vježba linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

28

Upload: tausiq

Post on 14-Jan-2016

50 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet Odsjek za psihologiju. Vježbe iz psihometrije. Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja. 1) JEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJE. Neka je x = [ x i ] , i = 1,..., N - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja
Page 2: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Vježba

Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

Page 3: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

1) 1) JEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJEJEDNOSTAVNE LINEARNE TRANSFORMACIJE

Neka je x = Neka je x = [[xxii ]], i = 1,..., N , i = 1,..., N

vektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenjavektor rezultata bilo kakvog psihološkog mjerenja.. Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička Deskriptori distrubucije varijable x, aritmetička sredina i varijanca, definirani su sredina i varijanca, definirani su

N

XM

N

1

N

d

N

MXV ii

22)(

Page 4: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE

x ' = x + ax ' = x + a

N

XM i''

N

aX i)(

N

NaX i aM

Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije uvećana je, u odnosu na početnu transformacije uvećana je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost dodane konstante

M' = M + aM' = M + a

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

Page 5: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

1.1. DODAVANJE KONSTANTE1.1. DODAVANJE KONSTANTE

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, operacija dodavanja konstante ne mijenja operacija dodavanja konstante ne mijenja

originalnu varijancuoriginalnu varijancu

VV' = ' = VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2)()(

N

aMaX i2

N

MX i2

V

Page 6: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri Prema tome nakon dodavanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = M + aM’ = M + a

V’ = VV’ = V

’’= =

Page 7: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Razmotrimo efekte koje ima Razmotrimo efekte koje ima oduzimanjeoduzimanje konstante na konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.22. . ODUZIMANJEODUZIMANJE KONSTANTE KONSTANTE

x ' = x x ' = x -- a a

N

XM i''

N

aX i)(

N

NaX i aM

Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve Prema tome, aritmetička sredina nakon ovakve transformacije transformacije umanjenaumanjena je, u odnosu na početnu je, u odnosu na početnu aritmetičku sredinu, za vrijednost konstantearitmetičku sredinu, za vrijednost konstante

M' = M M' = M -- a a

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

Page 8: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

1.1.22. . ODUZIMANJE ODUZIMANJE KONSTANTEKONSTANTE

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, operacija oduzimanja konstante ne mijenja operacija oduzimanja konstante ne mijenja

originalnu varijancuoriginalnu varijancu

VV' = ' = VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2)()(

N

aMaX i2

N

MX i2

V

Page 9: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri Prema tome nakon oduzimanja konstante, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = M - aM’ = M - a

V’ = VV’ = V

’’= =

Page 10: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.33. . MNOŽENJE S MNOŽENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM

x ' = x ' = aaxx

N

XM i''

N

aX i)(

N

Xa i aM

Prema tome, aritmetička sredina Prema tome, aritmetička sredina transformirane transformirane varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke varijable jednaka je umnošku originalne aritmetičke

sredine i konstantesredine i konstante

M' = M' = aaMM

a) Posljedice na aritmetičku sredinua) Posljedice na aritmetičku sredinu

Page 11: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

1.1.33. . MNOŽENJE S KONSTANTOMMNOŽENJE S KONSTANTOM

N

MXV i

2)''('

Prema tome, Prema tome, nakon operacije množenja s konstantom nakon operacije množenja s konstantom varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu varijanca transformirane varijable, jednaka je produktu

originalne varijance s kvadriranom konstantomoriginalne varijance s kvadriranom konstantom

VV' = ' = aa22VV

b) Posljedice na varijancub) Posljedice na varijancu

N

aMaX i2

N

MXa i22 )(

Va2

Page 12: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri Prema tome nakon množenja varijable s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

M’ = aMM’ = aM

V’ = aV’ = a22VV

’’= a = a

aVaVV 2'',

Page 13: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na Razmotrimo efekte koje ima dodavanje konstante na deskriptore bazičnih varijabli. deskriptore bazičnih varijabli. pri čemu je pri čemu je vrijednost vrijednost aa neka realna konstantaneka realna konstanta, različita od nule, različita od nule. .

