análisis de fourier - ejercicios resueltos

8/15/2019 Análisis de Fourier - Ejercicios Resueltos

1/69

EJERCICIOS FOURIER MATEMÁTICA APLICADA

FEBRERO DE 2015

4º MATEMÁTICA – NIEKRASZEWICZ LEONARDO

I.S.F.D. Y T. Nº 24 – BERNARDO HOUSSAY


2/69

EJERCICIOS RESUELTOS FOURIEREJERCICIO 1

Sea < < 0 0 < < de período 2, hallar su serie de Fourier

2 ∫ cos

− 1 ∫ c o s

− 1 ∫ c o s

1 ∫ c o s− ∫ c o s 1 cos −

1 0 0 cos0 cos 0 1 1 c o s

1 1 1

∀ ∈ ℕ

1 ∫ − 1 ∫ 1 2 −

⇒

0 ∀ ∈ ℕ

1 , ∈ ℕ


3/69

2 ∫ sen

− 1 ∫ s e n

− 1 ∫ s e n

1 ∫ s e n

− ∫ s e n

1 sen −

1 sen0 sen 0 0 0 1 1 c o s cos 1 c o s ∀ ∈ ℕ

; ;

~ ∑ ∞

=

Hasta n=5


4/69


5/69

1 2 sen 2 2.0 sen. 0 2 0 . 0

1

2 cos

π cos

2

21 2

1

+ ; ;

~ ∑ ∞

=

Hasta n=10


6/69

EJERCICIO 3

Sea 0 < < 0 0 < < de período 2, hallar su serie de Fourier

2 ∫ cos

− 1 ∫ 0 c o s

− 1 ∫cos

1 ∫cos

1

cos1 21

cos1 21

1 cos1 21 cos1 21 cos1 . 021 cos1 . 021 1 cos1 21 cos1 21 221 1

1 1+21 1+21 221 1

1 1 1+ 1 1+ 221 1 1 1 1 1 221 1 22 1 11 1 ∀ ∈ ℕ }

⇒

≥ 2


7/69

1 ∫ 1 cos ; 1 ∫ cos 1 sen2

2 ∫ cos− 1 ∫ 0 s e n− 1 ∫sen 1 ∫sen 1 sen1 21 sen1 21

1 sen1 21 sen1 21 sen1 . 021 sen1 . 021

1 sen1 21 sen 121 ∀ ∈ ℕ } 1 ∫sen 1 2 sen24

1 2

;

; ; ;

~ ∑ ∞

=

Hasta n=5


8/69

EJERCICIO 4

A) Sea para < < de período 2, hallar su serie de Fourier

2 ∫ cos

− 1 ∫ c o s

− 1 cos −

1 cos cos 1

cos

cos

, ∀ ∈ ℕ

1 ∫ − 1 t2 −

2 ∫ sen

− 1 ∫ s e n

− 1 sen −

1 sen sen 1 1 1 , ∀ ∈ ℕ

⇒

es impar ya que ,debido a ello se anulan los


9/69

; ;

~ ∑ ∞=

B) Ahora con

para

0 < < 2

2 ∫ cos 1 ∫ cos 1 cos

1 2 2 cos2 0.. 0 cos. 0

1 1 1 , ∀ ∈ ℕ

1 ∫ 1 t2

Hasta n=5

Desarrollo impar omediante senos


10/69

2 ∫ sen 1 ∫ sen 1 sen

1

2 2

sen2

0.. 0

sen. 0

1 2 , ∀ ∈ ℕ ; ;

~ ∑ ∞= Hasta n=5

⇒


11/69

EJERCICIO 5

Siendo 2 con para < < , hallar su serie de Fourier

2

∫ cos

−

1

∫ cos− 1

2t cos

2

−

1 2 cos 2 2π cosπ π 2 π

1 2 cos 2π cosπ 2ππ 21 ∀ ∈ ℕ

1

∫

−

1

3

−

Ya dijimos que los se anulan por ser función par, pero igual lo calculamos. 2 ∫ sen

− ∫ sen

− 1 2t sen 2 −

⇒ es par pues , entonces los se anulan.


