ANALISI DI GALLERIE SUPERFICIALI CON UN METODO AGLI ELEMENTIFINITI NON CONVENZIONALE

Callari C.Universita di Roma “Tor Vergata”, Dipartimento di Ingegneria Civile

XXI Convegno Nazionale di Geotecnica, L’Aquila, 11-13 settembre 2002

SOMMARIOSi presentano i risultati ottenuti dall’applicazione di un nuovo metodo agli elementi finiti all’analisi di gallerie superficiali.Principale obiettivo della ricercae valutare gli effetti della localizzazione delle deformazioni sulla stabilita della galleriae sugli spostamenti indotti in superficie. Nello studio sono considerati i casi di scavo in terreni asciutti e saturi. Ivantaggi derivanti dall’impiego del nuovo metodo agli elementi finiti sono evidenziati dal confronto con i risultati dellaformulazione convenzionale.

1 INTRODUZIONE

Numerosi studi sperimentali hanno evidenziato comele deformazioni indotte dallo scavo di gallerie superfi-ciali tendano a concentrarsi in bande di esiguo spessore(Mair, 1979; Hansmire e Cording, 1985; Sterpi, 1999).La propagazione di queste “bande di taglio” dalla galleriaverso la superficie puo condurre alla formazione di mecca-nismi di collasso della volta o del fronte di scavo. Pertanto,l’analisi di stabilita di gallerie poco profonde e, in am-biente urbano, la previsione degli spostamenti in superfi-cie richiedono formulazioni numeriche (agli elementi finiti,alle differenze finite, ecc.) capaci di simulare efficacementela concentrazione delle deformazioni. Purtroppo, i metodinumerici “convenzionali” mostrano notevoli difficolta nelcogliere i fenomeni di localizzazione. E’ inoltre noto chegli stati deformativi localizzati eventualmente ottenuti contali formulazioni standard dipendono in misura non trascu-rabile dalla discretizzazione adottata. Con riferimento allegallerie superficiali,e opinione di alcuni ricercatori che talilimiti dei metodi numerici convenzionali possano almenoin parte spiegare perche le curve di subsidenza ottenute dalcalcolo siano spesso piu estese ed appiattite di quelle osser-

vate in sito (Adachi et al., 1985; Ribacchi, 1993; Gioda eLocatelli, 1999).

Analisi numeriche della localizzazione delle defor-mazioni indotta dallo scavo di gallerie in mezzi asciuttisono presentate in (Sterpi, 1999; Callari, 2002). Uno stu-dio di tale fenomeno nel caso di scavo in ammasso saturoe sviluppato in (Callari, 2002b). In particolare, in questiultimi due lavori si applica il nuovo metodo agli elementifiniti con “discontinuita forti”. Con tale metodo si proponedi modellare la banda di taglio, vista l’esiguita del suo spes-sore, come una superficie di discontinuita negli spostamenti(Simo et al., 1993). L’analisi di queste “discontinuita forti”e la corrispondente formulazione agli elementi finiti “en-hanced”e sviluppata per il problema puramente mecca-nico in (Armero e Garikipati, 1995; Callari e Lupoi, 2001).Un’estensione di tale metodo al caso accoppiato di mezzoporo-elastoplastico saturoe riportata in (Armero e Callari,1999; Callari e Armero, 2001). In questi lavori si dimostracome il metodo alle discontinuita forti sia capace di cogliereefficacemente i fenomeni di localizzazione e di fornire unasoluzione indipendente dalla discretizzazione adottata. Sisottolinea, inoltre, come l’approccio alle discontinuita forti

Figura1. Cinematica delle discontinuita forti

sia sviluppato nell’ambito dei modelli dell’elasto-plasticitaclassica, comunemente adottati nella pratica ingegneristica.L’impiego del metodo non richiede quindi la valutazione diparametri “non standard” (come, ad esempio, la cosiddetta“lunghezza caratteristica”).

Nel presente lavoro si riassumono i principali risultatiottenuti nelle applicazioni di questo nuovo metodo aglielementi finiti all’analisi della localizzazione indotta dalloscavo di gallerie superficiali in terreno asciutto (Callari,2002) e saturo (Callari, 2002b). Con tale ricerca si voglionovalutare i vantaggi derivanti dall’impiego del metodo allediscontinuita forti, mediante confronto con i risultati dellaformulazione convenzionale. Un altro obiettivoe studiarel’influenza della velocita di avanzamento dello scavo sullastabilita della galleria e sugli spostamenti indotti in super-ficie. Nel seguito, si riassumono quegli aspetti della trat-tazione delle discontinuita forti in mezzi porosi elasto-plastici (Par. 2) e della corrispondente formulazione aglielementi finiti (Par. 3) che sono utili alla comprensione delleanalisi numeriche di gallerie superficiali commentate nelPar. 4.