1.1.44. . DIJELJENJE S DIJELJENJE S KONSTANTKONSTANTOMOM

a

XX '

Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s Budući da se dijeljenje može tretirati kao množenje s recipročnom vrijednošću, možemo pisati irecipročnom vrijednošću, možemo pisati i

1' XaX

Page 14: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri Prema tome nakon dijeljenja s konstantom, parametri transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti transformirane varijable u odnosu na originalne vrijednosti iznose:iznose:

a

MMaM 1'

212 )('a

VaVV

aa

1)('

Page 15: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

2)2) VIŠESTRUKE LINEARNE VIŠESTRUKE LINEARNE TRANSFORMACIJETRANSFORMACIJE

Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti Transformacija rezultata X na skalu z-vrijednosti definirana je izrazomdefinirana je izrazom

MX

z

2.1.2.1. SKALA Z-VRIJEDNOSTI SKALA Z-VRIJEDNOSTI

Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti Rezultat skaliran u terminima z-vrijednosti pokazuje dvije stvari:pokazuje dvije stvari:

  1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan1. da li je rezultat iznad ili ispod prosječan

2. koliko je transformirani rezultat, u terminima 2. koliko je transformirani rezultat, u terminima standardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredinestandardnih devijacija udaljen od aritmetičke sredine

Page 16: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti

Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:Mz = 0, što se može dokazati na sljedeći način:

a) Aritmetička sredinaa) Aritmetička sredina

N

zM i'

N

MX 1)(

N

NMX )(1

NMXN

XM ,

0

Page 17: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Deskriptori skale z-vrijednostiDeskriptori skale z-vrijednosti

Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:Vz = 1, što se može dokazati na sljedeći način:

a) Varijancaa) Varijanca

Page 18: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

N

MXV i

2)('

N

z i2)0(

N

zi2

N

MX i

21)(

N

MX i221 )()(

N

MX i2

2

)(1

2

2

1

12

2

Page 19: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Za skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosiZa skalu z-vrijednosti vrijede i sljedeći odnosi

z

2z

0

N

N

z 2

V 1

Page 20: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom Višestruke linearne transformacije koristimo prilikom transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu transformacija rezultata psihološkog mjerenja na skalu zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).zadanih karakteristika (zadani M i stand. dev).

U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži U općem obliku ta transformacija uvijek sadrži množenje s konstantom (korekcija standardne množenje s konstantom (korekcija standardne devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), devijacije i M) i dodavanje konstante (korekcija M), dakle u općem obliku možemo pisati:dakle u općem obliku možemo pisati:

2.2.2.2. TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA TRANSFORMACIJA REZULTATA NA SKALU SA ZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMAZADANIM DESKRIPTIVNIM PARAMETRIMA

baXx '

Page 21: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim Kako transformirati rezultate na skalu sa zadanim parametrimaparametrima

MXX '

1

)(' MXX

'1

)('

MXX

?'?,' M

''1

)(' MMXX

Page 22: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za Ukoliko posljednji izraz sredimo dobijamo algoritam za transformaciju individualnog bruto rezultata na novu transformaciju individualnog bruto rezultata na novu ljestvicu sa zadanim M i s.d.ljestvicu sa zadanim M i s.d.

')('

' MMXX

pri čemu je:pri čemu je:

X = bruto rezultat na staroj skaliX = bruto rezultat na staroj skali

X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali

' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija

= stara standardna devijacija= stara standardna devijacija

M = stara aritmetička sredinaM = stara aritmetička sredina

M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina

Page 23: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa Ukoliko transformiramo z-vrijednosti na novu skalu sa zadanim parametrima, onda vrijedizadanim parametrima, onda vrijedi

')('' MzX

pri čemu je:pri čemu je:

zz = = z-vrijednostz-vrijednost

X ' = bruto rezultat na novoj skaliX ' = bruto rezultat na novoj skali

' = nova (zadana) standardna devijacija' = nova (zadana) standardna devijacija

M ' = nova (zadana) aritmetička sredinaM ' = nova (zadana) aritmetička sredina

Page 24: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:Neke uobičajene psihologijske ljestvice su:

Naziv ljestvice M s.d.

z-vrijednosti 0 1

T-skala (McCall) 50 10

C-skala (Guilford) 5 2

Sten (standard ten) skala 5,5 2

Skala standardiziranih šk. ocjena

3 0.83

Skala devijacionog kvocijenta inteligencije

100 15

Page 25: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA 3) POSLJEDICE LINEARNIH TRANSFORMACIJA NA KOEFICIJENT KORELACIJENA KOEFICIJENT KORELACIJE

Na donjoj slici prikazane su relacije između Na donjoj slici prikazane su relacije između originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.originalne varijable i njezinih linearnih transformacija.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6

x'=2x x'=x+2

x'=x-2

x'=x/2

Page 26: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

XYYX rr '

Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:Može se pokazati da za slučaj X’=X+k vrijedi:

)()(' kMkXdX

yx

iyxxy N

ddr

)(

XX '

)''(' MXdX

Page 27: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

yx

iyxyx N

ddr

'

''

)(

yx

y

N

dkMkX

)()(

yx

Y

N

dMX

)(

yx

YX

N

dd

xyr

Page 28: Vježba Linearne transformacije rezultata psihologijskih mjerenja

Kraj druge vježbeKraj druge vježbe