12/69

1 2 sen 2 2 sen 2

1

2

2

1 2 2 , ∀ ∈ ℕ

; ;

~ ∑ ∞= Hasta n=3

Desarrollo par omediante cosenos


13/69

EJERCICIO 6

Encontrar la serie de fourier de 1 < < 00 0 < < si es 2

2 ∫ cos

− 1 ∫ c o s− 1 ∫ 0 . c o s

1 ∫ c o s− 1 − 1 . 0

1

, ∀ ∈ ℕ

1 ∫ 1− 1 −

2

∫ sen

−

1

∫ s e n− 1

∫ 0 s e n 1

∫ s e n−

1 cos − 1 cos. 0 cos , ∀ ∈ ℕ

; ;

⇒


14/69

~ ∑ ∞

=

EJERCICIO 7

Encontrar la serie de fourier de 3 4 < < 00 0 < < 4 si es de período 8.

2 ∫ cos

− 28 ∫ 3 cos 4

− 28 ∫ 0 c o s 4

Hasta n=5

⇒ 2 8 /


15/69

34 ∫ cos 4 − 34 cos4 4

t sen 4 4 −

34 cos 4 0 4 0 sen 4 0 4 cos 4 4 4 4 sen 4 4 4 34 1 4

cos 4 34 16 1 1 , ∀ ∈ ℕ

14 ∫ 3

− 34 t

2 −

34 162

2 ∫ sen

− 14 ∫ 3 sen 4

− 3

4sen 4

4

t cos 4

4

−

34 sen 4 0 4 0 cos 4 0 4 sen 4 4 4 4 cos 4 4 4

34 4 cos 4 34 16 1 , ∀ ∈ ℕ

; ;


16/69

~ ∑ ∞

=

EJERCICIO 8

Desarrollar 2 en el intervalo 0,1 siendo el período 1.

2 ∫ cos

2 ∫ 2

cos 2

4 ∫

cos 2

4 2cos2 2 2 22sen2π n t 4 2cos2 2 12 22 sen2π n 0cos2 02 02 22sen2π n 0

Hasta n=5

⇒


17/69

4 2cos2 2 4 . 2 12 , ∀ ∈ ℕ

2 ∫ 2 4 3

2 ∫ sen 2 ∫ 2 sen 2 4 ∫ sen 2 4 2sen2

2 2

2

2cos2π n t

4 2sen2 2 22 12 cos2π n 2.0sen2 02 22 02 cos2πn 0

4 223 12 . 1 223 . 1 4 12 , ∀ ∈ ℕ

;

;

~ ∑ ∞

=

Hasta n=5


18/69

EJERCICIO 9

Desarrollar 1 2 < < 1 1 < < 11 1 < < 2

con período 4.

2 ∫ cos

− 12 ∫ cos 2 −− 12 ∫ c o s 2 − 12 ∫ c o s 2

12 sen2 2 −

−

12 sen2 2

12 cos2 2 sen

2 2 −

12 sen22 sen

2 sen 2

sen 2 2 12 cos 2 2

sen 2 2 −

12 sen2

2

sen 2

2

sen

2

sen

2

12 cos2

2

sen 2

2

−

12 cos 2 22 sen 2 2 cos 2 22

1sen 2 2

⇒ / es impar → ∀ ∈ ℕ


19/69

12 cos 2 22

cos 2 22 sen 2 2

sen 2 2 , ∀ ∈ ℕ

12 ∫ 1−− 12 ∫ − 12 ∫ 1 12 −− 12 12 t2 − 12 12 0

2 ∫ sen

−

12 ∫ sen 2 −− 12 ∫ sen 2 − 12 ∫ s e n 2 12 cos2 2 −

− 12 cos2 2

12 sen2 2

cos 2 2 −

12 cos2

2

cos 2

12 cos 2

cos 2 2

12 sen2

2

cos 2 2

−

12 cos 2 c o s cos cos 2 2 12 sen 2 2 cos 2 2 −

2 cos 2 11 12 sen

222 cos 2 2

sen 2 22 1cos 2 2

2 cos 2 1

1

12 2sen 222 2cos

2 2

2 cos 2 11 2 2sen

2 2 cos 2


20/69

2 cos2 11 cos 2 2sen

2 2

; ;

