vonRenate Pauer

Susanne Haberl

am11. April.2011

Sei die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems , und sei mit

eine zweite Lagrangefunktion definiert. Zeigen Sie, dass und auf die gleiche Euler-Lagrange-Gleichungen führen, d.h. dass sie das gleiche System beschreiben!

Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen

und

Das Prinzip basiert auf der Leibnizschen Kettenregel.

Auf dieses Beispiel angewendet erhalten wir folgende Formel:

(Äußere * Innere Ableitung)

k

n

k k

qqf

fdtd

1

durcheinsetzen

k

n

k k

qqf

fdtd

1

durch diesen Ausdruckdurch diesen Ausdruck

ergibt sich

k

n

k k

qqG

1

Das ist die Antwort auf die Frage! ;-)

Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen

und

K

Den Ausdruck ersetzen wir durch den Buchstaben K

Warum?Um beweisen zu können, dass beide Lagrangefunktionen dasselbe System beschreiben, müssen sich auf beiden Seiten die folgenden Ausdrücke wegkürzen lassen.

Dazu benötigen wir die Euler-Lagrange-Gleichung:

kk q

K

q

K

dt

d

beide Seiten sollen gleich sein…

Beginnen wir mit dem linken Ausdruck.

kk q

K

q

K

dt

d

n

jj

jkk t

tqGq

q

tqG

qq

K

1

,,

Fällt weg, da dieser Ausdruck nicht von abhängt.q

Nun leiten wir nach ab. q

n

jj

jkk t

tqGq

q

tqG

qq

K

1

,,

Nun leiten wir nach ab. qDaraus

folgtDaraus

folgt

j

n

j j qG

qtqG

1

),(

Dieser Ausdruck wird nun in die Euler-Lagrange-Gleichung auf der linken Seite eingesetzt.

Das ∑-Zeichen fällt weg, da nach abgeleitet wurde.

jq

jqG

Diesen Ausdruck setzen wir nun in die linke Seite der

Euler-Lagrange-Gleichung ein.

kk q

K

q

K

dt

d

n

k ik

kjj tqG

qqqG

qG

dtd

1

Linke Seite der Euler-Lagrange-Gleichung

Nun wenden wir uns der rechten Seite der Euler-Lagrange-Gleichung…

kk q

K

q

K

dt

d

n

kk

kjj ttqG

qqtqG

qqK

1

),(),(

n

k jk

kj tqG

qqqG

1

Gegenüberstellung der Ergebnisse von beiden Seiten:

n

k jk

kj tqG

qqqG

1

Rechte Seite

n

k ik

kj tqG

qqqG

1

Linke Seite

Beide Seiten sind gleich !!!=> beide Gleichungen beschreiben dasselbe System!!!