2 DISCONTINUITA’ FORTI IN MEZZI POROSIELASTO-PLASTICI

Studi sperimentali su mezzi porosi saturi hanno evi-denziato come, in presenza di localizzazione, il concen-trarsi della dilatanza lungo sottili bande determini un ab-bassamento delle pressioni neutre (cioe un incremento deglisforzi efficaci) ed il conseguente flusso del fluido verso talibande (Han e Vardoulakis, 1991; Viggiani et al., 1994).Questa interazione tra lo scheletro solido ed il fluido in-terstiziale ha un’influenza determinante sulla propagazionedella rottura e quindi sulla formazione di eventuali mecca-nismi di collasso. L’analisi teorica e la simulazione numer-ica di questi fenomenie affrontata in (Armero e Callari,1999; Callari e Armero, 2001), dove si studia la presenza didiscontinuita forti in mezzi porosi elasto-plastici saturi. Nelseguito si riassumono i principali risultati di tale ricerca.

Nel mezzo poroso saturoΩ si indicano rispettivamentecon u e qw i campi di spostamento e di flusso del fluido“a grande scala”, cioe definiti nell’intero dominio e soddis-facenti le condizioni di regolarita standard. In particolare ilflusso a grande scalae fornito dalla legge di Darcy:

qw = −ρwk(∇p − ρwg) (1)

doveρw e la densita del fluido,k il tensore di permeabilita,p il campo delle pressioni neutre eg il vettore di accelera-

zione gravitazionale. Nel presente lavoro si assumono comepositivi gli sforzi di trazione e le pressioni neutre di com-pressione. Il bilancio della massa fluidae espresso nellaforma:

M = − div qw (2)

dove M e il contenuto fluido a grande scala, cioe la va-riazione della massa fluida (rispetto al valore iniziale) pervolume iniziale unitario del mezzo poroso (Biot, 1941).

2.1 Soluzioni discontinue in un mezzo poroso

In questo paragrafo si introducono campi di sposta-mento e di flusso “a piccola scala”, cioe definiti in un in-tornoΩx del puntox ∈ Ω (Fig. 1); questi campi presentanouna discontinuita in corrispondenza di una superficieΓx dinormalen in x:

uµ = u + ζ ΨΓx qwµ = qw + υ ΨΓx in Ωx

con ΨΓx = HΓx −NΓx

(3)

doveHΓxe la funzione di Heaviside definita suΓx, eNΓx

e una generica funzione regolare. Si osservi che i vettoriζ e υ coincidono rispettivamente con i salti negli sposta-menti e nel flusso in corrispondenza diΓx, cioe: [[uµ]] = ζe [[qwµ ]] = υ. Secondo la teoria delle distribuzioni, i campidi deformazione e del contenuto fluido corrispondenti alle(3), sono rispettivamente:

εµ := ∇suµ = ε︸︷︷︸

regolare

+ (ζ⊗ n)s δΓx︸ ︷︷ ︸distrib. singolare

Mµ := −divqwµ = ˙M︸︷︷︸

regolare

− υ · n δΓx︸ ︷︷ ︸distrib. singolare

(4)

doveδΓx e la distribuzione delta di Dirac definita suΓx e:

ε := ε(u) + ΨΓx ∇sζ− (ζ⊗∇NΓx)s

˙M := M −ΨΓx ∇υ : 1+ υ · ∇NΓx

(5)

con M = M(qw) fornito dalla (2). Si osservi che la (5)2

rappresenta il bilancio della massa fluidanel continuoΩx − Γx. Invece, il bilancio di massa fluidalocalizzatonella discontinuita Γx e fornito dalla seconda parte della

(4)2, cioe ˙M = −υ · n, doveM rappresenta il contenutofluido per area unitaria della superficieΓx. Infine, si sotto-linea come con questo approccio il campo delle pressionineutre rimangacontinuo.

