analisi 1 1 prima/seconda lezione -...
TRANSCRIPT
![Page 1: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/1.jpg)
ANALISI 1 1
PRIMA/SECONDA LEZIONE
1prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata,Via F. Buonarroti 1/Cemail: [email protected]: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 8.30 alle 11.30
![Page 2: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/2.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →
I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 3: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/3.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →
I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 4: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/4.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →
I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 5: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/5.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →I numeri interi (N)
I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 6: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/6.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)
I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 7: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/7.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)
I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 8: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/8.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)
I numeri complessi (C)
![Page 9: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/9.jpg)
Nozioni di Base
I LOGICA elementare → anatomia di un enunciato matematico
I nozioni di TEORIA DEGLI INSIEMI → gli oggetti di cui(tipicamente) parla la matematica
I in particolare alcuni INSIEMI NUMERICI IMPORTANTI →I numeri interi (N)I numeri interi relativi (Z)I numeri razionali (Q)I numeri reali (R)I numeri complessi (C)
![Page 10: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/10.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 11: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/11.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 12: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/12.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 13: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/13.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 14: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/14.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 15: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/15.jpg)
Logica
ENUNCIATI Un enunciato ( o una proposizione) eun’affermazione di cui ha senso dire se eVERA o FALSA
I P = “oggi piove”
I Q = “2120 − 1 e un numero pari”
I R = “la miliardesima cifra nello sviluppo decimale di π e 5”
I S = “2 ≥ 0”
I M = “Mourinho e un personaggio molto simpatico” ???????M non e un enunciato accettabile. . .
I dunque dobbiamo essere d’accordo su:
P
V↗↘
F
![Page 16: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/16.jpg)
Logica
PREDICATI Un predicato e un’affermazione il cui valore di veritadipende da una o piu variabili
I P(x) = “il giorno x piove”
I Q(n) = “2n − 1 e un numero pari”
I R(n,m) = “la n-esima cifra nello sviluppo decimale di π e m”
I S(x , y) = “x ≥ y”
Di per se nessuna delle espressioni scritte sopra ha senso se non sidichiara il valore di tutte le variabili coinvolte.
P(x)→??
Se alla x si sostituisce un valore concreto allora si ottiene unenunciato sensato, di cui si puo stabilire il valore di verita.
P(“oggi”) = F , P(“4 novembre 1966”) = V
R(1, 3) = V , R(109, 5) = non lo so ma o e vera o e falsa
![Page 17: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/17.jpg)
Logica
PREDICATI Un predicato e un’affermazione il cui valore di veritadipende da una o piu variabili
I P(x) = “il giorno x piove”
I Q(n) = “2n − 1 e un numero pari”
I R(n,m) = “la n-esima cifra nello sviluppo decimale di π e m”
I S(x , y) = “x ≥ y”
Di per se nessuna delle espressioni scritte sopra ha senso se non sidichiara il valore di tutte le variabili coinvolte.
P(x)→??
Se alla x si sostituisce un valore concreto allora si ottiene unenunciato sensato, di cui si puo stabilire il valore di verita.
P(“oggi”) = F , P(“4 novembre 1966”) = V
R(1, 3) = V , R(109, 5) = non lo so ma o e vera o e falsa
![Page 18: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/18.jpg)
Logica
PREDICATI Un predicato e un’affermazione il cui valore di veritadipende da una o piu variabili
I P(x) = “il giorno x piove”
I Q(n) = “2n − 1 e un numero pari”
I R(n,m) = “la n-esima cifra nello sviluppo decimale di π e m”
I S(x , y) = “x ≥ y”
Di per se nessuna delle espressioni scritte sopra ha senso se non sidichiara il valore di tutte le variabili coinvolte.
P(x)→??
Se alla x si sostituisce un valore concreto allora si ottiene unenunciato sensato, di cui si puo stabilire il valore di verita.
P(“oggi”) = F , P(“4 novembre 1966”) = V
R(1, 3) = V , R(109, 5) = non lo so ma o e vera o e falsa
![Page 19: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/19.jpg)
Logica
PREDICATI Un predicato e un’affermazione il cui valore di veritadipende da una o piu variabili
I P(x) = “il giorno x piove”
I Q(n) = “2n − 1 e un numero pari”
I R(n,m) = “la n-esima cifra nello sviluppo decimale di π e m”
I S(x , y) = “x ≥ y”
Di per se nessuna delle espressioni scritte sopra ha senso se non sidichiara il valore di tutte le variabili coinvolte.
P(x)→??
Se alla x si sostituisce un valore concreto allora si ottiene unenunciato sensato, di cui si puo stabilire il valore di verita.
P(“oggi”) = F , P(“4 novembre 1966”) = V
R(1, 3) = V , R(109, 5) = non lo so ma o e vera o e falsa
![Page 20: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/20.jpg)
Logica
Enunciati composti
Gli enunciati si possono combinare mediante i connettivi logici :
∨ ∧ ˜
letti rispettivamente o, e, non. Per esempio se P e Q sonoenunciati si possono costruire:
P ∨Q (P o Q), P ∧Q (P e Q), ˜P (non P)
(“∨” e “∧” sono operatori binari, “ ” e un operatore unario).
Tutto cio che serve sapere per utilizzare i connettivi e quali sono ivalori di verita degli enunciati composti a partire da P e Q. Questi
si possono riassumere mediante le TABELLE DI VERITA .
![Page 21: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/21.jpg)
Logica
Tabelle di verita
P Q P ∨QV V VV F VF V VF F F
P Q P ∧QV V VV F FF V FF F F
P ˜PV FF V
ESEMPI
“non e vero che “ oggi piove︸ ︷︷ ︸P
o due e un numero pari”︸ ︷︷ ︸Q
”
P → F Q → V P ∨Q → V (P ∨Q)→ F
Attenzione all’ordine:
P → F ˜P → V Q → V ( P ∨Q)→ V
che equivale a
“oggi non piove” o “due e un numero pari”
![Page 22: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/22.jpg)
Logica
Leggi di De Morgan
Valgono i fatti seguenti
(P ∨Q) e lo stesso di ( P) ∧ ( Q)
e (simmetricamente)
(P ∧Q) e lo stesso di ( P) ∨ ( Q)
Per convincersene basta scrivere le tabelle di verita dei varienunciati composti; per esempio nel primo caso:
P Q P ∨Q (P ∨Q)
V V V FV F V FF V V FF F F V
e
P Q ˜P ˜Q ( P) ∧ ( Q)
V V F F FV F F V FF V V F FF F V V V
![Page 23: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/23.jpg)
LogicaImplicazione materiale
E utile introdurre il connettivo di implicazione “→” descritto dalla
seguente tabella di verita:
P Q P → QV V VV F FF V VF F V
I In effetti l’implicazione si potrebbe esprimere in termini deiconnettivi precedenti:
P → Q e lo stesso di ( P) ∨Q
(basta confrontare le tabelle di verita)
I La negazione dell’implicazione si trova immediatamente daquanto detto sopra e dalle leggi di De Morgan:
(P → Q)⇔ ( P ∨Q)⇔ ˜ P ∧˜Q ⇔ P ∧˜Q
![Page 24: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/24.jpg)
LogicaImplicazione materiale
E utile introdurre il connettivo di implicazione “→” descritto dalla
seguente tabella di verita:
P Q P → QV V VV F FF V VF F V
I In effetti l’implicazione si potrebbe esprimere in termini deiconnettivi precedenti:
P → Q e lo stesso di ( P) ∨Q
(basta confrontare le tabelle di verita)I La negazione dell’implicazione si trova immediatamente da
quanto detto sopra e dalle leggi di De Morgan:
(P → Q)⇔ ( P ∨Q)⇔ ˜ P ∧˜Q ⇔ P ∧˜Q
![Page 25: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/25.jpg)
LogicaConsiderazioni sull’ implicazione
I Se P (l’ipotesi) e falsa l’implicazione e comunque vera(indipendentemente dal valore di verita di Q (la tesi). Peresempio
“due e un numero dispari”→ “oggi piove”
e un enunciato VERO. Cio puo apparire sorprendente, maquesta scelta si rivelera la piu comoda.
