trÁfico 2012

1

TRÁFICO 2012

2

Aplicación de la teoría de probabilidad a la solución de problemas concernientes a la planificación, evaluación del desempeño, operación y mantenimiento de los sistemas de telecomunicación.

Herramientas matemáticas: procesos estocásticos , teoría de colas y simulación numérica

DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO

3

OBJETO DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO

El objetivo de la teoría de teletráfico es el desarrollo de modelos matemáticos que permitan derivar la relación entre capacidad y grado de servicio. El conocimiento proporcionado por la modelización de los sistemas será la base en la toma de decisiones operacionales y económicas.

Hacer el tráfico mesurable en unidades bien definidas a través de modelos matemáticos y derivar relaciones entre grado de servicio y capacidad del sistema, de manera que la teoría se convierta en una herramienta de planificación de inversiones. (Iversen).

Diseñar sistemas que se adapten a la carga de trabajo, con un desempeño mesurable y con una optimización de los costes.

4

GRADO DE SERVICIO

Definición Número de variables de ingeniería de tráfico que proveen una

medida del desempeño de un grupo de recursos bajo unas condiciones específicas.

Los valores de referencia asignados a las variables de tráfico constituyen los estándares del Grado de Servicio

Los valores obtenidos para los parámetros especificados constituyen los resultados del Grado de Servicio

¿Qué mide el Grado de Servicio? Mide el desempeño medio de una red , o parte de una red. Es el punto de vista del Operador del servicio

5

Calidad de servicio. QoS. SLA

El Grado de Servicio mide el desempeño de la red, es el punto de vista del Operador. Parte de unos objetivos y dimensiona la red para su cumplimiento. Las medidas, usualmente de comportamiento medio comprueban la bondad de las hipótesis y el comportamiento de la red.

La calidad de servicio – QoS - representa el punto de vista del usuario y está expresada en términos adecuados a sus expectativas. La red puede tener un bloqueo del 1%, pero un usuario en particular experimentar un 3%.

El SLA o ANS (Acuerdo de Nivel de Servicio) es un contrato entre Operador y Usuario en el que se definen los términos (disponibilidad, proceso provisión, mantenimiento ...) y las penalizaciones por incumplimiento.

6

TAREAS EN LA INGENIERÍA DE TRÁFICO

Caracterización de la demanda

Objetivos de grado de servicio

Modelostráfico

Previsióntráfico

Monitorización

DimensionadoControlTráfico

Medidas tráfico

ElementosRed

ObjetivosGoS

RequisitosQoS

7

MODELOS

Las redes de telecomunicaciones se diseñan para atender demandas de usuarios adscritos a un determinado servicio.

El comportamiento de los usuarios, de las fuentes , será en general aleatorio y ello nos impulsa a intentar modelarlo mediante la teoría de procesos estocásticos. Construiremos modelos que confrontaremos a la medidas en la red, si no concuerdan deberemos construir nuevos modelos en un proceso iterativo.

Parece natural separar la descripción de las propiedades del tráfico en dos procesos diferentes:

Aparición de eventos (peticiones de servicio) Tiempos de servicio

8

Terminología en procesos tráfico

Tiempo servicio Tiempo libre

Tiempo entre eventos

Tiempo llegada Tiempo salida

Busy , Idle, Interarrival time, Holding time

9

Redes telefónicas

Comportamiento usuario

Control y camino de voz. Señalización y media.

Comentario estructura de la red telefónica Topología Arquitectura Ejemplo VSAT Concepto conmutación circuitos

10

Redes de datos

Principio conmutación paquetes

Almacenamiento y retransmisión

Caso LAN

11

Redes móviles

Diferencias respecto redes fijas

Control de presencia

Handover

12

Redes de nueva generación

Complejidad

Tráfico de agregación

Tasas de crecimiento

Modelos matemáticos

13

HISTORIA

14

HISTORIA

Molina desarrolla trabajos anteriores de Rorty en los Bell Labs para ATT

Hipótesis Las llamadas se producen aleatoriamente Todas las llamadas permanecerán en el sistema durante

un tiempo igual al tiempo medio de permanencia tanto si se atienden como si no.