2.2 Discontinuita forti in un modello poro-elastoplasticodilatante

I campi discontinui considerati nel paragrafo prece-dente sono introdotti in un modello di mezzo elasto-plasticoporoso saturo con decomposizione additiva delle defor-mazioni e del contenuto fluido (Biot, 1941; Coussy, 1995):

εµ = εeµ + εp

µ Mµ = Meµ + Mp

µ (6)

In forma incrementale, le equazioni costitutive sono:

σ = σ′ − b p 1 con σ′ = Cskεeµ (7)

Figura2.Funzione discontinuaΨΓe per l’interpolazione di sposta-menti e flusso del fluido

p =Q

ρwo

[Me

µ − ρwob εeµ : 1

](8)

doveσ′ e il tensore di sforzo efficace di Biot, Csk il ten-sore costitutivo elastico in condizioni drenate,Q il modulodi Biot e b il coefficiente di Biot. Viene preso in consi-derazione il caso di softening isotropo caratterizzato dallavariabile interna cinematicaαµ e dalla variabile tensionaleconiugatai. Nel caso associato, l’evoluzione delle variabiliplasticheεp

µ, αµ eMpµ e fornito dalle equazioni:

εpµ = γ ∂σfsk αµ = γ ∂ifsk Mp

µ = ρwo b εpµv (9)

dove la funzione di snervamentofsk(σ′, i) e definita in ter-mini di sforzi efficaci eεp

µv := εpµ : 1 e la deformazione pla-

stica volumetrica. Il parametro di coerenzaγ e determinatomediante le condizioni di carico/scarico di Kuhn-Tucker.

La trattazione presentata in (Armero e Callari, 1999;Callari e Armero, 2001) dimostra come i campi discon-tinui degli spostamenti e del flusso (3) siano coerenti conla teoria classica dei mezzi poro-elastoplastici saturi soprarichiamata. In particolare si dimostra come la perdita di el-litticit a del tensore elastico perfettamente plasticodrenatocostituisca una condizione necessaria per la localizzazionedelle deformazioni. Inoltre, si osserva come la legge di soft-ening vada reinterpretata; essa, infatti, none piu definita nelcontinuoΩ− Γ (legame tensione-deformazione), ma local-mente sulla discontinuitaΓ (legame fra sforzo e salto neglispostamenti). Si ricavano, quindi, le relazioni fra stato ten-sionale, salto negli spostamenti e salto nel flusso in cor-rispondenza della discontinuita.

Queste relazioni generali sono applicate in (Callari eLupoi, 2001) al caso particolare di un modello elasto-plastico associato, considerato nelle analisi numeriche pre-sentate piu avanti e definito dalla seguente funzione di sner-vamento di Drucker-Prager:

fsk (σ′, i) = ‖s‖+ β13

σ′ : 1+

√23

i (10)

dove s = dev(σ′) e la parte deviatorica del tensore deglisforzi efficaci e il coefficienteβ e un parametro del modello.

In stato di deformazione piano e indicando cont latangente aΓx, la dilatanzalocalizzatapuo essere definitacome:Φ := ζn/|ζt|, doveζn := ζ ·n eζt := ζ · t sono rispet-tivamente le componenti normale e tangenziale del saltonegli spostamenti (Fig. 1). Per il modello considerato, leespressioni della dilatanza localizzata e della giacitura della

-1.68E-03

-1.40E-03

-1.12E-03

-8.41E-04

-5.61E-04

-2.80E-04

-1.96E-03

0.00E+00

HORIZ. DISPLACEMENT

Current ViewMin = -1.96E-03X =-5.89E-03Y = 1.35E-01

Max = 0.00E+00X = 4.00E-02Y = 0.00E+00

Time = 2.91E+02Time = 3.41E+02

Figura 3. Simulazione di una prova di compressione piana“drenata” con il FEM alle discontinuita forti accoppiato. Reticolodeformato di2× 4× 14 elementi con distribuzione degli sposta-menti orizzontali (Callari e Armero, 2001)

discontinuita sono:

Φ =√

2 β

2√

1− 2β2/3θ =

12

arctan

[sign(ζt)

Φ

](11)

dove θ e l’angolo fran e la direzione della tensione princi-pale massima nel pianoe1 (Fig. 1). Se si indicano conσ′1,σ′2 le tensioni principali nel piano (σ′1 ≥ σ′2) e cons3 la ten-sione deviatorica principale normale al piano, la condizionedi localizzazione assume la forma:

‖s‖r

=

√2

1− β2/6con r =

σ′1 − σ′22

(12)

oppurela forma equivalente:s3 + (1/3)β = 0. Inoltre, sesi indica conH il modulo di softening localizzato, la re-lazione costitutiva definita sulla discontinuita fra gli incre-menti dello sforzo e del salto negli spostamentie:

τΓx sign(ζt) + Φ σ′Γx=

H3− 2β2

|ζt| (13)

dove τΓx := t′Γx· t e σ′Γx

:= t′Γx· n sono rispettivamente

le componenti tangenziale e normale del vettore tensionet′Γx

= σ′n|Γxagente suΓx. Infine, il contenuto fluido loca-

lizzatoe espresso dalla:

˙Mµ := −υ · n = ρwob Φ|ζt| (14)

Quest’ultima equazione dimostra che la presenza di unasingolarita nel contenuto fluidoe causata dalla localizza-zione della dilatanza sulla superficieΓx.

