análise de sensibilidade prof. m.sc. fábio francisco da costa fontes outubro - 2009
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Análise de SensibilidadeAnálise de Sensibilidade
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Outubro - 2009
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Introdução
Uma das hipóteses dos problemas de programação linear é a consideração de certeza nos coeficientes e constantes. Isto é, a solução otimizada é dependente dos coeficientes da função objetivo (geralmente lucro, receita ou custo) e dos coeficientes e constantes das restrições (geralmente necessidades por produto e disponibilidade de um recurso).
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Introdução
No mundo real, quase nunca temos certeza destes valores; portanto, devemos saber o quanto a solução otimizada está dependente de uma determinada constante ou coeficiente. Se observarmos uma alta dependência, devemos tomar um grande cuidado na determinação da mesma.
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Introdução
Para amenizar essa hipótese realizamos uma análise pós-otimização verificando as possíveis variações, para cima e para baixo, dos valores dos coeficientes da função objetivo, dos coeficientes e das constantes das restrições, sem que a solução ótima (x1, x2, ..., xn) seja alterada.
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Introdução
Este estudo se denomina Análise de Sensibilidade. Em uma Análise de Sensibilidade deveremos responder basicamente a três perguntas:
1. Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função objetivo?
2. Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?
3. Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de uma restrição?
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Introdução
Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade.
O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função objetivo e para as constantes das restrições.
O segundo verifica se mais de uma mudança simultânea em um problema altera a sua solução ótima.
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Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
Considere o problema abaixo e sua solução gráfica
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10 (A) x1 + 2x2 ≤ 9 (B)
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
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Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
Z
2 4 6 8
2
4
6
8
A
B
(11/7, 26/7) Ponto ótimo
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Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
A reta que define a função objetivo do problema anterior é dada por:
Z = 5x1 + 2x2
22
512
zxx
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Na solução ótima, os valores de x1 e x2 são iguais para as duas equações das retas que limitam a solução. Portanto, resolvendo este sistema de equações poderemos encontrar a solução ótima.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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4x1 + x2 = 10 x2 = - 4x1 + 10
x1 + 2x2 = 9 x2 = (- x1 + 9)/2
- 4x1 + 10 = (- x1 + 9)/2
x1 = 11/7 e x2 = 26/7
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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A alteração em um dos coeficientes provoca uma alteração no coeficiente angular (inclinação) da reta que define a função objetivo. Visualmente podemos notar que se a variação na inclinação for pequena a solução ótima (valor das variáveis de decisão que produzem o maior valor da função objetivo) não sofrerá alteração. Devemos deixar claro que o valor máximo (Z) a ser produzido pela solução ótima será diferente, independentemente da manutenção da solução ótima.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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A figura abaixo mostra quanto a inclinação (área sombreada) da função objetivo pode mudar sem que a solução ótima seja alterada.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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As retas A, B e a função objetivo apresentadas na figura pertencem a uma mesma família de retas pois têm o ponto (11/7, 26/7) em comum, isto é, uma característica em comum, e a diferença ente elas está no coeficiente angular. Portanto, enquanto o coeficiente angular da função objetivo estiver entre os coeficientes das retas que determinam a solução ótima esta não se alterará. Matematicamente, isto pode ser representado por:
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
Declividade ≤ Declividade ≤ Declividade
da Linha A da Função da Linha B Objetivo
4x1 + x2 = 10 x1 + 2x2 = 9
x2 = -4x1 + 10 x2 = (-1/2)x1 + 9/2
-4 ≤ Declividade ≤ -0,5da Função
Objetivo
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De uma forma geral, podemos obter o valor do coeficiente angular de uma função objetivo por Z = c1x1 + c2x2 ou por:
Isto é, o coeficiente angular é dado por – c1/c2. Logo, no caso, queremos
- 4 ≤ – c1/c2 ≤ - 0,5
21
2
12 c
Zx
c
cx
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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A análise que faremos a seguir supõe que apenas um dos coeficientes da função objetivo pode sofrer alteração de cada vez. Supondo primeiramente que apenas c1 sofrerá alteração, este poderá variar de 1 ≤ c1 ≤ 8. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira:
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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-4 ≤ - c1/c2 ≤ - 0,5 para c2 = 2 temos
-c1/2 ≥ -4 <--> c1 ≤ 8
-4 ≤ -c1/2 ≤ -0,5
-c1/2 ≤ -0,5 <--> c1≥ 1
1 ≤ c1≤ 8
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Assumindo agora que apenas c2 sofrerá alteração, este poderá variar de 1,25 ≤ c2 ≤ 10. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira:
-4 ≤ -c1/c2 ≤ - 0,5 para c1 = 5 temos
-5/c2 ≥ -4 <--> c2 ≥ 5/4 (para c2≥0)
-4 ≤ -5/c2 ≤ -0,5
-5/c2 ≤ -0,5 <--> c2 ≤ 10 (para c2 ≥ 0)
5/4 ≤ c2≤ 10
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Neste caso tivemos a nossa tarefa facilitada, pois existiam limites bem claros para a alteração do coeficiente angular, dado pelas duas retas das restrições. Contudo, nem sempre existem estes limites de forma clara.
Considere agora o problema a seguir, que difere do nosso problema original apenas pela alteração do coeficiente da variável x1.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Max Z = 15x1 + 2x2
Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10 (A) x1 + 2x2 ≤ 9 (B)
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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2 4 6 8
2
4
6
8
A
B
Z
(5/2, 0)
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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A representação gráfica deste novo problema é muito parecida com a anterior, já que os conjuntos de restrições (portanto, as soluções viáveis) são os mesmos para ambos os problemas. A figura mostra o conjunto de soluções viáveis, bem como a solução ótima.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Quando a rotação da função objetivo em torno do extremo ótimo passa pela reta vertical, significa que ou o limite superior ou o inferior para a declividade não existem (a função tangente não é definida em 90º). Neste problema um dos limites é dado pela reta limite da restrição 4x1 + x2 ≤ 10. O outro limite vai ser dado pela reta vertical que passa pelo ponto (5/2, 0).
