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Una Estructura en Cascada para Prediccion
Lineal Adaptiva
Presentado por: Guillermo Dalla Vecchia ([email protected] )
Martes 14 de Setiembre, 2003
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Filtros Lattice
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Filtros Lattice Filtro Lattice FIR
Objetivo: Minimizar el error de prediccion
Ecuaciones Basicas:
2
0
( )p pn
e n
1 1
*1 1
( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( )
j j j j
j j j j
e n e n e n
e n e n e n
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Filtros Lattice Diagrama de Flujo de Señal
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Filtros Lattice Principales Ventajas
Modularidad. Baja sensibilidad a los efectos de
cuantizacion de los parametros. Criterio simple para asegurar que el
filtro sea de fase minima. En el caso del filtro IIR esta condicion
asegura estabilidad.
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Filtros Lattice LMS (GAL)
2 2( ) ( ) ( )B
j j jn E e n e n
Problema: Minimizar la siguiente funcion de costo:
Solucion:
*
1 1
2 2
1 1
( ) ( 1)2
( ) ( 1)
j jBj
j j
E e n e n
E e n e n
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Filtros Lattice LMS (GAL) Problema: Dificultad para evaluar la
expresion anterior. Solucion: Estrategia iterativa (Metodo
de Maxima Pendiente):
Ecuacion de Actualizacion:
*
( )( 1) ( )
Bj
j j jj
nn n
* *
1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n E e n e n e n e n
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Filtros Lattice LMS (GAL)
Problema: Necesidad de conocer las propiedades estadisticas de los errores de prediccion.
Solucion: Reemplazar el operador valor esperado con valores instantaneos (enfoque LMS):
* *
1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n e n e n e n e n
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Filtros Lattice LMS (GAL)
Condicion sobre el paso de adaptacion para asegurar estabilidad:
2 2
1 1
20
( ) ( 1)j
j jE e n e n
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Estructura en Cascada para
Prediccion Lineal Adaptiva
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Introduccion
Algoritmos adaptivos tradicionales:Familia RLS, y Familia LMS. Populares y ampliamente usados. Sufren de diversos problemas y
limitaciones.
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Problemas y Limitaciones RLS:
Mayor complejidad. Mayor costo computacional. Calculo implicito de la inversa de la matriz de
correlacion de la señal de entrada. LMS:
Fuertemente afectado por la dispersion de los autovalores de la matriz de correlacion de la señal de entrada.
Acoplamiento de modos de convergencia.
Introduccion
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Introduccion
Consecuencias RLS
Problemas de estabilidad del algoritmo. LMS
Trayectorias de convergencia no uniformes. Problemas de estabilidad del algoritmo.
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Introduccion Alternativas para minimizar estos
Problemas (para el caso de prediccion lineal):
LMS Filtros Lattice. Algoritmos LMS en el dominio de la Frecuencia. Desventajas: Producen Mayor Desajuste.
RLS Algoritmos RLS Rapidos (FRLS). Desventajas: Sensibilidad a la precision numerica,
fundamentalmente en el seguimiento de señales no estacionarias, o señales ruidosas.
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Introduccion Otra alternativa: Estructura en cascada.
Idea: usar una cascada de filtros de bajo orden, en vez de uno de orden alto.
Desventaja: No converge a la solucion optima de Wiener.
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Introduccion MSE final:
Expresiones de los coeficientes para el caso de una cascada de dos etapas de un coeficiente:
*1 1
2
* 2 *2 2 2
ˆ
(1)ˆ(0)x
x
f f
rf f f
r
2
1 1 1
(1)(0) k
k k k kk
rJ r J J
J
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Introduccion Ejemplo sencillo: Proceso AR(2)
Polos de la forma
2
2
2
1 2 cos( )
1 2 cos( )
2 cos( )1
1,2jp e
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Introduccion Simulaciones para el caso ρ=0.95 y θ=π/20:
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Introduccion
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y
Complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional
Algoritmos de actualizacion a usar en las simulaciones:
LMS, LMS Lattice, RLS y LMS en cascada de dos coeficientes con paso de adaptacion constante para todas las etapas.
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Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional
Complejidad computacional: LMS: 2N+1 multiplicaciones. LMS Cascada: 5N/2 multiplicaciones. LMS Lattice: 5N multiplicaciones.
Conclusion: el costo computacional de la cascada es ligeramente mayor a la del LMS, y menor que la del LMS Lattice.
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Simulaciones
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Simulaciones
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Simulaciones
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Prediccion Lineal de Voz
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Prediccion Lineal de Voz Ventajas de la cascada frente a otras
estructuras: Para predictores basados en LMS:
La cascada es ligeramente mas costosa computacionalmente que el LMS standard.
Menos susceptible a los problemas del algoritmo standard, con una performance similar.
Para predictores RLS: Performance similar al RLS standard. Mejora problemas numericos del RLS para
ordenes grandes del predictor (calculo de la inversa de R).
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Conclusiones
Converge rapidamente a una buena aproximacion, superando a estructuras computacionales mas costosas.
Soluciona algunos de los problemas de los algoritmos tradicionales.
Presenta problemas ante determinadas clases de señales (ejemplo: señales cuya autocorrelacion se anula para indices impares por lo que las etapas impares convergen a cero).
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Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
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Referencias
[1] M. Hayes, “Statistical Digital Signal Processing and Modeling”, John Wiley & Sons Inc., 1996.
[2] S. Haykin, “Adaptive Filter Theory”, Prentice Hall, 1995.
[3] P. Prandoni y M. Vetterli, “An FIR Cascade Structure for Adaptive Linear Prediction”, 1996.
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Muchas Gracias