E’ noto che in stato piano di deformazione, laseguente espressione del coefficiente di Drucker-Pragerβ = [(6 sin2 ϕ)/(3 + sin2 ϕ)]1/2 in termini dell’angolo diattrito ϕ conduce alla stessa previsione di dilatanza nelcontinuo che caratterizza il modello di Mohr-Coulomb. Lasostituzione di questa espressione nelle equazioni (11) for-nisce:Φ = tanϕ e θ = ±(π/4− ϕ/2), come era da aspet-tarsi. Si osservi, in particolare, come la relazione costitutivadi post-localizzazione (13) assuma una forma di tipo Mohr-Coulomb per effetto dellaΦ = tanϕ.

(a)

(b)Figura 4. Simulazione di una prova di compressione piana“drenata” con FEM allediscontinuita forti accoppiato. Risultatiottenuti con le mesh di2× 4× 14 e2× 8× 28 elementi: reazioniverticali (a) e pressioni neutre (b) in funzione dello spostamentoverticale imposto (Callari e Armero, 2001)

3 FORMULAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI

La trattazione richiamata nel precedente paragrafoeimplementata in un nuovo metodo agli elementi finiti in(Callari e Armero, 2001; Callari e Lupoi, 2001), identi-ficando l’intornoΩx con l’elementoΩe,loc dove si e de-terminata la localizzazione delle deformazioni. In partico-lare, la funzioneΨΓx in (3) viene approssimata mediantel’interpolazione discontinua rappresentata in Figura 2. Icampi di spostamento e di flusso “a grande scala” sonoinvece rispettivamente approssimati da interpolazioni iso-parametriche degli spostamenti nodalide e delle pressionineutre nodalipe, mediante le rispettive funzioni di formaNu

e (x) eNpe(x). Pertanto, se si indica conze = [ζne

; ζte]T il

vettore delle componenti del salto negli spostamenti, i cor-rispondenti campi “enhanced” di deformazione e di flussosono rispettivamente:

εe = Bue de

︸ ︷︷ ︸conforme

−Ge ze + Pe ze δΓ

︸ ︷︷ ︸enhanced

qwµ = − ρwok (Bpepe − ρwog)

︸ ︷︷ ︸conforme

+υe ΨΓe

︸ ︷︷ ︸enhanced

(15)

dove Bue := ∇Nu

e (x), Bpe := ∇Np

e(x) sono i tipici opera-tori conformi eGe = [(n⊗ n(i))s/h(i) ; (t ⊗ n(i))s/h(i)],Pe = [n⊗ n ; (t ⊗ n)s] sono gli operatori enhanced. Si sot-tolinea che in questa formulazione non si introduce nes-suna regolarizzazione dei campi discontinui (spostamentie flusso).

Figura 5. Simulazione di una prova di compressione piana“drenata” con FEM accoppiatoconvenzionale. Risultati ottenuticon le mesh di2× 4× 14 e 2× 8× 28 elementi: reazioni ver-ticali in funzione dello spostamento verticale imposto (Callari eArmero, 2001)

In estrema sintesi, il metodo proposto prevede lasoluzione del sistema costituito dalle formulazioni debolidelle equazioni di equilibrio e di bilancio della massa flu-ida, sia nel continuoΩ−Γ che sulla discontinuitaΓ. Questosistema di equazioni non lineari viene risolto mediante unalgoritmo di Newton-Raphson, effettuando l’integrazionenel tempo con uno schema di Eulero “all’indietro”. Lasoluzione dell’equazione di equilibrio sulla discontinuitafornisce il salto negli spostamentize. Questa variabile lo-cale enhancede quindi eliminata mediante una proceduradi condensazione statica.

Il modello elasto-plastico del continuoΩ− Γ e integratocon un algoritmo implicito “return-mapping”. Un algoritmoimplicito non convenzionalee utilizzato per l’integrazionedell’equazione costitutiva (13) definita sulla discontinuita.

Si sottolinea che al reticolo di elementi finiti non vieneapriori fornita alcuna informazione circa la posizione dellasuperficie di localizzazione. L’innesco e la propagazionedella discontinuita e invece regolata durante il calcolo dauna procedura che utilizza la condizione di localizzazione(12) e l’espressione (11)2 della giacitura della discontinuita.

