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Una Estructura en Cascada para Prediccion

Lineal Adaptiva

Presentado por: Guillermo Dalla Vecchia (gdv@adinet.com.uy )

Martes 14 de Setiembre, 2003

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad

Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Filtros Lattice

Filtros Lattice Filtro Lattice FIR

Objetivo: Minimizar el error de prediccion

Ecuaciones Basicas:

2

0

( )p pn

e n

1 1

*1 1

( ) ( ) ( 1)

( ) ( 1) ( )

j j j j

j j j j

e n e n e n

e n e n e n

Filtros Lattice Diagrama de Flujo de Señal

Filtros Lattice Principales Ventajas

Modularidad. Baja sensibilidad a los efectos de

cuantizacion de los parametros. Criterio simple para asegurar que el

filtro sea de fase minima. En el caso del filtro IIR esta condicion

asegura estabilidad.

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad

Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Filtros Lattice LMS (GAL)

2 2( ) ( ) ( )B

j j jn E e n e n

Problema: Minimizar la siguiente funcion de costo:

Solucion:

*

1 1

2 2

1 1

( ) ( 1)2

( ) ( 1)

j jBj

j j

E e n e n

E e n e n

Filtros Lattice LMS (GAL) Problema: Dificultad para evaluar la

expresion anterior. Solucion: Estrategia iterativa (Metodo

de Maxima Pendiente):

Ecuacion de Actualizacion:

*

( )( 1) ( )

Bj

j j jj

nn n

* *

1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n E e n e n e n e n

Filtros Lattice LMS (GAL)

Problema: Necesidad de conocer las propiedades estadisticas de los errores de prediccion.

Solucion: Reemplazar el operador valor esperado con valores instantaneos (enfoque LMS):

* *

1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n e n e n e n e n

Filtros Lattice LMS (GAL)

Condicion sobre el paso de adaptacion para asegurar estabilidad:

2 2

1 1

20

( ) ( 1)j

j jE e n e n

Estructura en Cascada para

Prediccion Lineal Adaptiva

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad

Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Introduccion

Algoritmos adaptivos tradicionales:Familia RLS, y Familia LMS. Populares y ampliamente usados. Sufren de diversos problemas y

limitaciones.

Problemas y Limitaciones RLS:

Mayor complejidad. Mayor costo computacional. Calculo implicito de la inversa de la matriz de

correlacion de la señal de entrada. LMS:

Fuertemente afectado por la dispersion de los autovalores de la matriz de correlacion de la señal de entrada.

Acoplamiento de modos de convergencia.

Introduccion

Introduccion

Consecuencias RLS

Problemas de estabilidad del algoritmo. LMS

Trayectorias de convergencia no uniformes. Problemas de estabilidad del algoritmo.

Introduccion Alternativas para minimizar estos

Problemas (para el caso de prediccion lineal):

LMS Filtros Lattice. Algoritmos LMS en el dominio de la Frecuencia. Desventajas: Producen Mayor Desajuste.

RLS Algoritmos RLS Rapidos (FRLS). Desventajas: Sensibilidad a la precision numerica,

fundamentalmente en el seguimiento de señales no estacionarias, o señales ruidosas.

Introduccion Otra alternativa: Estructura en cascada.

Idea: usar una cascada de filtros de bajo orden, en vez de uno de orden alto.

Desventaja: No converge a la solucion optima de Wiener.

Introduccion MSE final:

Expresiones de los coeficientes para el caso de una cascada de dos etapas de un coeficiente:

*1 1

2

* 2 *2 2 2

ˆ

(1)ˆ(0)x

x

f f

rf f f

r

2

1 1 1

(1)(0) k

k k k kk

rJ r J J

J

Introduccion Ejemplo sencillo: Proceso AR(2)

Polos de la forma

2

2

2

1 2 cos( )

1 2 cos( )

2 cos( )1

1,2jp e

Introduccion Simulaciones para el caso ρ=0.95 y θ=π/20:

Introduccion

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y

Complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional

Algoritmos de actualizacion a usar en las simulaciones:

LMS, LMS Lattice, RLS y LMS en cascada de dos coeficientes con paso de adaptacion constante para todas las etapas.

Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional

Complejidad computacional: LMS: 2N+1 multiplicaciones. LMS Cascada: 5N/2 multiplicaciones. LMS Lattice: 5N multiplicaciones.

Conclusion: el costo computacional de la cascada es ligeramente mayor a la del LMS, y menor que la del LMS Lattice.

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad

Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Simulaciones

Simulaciones

Simulaciones

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Prediccion Lineal de Voz

Prediccion Lineal de Voz Ventajas de la cascada frente a otras

estructuras: Para predictores basados en LMS:

La cascada es ligeramente mas costosa computacionalmente que el LMS standard.

Menos susceptible a los problemas del algoritmo standard, con una performance similar.

Para predictores RLS: Performance similar al RLS standard. Mejora problemas numericos del RLS para

ordenes grandes del predictor (calculo de la inversa de R).

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Conclusiones

Converge rapidamente a una buena aproximacion, superando a estructuras computacionales mas costosas.

Soluciona algunos de los problemas de los algoritmos tradicionales.

Presenta problemas ante determinadas clases de señales (ejemplo: señales cuya autocorrelacion se anula para indices impares por lo que las etapas impares convergen a cero).

Temario

Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).

Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva

Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de

Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz

Conclusiones Referencias

Referencias

[1] M. Hayes, “Statistical Digital Signal Processing and Modeling”, John Wiley & Sons Inc., 1996.

[2] S. Haykin, “Adaptive Filter Theory”, Prentice Hall, 1995.

[3] P. Prandoni y M. Vetterli, “An FIR Cascade Structure for Adaptive Linear Prediction”, 1996.

Muchas Gracias