahora, si se reduce el rodete

obteniéndose 5 valores, da como resultado total 20 juegos posibles de H y ; de los cuales los que posean una eficiencia aceptable tendrán un valor práctico. Esto constituye una familia de bombas. EJEMPLO 4.05: La energía especifica intercambiada entre el rodete y el fluido H g de una bomba, puede considerarse que depende de las siguientes variables :

Flujo volumétrico ( ), revoluciones por minuto ( n ), Diámetro del rodete de la

bomba ( D ), densidad del fluido ( ), módulo de compresibilidad elástica ( E ),

viscosidad absoluta del fluido ( ), rugosidad superficial de los álabes ( e ).

SOLUCION

1. La función dimensional: n = 8 variables.

F ( ; n; D; ; E; , e; H g ) = 0


n D E e H g

M 0 0 0 1 1 1 0 0 L 3 0 1 -3 -1 -1 1 2 T -1 -1 0 0 -2 -1 0 -2

0 0 0 0 0 0 0 0

[ ] = [ m3 / s ] = L

3 T

–1

[ n ] = [ rpm ] = T –1

[ D ] = [ m ] = L

[ ] = [ kg / m3 ] = M L

- 3

[ E ] = [ N / m2 ] = M L T

-2 / L

2 = M L-1

T –2

[ ] = [ N – s / m2 ] = M L T

-2 . T / L

2 = M L

-1 T

-1

[ e ] = [ m ] = L

[ H g ] = [ m . m / s2 ] = L L / T

2 = L

2 T

–2


33


0 0 1 0 1

0 0 -3 = 1 = -1 0 k = 3 -1 0 0 -1 0

3. Número de parámetros adimensionales: m = n - k = 8 - 3 = 5

4. Grupo de variables independientes: n D

5. Los cinco parámetros adimensionales:

1 = n a1

D b1

c1

. Hg

2 = n a2

D b2

c2

.

3 = n a3

D b3

c3

. E

4 = n a4

D b4

c4

.

5 = n a5

D b5

c5

. e

Tabla i : Obtención de los números

Grupo de variables independientes

n a D

b

c

(T –1

) a ( L )

b ( M L

–3 )

c

Parámetros adimensionales

1 2 3 4 5

H g

E e

M : 0 = c + 0 0 1 1 0

L : 0 = b - 3 c + 2 3 - 1 - 1 1

T : 0 = - a + - 2 - 1 - 2 - 1 0

: 0 = 0 + 0 0 0 0 0

a = - 2 a = - 1 a = -2 a = - 1 a = 0

b = - 2 b = - 3 b =- 2 b = - 2 b = - 1

c = 0 c = 0 c = - 1 c = - 1 c = 0

6. La función adimensional:

0);;;;(222322 D

e

DnDn

E

DnDn

HgF


34

EJEMPLO : 4.06: Las variables que pueden intervenir en un problema cualquiera de Mecánica de fluidos se pueden reducir a ocho variables

fundamentales: La presión p, la velocidad V, la densidad , la viscosidad

absoluta , la aceleración de la gravedad g, la velocidad del sonido C, la

tensión superficial , y una longitud característica L. Determinar los números

adimensionales que caracterizan a éste flujo. SOLUCIÓN

1. La función dimensional: F ( p, V, , , g, C, , L ) = 0 n = 8

Presión p N / m 2

M L – 1

T – 2

Velocidad V m / s L T

– 1

Densidad kg / m 3

M L – 3

Viscosida dinámica Pa - s M L – 1

T – 1

Aceleración gravitatoria g m / s 2

L T – 2

Velocidad del sonido C m / s L T

– 1

Tensión superficial N / m M T – 2

Longitud L m L


p L V g C

M 1 0 0 1 1 0 0 1

L -1 1 1 -3 -1 1 1 0

T -2 0 -1 0 -1 -2 -1 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 3. Rango de la matriz: k = 3