Per verificare l’efficacia del metodo proposto, sono statiesaminati numerosi esempi numerici rappresentativi. InFig. 3 si riportano i risultati della simulazione di una provadi compressione piana nella quale si permette il drenaggioalle basi del provino. La provae simulata utilizzando duediverse discretizzazioni del provino, in 112 (Fig. 3) e in 448elementi. Le corrispondenti soluzioni sono praticamentecoincidenti sia in termini di reazioni verticali (Fig. 4a)che di pressioni neutre (Fig. 4b), dimostrando l’obiettivitadel metodo proposto. Inoltre, nonostante la grossolana dis-cretizzazione mostrata in Fig. 3, si verifica l’efficacia delmetodo enhanced alle discontinuita forti nel cogliere lalocalizzazione delle deformazioni. Invece, la simulazionedella stessa prova effettuata con il metodo agli elementifiniti convenzionale conduce ad una soluzione fortementedipendente dalla discretizzazione adottata, sia in termini direazioni verticali (Fig. 5) che di pressioni neutre. Il metodoconvenzionale mostra inoltre notevoli difficolta nel cogliereil fenomeno di localizzazione (Callari e Armero, 2001).

Tabella1. Parametri adottati nelle simulazioni numeriche delloscavo in terreno saturo

densita terrenosaturo ρ 2.0 · 103 kg/m3

modulo di Young drenato Esk 20000 kPacoefficiente di Poisson drenato νsk 0.35coefficiente di Drucker-Prager β 0.56tensione di snervamento inizialeσy 63.41 kPa

modulo di softening localizzato H −1 kPa/mmodulo di softening nel continuoH 0 kPacoefficiente di Biot b 1.0modulo di Biot Q 3.33 · 106 kPapermeabilita kh 1.0 · 10−7 m/sdensita del fluido ρwo 1.0 · 103 kg/m3

10 m

10 m

20 m

100 m

impervious

f(t) p(t)

p=0

p=p0

rg

Figura6.Scavo di una galleria in terreno saturo. Schema piano delproblema con indicazione dei carichi e delle condizioni al con-torno, incluse le forzef(t) e le pressioni neutrep(t) “di scavo”applicate sul contorno del cavo

4 ANALISI NUMERICHE

Il nuovo metodo agli elementi finiti richiamato nel para-grafo precedentee stato applicato all’analisi della localiz-zazione indotta dallo scavo di gallerie superficiali in ter-reno asciutto (Callari, 2002) e saturo (Callari, 2002b). Nelpresente paragrafo si commentano alcuni risultati relativialla simulazione numerica dello scavo a sezione piena diuna galleria circolare non rivestita. Tale simulazione puo es-sere effettuata in stato piano di deformazione estendendo alcaso di terreno saturo un noto approccio semplificato (Panete Guellec, 1974), che prevede lo scarico delle cosiddette“forze di scavo” applicate sul contorno della galleria:

f(t) := [1− λ(t)]f0 (16)

dove le f0 sono le azioni di superficie che equilibrano lostato tensionale preesistente allo scavo e il carico gravi-tazionaleρg (Fig. 6). Il coefficiente di scaricoλ(t) ∈ [0; 1]descrive l’evoluzione delle forze di scavo dall’istantet0(pert < t0 eλ(t) = 0) all’istantetu corrispondente al totalescarico del contorno del cavo (pert ≥ tu eλ(t) = 1).

Per simulare efficacemente gli effetti tridimensionalidello scavo, si devono imporre anche adeguate condizionidi drenaggio. In particolare, nel caso qui considerato digalleria non rivestita scavata a pressione atmosferica, sulcontorno del cavo sono applicate, in aggiunta alle (16), leseguenti “pressioni neutre di scavo” (Figura 6):

p(t) := [1− α(t)]p0 (17)

dovep0 e il campo delle pressioni neutre preesistente alloscavo e il coefficienteα(t) ∈ [0; 1] descrive l’evoluzione

Time = 2.59E+06Time = 2.59E+06

-6.08E-01

-4.79E-01

-3.49E-01

-2.20E-01

-9.12E-02

3.79E-02

-7.37E-01

1.67E-01

VERT.DISP(m)

Current ViewMin = -7.37E-01X = 0.00E+00Y = 2.78E+01

Max = 1.67E-01X = 1.83E+00Y = 2.10E+01

Time = 2.59E+06Time = 2.59E+06

Figura 7. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM allediscontinuita forti. Particolari del reticolo deformato con dis-tribuzioni degli spostamenti verticali. Risultati ottenuti per la ve-locita di scaricovλ2 (va2 = 1.00 m/giorno) al termine della fasedi scavo (λ = 1.00)