I La validita dell’implicazione P → Q non dice nulla sullavalidita delle singole P e Q.L’implicazione vuole esprimere la possibilita di passare da P aQ. La cosa si capira meglio a livello dei predicati; infattiscrivendo
P(x)→ Q(x)
esprimeremo il fatto che le x che rendono vera P(x)necessariamente rendono vera Q(x), mentre non si puodire nulla su Q(x) per le x che rendono falsa P(x).
![Page 26: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/26.jpg)
LogicaConsiderazioni sull’ implicazione
I Se P (l’ipotesi) e falsa l’implicazione e comunque vera(indipendentemente dal valore di verita di Q (la tesi). Peresempio
“due e un numero dispari”→ “oggi piove”
e un enunciato VERO. Cio puo apparire sorprendente, maquesta scelta si rivelera la piu comoda.
I La validita dell’implicazione P → Q non dice nulla sullavalidita delle singole P e Q.L’implicazione vuole esprimere la possibilita di passare da P aQ. La cosa si capira meglio a livello dei predicati; infattiscrivendo
P(x)→ Q(x)
esprimeremo il fatto che le x che rendono vera P(x)necessariamente rendono vera Q(x), mentre non si puodire nulla su Q(x) per le x che rendono falsa P(x).
![Page 27: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/27.jpg)
Un piccolo rompicapo 2
Solo una di queste targhe dice il vero
L'anello è in questo scrigno L'anello non è in questo scrigno L'anello non è nello scrigno d'oro
L’anello ein questo scrigno
L’anello non ein questo scrigno
L’anello non e nelloscrigno d’oro
2preso da Raymond Smullyan, Qual e il titolo di questo libro
![Page 28: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/28.jpg)
Variazioni sul tema
Solo una di queste targhe dice il vero
L'anello è in questo scrigno L'anello non è in questo scrigno L'anello non è nello scrigno d'oro
L’anello non ein questo scrigno
Se l’anello non e inquesto scrigno,allora lo scrignod’oro dice il vero
Se l’anello e inquesto scrigno,allora lo scrignod’oro dice il vero
![Page 29: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/29.jpg)
Logica
Predicati
Come gia detto un predicato P(x) (o di puu variabili) non ha unvalore di verita fino a quando non si sostituiscono tutte le suevariabili con dei valori espliciti.
P(n) = “n e pari”
Q(n,m) = “n = 2m”
P(n)→?? Q(n,m)→?? (dipende da chi sono n e m!!)
mentre
P(2)→ V , P(77)→ F , Q(1, 1)→ F , Q(6, 3)→ V .
Un predicato diventa un enunciato quando tutte le suevariabili sono sostituite da delle costanti:si dice allora che le variabili sono saturate
![Page 30: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/30.jpg)
Logica
Predicati e connettivi
I predicati si possono combinare mediante i connettivi formandopredicati piu complessi in vario modo:
R(x) = P(x) ∨Q(x)
S(x , y) = P(x) ∨Q(y)
T (x , y) = P(x) ∧ S(x , y)
U(x , y , z) = P(x) ∧ S(y , z)
eccetera. . .
![Page 31: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/31.jpg)
Logica
Quantificatori
C’e un altro modo di saturare una variabile in un predicato. Peresempio supponiamo che
P(x) = “piove nel luogo x”
e consideriamoQ = “piove ovunque”
e chiaro che Q non contiene variabili e quindi e un enunciato (cheposso provare a verificare guardando il bollettino metereologicomondiale...). Q sara vero se e solo se il predicato P(x) e vero perogni x ammissibile, Scriveremo:
Q = ∀x P(x) (da leggersi “per ogni x P(x)”)
Il simbolo ∀ si chiama quantificatore universale
![Page 32: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/32.jpg)
Logica
Quantificatori
In maniera analoga si considera il quantificatore esistenziale ∃che permette di scrivere:
R = ∃x : P(x) (da leggersi “esiste x tale che P(x)”)
(il doppio punto corrisponde a “tale che”). L’enunciato R saraverificato se c’e almeno una x in cui P(x) risulta vero.Nell’esempio di prima R significa:
R = “c’e un luogo in cui piove”
che ovviamente puo essere vero o falso a seconda sempre dellasituazione metereologica planetaria.
![Page 33: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/33.jpg)
Logica
Variabili mute
I Nelle formule∀x P(x), ∃x : P(x)
la variabile x gioca un ruolo puramente formale (serve aesprimere chi e il predicato P(x)): le scritture sopra nondipendono da x (in effetti sono degli enunciati). Sarebbe lostesso usare un’alta variabile per esprimere lo stesso enunciato:
∀y P(y), ∃z : P(z)
dicono esattamente la stessa cosa di prima.Si dice in questi casi che x (o y/z) e una variabile muta.
![Page 34: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/34.jpg)
Logica
Combinazioni di quantificatori
Se si parte da predicati di piu variabili, per esempio se
P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”,
si possono combinare variamente quantificatori e costanti:
I ∀y P(“Pisa”, y)→ “a Pisa piove sempre”
I ∃y : P(“Valle della Morte”, y)→“talvolta volta piove nella Valle della Morte”
I ∃y : P(x , “ieri”)→ “da qualche parte ieri pioveva”
I ∀x P(x , “oggi”)→ “oggi c’e il Diluvio Universale”
![Page 35: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/35.jpg)
Logica
Combinazioni di quantificatori
Se si parte da predicati di piu variabili, per esempio se
P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”,
si possono combinare variamente quantificatori e costanti:
I ∀y P(“Pisa”, y)→ “a Pisa piove sempre”
I ∃y : P(“Valle della Morte”, y)→“talvolta volta piove nella Valle della Morte”
I ∃y : P(x , “ieri”)→ “da qualche parte ieri pioveva”
I ∀x P(x , “oggi”)→ “oggi c’e il Diluvio Universale”
![Page 36: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/36.jpg)
Logica
Combinazioni di quantificatori
Se si parte da predicati di piu variabili, per esempio se
P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”,
si possono combinare variamente quantificatori e costanti:
I ∀y P(“Pisa”, y)→ “a Pisa piove sempre”
I ∃y : P(“Valle della Morte”, y)→“talvolta volta piove nella Valle della Morte”
I ∃y : P(x , “ieri”)→ “da qualche parte ieri pioveva”
I ∀x P(x , “oggi”)→ “oggi c’e il Diluvio Universale”
![Page 37: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/37.jpg)
Logica
Combinazioni di quantificatori
Se si parte da predicati di piu variabili, per esempio se
P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”,
si possono combinare variamente quantificatori e costanti:
I ∀y P(“Pisa”, y)→ “a Pisa piove sempre”
I ∃y : P(“Valle della Morte”, y)→“talvolta volta piove nella Valle della Morte”
I ∃y : P(x , “ieri”)→ “da qualche parte ieri pioveva”
I ∀x P(x , “oggi”)→ “oggi c’e il Diluvio Universale”
![Page 38: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/38.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 39: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/39.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 40: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/40.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 41: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/41.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 42: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/42.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 43: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/43.jpg)
Combinazioni di quantificatori
Si possono combinare anche i quantificatori tra loro:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I ∀y ∃x : P(x , y)→ “in ogni momento piove da qualche parte”
I ∃x : (∀y P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I ∃y : (∀x P(x , y))→ “prima o poi verra il Diluvio Universale”
I ∃x : ∃y : P(x , y)→ “da qualche parte talvolta piove”
Tutti gli enunciati scritti sopra sono diversi.