El bloqueo ocurre cuando el número de llamadas es mayor que el número de recursos durante un tiempo igual al tiempo medio.

En 1920 alguien comentó que esos resultados provenían de investigaciones de Poisson (1781-1840), Molina le cedió los honores.

15

HISTORIA

SIMEON D. POISSON

16

HISTORIA

Agner Krarup Erlang desarrolla sus modelos en 1909

Hipótesis Las llamadas que llegan

con todas los servidores ocupados se pierden (se enrutan por otro sitio)

Las llamadas que llegan con todos los servidores ocupados esperan en cola hasta ser atendidas.

17

HISTORIA

Tore Olaus Engset en 1918 propone un refinamiento de las fórmulas de Erlang

Erlang supone que el número de fuentes “productoras “ de eventos es infinito. Si el número es finito Erlang está sobreestimando el dimensionado

18

HISTORIA

Después de la WWII, Roger Wilkinson desarrolla un modelo para el tráfico de “desbordamiento”

Hipótesis. El tráfico que no puede ser cursado por una ruta, no tiene características poissonianas. Usualmente la varianza es mayor que la media. A su relación se la conoce como coeficiente de variación.

Wilkinson desarrollo un método para dimensionar los recursos que deberán cursar este tipo de tráfico. Neal en 1970 refinó el modelo y publicó unas tablas de dimensionado , las tablas de Neal-Wilkinson

En 1982 Henry Jacobsen de ATT publica las tablas EART y EARC para el diseño de enlaces en PBX con rutas de desbordamiento basándose en los modelos de Neal-Wilkinson

19

HISTORIA

A mediados de los 50 , Roger Wilkinson estudia el modelo de reintentos. Bretschneider hace lo mismo en Alemania.

Los intentos de llamada, en el mundo real, se repiten si no consiguen servicio. Wikinson desarrolla los modelos teóricos.

En 1980 Jacobsen publica las “Retrial Tables” basándose en los trabajos de Wilkinson.

20

HISTORIA

En 1951 Kendall introduce una notación para especificar los distintos escenarios de un sistema de colas.

En los 60 y 70 se producen grandes avances teóricos en USA y Alemania.

Kleinrock publica en 1970 su primer volumen y “evangeliza” sobre el uso de los computadores en teoría de colas.

21

CONCEPTOS BÁSICOS Y MEDIDAS

22

CONCEPTOS TEORÍA TELETRÁFICO

Intensidad de tráfico Intensidad de tráfico. Número

de recursos ocupados en un sistema en un instante de tiempo dado.

T

dttnT

TY0

)(1

)(

Dónde n(t) es el número de recursos ocupados en el tiempo t

C : Número de recursos ocupados en función de tD: Intensidad media en un tiempo T

La curva de la figura representa el tráfico cursado por un conjunto de recursos

23

Conceptos (cont)

Tráfico ofrecido Si el número de recursos no es infinito, pueden producirse

peticiones de servicio con todos los recursos ocupados. El tráfico ofrecido no puede medirse, puede estimarse. Se trabaja con dos parámetros

: número de eventos (peticiones de servicio) por unidad de tiempo.

Tiempo medio de servicio tm

A=·tm

24

INTENSIDAD DE TRÁFICO

25

VARIACIÓN DIARIA

26

VARIACIÓN DEL TIEMPO MEDIO DE LLAMADA

27

VARIACIONES INTENSIDAD TRÁFICO. MODEM POOL INTERNET

28

CONCEPTO DE BLOQUEO. Loss systems

Congestión de tiempo Fracción de tiempo en la que todos los servidores están

ocupados.

Congestión de llamadas Fracción de todas las llamadas que encuentran todos los

servidores ocupados.

Congestión de tráfico Fracción de todo el tráfico ofrecido que no es cursado.