~ ∑ +

∞=

Para los n pares se anula entonces si tomamos 2 1 nos queda:n 2 k 1 → n 4k 4 k 1senn π2 1+

1+

1−+

1

1senn π2 t s e n 2 k 1 π2 t

~ ∑ + ∞

=

Hasta n=5


21/69

EJERCICIO 10

Encontrar la serie de Fourier de 1 < < 0

1 0 < <

con

Como es impar, entonces , ∀ ∈ ℕ

2 ∫ sen − 2 ∫ sen 2 − 2 ∫ s e n 2

2 cos2

2

−

2 cos2

2

2 2 cos 2 0 cos 2 2 2 2 cos 2 2cos 2 0

1 1 c o s 1 cos 1 1 2 21 , ∀ ∈ ℕ

⇒ /


22/69

Pero es nulo para todo exponente par, entonces solo nos quedan los impares quetendrán la forma

mediante el remplazo de , generando unicamente lostérminos que no se anulen.

2 1 1 → 2 1− 12 1 2 22 1 , ∀ ∈ ℕ

; ;

~ ∑ ∞

=

Hasta k=5

(5 términos efectivos)


23/69

EJERCICIO 11

Encontrar la serie de Fourier de en , si es 2

2 ∫ cos

− 1 ∫

cos

− 1

(cos )1 −

1 (cos )1 −(cos )1 1 cos − cos1 − 11 , ∀ ∈ ℕ

⇒

⇒


24/69

2 ∫ sen

− 1 ∫ sen

− 1 (sen )1 −

1

(sen )1 −

(sen )1

1 cos − cos1 − 11 ,∀ ∈ ℕ

;

;

~ ∑ ( )∞

=

Hasta n=5 (Azul)

Hasta n=20 (Naranja)


25/69

EJERCICIO 12

Encontrar la serie de Fourier de − para 1 < < 1 con período 2.

2 ∫ cos

− 22 ∫ − cos

− −(cos )1 −

−

(cos )1

(cos )1

− cos cos1 − 11 ,∀ ∈ ℕ ⇒

2 ∫ sen− 22 ∫ − sen − −(sen )1 −

⇒


26/69

−(sen )1 (sen )1

− cos cos

1 −

1

1

, ∀ ∈ ℕ

; ;

~ ∑ ( )∞=

Hasta n=5


27/69

EJERCICIO 13

Encontrar la serie de Fourier de:

La función es con 2 y es impar, , por lo tanto los coeficientes , ∀ ∈ ℕ, quedando un desarrollo mediante senos.

2 ∫ sen

− 22 ∫ sen

− sen cos −

sen cos sen cos

cos

cos

, ∀ ∈ ℕ

; ;

⇒


28/69

~ ∑ ∞

=

EJERCICIO 14

Desarrollo de Fourier para | |. Grafique.Primero vamos a analizar la función

.

(No confundir el de f(t) con el de los coeficientes de la serie, que los vamos a llamar )

Hasta n=5

/

⇒

/

⇒


29/69

Siendo período fundamental de la función a analizar y su frecuencia angular fundamental.Además es par pues , por tanto , ∀ ∈ ℕ . Por tanto, utilizando

,

y teniendo en cuenta que en

,

se cumple que

= | | se puede calcular: 2 ∫ cosΩ 2 ∫ cos2

2 ∫ cos2

2 cos( 2 )2 2 cos( 2)2 2

2 [cos 2 2 2

cos 2 2 2 cos( 2.0)2 2 cos( 2. 0)2 2

]

2 cos(1 2 )2 2 cos(1 2 )2 2 12 2 12 2

2 22 2 22 2

2 11 2 11 2 2 1 2 1 2 1 4 , ∀ ∈ ℕ

⇒

(1 2 ) 1 Coseno de múltiplo

impar de .


