vježba linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Vježba

Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

1) 1) JEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJEJEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJE

Neka je x = Neka je x = [[xxii ]], i = 1,..., N , i = 1,..., N

vektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenjavektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenja.. Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička sredina i varijanca, definirani su sredina i varijanca, definirani su

N

XM

N

1

N

d

N

MXV ii

22)(

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE

x ' = x + ax ' = x + a

N

XM i''

N

aX i)(

N

NaX i aM

Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije uvećana je, u odnosu na početnu transformacije uvećana je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstante

M' = M + aM' = M + a

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, operacija dodavanja konstante ne mijenja operacija dodavanja konstante ne mijenja

originalnu varijancuoriginalnu varijancu

VV' = ' = VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2)()(

N

aMaX i2

N

MX i2

V

Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = M + aM’ = M + a

V’ = VV’ = V

’’= =

Razmotrimo efekte koje ima Razmotrimo efekte koje ima oduzimanjeoduzimanje konstante na konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.22. . ODUZIMANJEODUZIMANJE KONSTANTE KONSTANTE

x ' = x x ' = x -- a a

N

XM i''

N

aX i)(

N

NaX i aM

Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije transformacije umanjenaumanjena je, u odnosu na početnu je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost konstante

M' = M M' = M -- a a

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

1.1.22. . ODUZIMANJE ODUZIMANJE KONSTANTEKONSTANTE

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, operacija oduzimanja konstante ne mijenja operacija oduzimanja konstante ne mijenja

originalnu varijancuoriginalnu varijancu

VV' = ' = VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2)()(

N

aMaX i2

N

MX i2

V

Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = M - aM’ = M - a

V’ = VV’ = V

’’= =

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.33. . MNOŽENJE S MNOŽENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM

x ' = x ' = aaxx

N

XM i''

N

aX i)(

N

Xa i aM

Prema tome, aritmetička sredina Prema tome, aritmetička sredina transformirane transformirane varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke

sredine i konstantesredine i konstante

M' = M' = aaMM

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

1.1.33. . MNOŽENJE S KONSTANTOMMNOŽENJE S KONSTANTOM

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, nakon operacije množenja s konstantom nakon operacije množenja s konstantom varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu

originalne varijance s kvadriranom konstantomoriginalne varijance s kvadriranom konstantom

VV' = ' = aa22VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2

N

MXa i22 )(

Va2

Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = aMM’ = aM

V’ = aV’ = a22VV

’’= a = a

aVaVV 2'',

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.44. . DIJELJENJE S DIJELJENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM

a

XX '

Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s recipročnom vrijednošću, možemo pisati irecipročnom vrijednošću, možemo pisati i

1' XaX

Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

a

MMaM 1'

212 )('a

VaVV

aa

1)('

2)2) VIŠESTRUKE LINEARNE VIŠESTRUKE LINEARNE TRANSFORMACIJETRANSFORMACIJE

Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti definirana je izrazomdefinirana je izrazom

MX

z

2.1.2.1. SKALA Z-VRIJEDNOSTI SKALA Z-VRIJEDNOSTI

Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti pokazuje dvije stvari:pokazuje dvije stvari:

  1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan

2. koliko je transformirani rezultat, u terminima 2. koliko je transformirani rezultat, u terminima standardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredinestandardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredine

Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti

Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:

a) Aritmetička sredinaa) Aritmetička sredina

N

zM i'

N

MX 1)(

N

NMX )(1

NMXN

XM ,

0

Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti

Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:

a) Varijancaa) Varijanca

N

MXV i

2)('

N

z i2)0(

N

zi2

N

MX i

21)(

N

MX i221 )()(

N

MX i2

2

)(1

2

2

1

12

2

Za skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosiZa skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosi

z

2z

0

N

N

z 2

V 1

Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).

U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži množenje s konstantom (korekcija standardne množenje s konstantom (korekcija standardne devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), dakle u općem obliku možemo pisati:dakle u općem obliku možemo pisati:

2.2.2.2. TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA ZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMAZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMA

baXx '

Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim parametrimaparametrima

MXX '

1

)(' MXX

'1

)('

MXX

?'?,' M

''1

)(' MMXX

Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za transformaciju individualnog bruto rezultata na novu transformaciju individualnog bruto rezultata na novu ljestvicu sa zadanim M i s.d.ljestvicu sa zadanim M i s.d.

')('

' MMXX

pri čemu je:pri čemu je:

X = bruto rezultat na staroj skaliX = bruto rezultat na staroj skali

X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali

' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija

= stara standardna devijacija= stara standardna devijacija

M = stara aritmetička sredinaM = stara aritmetička sredina

M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina

Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa zadanim parametrima, onda vrijedizadanim parametrima, onda vrijedi

')('' MzX

pri čemu je:pri čemu je:

zz = = z-vrijednostz-vrijednost

X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali

' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija

M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina

Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:

Naziv ljestvice M s.d.

z-vrijednosti 0 1

T-skala (McCall) 50 10

C-skala (Guilford) 5 2

Sten (standard ten) skala 5,5 2

Skala standardiziranih šk. ocjena

3 0.83

Skala devijacionog kvocijenta inteligencije

100 15

3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA 3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA NA KOEFICIJENT KORELACIJENA KOEFICIJENT KORELACIJE

Na donjoj slici prikazane su relacije između Na donjoj slici prikazane su relacije između originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6

x'=2x x'=x+2

x'=x-2

x'=x/2

XYYX rr '

Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:

)()(' kMkXdX

yx

iyxxy N

ddr

)(

XX '

)''(' MXdX

yx

iyxyx N

ddr

'

''

)(

yx

y

N

dkMkX

)()(

yx

Y

N

dMX

)(

yx

YX

N

dd

xyr

Kraj druge vježbeKraj druge vježbe