29

EVENTOS – INTERVALOS DE TIEMPO

¿Cuál es la congestión de tiempo, tráfico, llamadas?

llamadas

Server 3

Server 1

Server 2

30

Tráfico en Erlang

recursos de número :N

socupacione i eexactamentcon tiempo:t

socupacione de simultáneo número :i

1A

socupacione totalnúmero :N

iocupación la deduración :t

1

i

0

i

1

N

ii

N

ii

m

tiT

tT

A

tA

31

ELEMENTOS TEORÍA DE PROBABILIDAD

32

PROBABILIDAD

Funciones de distribuciónUn intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica X caracterizada por

dttXtptftdF

tFtF

F(t)t)p(X

tF

udFtF

c

t

)()(

blediferencia es F(t) si

)(1)(

0 t 0)(

t0 )()(0

Trataremos con intervalos de tiempo no negativos

Incluye posibles discontinuidades en cero

33

PROBABILIDAD.

1m

1factor o Palm deFactor

s)(peakednes CV variacióneCoeficient

)()(

)(12)(

)(1)(

)(1)(

2

22

222

2

0

00

2

001

0

1

0

m

m

m

mXEmm

dttfmtmXE

dttFtdttft

mdttFdttftm

dttFtidttftmXE

ii

iii

i

Identidad de Palm

34

PROBABILIDAD

Estas relaciones son independientes de la escala de tiempos

Cuando mayor sea el factor de forma más irregular es la distribución temporal, eso llevará por ejemplo a que el tiempo de espera medio, en los sistemas de colas , sea mayor.

Para estimar una distribución a partir de observaciones, a menudo se está satisfecho al conocer los dos primeros momentos.

35

Distribución exponencial negativa

Se utiliza para caracterizar los tiempos de vida (no negativos) de manera sencilla.

Es un caso especial de la distribución Gamma

Tiene un solo parámetro

momentos losobtienen set por t doreemplazan

!1

Gammafunción la recordemos

)(

0,0 1)(

0

ndtetn

etf

tetF

tn

t

t

2

1

2

1

22

22

1

m

m

36

Tiempo de vida residual

0)(1)(1

1

será residual vidade tiempodel medio valor el

)(1

)()(/)/(

)(1

)(1/

0

xdtxtFxF

m

xF

xFxtFxXxtXpxxtF

xF

xtF

xXp

xtXPxXxtXp

r

37

Tiempo de vida residual para la exponencial

11

11)1(1

1

0,1

0,1

dtee

m

dtee

m

txxr

txxr

La vida residual es igual a la vida media.

Esto no es cierto siempre.Para distribuciones con < 2 la vida residual es menor, para >2 la vida residual es mayor

38

Carga de los tiempos de servicio menores que uno dado

0

)( dttftm

m

dttftx

x

0

)(

El 75% de los trabajos contribuye con el 30% del valor de la media

39

Combinación de variables estocásticas

Serie La función de distribución es la convolución de las funciones de

distribución de las respectivas variables. La media es la suma de las medias y la varianza la suma de varianzas

Paralelo Cada variable estocástica se pondera. La función de distribución

es la suma ponderada de las funciones de distribución individuales. La media y varianza son:

l

iiii

l

ii

l

iii

mmp

pmpm

1

22,1

22

11,1

)(

1con

40

Ejemplo: Ensayo de Bernouilli y binomial

binomialón distribuci la así obtiene se

)1(

pruebas Sefectuan se Si

1

01)(

p-1 q fracaso de lay p es éxito de adprobabilid la prueba unaEn

iSiS

i

ppi

Sip

ip

ipip

41

Combinación de distribuciones exponenciales

Con combinaciones de distribuciones exponenciales se puede aproximar cualquier distribución

Combinando en serie se obtienen las llamadas distribuciones hipoexponenciales, que tienen <2. Si todos los parámetros son iguales se llaman distribuciones de Erlang

1 2 3 4

42

Erlang-k

0 x,)(

k

11

!1

!

1,2,...k 0, t0, ,)!1(

)(

,1

22

1

0

1

mxm

kkm

ej

te

j

tF(t)

ek

ttf

r

tk

j

jt

kj

j

tk

43

Gráfica Erlangiana

Se ha normalizado la media a un valor 1, por ejemplo reemplazandopor k.El caso k=1 corresponde a laexponencial

44

PROBABILIDAD. PROCESOS DE LLEGADA

Se consideran procesos puntuales simples en los que se excluyen llegadas múltiples. En las telecomunicaciones se puede hacer considerando intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños.