30/69

; ;

~ ∑ ∞

=

EJERCICIO 15

Desarrollo para . Usar 2

Hasta n=1 (Azul)

Hasta n=2 (Naranja)

⇒


31/69

La función es impar, por tanto los , ∀ ∈ ℕ y nos queda un desarrollomediante senos.

2 ∫ sen

−

22 ∫

sen

− 1 ∫

−2

sen

−

1 ∫ (10− 10 5− 5 − )32 sen− 1 ∫ 1016 −2 516 −2 116 −2 sen−

1 ∫ 58 516 3 116 5sen− 58 ∫ sen− 516 ∫ 3 sen− 116 ∫ 5sen−

∫ s e nt sennt− dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 1 ∫ s e n3t sennt−

dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por

las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 3 ∫ s e n5t sennt− dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que, por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 5 → 58 ∫ − 0 0 58 2 24 −

58 2 2

→ 0 516 ∫ 3− 0 516 2 612 − → 0 0 116 ∫ 5− 116 2 1020 −

(Para todo otro n es )

2 31

1

2

3


32/69

; ∀ ∈ ℕ ,,} ; ; ;

Posee sólo tres términos y coincide exactamente con la función original para cualquier t.


33/69

EJERCICIO 16

Desarrollo para cos . Usar 2 y 2

La función es par, pues es par por ser producto de pares y es par porser producto de dos impares, por tanto, los , ∀ ∈ ℕ.

2 ∫ cos

− 22 ∫ cos cos

−

1 ∫ −2 −2 cos− 1 ∫ − 3 3 −8 − 24 cos− 116 ∫ (2 − 2 − − )2 cos−

116 ∫ 2 ( − )2 − 2 (− )2 cos− 116 ∫ 2cos cos3cos5 cos−

⇒


34/69

116 2∫ cos cos − ∫ cos3 cos − ∫ cos5 cos −

∫ cost cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 1 ∫ cos3t cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 3 ∫ cos3t cosntπ−π dt se encuentra evaluada en un período completo. Se sabe que,por las condiciones de ortogonalidad, es nula ∀n ≠ 5 → 18 ∫ cos − 0 0 18 2 24 −

18 2 2 → 0 116 ∫ cos3 − 0 116 2 612 −

→

0 0 116 ∫ cos

5

− 116

2

1020 −

(Para todo otro n es )

∀ ∈ ℕ ,,} ; ; ; ;

Posee sólo tres términos y coincide exactamente con la función original para cualquier t.

1

2

3

2 31


35/69

EJERCICIO 17

Desarrollo de:

(a) por cosenos en 0, Si está definida en un intervalo y es un desarrollo por cosenos, entonces debe hacerse una extensión

par de de modo tal que los y solo resten los términos de coeficiente .

2 ∫ cos− 22 ∫ cos− 2 ∫ cos 2 ∫ cos 2 cos1 21 cos1 21

⇒ /


36/69

2 cos1 21 cos1 21 cos1 . 021 cos1 . 021

2 1−

121 1−

121 1 1

11 1

11

1 1 1 [1 1 1 ] 2 1 11 ∀ ∈ ℕ } Para los n impares mayores que 1, los coeficientes son nulos, por tanto haciendo el

reemplazo , con ∈ ℕ, se evitan los términos que dan cero. 2

1 1

2

1

[

] →

2 ∫ cos

; [ ] ;

̃ ~ = ∀ ∈ 0,

Hasta k=2


37/69

(b) || Teniendo en cuenta que || en el intervalo 0, o bien recurriendo al ejercicioal ejercicio 14 que dice:

ℎ | | ⇒ ℎ ~ 2 4 cos24 1= Con 1 y 1 se obtiene que el desarrollo de será exactamente igual al item (a):

~ 2 4 cos24 1

=

EJERCICIO 18

Desarrollo de:

(a) cos mediante senos en 0, Si está definida en un intervalo y es un desarrollo por senos, entonces debe hacerse una extensión

impar de de modo tal que los y solo resten los términos de coeficiente .

