Análisis a posteriori de las situaciones problema

Para describir el trabajo realizado por los estudiantes hacemos el análisis a posteriori de

cada una de las actividades diferenciado en los tres grupos escogidos para analizar.

Actividad 1

La primera actividad tiene por objetivo hacer constatar que el polinomio tendrá valores a

veces positivos y otras veces negativos dependiendo del valor que tome x, los valores son

elegidos y por sustitución calculan el valor de la expresión.

Equipo 1: María y Paulo: Dan mayor énfasis en los cálculos numéricos para obtener el

valor de la función polinomial, identificando los distintos casos. Basan parte de su

procedimiento en propiedades de polinomios, a pesar que éste es desorganizado pues los

números a evaluar son escogidos al azar.

Desde el principio de la actividad, abordan el problema de forma numérica evaluando para

distintas x.

“Primero vi el polinomio y decía calcular el valor numérico entonces lo

primero que se me vino a la mente fue darme valores y reemplazar en el

polinomio…” (María)

Ambos estudiantes aseguran que al calcular f (x) para una determinadax podrán responder

las tres preguntas, su explicación se basa en las propiedades de polinomios.

“Para saber si era positivo o negativo tomaba un numero cualquiera y

calculé en el polinomio para ver e que numero me daba y entonces veía si

era positivo o negativo” (Paulo)

“Podemos hacer eso de reemplazar en la función por una propiedad de

polinomios y porque es una función” (María)

Los cálculos realizados les permiten identificar los tres casos posibles que puede tomar

f (x) según su signo, aunque no dan alguna explicación para esto.

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“Nosotros nos dimos el numero 1 primero, porque pensábamos que iba a ser

más fácil de calcular y saber si era positivo o negativo, pero nos dio cero y

entonces no sabíamos si sería positivo o negativo pero al seguir calculando

vimos que eran las tres” (Paulo)

Finalmente ambos resuelven la actividad llegando a la misma conclusión

“El signo de f(x) no es constante, varia y es positivo, negativo y también nos dio

que era cero en 1, porque depende del valor de la variable x” (Paulo)

Características:

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Figura n. Evaluaciones de la función

Figura n+1. Conclusión de la actividad

- Estiman que una estrategia numérica es la más óptima.

- Desorganizadamente calculan f (x) para distintos valores dex.

- Identifican los tres casos posibles sobre el signo que puede tomar f (x).

- Justifican algunos de sus procedimientos con propiedades de polinomios

- Justifican algunos resultados como f (x)=0, con el teorema del factor identifican

una raíz del polinomio.

Equipo 2: Pilar y Santiago, para tratar de comprender la situación, desarrollan el

polinomio que estaba factorizado y luego evalúan para diferentes x. Proceden a realizar

diversos cálculos innecesarios por lo que evaluar el signo de f (x) se les dificulta en

términos de operaciones algebraicas y tiempo, por lo anterior es que evalúan solo para

cuatro valores de x y en su intento por generalizar el comportamiento del signo de f (x) se

traduce un modelo que funciona en algunos puntos.

Desde el comienzo de la actividad mostraron dificultad al enfrentar la situación y

recurrieron a técnicas conocidas para trabajar con polinomios.

“Primero no entendíamos que teníamos que calcular, pero después se me ocurrió

que si desarrollábamos el polinomio íbamos a avanzar…” (Pilar)

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“Una vez que lo desarrollamos empezamos evaluar para un x cualquiera y ver

como se comportaba.” (Pilar)

“Tomamos distintos valores de x y lo reemplazamos en las x del polinomio”

(Santiago)

Del lado de las evaluaciones numéricas de la función polinomial (desarrollada) se percatan

que los valores serían negativos, esto por la limitación que implica en avaluar para una

pequeña muestra y la necesidad de generalizar para todo el dominio.

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Figura n+2. Desarrollo del polinomio

Figura n+3. Evaluar en el polinomio desarrollado

… “entonces de los valores que calculamos que fueron5, para x=1 y x=2nos

daba cero y con los otros tres que probamos nos daba negativo y así nos dimos

cuenta que iba a ser negativo” (Santiago)

Obtienen un modelo parcial que explica los cambios de signos e intentan generalizarlo, la

justificación de este modelo se basa en los cálculos obtenidos. No se complican con la

evaluación de sus cálculos y resultados.

Características:

- Estiman que es óptimo desarrollar el polinomio para trabajar con él.

- Desorganizadamente calculan f (x) para algunos valores dex.

- Identifican solo dos casos posibles sobre el signo que puede tomar f (x).

- Predicen a partir de escasas evaluaciones el signo de f (x).

- No entran en consideraciones estructurales sobre las propiedades que utilizan.

- Justifican algunos resultados como f (x)=0, con el teorema del factor identifican

una raíz del polinomio.