Consideremos los instantes de aparición de eventos a partir de un tiempo inicial

El numero de llamadas en un intervalo abierto [0,t [ se representa por Nt. En la que t es un parámetro continuo pero tiene un espacio muestral discreto

La distancia entre dos llegadas sucesivas, se llama tiempo entre llegadas

......0 1210 ii TTTTT

1,2,...i 1 iii TTX

45

Identidad de Feller - Jensen

Tenemos dos variables aleatorias que representan dos procesos Representación “Número”. El intervalo de tiempo t se mantiene

constante y se observa el número de llegadas en ese tiempo Nt

Representación “Intervalo”. Se mantiene el número de llamadas constante y se observa la variable Ti

Existe la siguiente relación

...2,1n

1,2,..n ,

si soloy si

1

tTpnNp

tXT

nN

nt

n

iin

t

Identidad de Feller-Jensen

46

Procesos puntuales

Características de los procesos puntuales Estacionareidad Independencia

La evolución del proceso (su futuro) depende solo del estado actual (propiedad de Markov)

Para los procesos puntuales simples La probabilidad de que haya más de un evento en un intervalo

suficientemente pequeño tiende a cero

)(2 toNNp ttt

El proceso de Poisson es un proceso puntual simple

47

Poisson

PPT ESPECÍFICO

48

Poisson

Proceso de Poisson

)(1

)(2

tNNp

toNNp

ttt

ttt

Erlang de lay Poisson de acumuladaón distribuci la entrerelación

Jensen-Feller de identidad lapor

)!1(!

!,

1

0

1

2

n

jtx

xn

tj

ti

dxen

xe

j

t

ttm

ei

ttip

49

Teoerema de Palm

La superposición de procesos puntuales independientes tiende a un proceso que localmente es de Poisson. El término localmente significa que el intervalo del tiempo es lo suficientemente corto como para que cada proceso individual contribuya a lo sumo con un evento y no “domine”.

50

Teorema de Raikov

Una descomposición aleatoria de un proceso puntual en subprocesos, produce subprocesos que convergen a procesos de Poisson, cuando la probabilidad de que un evento pertenezca a un subproceso tiende a cero.

51

Teorema de Little

Válido para cualquier cola (solo se requiere estacionareidad)

El proceso de llegada es estocástico

Las llegadas “esperan” hasta que son servidas y después abandonan el sistema.

Se considera un tiempo de observación T

52

Teorema de Little. Definiciones

N(T) : Número de llegadas en el tiempo T

A(T) : Tiempo total de servicio en el tiempo T. Tráfico cursado.

(T)=N(T)/T Tasa media de llamadas en el tiempo T

W(T)=A(T)/N(T) Tiempo medio de servicio en el tiempo T

L(T)=A(T)/T número medio de “llamadas” simultáneas en el tiempo T

WL

TWT

TWTT

TNTW

T

TATL

)(limy W )(lim Si

)()()()()(

)(

TT

53

Teorema de Little

colaen medio número servidas peticiones de medio número N

servidas peticiones de medio número ofrecido tráfico:

t sistema elen peticiones de número :N

colaen tiempo servicio de tiempot

colaen medio x tiempopeticiones de Tasa colaen peticiones de medio Número

total

total

A

LA

54

Teorema de Little. Gráfica

55

SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

56

Simulación variables aleatorias

Queremos generar números , x , aleatorios en un determinado dominio de manera que su probabilidad de ocurrencia, o densidad de probabilidad dependa de x de una manera prescrita f(x).

