analise de sensibilidade

Faculdades Integradas Ipitanga (Unibahia)

Graduação em Engenharia de Produção Mecânica

Pesquisa Operacional

Professora: Janaina

2012.2

Pesquisa Operacional

Análise de Sensibilidade

Equipe:

André Quadros

Eduardo Souza

Luciana Baptista

Messias Argolo

Ricardo Pereira

Viviane Fernandes

Introdução

O principal objetivo do nosso trabalho é apresentar a Análise de Sensibilidade mostrando a sua definição, como pode ser utilizada, dar exemplos práticos e mostrar qual a importância desta ferramenta na engenharia e ou em qualquer outro seguimento, para isso mostraremos o passo a passo da Programação Linear com resolução gráfica e também o Modelo no Solver (Excel).


Ao realizarmos uma analise pós otimização verificamos as possíveis variações, para cima e para baixo, dos valores dos coeficientes da função-objetivo, dos coeficientes e das constantes das restrições sem que a solução ótima seja alterada. Este estudo se denomina Análise de Sensibilidade.


Em uma análise de sensibilidade deveremos responder basicamente a três perguntas:

Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função-objetivo?

Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?

Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de uma restrição?

Alteração em um dos coeficientes da Função-Objetivo:

Consideremos o problema abaixo e sua solução gráfica:

Max Z = 5x1 + 2x2

s.r. 4x1 + x2 ≤ 10

x1 + 2x2 ≤ 9

x1≥ 0 e x2 ≥ 0


A reta que define a função-objetivo deste problema é dada por:

Resolvendo o sistema de equações poderemos encontrar a solução ótima:


A alteração em um dos coeficientes provoca uma alteração no coeficiente angular (inclinação) da reta que define a função-objetivo. Visualmente podemos notar que se a variação na inclinação for pequena a solução ótima não sofrerá alteração porém o valor máximo (Z) a ser produzido pela solução ótima será diferente, independente da solução ótima.


Como podemos perceber as retas A, B e a função-objetivo pertencem a uma família de retas,pois têm o ponto (11/7; 26/7) em comum e a diferença entre elas está no coeficiente angular. Assim enquanto o coeficiente angular estiver entre os coeficientes das retas que determinam a solução ótima,esta não se alterará.


Representando matematicamente:

De uma forma geral podemos obter o valor do coeficiente angular de uma função-objetivo por

ou por

Isto é, o coeficiente angular é dado por:

Declividade ≤ Declividade ≤ Declividade

da Linha A da Função da Linha B

Objetivo

4x1 + x2 = 10 x1 + 2x2 = 9

x2 = -4x1 + 10 x2 = (-1/2)x1 + 9/2

-4 ≤ Declividade ≤ -0,5

da Função

Objetivo


E no nosso caso queremos: A análise que faremos a seguir supõe que apenas um dos

coeficientes da função-objetivo pode sofrer alteração de cada vez. Supondo primeiramente que apenas C1 sofrerá alteração, este poderá variar de

Obteremos estes limites da seguinte maneira:

1 ≤ c1 ≤ 8.

Alteração em um dos coeficientes da Função-Objetivo: Agora apenas C2 sofrerá alteração, este poderá variar de

Logo:

Neste caso tivemos a nossa tarefa facilitada,pois existiam limites bem claros para a alteração do coeficiente angular, dado pelas duas retas das restrições.

Alteração do valor da constante da restrição:

Uma mudança em qualquer das constantes das restrições pode também alterar a solução ótima de um problema. Esta mudança geralmente acarreta uma alteração no conjunto de soluções viáveis, aumentando ou diminuindo o mesmo. A alteração resultante no valor da função-objetivo devida ao incremento de uma unidade na constante de uma restrição é denominada preço-sombra (shadow-price). A interpretação do preço-sombra é feita as vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variáveis envolvidas.


Consideramos o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema inicial modificando o valor da constante da segunda restrição de 9(original) para 15.

Alteração do valor da constante da restrição: O gráfico abaixo mostra esta modificação graficamente,

bem como a diferença no conjunto das soluções viáveis. Vale notar que esta mudança não alterou a solução ótima. A razão está no fato desta restrição não limitar a solução ótima. Neste caso as duas restrições que limitam a solução ótima são


Agora veremos como a solução ótima terá seu valor alterado quando alteramos a constante da primeira restrição de 10 (valor original) para 15. Como esta restrição limita a solução ótima seu valor será alterado.


No gráfico abaixo vemos a alteração do conjunto de soluções viáveis e da solução ótima.

nova solução ótima


A alteração de cinco unidades da constante da primeira restrição (10 para 15) provocou uma alteração no valor máximo da função-objetivo e 37,5 para 56,25.Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como:

Preço-sombra = 56,25 – 37,50 = 3,75

5

Uma alteração de 26 unidades da constante da primeira restrição (10 para 36) provocou uma alteração no valor máximo da função-objetivo e 37,5 para 135.Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como:

Preço-sombra = 135 – 37,50 = 3,75

5

Alteração do valor da constante da restrição: Assim pudemos perceber que o valor do preço-sombra é o

mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores apenas. Vejamos a solução gráfica desta segunda alteração:


Agora faremos uma nova alteração aumentando o valor da constante para 37 (qualquer numero maior que 36). Reparem que o valor da função objetivo continuou o mesmo (135).