2 ∫ sen

− 22 ∫ sennt

− 2 ∫ sen ⇒

/


38/69

2 ∫ cos 2 cos 1 2 1 cos 1 2 1

2

cos 1 2 1

cos 1 2 1

cos 1 . 02 1

cos 1 . 02 1

2 1−2 1 1−2 1 12 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 , ∀ ∈ ℕ }

2 ∫ cos

; ; ∀ ∈ ℕ} ;

̃ ~

= ∀ ∈ 0,

̃ ~

= ∀ ∈ 0,

Para n impar se anulan los

coeficientes. Se puede

hacer el reemplazo n=2k

Hasta k=5

o bien n=10


39/69

(b) |cos|

Como es par tenemos que los . También tenemos que tener en cuenta que en , es

|| pero en

,

es

|| entonces:

2 ∫ cos

− 1 ∫ cos

− 2 ∫ cos 2 ∫ coscos

2 ∫ coscos

2

sen1 21

sen1 21

2

sen1 21

sen1 21

1 sen1 2 1 sen1 21 0 0 1 0 0 sen1 2 1 sen1 21 1 sen1

2 1 sen1 21 1 sen1

2 1 sen1 21

1 2sen1 21 2 sen1 21 2 1sen1 2 1 sen1 21

∀ ∈ ℕ }

/

sen1 2 sen1 2 ∀ ∈ ℕ


40/69

→

2 ∫ cos

2 ∫ cos

Pero resulta ser que va tomando los valores ,,,,…, es decir, se anulapara los valores de n impares, y alterna entre 1 y -1 para los pares (incluyendo al 0).

Haciendo con ∈ ℕ 4 sen

2 2 24 1 4 sen2 4 1 4 14 1

; ∀ ∈ ℕ ; ~

=

(c) ¿Cómo podría definirse (a) en t=0 y t= para que la serie converja en 0 ≤ ≤ ?Como la serie converje al promedio de los límites laterales, que en este caso es: 0− 0+2 − +2 0 ⇒ < < ∨

Hasta k=3

o bien n=6


41/69

EJERCICIO 19

Desarrollar con 0 < < 2 en semi-períodos de senos y cosenos:Si es mediante senos significa que se realiza una extensión impar tal que los

∀ ∈ ℕ

2 ∫ sen

− 22 ∫ sennt

− 2 ∫ sen

22 ∫ sen 2 sen2 2

cos 2 2

sen 2 2

2

2cos 2 2

2

sen 2 0

2

0.cos 2

2

0 21 2 0 0 ∀ ∈ ℕ

⇒ / /


42/69

; ;

̃ ~

= ∀ ∈ 0,2

Si es mediante cosenos significa que se realiza una extensión par tal que los ∀ ∈ ℕ

Hasta n=10

/ ⇒ /


43/69

2 ∫ cos

− 1 ∫ cos

− 2 ∫ cos

22 ∫ cos 2 cos 2 2 t sen 2 2

cos 2 2 2

2 sen 2 2 2 cos 2 0 2

0 sen 2 0 2 1

2 0 1

2 0

∀ ∈ ℕ

∫

; ; 0

̃ ~ = ∀ ∈ 0,2 Hasta n=3

Los coeficientes de subíndice par se anulan, pero una sustitución de n=2k-1 no simplifica en gran

medida la expresión, por tanto se ha dejado sin modificar.