(a) (b)Figura8. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM alle dis-continuita forti. Campi di spostamento e elementi con localizza-zione: a) velocita di scavovλ1 (va1 = 5.00 m/giorno), dopo iltermine della fase di scarico (t/Tu = 1.25); b) velocita di scavovλ4 (va4 = 0.01 m/giorno), durante la fase di scarico (λ = 0.80).Gli spostamenti sono normalizzati rispetto al valore massimo

delle condizioni di drenaggio dall’istante inizialetp0

(per t < tp0 e α(t) = 0) all’istante tpu corrispondenteall’annullamento delle pressioni neutre sul contorno delcavo (pert ≥ tpu eα(t) = 1). Analogamente a quanto ipo-tizzato per le forze di scavo (Panet e Guellec, 1974), le pres-sioni neutre di scavo (17) sono introdotte come condizionidi drenaggiofittizie “equivalenti”, cioe capaci di riprodurrenello schema piano le stesse componenti del campo diflusso che caratterizzano la reale procedura di scavo tridi-mensionale. Con questo approccio, gli intervalli di tempoTu := tu − t0 eTp := tpu − tp0 caratterizzano la presenza,nella sezione considerata, di effetti dell’avanzamento delfronte di scavo, rispettivamente in termini di spostamentie di moto del fluido.

Per spiegare i motivi che hanno condotto all’introduzionedelle “pressioni neutre di scavo”, si ricorda che le analisiin deformazione piana di cavita con contorno permeabilescavate sotto falda sono tipicamente eseguite adottando unapproccio “limite”. In particolare, nel caso di ammassomolto permeabile si prende normalmente in considerazioneil metodo disaccoppiato “alle tensioni efficaci” (Lembo-

(a)

(b)Figura9. Analisi dello scavo in terreno saturo con FEM alle dis-continuita forti. Pressioni neutre nel punto P in prossimita del cavo(a) e spostamenti verticali in calotta (b) in funzione del coeffi-ciente di scaricoλ. Risultati ottenuti per diverse velocita di scavo

Fazio e Ribacchi, 1984). Invece, nel caso di terreno pocopermeabile si assume tipicamente che la risposta allo scavosia non drenata, cioe che lo scarico totale della galleriasia istantaneo (Tu = 0). Dopo quest’analisi disaccoppiata,le condizioni di drenaggio sono anch’esse istantaneamenteapplicate sul contorno del cavo (Tp = 0) e il decorso dellarisposta dell’ammassoe studiato con un metodo accoppiato(Cividini et al., 1985). Tuttavia, questi approcci non permet-tono di valutare l’influenza della velocita di avanzamentodel fronte sulla risposta dell’ammasso allo scavo. Pertanto,le analisi descritte nel seguito sono svolte utilizzando laprocedura espressa dalle equazioni (16) e (17), ponendotp0 = t0 = 0 e adottando le seguenti evoluzioni nel tempodei coefficienti di scarico e di drenaggio:

λ(t) =

t

Tuper 0 ≤ t ≤ Tu

1 per t > Tu

α(t) =

t

Tpper 0 ≤ t ≤ Tp

1 per t > Tp

(18)

I tempi di scarico e di drenaggio sono rispettivamente cal-colati mediante le relazioni approssimate:Tu = 3D/va eTp = D/va = Tu/3, doveD e va sono rispettivamente ildiametro della galleria e la velocita media di avanzamentodel fronte.

Le analisi sono eseguite utilizzando un reticolo di720elementi finiti quadratici (Fig. 7). Come sie osservato

(a) (b)Figura10. Analisi dello scavo in terreno asciutto. Campi di sposta-mento perλ = 0.83: a) FEM alle discontinuita forti (sono eviden-ziati gli elementi con localizzazione); b) FEM convenzionale. Glispostamenti sono normalizzati rispetto al valore massimo

Figura11. Analisi dello scavo con FEM alle discontinuita forti.Spostamenti verticali in calotta in funzione del coefficiente discaricoλ. Confronto fra i casi di ammasso asciutto e saturo

nel Par. 3, nessuna informazione vienea priori fornitaalla mesh circa l’orientamento di eventuali superfici didiscontinuita degli spostamenti e del flusso. I parametridell’ammasso saturo sono riportati in Tab. 1. L’angolo diattrito ϕ = 24 e una coesione drenata di circa30 kPapossono essere relazionati al coefficienteβ e alla tensioneiniziale di snervamentoσy. Nelle simulazioni numerichesi assume che la superficie libera della falda, coincidentecon il piano di campagna, non sia influenzata dallo scavodella galleria. Il coefficiente iniziale di tensione orizzontaleek0 = 0.54.