Max Z = 15x1 + 2x2s.r. 4x1 + x2 ≤ 37 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0


Logo:

Preço-sombra = 135-135 = 0,00

1

Assim percebemos que a primeira restrição deixou de ser limitante da solução ótima. As restrições limitantes são agora

Sendo assim enquanto a restrição continuar como limitante da solução ótima, o preço-sombra permanece o mesmo, tornando-se zero quando ela deixa de ser limitante da solução ótima.

Relatórios do Excel (Utilizando o Solver) Como já vimos o Excel realiza um tipo de analise

sensibilidade que considera apenas a alteração de um único valor (coeficiente ou constante) de cada vez. Consideremos o problema abaixo(realizado anteriormente graficamente), sua modelagem no Excel e sua resolução no solver.

Relatórios do Excel

Modelagem


Resolução

Relatórios do ExcelRelatório de Resposta O relatório de resposta é simples, é de fácil

compreensão e possui 3 partes distintas:

Relatórios do Excel1. A primeira indica o tipo de problema tratado (maximização

ou minimização), o valor original e final da função objetivo, bem como a célula utilizada para representá-la. A célula B5 do relatório apresenta o valor otimizado da função-objetivo, isto é, o valor da função-objetivo considerando os valores de x1 e x2 na solução ótima;

2. A segunda parte é relativo às variáveis de decisão. Ela apresenta os valores iniciais e finais das variáveis de decisão e as células utilizadas para defini-las;

Relatórios do Excel3. Já a terceira parte diz respeito às restrições:

o A coluna das células indica as células utilizadas pelos LHS de cada uma das restrições.

o A coluna das constantes(RHS) de cada uma das restrições.

o A coluna Formulas indica cada uma das formulas utilizadas nas restrições.

o As colunas de status pode apresentar dois valores: binding (agrupar) e not binding (não agrupar). O mais importante está na interpretação desta igualdade, quando ela existe, o lado direito e esquerdo da restrição são iguais na solução ótima significando que todo recurso disponível (RHS) foi consumido, isto é, a variável de folga ou excesso (slack - transigência) tem valor zero.

o A coluna transigência indica a diferença entre o LHS e o RHS de cada uma das restrições. Logo as restrições que tenham o status binding devem apresentar valor na coluna transigência (slack) igual a zero e as restrições com valor not binding apresentam algum valor positivo;

Relatórios do Excel Relatório de Sensibilidade

Relatórios do Excel Relatório de Sensibilidade

É dividido em duas partes:

1. A primeira refere-se às mudanças que possam ocorrer nos coeficientes das variáveis de decisão da função-objetivo;

2. A segunda mostra as possíveis alterações que as constantes das restrições podem sofrer;


Relatório de SensibilidadeReduzido custo - Existem duas interpretações básicas:

1. A quantidade que o coeficiente da função-objetivo de uma variável original deve melhorar antes desta variável se tornar básica;

2. A penalização que deverá ser paga para tornar uma variável básica;

Observemos que o reduzido custo são as variáveis de folga ou excesso do problema, porém se uma variável do problema original for maior que zero, o valor da variável do problema relacionado será zero, isto é, o valor do reduzido custo será zero;


Relatório de sensibilidadeAcréscimo/Decréscimo Permissível: indica o quanto cada coeficiente pode

aumentar/diminuir, permanecendo todas as demais variáveis constantes, sem que se altere a solução ótima.

Pode ser verificado reprocessando o Solver

Acréscimo/decréscimo permissível = 0

indica que pode haver outra solução ótima

Relatórios do Excel Relatório de sensibilidade

Preço-sombra: Indica o quanto irá mudar o valor da função objetivo

se houver a alteração de uma unidade no fator de restrição indicado, permanecendo todos os demais coeficientes constantes

Representa a relação Margem de Contribuição/fator limitativo• Preço-sombra positivo: indica que o aumento de 1

unidade na restrição provocará aumento no valor da função-objetivo

• Preço-sombra negativo: indica que o aumento de 1 unidade na restrição provocará redução no valor da função-objetivo


Relatórios de Limites

Relatórios do Excel Relatórios de Limites A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável

pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

Conclusão

Pudemos perceber que a Análise de Sensibilidade é uma ferramenta na qual nos permite comparar resultados da empresa a partir de simulações. Compreender o que é uma Análise de Sensibilidade e saber usá-la a favor da empresa aumenta muito nossa capacidade de gestão, dando segurança e percepção na hora de decidir.

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