44/69

EJERCICIO 20

Desarrollar { 0 || < 10


45/69

4 5 5 2 5

∀ ∈ ℕ

25 ∫ 10 4

; ;

̃ ~ = ∀ ∈ 5, 5

En los valores de ± y ± la serie converge al promedio de los límites, es decir, 5.

Hasta n=10 (Naranja)

Hasta n=20 (Azul)

Hasta n=30 (Verde)


46/69

EJERCICIO 21

Desarrollar 0 < < 48 4 < < 8 con un desarrollo de:(a) Medio rango impar

Realizamos una extensión impar y calculamos los ya que los serán nulos.

2 ∫ sen

28 ∫ sen 8

28 ∫ 8 sen 8

14 sen8 8

cos 8 8 84 cos

8 8 14 sen

8 8 cos 8 8

14 sen8 4

8

4 cos 8 4 8

2 cos 8 8 8

cos 8 4 8

14 sen 8 8 8 8 cos 8 8 8 sen 8 4 8 4cos 8 4 8

⇒ / /


47/69

14 sen 2 14 sen 14 sen 2 8

cos 2 2cos 2cos 2 2cos cos 2 8 64 [12 sen 2 14 sen]

,∀ ∈ ℕ

; ;

̃ ~

= ∀ ∈ 0,8

Hasta n=10

Los coeficientes de subíndice par se anulan, pero una sustitución de n=2k-1 no simplifica en gran

medida la expresión, por tanto se ha dejado sin modificar.


48/69

(b) Medio rango par

Realizamos una extensión par y calculamos los ya que los serán nulos.

2 ∫ cos

28 ∫ cos 8

28 ∫ 8 cos 8

14 cos8 8

sen 8 8 84 sen

8 8 14 cos

8 8 sen 8 8

14 cos8 4

8

4 sen 8 4 8

cos 8 0

8

2 sen 8 8 8

sen 8 4 8

14 cos 8 8 8 8sen 8 8 8 cos 8 4 8 4sen 8 4 8

14 cos 2 14 14 cos 14 cos 2 8

sen 2 2sen 2sen 2 2 sen sen 2 8 12 cos 2 14 14 1 8

644 2cos 2 1 1

¡

14 ∫ 14 ∫ 8 14 2 14 8 2

; ;


49/69

̃ ~

= ∀ ∈ 0,8

Si n es impar se anula tanto cos como 1 1 entonces si hacemos 2 resulta: ̃ ~

=

̃ ~

=

∀ ∈ 0,8 Bastante más sencilla de evaluar y que sólo arroja términos no-nulos.

EJERCICIO 22

Desarrollo de medio rango para { 0 <


50/69

2 ∫ cos 2 ∫ 4 cos

2 ∫ 4 cos

12 cos sen 2 cos sen 12 ∫ cos

12 cos2 1

2 sen 2 2 cos cos2

2 sen 2 12 ∫ cos 12 cos

2 1 1 cos 2 2 sen 2 2 sen 2 12 ∫ cos

∫ cos 2 cos 2sen

21 cos 2

4 sen 2 2sen 2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

12 cos 2 1 1 cos 2 21 cos2 12

2 sen 2 2 sen 2 4 sen 2 12 2sen 2

, ∀ ∈ ℕ

2 ∫ 4 20 2 ∫ 4 2 12 22 0

2 12 22 33 2 216 12 36 312

1

1


51/69

;

;

̃ ~ = ∀ ∈ 0,

EJERCICIO 23

Representar la siguiente función por una serie de Fourier de cosenos y trazar una gráfica de la

correspondiente extensión periódica de con 0 < < .