Equipo 3: Víctor y Linda, buscan la estructuración en la actividad utilizando propiedades

y definiciones, justificándolas con lenguaje matemático. Identifican regularidades

investigando los distintos casos que puede tomar el signo de f (x). Buscan un modelo

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Figura n+4.

Figura n+5. Teorema de Factor implícito

algebraico que resuelva no solo las preguntas del a actividad 1, si no que les lleve a

generalidades.

Desde el inicio de la actividad se observa una estrategia más organizada, comienzan

definiendo cada uno de los factores del polinomio para trabajar con ellos y lo siguiente que

realizan es obtener las raíces del polinomio, justificando las propiedades matemáticas que

utilizan.

“Nosotros nos fuimos directo a ver dónde se anulaban cada uno de los factores

del polinomio porque es ahí donde el polinomio no sería positivo ni negativo, para

luego analizar sus respectivos signos” (Víctor)

“… por la ley de los signos en multiplicación, si uno de los factores es cero, todo

el polinomio será cero, o es una propiedad de los reales, pero me asegura que

cuando un factor se anula, también el polinomio” (Víctor)

En la búsqueda de un modelo y luego de obtener las raíces del polinomio ordenan estas

raíces en una recta real sin ver el cambio de signos de forma puntual, si no que

extendiéndolo a aquellos intervalos que se forman entre las raíces.

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Figura n+6. En busca del modelo

“Sabíamos que en esas 5 raíces el polinomio era cero, pero nos preguntábamos

que pasa entre esas raíces” (Linda)

Para saber que sucedía en cada uno de los intervalos formados por las raíces del polinomio,

evaluaron el signo de cada intervalo en un punto y luego por la regla de los signos podían

determinar si el polinomio era positivo o negativo para ese punto sin necesidad de calcular

el valor numérico.

“Solo vi los signos, nunca evalué la x para tal valor y me dio 6 por ejemplo mayor

que cero” (Víctor)

“Bueno, y con lo que hicimos vimos que el signo no es contante, que puede ser

positivo, negativo y en cinco números nos da cero, que son las raíces del polinomio”

(Linda)

Mediante los signos obtenidos en las evaluaciones generalizan para obtener un método y

responden a las preguntas de la actividad.

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Figura n+7. Utilizan una estrategia organizada

Figura n+8.

Características:

- Extienden la visión local de la variación de signos de un polinomio desde una visión

puntual a una por intervalos.

- Buscan la estructura que está detrás.

- Trabajan organizadamente en busca de un método.

- Identifican los tres casos posibles sobre el signo de f(x)

- Justifican sus procedimientos y resultados con propiedades de polinomios como el

teorema de factor y teorema de raíz, también con axiomas del cuerpo ordenado de

los reales.

Actividad 2

La experiencia de la exploración de la variación de signo en los diferentes intervalos llevó a

los estudiantes a cuestionarse sobre los cambios de signos en el dominio total de la función,

tratando de generalizar ese método.

Equipo 1 (típico): María y Paulo, como esta actividad les pide un método que les permita

decidir rápidamente el signo de la expresión polinomial, este equipo se percata que los

intentos realizado en la actividad 1 son insuficientes.

Como nueva estrategia ellos consideran ahora las raíces de la función como elemento

determinante en el signo de la función. En este equipo el teorema del factor llega tarde.

“Bueno, en esta actividad, al principio evaluamos para más valores, pero eso no

nos llevaba a mucho porque a veces nos daba positivo y otras veces negativo, pero

no podíamos responder rápidamente” (María)

“Me di cuenta que las raíces eran importantes y estaba el teorema fundamental

(del cálculo) que nos decía que el grado del polinomio iba a decir la cantidad de

raíces que iba a tener y entonces, nosotros,…. nuestro polinomio tendría 5 raíces”

(Paulo)

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Esto podría ayudar entonces a generalizar la regularidad encontrada en distintos intervalos

de los análisis locales.

“Encontramos las raíces y eso es cuando la función es 0, se hace cero y ya

sabíamos que sucedía ahí ahora faltaba ver qué pasaba en el resto de puntos y

pusimos los distintos casos que tomaría” (Paulo)

“Hicimos intervalos que estaban limitados por decirlo así, por las raíces y por los

infinitos, son intervalos abiertos donde queremos saber si es positivo o negativo”

(Paulo)

Buscan una estrategia variante (referirse al analsis a priori). Evaluan para cada caso y

observan que el signo permanecerá constante en ese intervalo (Teorema de Bolzano).

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Figura n+9. Las raíces como elemento importante en la variación de signos.

Figura n+9. El dominio de la función queda determinado por seis intervalos.

