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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005

Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten

Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich leichter zu erfassenals Wahrscheinlichkeitsaussagen:

• „An 30 von 100 solchen Tagen wie morgen regnet es“

• „Von 100 Männern im Alter von 40, die Nichtraucher sind erleiden 3 in den nächsten 10 Jahren einen Herzinfarkt“

• „In einem von 20 Fällen ist meine Prognose falsch“

• „10 von 100 Lesern missfällt diese Werbung“

Aber: Wahrscheinlichkeiten sind keine relativen Häufigkeiten

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Beispiel: Lotto

• Beim Lotto ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Spiel einen 6er zu bekommen:

000000071.013983816

1

6

491

• „Einmal in 13 Millionen Spielen“

• „Einmal in 268 000 Jahren“

• „Es ist wahrscheinlicher, den Tag der Ziehung nicht mehr zu erleben, als zu gewinnen“

• Simulationsexperiment

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Zur Risikokommunikation

– Absolutes Risiko– Relatives Risiko– Anzahl der zusätzlich geschädigten Individuen

Es gibt drei Arten der Beschreibung von Risikenfür die Gesundheit:

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Beispiel 2 : Perinatale Sterblichkeit und Reaktorunfall von Tschernobyl

örblein und Küchenhoff (1997):

• Sterblichkeit 1987 von 0.8% auf 0.836 % erhöht

• Risiko um 4.5 % erhöht (relatives Risiko 1.045)

• ca. 317 zusätzlich verstorbene Kinder in Deutschland

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Beispiel 3 : Wirkung von Pravastatin

„ Menschen mit hohem Cholesterinspiegel können das Risiko eines erstmaligem Herzinfarkts sehr schnell um 22 Prozent vermindern, wenn sie einen häufig angewandten Wirkstoff namens Pravastatin einnehmen“

• Reduktion der Todesfälle von 41 auf 32 pro 1000 Patienten mit hohem Cholesterin 4.1% auf 3.2%. Differenz 0.9%.

• Reduktion um 22% (relatives Risiko 0.78) „22% werden gerettet“

• Es müssen 111 Patienten behandelt werden, um ein Menschenleben zu retten

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Medizinische Tests

10 Erkrankt

Personen

Gesund

9 Test P 1 Test N 10 Test P 980 Test N

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Beachte: Die Bedingung entspricht der Bezugspopulation:

Sensitivität: 9 von 10 Kranken werden als solche erkannt:P(Test positiv| Patient krank) = 9/10

Spezifität: 980 von 990 Gesunden werden als solche erkannt:P (Test negativ| Patient gesund) = 98/99

Positiver prädiktiver Wert: 9 von 19 Test P sind krank:P (Patient krank|Test positiv) = 9/19

Prävalenz: 1 von 100 Personen ist krank: P (krank) = 1/100

Bezugspopulation von zentraler Bedeutung

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Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten

(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten

Diagnose:

Klassifikation

wahrer Status

positiv negativ

positiv

negativ

Sensitivität

Empfindlichkeit

P(T+|K+)

Spezifität

Treffsicherheit

P(T-|K-)

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Krankheitswahrscheinlichkeiten im Diagnosetest

In der Praxis interessieren in der Regel die Klassifikationswahrscheinlichkeiten weniger, wohl aber die Frage, ob ein Test-positives Tier wirklich krank ist, d.h. (bedingten) Krankheitswahrscheinlichkeiten

Klassifikation

Test

Wahrheit (goldener Status)

positiv negativ

positiv

negativ

positiver

prädiktiver Wert

P(K+|T+)

negativer

prädiktiver Wert

P(K-|T-)

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Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Tier wirklich krank ist ?

Prädiktiver Wert = ????