Hasta n=5 (Naranja)

Hasta n=10 (Azul)


52/69

El período de la es , entonces , y llamando M (Pues L ya está en uso) setiene . Realizada la extensión par calculamos los coeficientes :

2 ∫ cos 2 cos 2 cos 2

2 cos

2 1 cos 2 1

cos 02 1 cos 02 1

2 2 cos 11 cos 11 1 1− 11 1− 11

1 1 1 [ 21 ] , ∀ ∈ ℕ } → Para los n impares se anulan los coeficientes, entonces haciendo n=2k resulta:

[ ], ∀ ∈ ℕ Finalmente

; ; ̃ ~

= ∀ ∈ 0,

Hasta n=5


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EJERCICIO 24

Demostrar que para 0 < < es:(a)

∑

=

En primer lugar observamos que en sumatorio sólo intervienen cosenos, lo cual nos permite

realizar un desarrollo de medio rango par de f(t) entre y , con y . 2 ∫ cos 2 ∫ cos

2 cos sen 2 ∫ cos

2 cos2 sen cos. 02 22 cos 2sen 2 1n 12 2 2 1 2 1n 1 2 12 , ∀ ∈ ℕ Se cancela para los n impares entonces eligiendo n=2k queda:

4 [ 14]

2 ∫ 2 2 3

; ;

̃ ~ = ∀ ∈ 0, L.Q.Q.D.


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(b) ∑ (+)+= Se trata de la misma función pero con un desarrollo mediante senos, entonces, al igual que

antes tenemos

y

, y procedemos al cálculo de los

.

2 ∫ sen 2 ∫ sen 2 sen cos

2 22 sen 23 2 cos0

2 2 cos 2 2 1 2

2 1 2 21n3 21n 23 2 1 2 1n 13 21n Como para los n pares se cancelan, haciendo n=2k+1 con ∈ ℕ se obtiene:

[

]

; ; [ ] ̃ ~ ( )

= ∀ ∈ 0,

L.Q.Q.D.


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EJERCICIO 25

Calcular utilizando el ejercicio anterior:

=

El que tiene una forma similar es ~ ∑ + ( )∞ con ∈ ,.Para que el ( ) se transforme en hay que elegir un t conveniente en elintervalo dado.

El seno toma los valores 1 y -1 para múltiplos impares de /, por tanto si elegimos ,el cual pertenece a ,, nos queda .

→ = Evaluando y despejando se obtiene el valor de la suma infinita:

8 1k2 13

= 4 ⇒

=

= Nos queda por usar ~ ∑ ∞ con ∈ ,.Para transformar el en recordamos que se da para los múltiplos de ,entonces elegimos , que pertenece al intervalo, y queda:

→

=

Evaluando y despejando se obtiene el valor de la suma infinita: 6 1 2

=

4 ⇒

=


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EJERCICIO 26

Encontrar la serie compleja de Fourier para la función diente de sierra definida por con

0 < < y

, y reducir a la forma trigonométrica.

L0s coeficientes de la forma compleja de la serie de Fourier son:

1 − 1 − − 2

1 2

2 2 1 2 1 2 1 2 [ 2 2 2 1 2 2] [

(cos2 2) 2 (cos2 2) 1

2 2 ] 2 0. 2 , ∀ ∈ ℕ

1 0 2 22 0 La forma compleja es ~ ∑ =−≠ , entonces:

;

⇒ /


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~

=−≠

Para llevarlo a la forma trigonométrica recordamos las fórmulas de conversión:

2 ; 2 2 2 ⇒⏞

2 0 2 2 ⇒

2

2 ⇒

; ;

~

=

Usando trigonométrica

Hasta n=5


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EJERCICIO 27

Encontrar la serie compleja de Fourier de la sinusoide rectificada con0 < < 1 si 1 .

1 − 11 − − − 2 cos 2

− 4 4

2

4

1 1

4

1

cos2 2 1 1

4

1

∀ ∈ ℤ

⇒ ~

=− A trigonométrica:

2 14 1 2 ⇒⏞

⇒


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2 2 ⇒

; ; ~

=

EJERCICIO 28

Encontrar la serie compleja de Fourier de la función en el intervalo 0, si es .