![Page 44: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/44.jpg)
Negazione dei quantificatori
Riprendiamo per esempio
P(x) = “piove nel luogo x”
e l’enunciato
Q = ∀x P(x) (piove dappertutto)
Qual e la sua negazione?Non dovrebbe essere difficile riconoscere che
˜Q = (∀x P(x)) = “da qualche parte non piove” = ∃x : ˜P(x)
Analogamente:
(∃x : P(x)) = ∀x ˜P(x)
(il contrario di “da qualche parte piove” e “non piove in nessunluogo”).Dunque negando una proposizione quantificata i quantificatori siinvertono.
![Page 45: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/45.jpg)
Negazione di due quantificatori consecutivi
Applicando la regola precedente:
I (∀x ∀y P(x , y)) = ∃x : (∀y P(x , y)) = ∃x : (∃y : ˜P(x , y))
I (∃x : (∃y : P(x , y))) = ∀x (∃y : P(x , y)) = ∀x ∀y ˜P(x , y)
I (∀x ∃y : P(x , y)) = ∃x : (∃y : P(x , y)) = ∃x : (∀y ˜P(x , y))
I (∃x : (∀y P(x , y))) = ∀x (∀y P(x , y)) = ∀x ∃y : ˜P(x , y)
![Page 46: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/46.jpg)
Negazione di due quantificatori consecutivi
Applicando la regola precedente:
I (∀x ∀y P(x , y)) = ∃x : (∀y P(x , y)) = ∃x : (∃y : ˜P(x , y))
I (∃x : (∃y : P(x , y))) = ∀x (∃y : P(x , y)) = ∀x ∀y ˜P(x , y)
I (∀x ∃y : P(x , y)) = ∃x : (∃y : P(x , y)) = ∃x : (∀y ˜P(x , y))
I (∃x : (∀y P(x , y))) = ∀x (∀y P(x , y)) = ∀x ∃y : ˜P(x , y)
![Page 47: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/47.jpg)
Negazione di due quantificatori consecutivi
Applicando la regola precedente:
I (∀x ∀y P(x , y)) = ∃x : (∀y P(x , y)) = ∃x : (∃y : ˜P(x , y))
I (∃x : (∃y : P(x , y))) = ∀x (∃y : P(x , y)) = ∀x ∀y ˜P(x , y)
I (∀x ∃y : P(x , y)) = ∃x : (∃y : P(x , y)) = ∃x : (∀y ˜P(x , y))
I (∃x : (∀y P(x , y))) = ∀x (∀y P(x , y)) = ∀x ∃y : ˜P(x , y)
![Page 48: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/48.jpg)
Negazione di due quantificatori consecutivi
Applicando la regola precedente:
I (∀x ∀y P(x , y)) = ∃x : (∀y P(x , y)) = ∃x : (∃y : ˜P(x , y))
I (∃x : (∃y : P(x , y))) = ∀x (∃y : P(x , y)) = ∀x ∀y ˜P(x , y)
I (∀x ∃y : P(x , y)) = ∃x : (∃y : P(x , y)) = ∃x : (∀y ˜P(x , y))
I (∃x : (∀y P(x , y))) = ∀x (∀y P(x , y)) = ∀x ∃y : ˜P(x , y)
![Page 49: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/49.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 50: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/50.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 51: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/51.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 52: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/52.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 53: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/53.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 54: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/54.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 55: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/55.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 56: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/56.jpg)
Negazione di quantificatori consecutivi
ESEMPIO: P(x , y) = “piove nel luogo x all’ora y”, allora:
I ∀x ∀y P(x , y)→ “piove sempre ovunque”
I (∀x ∀y P(x , y))→ “da qualche parte a volte non piove”
I ∀x ∃y : P(x , y)→ “ovunque si vada c’e una volta che piove”
I (∀x ∃y : P(x , y))→ “c’e un posto in cui non piove mai”
I ∃x : (∀y : P(x , y))→ “da qualche parte piove sempre”
I (∃x : (∀y : P(x , y)))→ “in ogni luogo talvolta non piove”
I ∃x : (∃y : P(x , y))→ “da qualche parte talvolta piove”
I (∃x : (∃y : P(x , y)))→ “non piove mai, da nessuna parte”
![Page 57: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/57.jpg)
Ancora lei . . .
Solo una di queste targhe dice il vero
L'anello è in questo scrigno L'anello non è in questo scrigno L'anello non è nello scrigno d'oro
L’anello non ein questo scrigno
Tutte le targhedicono il vero
C’e una targa chedice il falso
![Page 58: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/58.jpg)
Quesito logico finale
SECONDO I DETTAMI DEL CATTOLICESIMOPUO UN UOMO SPOSARE LA SORELLA DELLA SUA VEDOVA
???
FORSE SI, MA DEVE ESSERE MORTA PURE LEI!!
![Page 59: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/59.jpg)
Elementi di teoria degli insiemi
Consideriamo concetti primitivi le nozioni di insieme e dielementoIntuitivamente pensiamo ad un insieme come una collezione dioggetti (i suoi elementi) - tipicamente gli elementi sarannoaccomunati da una qualche proprieta,Conoscere un insieme significa conoscere esattamente tutti i suoielementipiu precisamente conoscere un insieme A significa che, dato unqualunque oggetto a (in un certo universo prefissato) siamo ingrado di dire se a e oppure non e elemento di A.Nel primo caso scriveremo
a ∈ A a appartiene ad A
Nel secondo
a /∈ A a non appartiene ad A
![Page 60: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/60.jpg)
Relazioni tra insiemi
Due insiemi sono eguali quando hanno esattamente gli stessielementi:
A = B ⇔ (∀x(x ∈ A→ x ∈ B)) ∧ (∀x(x ∈ B → x ∈ A))
Un insieme A e contenuto in un sottoinsieme B, oppure A e unsottoinsieme di B, se tutti gli elementi di A sono anche elementidi B
A ⊂ B ⇔ (∀x(x ∈ A→ x ∈ B))
Risulta chiaro che
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
La relazione “⊂” e un’inclusione debole.