Técnica de transformación inversa Generar U(0,1) uniforme entre 0 y 1 Obtener X=F-1(U). Recordar que la función de distribución tiene un rango

entre 0 y 1 Ej Weibull

c

bx

UbX

XFU

exFc

11ln

)(

1)(

57

Simulación Gaussiana

U

UR

UxF

senRD

R

eRF

dyyf

exf

R

x

x

2

1

1ln2

)(con

cosC

gaussianas depar un con arelacionad está que

0R 1

0R 0)(

Gaussiana lay Rayleigh de

óndistribuci la entre existe querelación la Utilizando

selementale funciones

medianteexpresar puede se no integral esta pero )(F(x)

x- 2

1)(

2

2

2

2

2

2

2

Las gaussianas son de mediacero , para otro valor solohará falta añadirlo a cada número generado

58

Simulación

Otros métodos Composición. Es una extensión del método de inversión, se utiliza cuando la

fdp se puede escribir como combinación lineal de funciones más simples en las que pueda aplicarse el método de inversión. Ejemplo : distribución de Laplace

Convolución. Las combinaciones algebraicas de variables aleatorias y para el caso de que las variables sean independientes pueden ayudar a su simulación. Por ejemplo si una determinada función de densidad se puede obtener por convolución de funciones elementales (caso de suma de variables) se puede generar cada variable individual y sumar los resultados. Ejemplo distribución de Erlang. Se pueden obtener también así variables generados por multiplicación y división de otras variables con fdp elementales o invertibles.

Aceptación- Rechazo. No es tan eficiente como los métodos anteriores pero siempre funciona, incluso cuando no hay formas explícitas de la fdp, La idea es generar puntos aleatoriamente en un plano y aceptar o rechazar cada uno de ellos. Si x<f(x) se acepta, si no se rechaza.

Muestreo de datos. Interpolación estocástica Monte Carlo

59

MODELOS

60

Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

Modelo Proceso de entrada Mecanismo de servicio Disciplina de la disposición en cola

61

Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

Proceso de entrada Describe la secuencia de peticiones de servicio A veces se especifica en términos de la distribución de las

duraciones entre los instantes de llegada de peticiones de servicio.

Mecanismo de servicio Incluye el número de servidores y la duración del servicio

(ocupación del servidor)

Disciplina de cola Especifica las acciones de las peticiones que encuentran

todos los servidores ocupados

62

Modelos de nacimiento - muerte

Hipótesis de trabajo llamadas independientes tasa de llegadas en el estado i representada por i

tasa de salidas en el estado i representada por i en cualquier instante de tiempo solo puede ocurrir un suceso

63

Diagrama de estados

0 1 2 3 j N-1 N

j-1

j j+1

j n-1

n

0

1

1

2

2

3

N puede ser

64

Algunas definiciones

: nº promedio de peticiones de servicio por unidad de tiempo

1/ : tiempo promedio entre peticiones de servicio

Ej : estado del sistema en el que el número de “clientes” es j

Pj. Proporción del tiempo en el estado j (en el que haya j servidores ocupados)

Ej Ej+1 transiciones del estado j a j+1

Pj : número de transiciones por unidad de tiempo

tm : tiempo medio de duración de un servicio, tiempo medio de ocupación de un servidor

65

Algunas definiciones

: tasa de finalización de servicio por unidad de tiempo igual a 1/ tm.

(j+1)/ tasa de finalización con j+1 servidores ocupados

Ej+1 Ej transiciones del estado j+1 a j

66

Ecuaciones de estado

titi

t

tititiit

iidt

id

iiidt

id

1

0 oestadístic equilibrio

11

1

11

67

Modelo de Erlang

0 1 2 3 j N-1 N

j j+1

n

1

2

3

Tasa de llamada constante, número de fuentes mucho mayor que el número de servidores.

mj t

j N: número servidores

68

Erlang

Número de fuentes ... o mucho mayor que número de servidores N

Ni

i

i

N

N

iA

NAAEN

0 !