Hasta n=2

⇒


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1 − 1 −

1

−

2 4cos

2 4 4.3.1

2 4 2

1244 2 2 0 34 2 2 2 2cos 22 22 2.1.1222 22 − 0

324 21 2 − 324 21 2− 1 2 34 14 21 2 cos2 2 ∀ ∈ ℤ ,±,± 0 → ∫ ±1 → − ∫ −

±2 → − ∫

−

Una manera sencilla de hallarlos es desarrollar usando −/ ⇒ − − Para pasarlo a trigonométricas simplemente agrupamos términos semejantes

convenientemente (sin necesidad de usar fórmulas de conversión)

38

12

−

2 18

−

2

Las cuales tienen 5 y 3 términos respectivamente y coinciden exactamente con la original en

todo punto.

Evaluado en y en es

Evaluado en y en es


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EJERCICIO 29

Encontrar la serie compleja de Fourier de la función en el intervalo 0,2 si es 2.

1 − 12 − 12 − 12 − 1

12 − 11 12 (cos2 2) 11

12

11

⇒ ~

=−

⇒

.


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En forma trigonométrica:

2 ⇒⏞

; ;

~

=

EJERCICIO 30

Hallar la integral de Fourier para 1 || < 10 || > 1

Hasta n=10


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La integral de Fourier es 12 − 12 − − −

1

2 0. −

−

− 1 . −

− 0 . −

−

12 − − − 12 − − − 12 − − 22 − 2 −

− −

A forma trigonométrica:

1 − 1 ( ) −

1 cos − sen −

∴ , ∀ ∈ ℝ ± ±

→ → …

Converge al

promedio en

los puntos de

discontinuidad


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EJERCICIO 31

Utilizar el ejercicio anterior para deducir ∫ ∞−∞ Tomando

, que pertenece al intervalo, se tiene que

cos 1 ∀ ∈ ℝ, por lo que la

serie se reduce a:

0 2 Pero, recurriendo a la función original , se sabe que 0 1 por tanto:

1 2 ⇒ EJERCICIO 32

Hallar la integral de Fourier en forma trigonométrica del 13 suponiendo que estádefinida en el intervalo 1,1

La integral de Fourier trigonométrica es

1 cos

− cos sen

− sen

1 cos− cos sen− →


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1 2 sen 2 sen

2

2

, ∀ ∈ ℝ ± − + ∧ − +

∴ , ∀ ∈ ℝ ±

EJERCICIO 33

Hallar la integral de Fourier compleja del 13 12 − − − 12 − 1− −

12 − − −

12 2

−

2 2

−

2

−

− −


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EJERCICIO 34

Idem que 32 sabiendo que es imparSi se sabe impar

⇒ ∫

EJERCICIO 35

Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular definido por 1 || /2 La transformada es ℱ − −

−

− − −

2

−

2

EJERCICIO 36

Encontrar la transformada de Fourier de − > 00 < 0 con > 0 − − −+ −+

1 → −+


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→ −+ 1 → −+ 1 → − (cos ) ⇒

⇒ →−+

0

⇒ EJERCICIO 37

Si

ℱ hallar la transformada de Fourier de

.cos

. −− − 2 −− 12 (− −−)− 12 −−− 12 −+−

12 12

.

EJERCICIO 38

Sea

1 0 < <

0 > 0 hallar las transformadas infinitas de seno y coseno

: : } − }

Infinitésimo Acotado


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1 12 0

cos

cos 1

1 12 0 sen

sen 0

∧

EJERCICIO 39

Sea 1 1 < < 1 < < 1 < < 1

0 || > 1

hallar la transformada de Fourier

01∞ 112

1 1 12

12 11

12 0∞

1 − 1 − −

− − − − − 1

12 1 1 1 − − − 1 1 −

− 12 1


69/69

2 − − − −

2 −

1 −2 2 −2 2 −2

análisis de fourier - ejercicios resueltos

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