![Page 61: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/61.jpg)
Modi di definire un insiemeCi sono due modi per introdurre un insieme
I per enumerazione: elencando esplicitamente i suoielementi tra due parentesi graffe:
A := {1, 2, 3, 4, 5},B := {Mercurio,Venere,Marte,Giove, Saturno,Urano,Nettuno,Plutone}
I mediante una proprieta: che individui esattamente glielementi dell’insieme:
A := {“numeri interi tra uno e cinque”},B := {“pianeti del sistema solare eccetto la Terra”}
Il primo metodo funziona solo per insiemi finiti. Negli altri casinon abbiamo alternative:
P := {numeri interi pari} = {n ∈ N : n e pari}
Notiamo che non c’e nessuna nozione di ordine tra gli elementi diun insieme: {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}
![Page 62: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/62.jpg)
Modi di definire un insiemeCi sono due modi per introdurre un insieme
I per enumerazione: elencando esplicitamente i suoielementi tra due parentesi graffe:
A := {1, 2, 3, 4, 5},B := {Mercurio,Venere,Marte,Giove, Saturno,Urano,Nettuno,Plutone}
I mediante una proprieta: che individui esattamente glielementi dell’insieme:
A := {“numeri interi tra uno e cinque”},B := {“pianeti del sistema solare eccetto la Terra”}
Il primo metodo funziona solo per insiemi finiti. Negli altri casinon abbiamo alternative:
P := {numeri interi pari} = {n ∈ N : n e pari}
Notiamo che non c’e nessuna nozione di ordine tra gli elementi diun insieme: {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}
![Page 63: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/63.jpg)
Modi di definire un insieme
In generale se P(x) e un predicato , allora
A := {x : P(x)}
definisce l’insieme di tutti e soli gli elementi che rendono vero ilpredicato P(x) (che verificano la proprieta P(x)). Si conviene diconsiderare l’insieme che non ha nessun elemento (o anchel’insieme la cui proprieta caratteristica e sempre falsa). Taleinsieme e unico (se ce ne fossero due dovrebbero differire perqualche elemento – ma nessuno dei due ha elementi!!) e si chiamainsieme vuoto, denotato con ∅.CONVENZIONE: Useremo spesso le seguenti abbreviazioni:
∀x ∈ A P(x) intendendo ∀x (x ∈ A)→ P(x)
∃x ∈ A : P(x) intendendo ∃x : (x ∈ A) ∧ P(x)
{x ∈ A : P(x)} intendendo {x : (x ∈ A) ∧ P(x)}
![Page 64: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/64.jpg)
Unione e intesezione tra insiemi
Dati due insiemi A e B si definiscono
A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} A unito B
eA ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A intersecato B
AB
A∪B
AB
A∩B
![Page 65: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/65.jpg)
Differenza e complementare
Si definisce anche
A \ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} A meno B
BA
A∖B ACA
Se U e l’ambiente (o l’universo) in cui variano gli oggetti checonsideriamo possiamo anche considerare il complementare di uninsieme A:
CA := U \ A = {x : x /∈ A}
![Page 66: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/66.jpg)
Utilizzando il complementare si ha
A \ B = A ∩ CB
Inoltre vale l’analogo delle leggi di De Morgan:
C(A ∪ B) = (CA) ∩ (CB) C(A ∩ B) = (CA) ∪ (CB)
AB
C(A∪B)
AB
C(A∩B)
Notiamo che c’e un perfetto parallelismo tra insiemi e proprieta,dato che ogni proprieta P(x) individua l’insieme A := {x : P(x)} eviceversa ogni insieme A individua la proprieta P(x) =“x ∈ A”.
![Page 67: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/67.jpg)
Proprieta varie
Con un po’ di pazienza si puo verificare che valgono:
I CCA = A
I proprieta associativa per ∪: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
I proprieta associativa per ∩: A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
I proprieta distributiva tra ∪ e ∩:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
I proprieta distributiva tra ∩ e ∪:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∪(B∩C)
C
AB
A∪B
C
AB
A∪C
![Page 68: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/68.jpg)
Proprieta varie
Con un po’ di pazienza si puo verificare che valgono:
I CCA = A
I proprieta associativa per ∪: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
I proprieta associativa per ∩: A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
I proprieta distributiva tra ∪ e ∩:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
I proprieta distributiva tra ∩ e ∪:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∪(B∩C)
C
AB
A∪B
C
AB
A∪C
![Page 69: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/69.jpg)
Proprieta varie
Con un po’ di pazienza si puo verificare che valgono:
I CCA = A
I proprieta associativa per ∪: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
I proprieta associativa per ∩: A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
I proprieta distributiva tra ∪ e ∩:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
I proprieta distributiva tra ∩ e ∪:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∪(B∩C)
C
AB
A∪B
C
AB
A∪C
![Page 70: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/70.jpg)
Proprieta varie
Con un po’ di pazienza si puo verificare che valgono:
I CCA = A
I proprieta associativa per ∪: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
I proprieta associativa per ∩: A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
I proprieta distributiva tra ∪ e ∩:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
I proprieta distributiva tra ∩ e ∪:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∪(B∩C)
C
AB
A∪B
C
AB
A∪C
![Page 71: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/71.jpg)
Proprieta varie
Con un po’ di pazienza si puo verificare che valgono:
I CCA = A
I proprieta associativa per ∪: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
I proprieta associativa per ∩: A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
I proprieta distributiva tra ∪ e ∩:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
I proprieta distributiva tra ∩ e ∪:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∪(B∩C)
C
AB
A∪B
C
AB
A∪C
![Page 72: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/72.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 73: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/73.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 74: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/74.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 75: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/75.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 76: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/76.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 77: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/77.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 78: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/78.jpg)
Un problemino
Dati tre insiemi A, B e C , caratterizzare
A \ (B \ C ) e (A \ B) \ C
I A \ (B \ C ) =
I A \ (B ∩ CC ) =
I A ∩ C(B ∩ CC ) =
I A ∩ (CB ∪ CCC ) = (De Morgan)
I A ∩ (CB ∪ C ) =
I (A ∩ CB) ∪ (A ∩ C ) = (proprieta distributiva)
I (A \ B) ∪ (A ∩ C )
![Page 79: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/79.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 80: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/80.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 81: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/81.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 82: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/82.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 83: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/83.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 84: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/84.jpg)
Analogamente
I (A \ B) \ C =
I (A ∩ CB) \ C =
I (A ∩ CB) ∩ CC =
I A ∩ (CB ∩ CC = (proprieta associativa)
I A ∩ C(B ∪ C ) = (De Morgan)
I A \ (B ∪ C )
![Page 85: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/85.jpg)
C
AB
B∖C
C
AB
A∖(B∖C)
C
ABA∖B
A∩C
A \ (B \ C ) = (A \ B) ∪ (A ∩ C )
C
AB
A∖B
C
AB
(A∖B)∖C
C
AB
B∪C
(A \ B) \ C = A \ (B ∪ C )
![Page 86: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/86.jpg)
Funzioni
Dati due insiemi A e B chiamiamo funzione da A in B unaqualunque “legge” cha a ogni elemento di A fa corrispondere uno(e uno solo). elemento di B. Se indichiamo con f la funzioneesprimeremo quanto appena detto scrivendo:
f : A→ B (f e una funzione che manda A in B)
A si chiama dominio di f , B si chiama codominio di f
Dato a in A indichiamo allora con f (a) quell’unico elemento in B
che corrisponde ad a tramite f :
a ∈ A e l’argomento in cui si calcola ff (a) ∈ B e il valore di f in a o anche l’immagine di a tramite f .
NOTA: La dichiarazione del dominio e del codominio e parteintegrante della dichiarazione della funzione (solo cosı hanno sensole nozioni che introduciamo tra poco).