Per studiare gli effetti della velocita di avanzamento delfronte sulla risposta allo scavo, le analisi sono ripetute perdiversi valori della velocita di scaricovλ := 1/Tu. Alcuni diquesti valori sono riportati in Fig. 9, insieme alle corrispon-denti velocita medie di avanzamento. L’influenza di tali ve-locita e evidente in Fig. 9a. In particolare, nel caso di scavoparticolarmente lento (vλ4), le pressioni neutre nell’intornodel cavo raggiungono uno stato praticamente stazionarionon appena le condizioni finali di drenaggio vengono im-poste sul contorno della galleria (α= 1, λ = 1/3). Alcrescere della velocita di scavo, si notano invece significa-tivi effetti dell’accoppiamento idro-meccanico, in forma disovappressioni neutre negative causate dalla risposta dila-

Time = 6.48E+05Time = 6.48E+05

-4.51E-01

-3.37E-01

-2.23E-01

-1.10E-01

3.84E-03

1.17E-01

-5.64E-01

2.31E-01

VERT.DISP(m)

Current ViewMin = -5.64E-01X = 2.38E+00Y = 2.73E+01

Max = 2.31E-01X = 1.72E+00Y = 2.12E+01

Time = 6.48E+05Time = 6.48E+05

Figura 12. Analisi dello scavo in terreno saturo con elementifiniti convenzionali. Particolare del reticolo deformato con dis-tribuzione degli spostamenti verticali. Velocita di scavo vλ4

(va4 = 0.01 m/giorno) durante la fase di scarico (λ = 0.80)

Figura13.Analisi dello scavo in terreno saturo. Spostamenti ver-ticali in asse galleria (calotta e superficie) in funzione del coeffi-ciente di scaricoλ (velocita di scaricovλ4). Confronto fra il FEMconvenzionale e il FEM discontinuita forti

tante dello scheletro solido. In Fig. 9b, coerentemente conla risposta in termini di pressioni neutre, si osservano con-siderevoli effetti della velocita di avanzamento sulla sta-bilit a del cavo. In particolare, per le velocita di scarico piubasse (vλ3 e vλ4), gli spostamenti calcolati in calotta evi-denziano che il collasso della galleria si verifica prima deltermine della procedura di scavo, cioe perλ < 1. In cor-rispondenza delle velocita di scavo piu elevate (vλ1 e vλ2),si ottiene invece uno stato stabile del cavo al termine dellafase di scarico. Nelle curve riportate in Fig. 9, sono indicatigli istanti corrispondenti alla prima ed all’ultima localizza-zione osservata negli elementi.

Nonostante si sia volutamente presa in considerazioneuna discretizzazione relativamente grossolana, il metodoenhanced con discontinuita forti si dimostra capace di co-gliere efficacemente l’innesco del fenomeno di localizza-zione e la sua propagazione dalla galleria fino alla super-ficie (Fig. 7 e Fig. 8). Per le velocita di avanzamento piuelevate, si osserva lo sviluppo di pressioni neutre nega-tive nella zona interessata dalla superficie di localizzazione,dove si concentra la dilatanza. L’influenza della velocita diavanzamento sull’orientamento della superficie di localiz-zazione sembra trascurabile, come mostrato dal confrontoriportato in Fig. 8, dove si evidenziano gli elementi con lo-

(a)

(b)Figura 14. Scavo in terreno saturo. Confronto fra gli sposta-menti verticali in superficie forniti dal FEM convenzionale e dalFEM alle discontinuita forti. Risultati corrispondenti alle velocitadi scaricovλ2 (a) e vλ4 (b). Gli spostamenti sono normalizzatirispetto al valore massimo

calizzazione ottenuti per le due velocita di scarico estremefra quelle prese in considerazione (vλ1 evλ4).

La risposta dell’ammasso saturo allo scavo viene adessoconfrontata con i risultati ottenuti per il caso di terrenoasciuttoin (Callari, 2002). In tale lavoro si adotta una for-mulazione disaccoppiata del metodo agli elementi finiti condiscontinuita forti per analizzare un problema con la stessageometria e gli stessi parametri in condizioni drenate quiconsiderati. La densita del terreno asciuttoe coincidentecon la densita del terreno saturo riportata in Tab. 1. Rispettoal caso di scavo in terreno asciutto, la galleria scavata moltolentamente (vλ4) perviene al collasso per un valore piupiccolo del coefficiente di scarico (Fig. 11). Per tale ve-locita si evidenzia, quindi, la negativa influenza sulla sta-bilit a del cavo esercitata dall’azione di trascinamento delmoto di filtrazione. Invece, il decremento delle pressionineutre mostrato in Fig. 9b in corrispondenza della piu altavelocita di scavo (vλ1) ha un effetto stabilizzante sul ter-reno adiacente la galleria. Inoltre, si osservano apprezzabilidifferenze nell’orientamento delle superfici di scivolamentoottenute nei casi di scavo in ammasso saturo (Fig. 8) easciutto (Fig. 10a).