0 0 1 1 1

1 1 -3 .= 1 .= -1 .= 0

0 -1 0 0 -1

4. Número de parámetros : m = n – k = 8 – 3 = 5

5. Grupo de variables independientes: L v 6. Parámetros adimensionales:

1 = L a1

V b1

c1 p

2 = L a2

V b2

c2

3 = L a3

V b3

c3 g

4 = L a4

V b4

c4 C


35

5 = L a5

V b5

c5

Parámetros adimensionales

L a V b c1 2 3 4 5

g C p

M : 0 = 0 a 0 b 1 c .+ 0 0 1 1 1

L : 0 = 1 a 1 b -3 c .+ 1 1 0 -1 -1

T : 0 = 0 a -1 b 0 c .+ -2 -1 -2 -1 -2

0 = 0 a 0 b 0 c .+ 0 0 0 0 0

a = 1 0 -1 -1 0

b = -2 -1 -2 -1 -2

c = 0 0 -1 -1 -1

Grupo de variables independientes :

1 = L 1 V -2 0 g ' 1 = V / L g

2 = L 0V

-1 0 C ' 2 = V / C

3 = L -1V

-2 -1 ' 3 = L V

4 = L -1V

-1 -1 ' 4 = L V

5 = L 0V

-2 -1 p ' 5 = p / V L

0);

V

p

VL;;

V;

V

gL(F

222 VL

C

ó

0)

V

p;;;

V;

V(F'

2

22 LVVLC

gL

Los números adimensionales obtenidos tienen nombre propio y son: Número de Froude, Mach, Weber, Reynolds y Euler respectivamente. La Ecuación Adimensional que caracteriza al flujo es:

0)Re;;;;( EuWeMFrF


36

EJEMPLO : 4.07: Demostrar mediante la aplicación del análisis dimensional la siguiente relación :

Fs = Cs . p din . A

Donde : Fs : Fuerza de sustentación de un perfil aerodinámico. Cs : Coeficiente de sustentación = f ( Re ).

p din : Presión dinámica = V 2

/ 2.

V : velocidad del perfil aerodinámico.

A = L 2

; L = longitud característica.

SOLUCIÓN

1. La función dimensional : F ( Fs, V, , , L ) = 0 n = 5

2. La matriz dimensional

Fs V L

M 1 0 1 1 0

L 1 1 -3 -1 1

T -2 -1 0 -1 0

0 0 0 0 0 3. Rango de la matriz: k = 3

0 1 0 1 1

1 -1 1 .= -1 .= -1 .= 0

-1 -1 0 -1 0

4. Número de parámetros : m = n – k = 5 – 3 = 2

5. Grupo de variables independientes: L v 6. Parámetros adimensionales:

1 = L a1

V b1

c1 Fs

2 = L a2

V b2

c2

Resolviendo:

1 = L -2 V -2 -1 Fs

2 = L -1V

-1 -1

La función adimensional:

0)VL

;

V

Fs(F

22 L

2

2

22

2)Re(''

)Re('

LV

FFs

FLVFs

Finalmente : Fs = Cs . p din . A


37

El análisis dimensional (AD) permite que se reúnan las magnitudes de las cantidades apropiadas a un problema físico, en grupos adimensionales, de

cada uno de los cuales se hace referencia como de una .

La relación que conecta las magnitudes de las cantidades individuales llega entonces a ser una relación algebraica que relaciona los números

adimensionales s. Una relación como ésta se puede representar siempre en la

forma: ( 1, 2 , 3 ,…. r ) = 0 en donde significa “cierta función de”.

Si estos son independientes ( en el sentido de que, por ejemplo, una no

sea simplemente el cuadrado o el recíproco de otra ) entonces el número de

s es igual al número de variables individuales menos el número total de

magnitudes fundamentales distintas ( tales como MLT ) necesarias para expresar las fórmulas dimensionales de todas las variables ( variable sólo significa la magnitud de una cantidad física pertinente; no se implica que varíe, ésta podría ser aún una “constante universal como es la velocidad de la luz”).

El teorema de Buckingham ofrece considerable ventaja sobre el estudio de Rayleigh en que, muestra antes del análisis cuántos grupos pueden esperarse y permite al ingeniero mayor flexibilidad en la formulación de los mismos (en particular si ya se sabe que ciertos grupos, por ejemplo, las relaciones entre fuerzas, son pertinentes). J. Sifuentes

En el estudio de un fenómeno fluido-dinámico se sugiere el siguiente procedimiento:

Hacer un listado de las variables que intervienen en el problema fluidodinámico.

Identificar las variables superfluas de las fundamentales.

Establecer la ecuación dimensional.