![Page 87: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/87.jpg)
ATTENZIONE: si dice spesso “la funzione f (x)”; questo e unpiccolo abuso di linguaggio (tollerabile. . . ).
Si dovrebbe dire “la funzione f ”, visto che f (x) e un elemento delcodominio e non la funzione. Quindi non “la funzione x2, bensı ”lafunzione q : R→ R definita da q(x) = x2 per ogni x ∈ R.
Per esempio se si dice “la funzione xa” di solito si intende lafunzione potenza di esponente a, cioe la funzione pa definita dapa(x) = xa (per abitudine che x → variabile, mentre a→ costantegenerica. Si potrebbe pero considerare x fissato e a variabile.Avremmo allora la funzione esponenziale di base x (purche x > 0),cioe la funzione expx definita da expx(a) = xa.Una notazione che si usa a volte e x 7→ f (x). Allora:
x 7→ xa (potenza di esponente a)
a 7→ xa (esponenziale di base x)
NOTA in queste scritture x/a sono variabili mute.
![Page 88: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/88.jpg)
GraficoDati A e B chiamiamo prodotto cartesiano tra A e B l’insiemedelle coppie ordinate aventi come primo termine un elemento di Ae come secondo termine un elemento di B:
A× B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
Per es. R× R = R2 si puo interpretare come il piano cartesiano.Allora se f : A→ B risulta definito il grafico di f , come ilsottoinsieme di A× B definito da:
{(a, f (a)) : a ∈ A} = {(a, b) ∈ A× B : b = f (a)}
-1.25 +0.5 +1.25 x
+1
y
a
f(a) (a,f(a))
![Page 89: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/89.jpg)
Immagine di f
Sia f : A→ B.Preso A′ ⊂ A si definisce l’immagine di A′ tramite f :
f (A′) := {b ∈ B : (∃a ∈ A : f (a) = b)}
Nel caso A′ = A si dice che f (A) e l’immagine di f
x
+1
y
A'
f(A')
Se l’immagine di A coincide con B: f (A) = B , cioe se ogni punto
del codominio proviene da qualche punto del dominio, allora f sidice surgettiva.
![Page 90: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/90.jpg)
Controimmagine di fPreso B ′ ⊂ A si definisce la controimmagine di B ′ tramite f :
f −1(B ′) := {a ∈ A : f (a) ∈ B ′}
Notiamo che per ora non stiamo definendo una funzione f −1.
x
+1
y
B'
f (B')-1
f (f −1(B ′)) ⊂ B ′ e in generale f (f −1(B ′)) 6= B ′
(vale l’eguagianza solo se f e surgettiva).
A′ ⊂ f −1(f (A′)) e in generale A′ 6= f −1(f (A′))
Vale l’eguaglianza solo se f e iniettiva cioe se:
∀a, a′ ∈ A(a 6= a′)→ (f (a) 6= f (a′)
(f manda punti distinti in valori distinti).
![Page 91: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/91.jpg)
Funzione inversaSe f e iniettiva e surgettiva, allora si dice che e bigettiva o ancheche e invertibile.In tal caso risulta definita la funzione inversa f −1 : B → A,mediante la relazione:
f −1(b) = quell’unico a in A tale che f (a) = b ∀b ∈ B
ATTENZIONE: nel caso di funzioni a valori reali si rischia diconfondere la funzione inversa f −1 con il reciproco di f (che etutta un’alra funzione
√x 6= 1
x2 ). Quindi per indicare il reciproco
cercheremo di usare la notazione 1f .
+1 +5 +10 x
+1
+5
+10
y
+1 +5 +10 x
+1
+5
+10
y
Il grafico di f −1 si ottiene scambiando gli assi coordinati.
![Page 92: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/92.jpg)
Composizione
Dati tre insiemi A, B e C ; date due funzioni f : A→ B eg : B → C risulta definita una terza funzione h : A→ C definita da
h(a) = g(f (a)) ∀a ∈ A
Tale funzione si indica con g ◦ f e si chiama composizione di gcon f . Quindi (g ◦ f )(a) = g(f (a)).Notiamo che per calcolare g ◦ f si applica prima f e poi g .ESEMPIO: Se A = B = C = R e se f (x) = x2 g(x) = x + 1,
allora
g ◦ f (x)= g(f (x))= g(x2)= x2 + 1
mentre
f ◦ g(x)= f (g(x))= f (x + 1)= (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
![Page 93: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/93.jpg)
NUMERI REALI
Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali. Non diremo cosasono (o come si potrebbero costruire a partire per esempio dainumeri interi). Faremo invece una presentazione assiomatica,mettendo in evidenza che proprieta hanno e cosa possiamo farecon loro.Da questo punto di vista i reali costituiscono uncorpo ordinato e completo:
corpo → sono definite le operazioni + e ·ordinato → e definita la relazione d’ordine ≥completo → R “non ha buchi” (da precisare dopo)
![Page 94: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/94.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 95: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/95.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 96: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/96.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 97: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/97.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 98: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/98.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)
a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 99: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/99.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)
n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 100: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/100.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)
i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 101: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/101.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 102: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/102.jpg)
Struttura di corpo
Sono definite due operazioni s(x , y) = x + y (la somma) ep(x , y) = x · y = xy (il prodotto) che hanno le seguenti proprieta:
c+) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per +)
a+) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R(pr. associativa per +)
n+) ∃0 ∈ R tale che a + 0 = a ∀a ∈ R (el. neutro per +)
i+) ∀a ∈ R∃(−a) ∈ R tale che a + (−a) = 0 (inverso per +)
c·) a · b = b · a ∀a, b ∈ R (pr.commutativa per ·)a·) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. associativa per ·)n·) ∃1 ∈ R tale che 1 6= 0 e a · 1 = a ∀a ∈ R (el. neutro per ·)i ·) ∀a ∈ R, a 6= 0∃a−1 ∈ R tale che a · a−1 = 1 (inverso per ·)
d + ·) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∀a, b, c ∈ R (pr. distributiva)
![Page 103: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/103.jpg)
Gli assiomi appena scritti permettono di ricavare tutte le proprietaalgebriche dei reali. ALCUNI ESEMPI
I L’elemento neutro 0 e unico.Supponiamo che esista un altro elemento neutro 0′; allora0 = 0 + 0′= 0′⇒ 0 = 0′.
I ∀a ∈ R a · 0 = 0.a · 0= a · (0 + 0)= a · 0 + a · 0sommando −(a · 0) a entrambi i lati:a · 0− (a · 0) = a · 0 + a · 0− (a · 0) ⇔ 0 = a · 0.
I a · b = 0⇔ (a = 0) ∨ (b = 0) (annullamento del prodotto).Siano a e b per cui a · b = 0, ma (a 6= 0) ∧ (b 6= 0).Allora a e b ammettono inverso a−1 e b−1.Moltiplicando per b−1 · a−1:b−1 · a−1a · b = b−1 · a−1 · 0 ⇔ b−1 · a−1a · b = 0⇔ b−1 · b = 0 ⇔ 1 = 0 ASSURDO
I e si potrebbe andare avanti. . .
![Page 104: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/104.jpg)
Gli assiomi appena scritti permettono di ricavare tutte le proprietaalgebriche dei reali. ALCUNI ESEMPI
I L’elemento neutro 0 e unico.Supponiamo che esista un altro elemento neutro 0′; allora0 = 0 + 0′= 0′⇒ 0 = 0′.