“Fuimos calculando… pero queríamos estar seguros y evaluamos y llegamos a la

conclusion de que serían o todo positivo o todo negativo” (María)

“Ademas, vimos que iban alternadamente; uno positivo, uno negativo, uno

positivo y así” (María)

Si María no ve claro que los cambios de signo se producen entre las raíces, Paulo parece

tener claro que basta con tomar un solo valor para descubrir el signo. Buscan la economía.

“Si nos preguntan por un valor nosotros buscamos a que intervalo pertenece ese

valor y podemos saber si es positivo o negativo, es una forma rápida y sin tener

que calcularlo” (Paulo)

Descubren un método que les permite predecir el signo de la función y explican su

funcionamiento, de esta manera, comprenden que los cambios de signos se producen entre

las raíces.

Características:

- Reconocen que la estrategia numérica hecha por ellos en la actividad 1 no alcanza

para resolver la presente actividad.

- Consideran las raíces del polinomio como valores importantes a la hora de

determinar el signo de la función.

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Figura n+10. El signo permanecerá constante en cada uno de los casos

- Identifican los intervalos comprendidos por raíces en los que el signo permanece

constante.

- Justifican algunos de sus procedimientos con propiedades de polinomios

- Aplican teorema de Bolzano al reconocer que los cambios de signo se producen

entre las raíces.

- Comprenden de que se trata en el fondo y como podría decir eso.

Equipo 2 (con dificultades): Pilar y Santiago, realizan una generalización del

comportamiento del signo de f (x) a partir de situaciones particulares cuando evalúan para

x = 0, 1, 2 y 3.

Para valores específicos de x≥ 3 y de x<0 obtienen el signo de la expresión polinomial

negativo. Extienden este comportamiento de del signo de la expresión polinomial sin un

análisis crítico ni tampoco se cuestionan por las raíces del polinomio que los conduzca a la

aplicación del teorema de Bolzano sino, más bien se conforman calculando numéricamente

el signo de la expresión solo para casos concretos.

Cambian el conjunto numérico en el que estructuran su modelo, consideran el conjunto de

los enteros, lo que crea una visión fragmentada de los cambios de signo.

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“Nosotros en la Actividad 1 evaluamos para algunas x, y concluimos que la

función era negativa para los valores mayores o iguales que tres y para los

menores que cero. Y entre el cero y el tres, es cero en 1 y en 2” (Santiago)

Transfieren el contexto de lo que aprendieron en la actividad 1, no buscan la regularidad del

signo en la extensión de los casos locales. Siguen luchando por comprender.

Características:

- Se quedan con una contextualización de la actividad 1.

- Identifican solo dos casos posibles sobre el signo que puede tomar f (x).

- Predicen a partir de casos particulares el signo de f ( x )∀ x∈Domf .

- No entran en consideraciones estructurales sobre los cambios de signo.

- No se cuestionan sobre la validez del método que transfieren de la actividad 1.

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Figura n+11. Generalización de un método a partir de situaciones particulares

Equipo 3: Víctor y Linda, este grupo es el fuerte que en la actividad 1 llegan a estructurar.

Explican el funcionamiento de un método utilizando el teorema de Bolzano. No solo

explican, si no que también organizan, sintetizan y validan el método.

Buscan estructurar el método que encontraron en la actividad 1.

“Una parte de la actividad 2 se puede responder un poco con la actividad 1,

encontramos cuando sería positivo y cuando sería negativo, solo nos falta

ordenarlo un poco más” (Linda)

Para organizar y sintetizar el método que buscan aplican el teorema de Bolzano de la

siguiente manera.

“Para saber el signo de cualquier valor que nos digan, nosotros veremos en cuál

de los seis intervalos vive esa x, y tomará el signo que tenga ese intervalo”

(Víctor)

“Nosotros vimos que el signo de la función no es contante en todo el dominio,

pero si es contante en cada uno de los intervalos”(Víctor)

Características:

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Figura n+12. Organización del método de los cambios de signo de f (x)

- Extienden y aplican la propiedad de la conservación del signo.

- Utilizan el teorema de Bolzano para reconocer el cambio de signo.

Actividad 3

Los estudiantes necesitan validar la generalización de un método que permita identificar los

cambios de signo, para su validación los estudiantes transfieren su método a un cuadro

gráfico (Cambios de Cuadro).

Equipo 1 (típico): María y Paulo, aplican el teorema de Bolzano al concluir que en cada

intervalo comprendido por dos raíces el signo permanecerá constante.

Utilizan una estrategia asociada a los intervalos, luego de graficar toman uno de los

intervalos y analizan que sucede con el cambio de signo

María y Paulo intentan dar respuesta a los cambios de signo, generalizando y considerado

que las raíces son importantes en los cambios de signo.

“Podemos decir que en ese intervalo será constantemente negativo porque no hay

más raíces, si no supiéramos que no hay raíces entonces podría pasar cualquier

cosa, pero como no hay más raíces, no van a haber más cambios de signo”

(Paulo)

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Figura n+9. Conservación de signo en los intervalos.