Utilizar el Teorema de los números de Buckingham-Vaschy, el que a partir de la ecuación dimensional se obtiene la ecuación adimensional que caracteriza al problema.

La variable que nos interesa, se separa de la función adimensional y se establece la ecuación cualitativa. La cual establece la relación de la variable de estudio con el resto de variables y con una función aún no definida.

Se procede a organizar el ensayo que permita definir la función no definida en la ecuación cualitativa; y así obtener la ecuación cuantitativa de la variable de estudio.

Se aplican las ecuaciones o expresiones obtenidas en la solución del problema fluidodinámico; si los resultados no concuerdan con la realidad o no son obtenidos con la exactitud requerida, se arbitra a fin de revisar el estudio, utilizar el prototipo como modelo, recabar información experimental y de allí con un tratamiento matemático obtener factores de corrección pertinentes.


38

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Se sabe que la potencia necesaria W para mover una hélice de avión

depende de los siguientes factores: diámetro de la hélice, D; velocidad del sonido en el fluido, c; velocidad angular de la hélice, w; velocidad del

avión V,- densidad y viscosidad del fluido, p y , respectivamente. a. De acuerdo con el teorema de Vaschy-Buckingham, ¿cuántos

parámetros adimensionales caracterizan el problema?. b. Tomando D, U, p como magnitudes de base, determinar dichos

pará metros e indicar qué tipo de relación funcional existe entre ellos.

c. Explique cómo se representaría gráficamente la ley experimental buscada, en términos de los parámetros hallados.

Respuesta: W / p D2 U3 = f (M, w DIU, Re)

2. El par motor de una turbina depende del caudal Q, de la carga de

entrada H (altura), del peso específico , la velocidad angular w y la

eficiencia , Determínese el par motor T como una relación funcional

entre parámetros adimensionales. Como magnitudes de base, se

tomarán , H, Q.

Respuesta: Tl H 3 = f (w H 3 Q, )

3. El caudal que fluye por un pequeño orificio depende de la carga de

entrada H, de la gravedad g, del diámetro del orificio D, de la densidad,

la viscosidad y la tensión superficial, , , respectivamente y de la rugosidad e. Encontrar de qué grupos adimensionales depende el coeficiente de descarga Cd.

Respuesta : D (g H / ) ½

; D / H; / g H ½

; e / H

4. Determinar los factores adimensionales de que depende el caudal de un

vertedero triangular en V, donde Q es el caudal. h de altura sobre el

vértice, , , y la densidad, viscosidad cinemática y tensión superficial,

respectivamente, el ángulo y g la gravedad.

Respuesta: Q = g 1/2

h 5/2

( g ½

h 3/2

/ , g h 2 / , )


39

PROBLEMAS PROPUESTOS MASSEY página 352


40


41

1. 2.

3. Un disco de diámetro D sumergido en un fluido de densidad y viscosidad tiene una velocidad constante de rotación N. La potencia requerida para impulsar el disco es P. demuestre que:

P = N 3

D 5

( N D 2

/ )

Un disco de 225 mm de diámetro, que gira a 23 rev/seg, en agua, requiere un par de torsión impulsor de 1,1 N-m. Calcúlense la velocidad correspondiente y el par de torsión requeridos para impulsar un disco similar de 675 mm de diámetro que gira en el aire. (Viscosidades: aire 1,86 x 10 -5 Pa-s; agua 1,01 x 10 -3 Pa-s. Densidades:

airea 1,20 kg / m 3

; agua 1000 kg / m 3 ). [39,22 rev/s, 0,933 N-m]

4. 5. 6. Demuéstrese que, para un flujo dominado solo por las fuerzas de gravedad, inercia y presión, la relación entre los regímenes de flujo volumétrico de dos sistemas dinámicamente semejantes es igual a la potencia 5/2 de la relación de longitudes. 7. 8. 9. Un aeroplano va a volar a una altura de 9 km (en la que la temperatura y la presión son: de - 45 ºC y 30,2 kPa respectivamente) con velocidad de 400 m/s. Se prueba un modelo a escala 1/20 en un túnel de viento presurizado en el cual el aire se encuentra a 15 ºC. ¿Qué presión y que velocidad deberán usarse en el túnel de viento para una similitud dinámica completa?.

Para el aire a T K, T 3/2 / (T + 117). [821 kPa ; 450 m/s]

análisis experimental

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