I ∀a ∈ R a · 0 = 0.a · 0= a · (0 + 0)= a · 0 + a · 0sommando −(a · 0) a entrambi i lati:a · 0− (a · 0) = a · 0 + a · 0− (a · 0) ⇔ 0 = a · 0.
I a · b = 0⇔ (a = 0) ∨ (b = 0) (annullamento del prodotto).Siano a e b per cui a · b = 0, ma (a 6= 0) ∧ (b 6= 0).Allora a e b ammettono inverso a−1 e b−1.Moltiplicando per b−1 · a−1:b−1 · a−1a · b = b−1 · a−1 · 0 ⇔ b−1 · a−1a · b = 0⇔ b−1 · b = 0 ⇔ 1 = 0 ASSURDO
I e si potrebbe andare avanti. . .
![Page 105: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/105.jpg)
Gli assiomi appena scritti permettono di ricavare tutte le proprietaalgebriche dei reali. ALCUNI ESEMPI
I L’elemento neutro 0 e unico.Supponiamo che esista un altro elemento neutro 0′; allora0 = 0 + 0′= 0′⇒ 0 = 0′.
I ∀a ∈ R a · 0 = 0.a · 0= a · (0 + 0)= a · 0 + a · 0sommando −(a · 0) a entrambi i lati:a · 0− (a · 0) = a · 0 + a · 0− (a · 0) ⇔ 0 = a · 0.
I a · b = 0⇔ (a = 0) ∨ (b = 0) (annullamento del prodotto).Siano a e b per cui a · b = 0, ma (a 6= 0) ∧ (b 6= 0).Allora a e b ammettono inverso a−1 e b−1.Moltiplicando per b−1 · a−1:b−1 · a−1a · b = b−1 · a−1 · 0 ⇔ b−1 · a−1a · b = 0⇔ b−1 · b = 0 ⇔ 1 = 0 ASSURDO
I e si potrebbe andare avanti. . .
![Page 106: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/106.jpg)
Gli assiomi appena scritti permettono di ricavare tutte le proprietaalgebriche dei reali. ALCUNI ESEMPI
I L’elemento neutro 0 e unico.Supponiamo che esista un altro elemento neutro 0′; allora0 = 0 + 0′= 0′⇒ 0 = 0′.
I ∀a ∈ R a · 0 = 0.a · 0= a · (0 + 0)= a · 0 + a · 0sommando −(a · 0) a entrambi i lati:a · 0− (a · 0) = a · 0 + a · 0− (a · 0) ⇔ 0 = a · 0.
I a · b = 0⇔ (a = 0) ∨ (b = 0) (annullamento del prodotto).Siano a e b per cui a · b = 0, ma (a 6= 0) ∧ (b 6= 0).Allora a e b ammettono inverso a−1 e b−1.Moltiplicando per b−1 · a−1:b−1 · a−1a · b = b−1 · a−1 · 0 ⇔ b−1 · a−1a · b = 0⇔ b−1 · b = 0 ⇔ 1 = 0 ASSURDO
I e si potrebbe andare avanti. . .
![Page 107: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/107.jpg)
Struttura d’ordineIn R e definita una relazione binaria, cioe un predicato a duevariabili R(x , y), che su scrive di solito x ≥ y (e si legge x emaggiore o eguale a y , quando R(x , y) = (x ≥ y) e vera)Tale relazione verifica:
(r ≥) a ≥ a ∀a ∈ R (pr. riflessiva)
(a ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ a)→ (a = b) ∀a, b ∈ R (pr. antisimmetrica)(t ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ c)→ (a ≥ c) ∀a, b, c ∈ R (pr. transitiva)
(+ ≥) (a ≥ b)→ (a + c ≥ b + c) ∀a, b, c ∈ R(· ≥) (a ≥ b) ∧ (c ≥ 0)→ (a · c ≥ b · c) ∀a, b, c ∈ R
Una relazione x ≥ y avente le prime tre proprieta sopra si dicerelazione d’ordine (totale in quanto e definita per tutte lepossibili coppie x , y in R). Le altre due proprieta stabiliscono chela relazione d’ordine va d’accordo con la somma e li prodotto.Si definiscono poi:
(x > y) := (x ≥ y) ∧ (x 6= y)
(x ≤ y) := (x > y) (x < y) := (x ≤ y) ∧ (x 6= y)
![Page 108: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/108.jpg)
Struttura d’ordineIn R e definita una relazione binaria, cioe un predicato a duevariabili R(x , y), che su scrive di solito x ≥ y (e si legge x emaggiore o eguale a y , quando R(x , y) = (x ≥ y) e vera)Tale relazione verifica:
(r ≥) a ≥ a ∀a ∈ R (pr. riflessiva)(a ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ a)→ (a = b) ∀a, b ∈ R (pr. antisimmetrica)
(t ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ c)→ (a ≥ c) ∀a, b, c ∈ R (pr. transitiva)
(+ ≥) (a ≥ b)→ (a + c ≥ b + c) ∀a, b, c ∈ R(· ≥) (a ≥ b) ∧ (c ≥ 0)→ (a · c ≥ b · c) ∀a, b, c ∈ R
Una relazione x ≥ y avente le prime tre proprieta sopra si dicerelazione d’ordine (totale in quanto e definita per tutte lepossibili coppie x , y in R). Le altre due proprieta stabiliscono chela relazione d’ordine va d’accordo con la somma e li prodotto.Si definiscono poi:
(x > y) := (x ≥ y) ∧ (x 6= y)
(x ≤ y) := (x > y) (x < y) := (x ≤ y) ∧ (x 6= y)
![Page 109: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/109.jpg)
Struttura d’ordineIn R e definita una relazione binaria, cioe un predicato a duevariabili R(x , y), che su scrive di solito x ≥ y (e si legge x emaggiore o eguale a y , quando R(x , y) = (x ≥ y) e vera)Tale relazione verifica:
(r ≥) a ≥ a ∀a ∈ R (pr. riflessiva)(a ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ a)→ (a = b) ∀a, b ∈ R (pr. antisimmetrica)(t ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ c)→ (a ≥ c) ∀a, b, c ∈ R (pr. transitiva)
(+ ≥) (a ≥ b)→ (a + c ≥ b + c) ∀a, b, c ∈ R(· ≥) (a ≥ b) ∧ (c ≥ 0)→ (a · c ≥ b · c) ∀a, b, c ∈ R
Una relazione x ≥ y avente le prime tre proprieta sopra si dicerelazione d’ordine (totale in quanto e definita per tutte lepossibili coppie x , y in R). Le altre due proprieta stabiliscono chela relazione d’ordine va d’accordo con la somma e li prodotto.Si definiscono poi:
(x > y) := (x ≥ y) ∧ (x 6= y)
(x ≤ y) := (x > y) (x < y) := (x ≤ y) ∧ (x 6= y)
![Page 110: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/110.jpg)
Struttura d’ordineIn R e definita una relazione binaria, cioe un predicato a duevariabili R(x , y), che su scrive di solito x ≥ y (e si legge x emaggiore o eguale a y , quando R(x , y) = (x ≥ y) e vera)Tale relazione verifica:
(r ≥) a ≥ a ∀a ∈ R (pr. riflessiva)(a ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ a)→ (a = b) ∀a, b ∈ R (pr. antisimmetrica)(t ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ c)→ (a ≥ c) ∀a, b, c ∈ R (pr. transitiva)
(+ ≥) (a ≥ b)→ (a + c ≥ b + c) ∀a, b, c ∈ R
(· ≥) (a ≥ b) ∧ (c ≥ 0)→ (a · c ≥ b · c) ∀a, b, c ∈ R
Una relazione x ≥ y avente le prime tre proprieta sopra si dicerelazione d’ordine (totale in quanto e definita per tutte lepossibili coppie x , y in R). Le altre due proprieta stabiliscono chela relazione d’ordine va d’accordo con la somma e li prodotto.Si definiscono poi:
(x > y) := (x ≥ y) ∧ (x 6= y)
(x ≤ y) := (x > y) (x < y) := (x ≤ y) ∧ (x 6= y)
![Page 111: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/111.jpg)
Struttura d’ordineIn R e definita una relazione binaria, cioe un predicato a duevariabili R(x , y), che su scrive di solito x ≥ y (e si legge x emaggiore o eguale a y , quando R(x , y) = (x ≥ y) e vera)Tale relazione verifica:
(r ≥) a ≥ a ∀a ∈ R (pr. riflessiva)(a ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ a)→ (a = b) ∀a, b ∈ R (pr. antisimmetrica)(t ≥) (a ≥ b) ∧ (b ≥ c)→ (a ≥ c) ∀a, b, c ∈ R (pr. transitiva)
(+ ≥) (a ≥ b)→ (a + c ≥ b + c) ∀a, b, c ∈ R(· ≥) (a ≥ b) ∧ (c ≥ 0)→ (a · c ≥ b · c) ∀a, b, c ∈ R
Una relazione x ≥ y avente le prime tre proprieta sopra si dicerelazione d’ordine (totale in quanto e definita per tutte lepossibili coppie x , y in R). Le altre due proprieta stabiliscono chela relazione d’ordine va d’accordo con la somma e li prodotto.Si definiscono poi:
(x > y) := (x ≥ y) ∧ (x 6= y)
(x ≤ y) := (x > y) (x < y) := (x ≤ y) ∧ (x 6= y)
![Page 112: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/112.jpg)
Dalle proprieta precedenti si ricava tutto cio che serve per trattarele diseguaglianze e le disequazioni.
I (0 ≥ a)↔ (a ≤ 0)(vediamo →) Se non fosse a ≤ 0 allora sarebbe a > 0, cioe(a ≥ 0) ∧ (a 6= 0).Ma da (0 ≥ a) e (a ≥ 0) si ottiene a = 0, che contrasta cona 6= 0, ASSURDO. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ 0)↔ (−a ≤ 0)Vediamo →. Aggiungendo (−a) a entrambi i lati delladiseguaglianza a ≥ 0 viene: a + (−a) ≥ −a ⇔ 0 ≥ −ae quindi −a ≤ 0. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ b) ∧ (c ≤ 0)→ (ac ≤ bc) ∀a, b, c ∈ R.Dato che c ≤ 0 allora −c ≥ 0. Moltiplichiamo per −ca(−c) ≥ b(−c)⇔ −ac ≥ −bcAggiungendo ac + bc a entrambi i lati−ac + ac + bc ≥ −bc + ac + bc⇔ bc ≥ ac⇔ ac ≤ bc
I e si puo continuare. . .
![Page 113: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/113.jpg)
Dalle proprieta precedenti si ricava tutto cio che serve per trattarele diseguaglianze e le disequazioni.
I (0 ≥ a)↔ (a ≤ 0)(vediamo →) Se non fosse a ≤ 0 allora sarebbe a > 0, cioe(a ≥ 0) ∧ (a 6= 0).Ma da (0 ≥ a) e (a ≥ 0) si ottiene a = 0, che contrasta cona 6= 0, ASSURDO. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ 0)↔ (−a ≤ 0)Vediamo →. Aggiungendo (−a) a entrambi i lati delladiseguaglianza a ≥ 0 viene: a + (−a) ≥ −a ⇔ 0 ≥ −ae quindi −a ≤ 0. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ b) ∧ (c ≤ 0)→ (ac ≤ bc) ∀a, b, c ∈ R.Dato che c ≤ 0 allora −c ≥ 0. Moltiplichiamo per −ca(−c) ≥ b(−c)⇔ −ac ≥ −bcAggiungendo ac + bc a entrambi i lati−ac + ac + bc ≥ −bc + ac + bc⇔ bc ≥ ac⇔ ac ≤ bc
I e si puo continuare. . .
![Page 114: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/114.jpg)
Dalle proprieta precedenti si ricava tutto cio che serve per trattarele diseguaglianze e le disequazioni.
I (0 ≥ a)↔ (a ≤ 0)(vediamo →) Se non fosse a ≤ 0 allora sarebbe a > 0, cioe(a ≥ 0) ∧ (a 6= 0).Ma da (0 ≥ a) e (a ≥ 0) si ottiene a = 0, che contrasta cona 6= 0, ASSURDO. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ 0)↔ (−a ≤ 0)Vediamo →. Aggiungendo (−a) a entrambi i lati delladiseguaglianza a ≥ 0 viene: a + (−a) ≥ −a ⇔ 0 ≥ −ae quindi −a ≤ 0. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ b) ∧ (c ≤ 0)→ (ac ≤ bc) ∀a, b, c ∈ R.Dato che c ≤ 0 allora −c ≥ 0. Moltiplichiamo per −ca(−c) ≥ b(−c)⇔ −ac ≥ −bcAggiungendo ac + bc a entrambi i lati−ac + ac + bc ≥ −bc + ac + bc⇔ bc ≥ ac⇔ ac ≤ bc
I e si puo continuare. . .
![Page 115: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/115.jpg)
Dalle proprieta precedenti si ricava tutto cio che serve per trattarele diseguaglianze e le disequazioni.
I (0 ≥ a)↔ (a ≤ 0)(vediamo →) Se non fosse a ≤ 0 allora sarebbe a > 0, cioe(a ≥ 0) ∧ (a 6= 0).Ma da (0 ≥ a) e (a ≥ 0) si ottiene a = 0, che contrasta cona 6= 0, ASSURDO. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ 0)↔ (−a ≤ 0)Vediamo →. Aggiungendo (−a) a entrambi i lati delladiseguaglianza a ≥ 0 viene: a + (−a) ≥ −a ⇔ 0 ≥ −ae quindi −a ≤ 0. Tralasciamo la ←.
I (a ≥ b) ∧ (c ≤ 0)→ (ac ≤ bc) ∀a, b, c ∈ R.Dato che c ≤ 0 allora −c ≥ 0. Moltiplichiamo per −ca(−c) ≥ b(−c)⇔ −ac ≥ −bcAggiungendo ac + bc a entrambi i lati−ac + ac + bc ≥ −bc + ac + bc⇔ bc ≥ ac⇔ ac ≤ bc
I e si puo continuare. . .
![Page 116: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/116.jpg)
Sottoinsiemi di R
In R sono contenuti:
I gli interi N = {0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . } (su questotorneremo).
I gli interi relativi Z = {±n : n ∈ N}
I i razionali Q =
{p
q: p, q ∈ Z, q 6= 0
}N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Finora peraltro anche Q verifica TUTTE le propieta considerate.I numeri razionali si possono mandare sulla retta
0 1 2-1
1/3 2/3
ma, come gia visto, non coprono tutti i punti della retta.