“Entonces la clave está en las raíces, para que cambie de signo la función tiene

que haber una raíz, porque las funciones lineales tienen una raíz y cambian una

vez el signo…” (Paulo)

A través del cuadro gráfico extienden el resultado anterior a todo el dominio, concluyendo

que sucede con la permanencia del signo hacia el infinito.

“Y como en el primer y último intervalo podemos decir que no hay más raíces,

porque ya las encontramos todas entonces e… el signo será negativo hasta el

infinito positivo y será positivo por todo el infinito negativo” (María)

Enuncian parte del Teorema de Bolzano al percatarse lo que sucede para dos x que entre

ellas se encuentre una raíz, ellos escogieron para x=−7 y x=−3.

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Figura n+9. Conservación de signo hacia el infinito.

Figura n+9. Las raíces nos permiten el cambio de signo.

“Al evaluar en -7 nos da positivo, y en -3 negativo esto pasa por que hay una raíz

que es el -5, entonces si tomamos para dos x con la condición de que entre ellos

haya una raíz, su evaluación será una positiva y la otra negativa” (María)

“Hacer estas rectas nos ayudó a ver los signos, y ver que las raíces eran

importantes para tener cambios de signo, en realidad, si no hay raíz, tampoco

habrá cambio de signo” (Paulo)

En esta actividad enuncian el Teorema de Bolzano, a partir de las representaciones graficas

validan lo obtenido en las actividades anteriores. Buscan la Reformulación.

Equipo 2 (con dificultades): Pilar y Santiago, realizan la representación gráfica de las

rectas e intentan responder a las preguntas, sin embargo se les dificulta mucho pues no

llegaron a encontrar un método que explicara los cambios de signo de la función

polinomial.

Las conclusiones a las que llegan se basan solo en la exploración de casos puntuales, sin

considerar las propiedades que las justifican.

No muestran iniciativas por extender el dominio de trabajo, solo se limitan a responder las

preguntas de la actividad.

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Figura n+9.

“La grafica no se parece a lo que encontramos en la actividad anterior, pero

pudimos ver las raíces del polinomio” (Santiago)

“Los valores que están entre dos raíces, y los que están en las raíces pueden ser

positivos o negativos, tampoco podemos decir mucho sobre el signo” (Pilar)

Responden parte de las actividades sin organizar o validar sus respuestas, no consideran las

raíces del polinomio como un elemento importante al considerar los cambios de signo. Este

equipo a lo largo de la situación se esfuerza por comprender.

Equipo 3: Víctor y Linda, recurren a una estrategia asociada a las rectas (Ver sección

1.1.3.1) en las que los estudiantes validan a través de las representaciones graficas de las

rectas asociadas a los factores lineales el método numérico de la actividad 2.

Los estudiantes en la actividad 2 llegaron a conjeturar sobre la conservación del signo en

los intervalos comprendidos por dos raíces. En esta actividad ganan la visualización de las

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Figura n+9..

rectas por lo que explican que en ese intervalo el signo no podría variar pues no existe

ninguna otra recta que corte en ese intervalo.

“Con las rectas podíamos ver qué pasaba en toda la función, y que pasaba en los

intervalos… y los intervalos se mantiene el signo porque en el intervalo de -5 y -

1/4 por ejemplo no pasa ninguna otra recta que corte el eje x” (Linda)

Víctor generaliza el método que descubren en la actividad anterior justificando las

propiedades con una aproximación al teorema de Bolzano desde la representación gráfica.

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Figura n+9..

“y eso sucede en cada intervalo, también hacia el infinito… podemos verlo

también, como que si suponemos que cambia hacia el infinito entonces debería

haber otra recta que cortara ese intervalo, sería una recta que no vemos, pero si

hay otra recta entonces la función no sería de grado cinco, sería de grado 6 y la

función estaría mal escrita” (Víctor)

Enuncian el reciproco de la conclusión obtenida anteriormente; si se tiene que al evaluar

para distintas x, la función tiene signos opuestos entonces necesariamente debe existir una

raíz. Ellos se refieren a esto desde las representaciones gráficas.

“Nosotros tomamos los valores -6 y -4 y como entre ellos pasa la recta y=x+5 el

signo de f (−6) y de f (−4) será opuesto, esto lo podemos saber incluso sin

calcular y funciona para cualquieras dos valores en nuestra función.” (Linda)

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Figura n.

Figura n+9.

Víctor y Linda transfieren a un cuadro grafico el método obtenido en la actividad 2 y

validan las conclusiones a las que habían llegado utilizando y enunciando con sus palabras

el Teorema de Bolzano visto a través de las rectas. Ellos están sobre la estructuración.

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