von renate pauer susanne haberl am 11. april.2011
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vonRenate Pauer
Susanne Haberl
am11. April.2011
Sei die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems , und sei mit
eine zweite Lagrangefunktion definiert. Zeigen Sie, dass und auf die gleiche Euler-Lagrange-Gleichungen führen, d.h. dass sie das gleiche System beschreiben!
Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen
und
Das Prinzip basiert auf der Leibnizschen Kettenregel.
Auf dieses Beispiel angewendet erhalten wir folgende Formel:
(Äußere * Innere Ableitung)
k
n
k k
qqf
fdtd
1
durcheinsetzen
k
n
k k
qqf
fdtd
1
durch diesen Ausdruckdurch diesen Ausdruck
ergibt sich
k
n
k k
qqG
1
Das ist die Antwort auf die Frage! ;-)
Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen
und
K
Den Ausdruck ersetzen wir durch den Buchstaben K
Warum?Um beweisen zu können, dass beide Lagrangefunktionen dasselbe System beschreiben, müssen sich auf beiden Seiten die folgenden Ausdrücke wegkürzen lassen.
Dazu benötigen wir die Euler-Lagrange-Gleichung:
kk q
K
q
K
dt
d
beide Seiten sollen gleich sein…
Beginnen wir mit dem linken Ausdruck.
kk q
K
q
K
dt
d
n
jj
jkk t
tqGq
q
tqG
K
1
,,
Fällt weg, da dieser Ausdruck nicht von abhängt.q
Nun leiten wir nach ab. q
n
jj
jkk t
tqGq
q
tqG
K
1
,,
Nun leiten wir nach ab. qDaraus
folgtDaraus
folgt
j
n
j j qG
qtqG
1
),(
Dieser Ausdruck wird nun in die Euler-Lagrange-Gleichung auf der linken Seite eingesetzt.
Das ∑-Zeichen fällt weg, da nach abgeleitet wurde.
jq
jqG
Diesen Ausdruck setzen wir nun in die linke Seite der
Euler-Lagrange-Gleichung ein.
kk q
K
q
K
dt
d
n
k ik
kjj tqG
qqqG
qG
dtd
1
Linke Seite der Euler-Lagrange-Gleichung
Nun wenden wir uns der rechten Seite der Euler-Lagrange-Gleichung…
kk q
K
q
K
dt
d
n
kk
kjj ttqG
qqtqG
qqK
1
),(),(
n
k jk
kj tqG
qqqG
1
Gegenüberstellung der Ergebnisse von beiden Seiten:
n
k jk
kj tqG
qqqG
1
Rechte Seite
n
k ik
kj tqG
qqqG
1
Linke Seite
Beide Seiten sind gleich !!!=> beide Gleichungen beschreiben dasselbe System!!!
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