![Page 117: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/117.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 118: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/118.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 119: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/119.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 120: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/120.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 121: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/121.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 122: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/122.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 123: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/123.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 124: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/124.jpg)
Intervalli
Gli intervalli sono dei sottoinsiemi di R definiti come segue.Dati a e b in R con a ≤ b si pone:
I [a, b] := {x : a ≤ x ≤ b} (intervallo chiuso)
I ]a, b[:= {x : a < x < b} (intervallo aperto)
I [a, b[:= {x : a ≤ x < b} (intervallo semiaperto a destra)
I ]a, b] := {x : a < x ≤ b} (intervallo semiaperto a sinistra)
I [a,+∞[:= {x : a ≤ x} (semiretta positiva chiusa)
I ]a,+∞[:= {x : a < x} (semiretta positiva aperta)
I ]−∞, b] := {x : x ≤ b} (semiretta negativa chiusa)
I ]−∞, b[:= {x : x < b} (semiretta negativa aperta)
a e b sono detti gli estremi dell’intervallo (o semiretta)corrispondente. Le semirette sono anch’esse degli intervalli, chesono illimitati, a differenza degli intervalli con estremi reali, chesono limitati.I simboli ±∞ (per ora) sono semplici accorgimenti grafici.
![Page 125: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/125.jpg)
Limitatezza
Sia A un sottoinsieme di R.Definizione Si dice che A e limitato superiormente se esiste unnumero reale M tale che
a ≤ M ∀a ∈ A
Un tale M (se esiste) si chiama maggiorante per l’insieme A.Quindi A e limitato superiormente se e solo se esiste unmaggiorante per A.Definizione Si dice che A e limitato inferiormente se esiste unnumero reale m tale che
a ≥ m ∀a ∈ A
Allora m si dice minorante per A e, come prima,A e limitato inferiormente⇔ A ammette un minoranteDefinizione Si dice che A e limitato se e contemporaneamentelimitato superiormente e inferiormente.
![Page 126: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/126.jpg)
Massimi e minimiDefinizione Si dice che un numero reale a e il massimo perl’insieme A se:
a ∈ A, a ≤ a ∀a ∈ A
(a e l’elemento di A piu grande di tutti). Si scrive in tal caso
a = max A
Analogamente numero reale a e il minimo per l’insieme A se:
a ∈ A, a ≥ a ∀a ∈ A
e si scrivea = min A
Chiaramente:
A ha massimo ⇒ A e limitato superiormente
A ha minimo ⇒ A e limitato inferiormente
IL VICEVERSA NON VALE
![Page 127: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/127.jpg)
L’intervallo aperto ]0, 1[ non ha ne massimo ne minimo.Vediamo che non ha massimo. Vediamo cioe che e falso:
∃a ∈]0, 1[: (∀a ∈]0, 1[ a ≤ a)
vogliamo cioe che
∀a ∈]0, 1[ ∃a ∈]0, 1[: a > a)
Per questo basta osservare che dato a con 0 < a < 1 si puo
prendere a :=a + 1
2(cioe il punto medio tra a e 1) e allora si ha
a < a < 1.
o 1
aa
![Page 128: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/128.jpg)
Estremi superiore e inferiore
Sia A un insieme con A 6= ∅Definizione Un numero reale a si dice l’estremo superiore di Ase
a = min{M : M e maggiorante per A}
e in tal caso si scrive a = sup A.Definizione Un numero reale a si dice l’estremo inferiore di Ase
a = max{M : M e minorante per A}
e in tal caso si scrive a = inf A. Notiamo che:
I a = max A⇔ (a = supA) ∧ (a ∈ A)
I a = min A⇔ (a = infA) ∧ (a ∈ A)
![Page 129: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/129.jpg)
Estremi superiore e inferiore
Sia A un insieme con A 6= ∅Definizione Un numero reale a si dice l’estremo superiore di Ase
a = min{M : M e maggiorante per A}
e in tal caso si scrive a = sup A.Definizione Un numero reale a si dice l’estremo inferiore di Ase
a = max{M : M e minorante per A}
e in tal caso si scrive a = inf A. Notiamo che:
I a = max A⇔ (a = supA) ∧ (a ∈ A)
I a = min A⇔ (a = infA) ∧ (a ∈ A)
![Page 130: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/130.jpg)
sup]0, 1[= 1 inf]0, 1[= 0
Vediamo la prima affermazione. Prima di tutto verifichiamo che
B := {maggioranti di ]0, 1[} = [1,+∞[
Infatti tutti i numeri in [1,+∞[, sono maggioranti per A:
M ≥ 1⇒ ∀a ∈]0, 1[ M ≥ 1 > a⇒ M ≥ 1
mentre se M < 1, allora M non e piu maggiornate per A: preso
a :=M + 1
2risulta
a ∈]0, 1[ M < a
Dunque l’insieme dei maggioranti e [1,+∞[, che ha ovviamenteminimo pari a 1
o 1
aM
![Page 131: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/131.jpg)
Fino a ora sarebbe stato lo stesso se ci fossimo messi Q.Pero se insistessimo nel rimanere in Q troveremmo subito degliinsiemi limitati che non hanno estremo superiore:
A := {q ∈ Q : q2 ≤ 2}
ASSIOMA DI COMPLETEZZA Ogni insieme limitatosuperiormente e non vuoto in R ammette estremo superiore.
Ogni insieme limitato inferiormente e non vuoto in R ammetteestremo inferiore.
FORMULAZIONE EQUIVALENTE Supponiamo che A e Bsiano una sezione di R, cioe A 6= ∅, B 6= ∅ e
∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b
Allora esiste un elemento separatore, cioe un numero c ∈ R t.c :
∀a ∈ A ∀b ∈ b a ≤ c ≤ b
![Page 132: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/132.jpg)
Caratterizzazioni
Se A e un insieme non vuoto e superiormente limitato e a ∈ R
a = sup A⇔
{a ≤ a ∀a ∈ A
∀a′ < a ∃a : (a ∈ A) ∧ (a′ < a)
La prima riga dice che a e un maggiorante per A, la seconda chetutti numeri piu piccoli di a non sono maggioranti.Dunque a e il minimo dei maggioranti. Analogamente
a = inf A⇔
{a ≥ a ∀a ∈ A
∀a′ > a ∃a : (a ∈ A) ∧ (a′ > a)
![Page 133: ANALISI 1 1 PRIMA/SECONDA LEZIONE - unipi.itpeople.dm.unipi.it/saccon/DIDA/LEZIONI/A1_Lezioni_1_e_2.pdfLogica PREDICATIUn predicato e un’a ermazione il cui valore di verit a dipende](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022063019/5fe0a32ba9f3d95a622a2aa0/html5/thumbnails/133.jpg)
Casi infiniti Se A non e limitato superiormente si ponesup A = +∞Se A non e limitato inferiormente si pone inf A = −∞Inoltre si conviene che sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞Nei casi infiniti le caratterizzazioni precedenti diventano: siaA 6= ∅, allora
sup A = +∞⇔ ∀a′ ∈ R∃a : (a ∈ A) ∧ (a′ < a)
Questa e in effetti la caratterizzazione del fatto che A non elimitato superiormente.Analogamente
inf A = −∞⇔ ∀a′ ∈ R∃a : (a ∈ A) ∧ (a′ > a)