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Para a função objetivo ter cruzado a reta vertical, o coeficiente angular deve ser positivo, ou seja, o sinal do coeficiente da variável x1 teria de ser negativo (mantido o coeficiente de x2).
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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Por exemplo: se a função objetivo fosse dada por Z = -10x1 + 2x2, seu coeficiente angular seria igual a 5. Como estamos desejando maximizar a função objetivo, podemos facilmente notar que a solução ótima seria alterada de (5/2, 0), já que quanto mais aumentarmos x1 menor será o valor de Z devido ao coeficiente negativo de x1. Portanto, deveríamos minimizar x1 e maximizar x2, o que nos levaria a solução ótima de (0, 9/2) e um valor máximo de 9.
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
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2 4 6 8
2
4
6
8
A
B
Z
Alteração em um dos coeficientes da Função Objetivo
(0, 9/2)
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Alterando o valor da Constante da Restrição
Uma mudança em qualquer das constantes das restrições pode também alterar a solução ótima de um problema. Esta mudança geralmente acarreta uma alteração no conjunto de soluções viáveis, aumentando ou diminuindo o mesmo. A alteração resultante no valor da função objetivo devido ao incremento de uma unidade na constante de uma restrição é denominada preço-sombra (shadow price). A interpretação do preço-sombra é feita às vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variáveis envolvidas.
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Considere o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema inicial modificando o valor da constante da segunda restrição de 9 para 15.
Max Z = 15x1 + 2x2
Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10 (A) x1 + 2x2 ≤ 15 (B’)
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Alterando o valor da Constante da Restrição
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A Figura mostra esta modificação graficamente, bem como a diferença no conjunto de soluções viáveis. Vale notar que esta mudança não alterou a solução ótima. A razão está no fato desta restrição não limitar a solução ótima. Neste caso as duas restrições que limitam a solução ótima são
4x1 + x2 ≤ 10 e x1 ≥ 0.
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Alterando o valor da Constante da Restrição
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Considere agora o problema a seguir, em que alteramos a constante da primeira restrição de 10 para 15. Como esta restrição limita a solução ótima, seu valor será alterado.
Max Z = 15x1 + 2x2
Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 15 (A’) x1 + 2x2 ≤ 9 (B)
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Alterando o valor da Constante da Restrição
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A figura abaixo mostra a alteração do conjunto de soluções viáveis e da solução ótima.
Alterando o valor da Constante da Restrição
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A alteração de cinco unidades da constante da primeira restrição provocou uma alteração no valor máximo da função objetivo de 37,5 para 56,25. Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como:
Preço-sombra = (56,25-37,5)/5 = 3,75
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Agora se alterarmos em 26 unidades ao invés de 5 unidades a constante da primeira restrição (10 para 36) provoca uma alteração no valor máximo da função objetivo de 37,5 para 135. Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como:
Preço-sombra = (135 – 37,5)/26 = 3,75
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Note que o valor do preço sombra é o mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores apenas. A solução gráfica desta segunda alteração do problema original está representada a seguir.
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Alterando o valor da Constante da Restrição
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Fazendo agora a terceira modificação no problema aumentando o valor da constante para 37 (qualquer número maior que 36), o modelo seria o apresentado a seguir e sua solução gráfica a apresentada na próxima figura.
Max Z = 15x1 + 2x2
Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 37 (D) x1 + 2x2 ≤ 9 (B)
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Nesta alteração o valor da função objetivo continuou o mesmo (135); portanto,
Preço-sombra = (135-135)/1 = 0
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Alterando o valor da Constante da Restrição
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Vale notar que a primeira restrição deixou de ser limitante da solução ótima. As restrições limitantes são agora x1 + 2x2 ≤ 9 e x1 ≥ 0. Podemos concluir que, enquanto a restrição continuar como limitante da solução ótima, o preço-sombra permanece o mesmo, tornando-se zero quando ela deixa de ser limitante da solução ótima.
Alterando o valor da Constante da Restrição
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Exercício
A Fashion Things Ltda. É uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo-padrão (preço médio) quanto para as bolsas do modelo de luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é tão acentuada que ele garante que ele irá comprar todas as bolsas que forem produzidas nos próximos três meses.
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Exercício
Uma análise detalhada dos requisitos de fabricação resultaram na especificação da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realização das quatro operações que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa:
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Exercício
Produto
Corte e coloração
Costura
Acabamento
Inspeção e empacotamento
Lucro por bolsa
Padrão 7/10 1/2 1 1/10 R$ 10,00
De luxo
1 5/6 2/3 1/4 R$ 9,00
Tempo disponível p/ 3 meses
630 600 700 135 -
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A) Supondo que a empresa deseja maximizar o lucro, determine quantas bolsas de cada modelo devem ser fabricadas.
B) Qual o lucro obtido pela quantidade ótima de bolsas fabricadas?
C) Quanto tempo deve ser programado para cada operação do processo produtivo?
D) Qual o tempo de sobra em cada operação?
E) Calcule o espectro de otimalidade dos coeficientes da função objetivo? (o intervalo de variação para os coeficientes da função objetivo)
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F) Detemine o valor de 1 hora adicional de corte e coloração?
G) Qual é o preço-sombra para a restrição de corte e coloração?
H) Qual é o preço sombra para a restrição de costura?
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Referências
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. São Paulo: Campus, 2006.