I risultati ottenuti con il metodo alle discontinuita fortisono nel seguito confrontati con la risposta ottenuta conla formulazione convenzionale del metodo degli elementifiniti. Nei calcoli svolti con quest’ultima formulazione, siponeH = −200 kPa per il classico modulo di softeningdefinito nel continuo, in modo da ottenere approssimativa-

mentegli stessi valori diλ a collasso forniti dal metodoalle discontinuita forti (Fig. 13). Le configurazioni defor-mate del reticolo di elementi finiti mostrano come la for-mulazione convenzionale non sia capace di riprodurre nep-pure l’innesco del fenomeno di localizzazione in corrispon-denza del contorno del cavo (per i casi di terreno asciuttoe saturo, si vedano rispettivamente le figure 10b e 12). Diconseguenza, rispetto al metodo alle discontinuita forti, laformulazione convenzionale fornisce una risposta decisa-mente piu rigida allo scavo, come mostrato nel confrontoriportato in Fig. 13.

Nel confronto con i risultati forniti dal metodo alle dis-continuita forti, le distribuzioni normalizzate dei cedimentiin superficie calcolate con la formulazione convenzionalesono piu estese (Fig. 14, risultati simili sono ottenuti nelcaso di terreno asciutto). In particolare, tale differenza nellaforma delle conche di subsidenza fornite dai due metodi au-menta al decrescere della velocita di avanzamento. Come sie ricordato nel Par. 1, la forma delle distribuzioni dei cedi-menti in superficie fornite dai metodi numerici convenzio-nali sono spesso piu estese di quelle osservate in sito. Ilconfronto riportato in Fig. 14 conferma come l’incapacitadi questi metodi classici nel simulare i fenomeni di localiz-zazione possa costituire una delle principali cause di questiinsoddisfacenti risultati.

5 CONCLUSIONI E FUTURI SVILUPPI

I fenomeni di localizzazione indotti dallo scavo di gal-lerie superficiali, evidenziati in numerosi studi sperimen-tali, possono essere efficacemente simulati con una formu-lazione alle discontinuita forti del metodo degli elementifiniti. I risultati forniti da questo nuovo metodo, per i casidi ammasso asciutto e saturo, sono stati confrontati con larisposta fornita dalla formulazione convenzionale, eviden-ziando le difficolta di quest’ultima nel riprodurre la loca-lizzazione delle deformazioni. Questo confronto, in cui sieadottato lo stesso semplice modello elasto-plastico per en-trambe le formulazioni, ha inoltre mostrato come si pos-sano ottenere miglioramenti nelle previsioni di subsidenzacon l’adozione del metodo alle discontinuita forti. Nei fu-turi sviluppi della presente ricerca si prendera in considera-zione l’adozione di piu avanzati modelli della risposta dila-tante dello scheltro solido ed il diretto confronto dei risul-tati numerici con dati sperimentali disponibili in letteratura.Inoltre, lo sviluppo di pressioni neutre negative osservatonei risultati numerici qui presentati indica l’opportunitadi tenere conto della possibile cavitazione del fluido edel raggiungimento di condizioni di saturazione parzialenell’intorno del cavo.

Ringraziamenti.I metodi agli elementi finiti adottati nel presente lavorosono stati implementati nel codice FEAP, per gentile concessione del Pro-fessor R.L. Taylor della UC Berkeley. La ricercae finanziata nell’ambitodei “Progetti di ricerca di Ateneo 2002 (ex 60 %)” dell’Universita di Roma“Tor Vergata”.

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ABSTRACT

The excavation of shallow tunnels in dry and saturatedgrounds has been simulated by a new finite element methodbased on the “strong-discontinuity” approach to strain lo-calization. This approach considers solutions involving dis-continuous displacement and fluid flow fields. The result-ing enhanced finite-element formulation is able to capturelocalization and avoids the pathological mesh-size depen-dence observed in classical implementations of continuumelasto-plastic models with strain softening. The objectiveof the present research is to evaluate the influence of strainlocalization on tunnel stability and on induced ground sur-face displacements. The effects of the excavation rate on thesaturated soil response are also investigated. The strong-discontinuity formulation shows to be able to capture theonset of localization and its propagation from the tunnel upto the ground surface. These results are contrasted with theresponse obtained by a standard formulation of the finiteelement method.