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98

• Spezifität P(T-|K-) = 0.95

• Prävalenz P(K+) = 0.2

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Lösung durch hypothetische Population

200 krank

800 gesund

196 positiv 4 negativ 40 positiv 760 negativ

Positiver prädiktiver Wert: 83.040196

196

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Theorie: Satz von Bayes

)|()()( ABPAPBAP

)(

)()|(

)(

)()|(

BP

APABP

BP

BAPBAP

Def.:

Satz von Bayes:

Multiplikationssatz:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

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Satz von Bayes: Diagnosetests

)1()1(

)|()()|()(

)|()(

)()(

)()|(

)(

)()|(

)|(

SpezPvSensPv

SensPv

KTPKPKTPKP

KTPKP

KTPKTP

KPKTP

TP

KPKTP

TKP

Kennt man Sensitivität, Spezifität und Prävalenz, so gilt für den positiven prädiktiven Wert

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Lösung durch Satz von Bayes

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98

• Spezifität P(T-|K-) = 0.95

• Prävalenz P(K+) = 0.2

040.0196.0

196.0

05.08.098.02.0

98.02.0)|(

TKP

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Diagnosetests: Beispiel II

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98

• Spezifität P(T-|K-) = 0.95

• Prävalenz P(K+) = 0.01

18.005.099.001.098.0

01.098.0)|(

TKP

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Lösung durch hypothetische Population

100 krank

9 900 gesund

98 positiv 2 negativ 495 positiv 9 405 negativ

Positiver prädiktiver Wert: 18.049598

98

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Diagnosetests: Beispiel BSE ???

Dann gilt für den postitiven prädiktiven Wert

P(K+|T+)

Übung

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.99 (???)

• Spezifität P(T-|K-) = 0.99 (???)

• Prävalenz P(K+) = 0.001 (???)

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Diagnosetests und (kleine) Prävalenzen

Achtung:

Bei der Bewertung von diagnostischen Verfahren, falls die Prävalenz der Erkrankung sehr klein ist (BSE, HIV, …)

• ist die (absolute) Anzahl falsch positiver Diagnosen hoch

• ist der positive prädiktive Wert gering

Wenn die Prävalenz gering ist,

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Begriff der Zufallsgröße

Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0

Formal Abbildung:

:X

Im Beispiel:

4)2,2(

3)1,2(

3)2,1(

2)1,1(

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Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt

man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine

Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X

36/)321()4(

36/)21()3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:

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Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen

benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Sie ist definiert als .)()( xXPxf

36/3)4(

36/2)3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:

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Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen

sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen

Werten .

Dann sind der Erwartungswert und die Varianz

wie folgt definiert:

)(

)())(()))((()(

)()(

1

22

1

XVar

xXPXExXEXEXVar

xXPxXE

x

n

iii

n

iii

nxx ,...1

X

)(XE )(XVar

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Beispiel: Einfacher Würfel

5.36*6

15*

6

14*

6

13*

6

12*

6

11*

6

1)( XE

7.1

9.2)5.36(*6

1)5.35(*

6

1)5.34(*

6

1

)5.33(*6

1)5.32(*

6

1)5.31(*

6

1)(

222

222

X

XV

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Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten

a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

X

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Binomialverteilung: Idee

Frage:

Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon m Tiere erkrankt sind?

• insgesamt N Tieren

• davon sind M erkrankt

• und (N-M) nicht erkrankt

Betrachtet wird ein Bestand mit

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Binomialverteilung: Formal

iX

erkranktnichtTiergezogenestesifalls

erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0

,1

n

iiXXmitmXP

1

?,)(Frage:

ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen

Dann gilt:

PN

MXP i )1(

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Binomialverteilung: Definition

mnm PPm

nmXP

)1()(

Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen

0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit

Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)

Es gilt

n

iiXX

1

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Binomialkoeffizient: Definition

))(...21()...21(

)...21(

)!(!

!

mnm

n

mnm

n

m

n

Beispiel

Die Größe

1062

120

)321()21(

)5...21(

2

5

heißt Binomialkoeffizient.

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Binomialverteilung: Anwendungen

• krank vs. gesund

• schwarzbunt vs. braun

• Niedersachsen vs. Bayern

• Grenzwert überschritten vs. unterschritten

• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich

Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen

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Binomialverteilung: Beispiel

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10

gezogene Stichprobe n = 5

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

0729.0729.001.010)9.0(1.02

5)2(

329.0656.01.05)9.0(1.01

5)1(

591.0591.011)9.0(1.00

5)0(

32

41

50

XP

XP

XP

etc.

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Binomialverteilung: Eigenschaften

• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere

E(X) = n P

Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5

• Varianz

Var(X) = n P (1-P)

Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45

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Weitere diskrete Verteilungen

• hypergeometrische Verteilung

wenn die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt und die

Gesamtheiten klein sind

• Poisson-Verteilung

wenn die Ereignisse sehr selten sind