!/)(

NB

)(

)()(

1

1

AAEN

AAEAE

N

NN

69

70

0.5

0.2

0.1

0.05

0.02

0.01

0.001

0.0001

Número de canales

1.0

0.8

0.0

0.2

0.4

0.6

Utilización

71

Tablas Erlang-1

Cálculo de la probabi-lidad de pérdida:Datos n y AEj n=15 A =7

72

Tablas Erlang-2

Cálculo de la probabi-lidad del número de servidores:Datos B y AEj B=0.005 A =7

73

Tablas Erlang-3

Cálculo del tráfico ofrecido máximoDatos n y BEj n=15 B =0.005

74

Reintentos

Se considera una situación real, al no obtener servicio se reintenta obtenerlo.

¿Cuál es el efecto de este comportamiento? Incremento en la tasa de llamadas del sistema

Si consideramos que los reintentos se producen transcurridos algunos tiempos medios de llamada podemos seguir considerando equilibrio estadístico con la nueva tasa de llamada

75

Extended Erlang B (EEB)

Se utiliza cuando se permiten reintentos. Un tanto por ciento de los llamantes reintenta cuando se encuentra todos los servidores ocupados.

Algoritmo clásico con reintentos hasta obtener servicio

Algoritmo (Jewitt–Shrago). Permite considerar abandonos en los reintentos

76

Erlang con reintentos, Algoritmo clásico

iteración. de procesoun requiere se

llamada, de tasala de depende B pero1

'

' 32

B

BBB

77

Algoritmo

El proceso es el mismo para o para A. Se desarrollará para A.

Con el tráfico ofrecido de primer intento A se calcula B Con el valor de B obtenido se calcula A’ Con el valor de A’ se obtiene un nuevo B Con B se obtiene un nuevo valor de A’ Se comparan los valores de A’ obtenidos y se itera el proceso

hasta que la diferencia entre dentro del rango de precisión establecido. La serie de valores obtenidos debe ser convergente, lo cual será cierto excepto que el tráfico ofrecido sea mayor que el número de servidores.

78

Algoritmo

3

'3

3'2

'12

2

'2

2'1

1

'1

1

1

'¿?

1

1

B inicial

B

AA

BA

AA

B

AA

BA

B

AA

A

No se itera con A’1

79

Algoritmo de Jewitt & Schrago

Permite considerar abandonos en los reintentos Partiendo del tráfico ofrecido en primera instancia se calcula

B Con B se calcula el tráfico rechazado Se calcula el tráfico cursado Sobre el tráfico rechazado se aplica la tasa de abandono o

de reintento (son complementarias) Se calcula el tráfico cursado más el tráfico que abandona Si cursado más abandono no se acerca suficientemente a

tráfico ofrecido se calcula un nuevo tráfico ofrecido como el original más el de reintento.

Se repite le proceso hasta que tráfico cursado más abandono sea igual (suficientemente cercano) a tráfico ofrecido

80

Engset

0 1 2 3 j N-1 N

j-1

j j+1

j

n-1

n

0

1

1

2

2

3

mj

mj

t

j

t

jS

Engset S>N

S = número de fuentes = tráfico ofrecido por fuente libre

81

Engset

N: número de servidores

S : número de fuentes

: tasa de llamada por fuente libre

i: tasa de llamada en el estado i, i servidores ocupados.

tm : tiempo medio de servicio.

i= tasa de terminación en el estado i.

El comportamiento de cada fuente se modela de la siguiente manera. Cuando la fuente está libre su tasa de llamada es constante y de valor , cuando la fuente está ocupada el valor de su tasa de llamada es cero.

82

Engset.

ii ii 11 jSj

0

0

0!3

)2)(1(3

02

)1(012

libre fuentepor tráfico, t definiendo 001

01

3

2

12

01

2

1

m1

0

N

j

m

N

SN

j

Sj

SSS

SS

S

t

S

83

Engset

N

i

i

Nj

i

S

N

S

j

SSSSS

0

320

10

3210

10

N

i

i

N

i

S

N

S

N

0

que es la expresión para la congestión de tiempo, probabilidad de tener todos los servidores ocupados.

84

Engset

),,1(

i

1-S

N

1-S

B

rdenominadoy numerador Spor dividiendoy 0 eliminando

002

201

10

0

0 defunción en estado de adesprobabilid las Expresando .y t eliminan se

)(2

)2(1

)1(0

)(

)(

210

N

0i

2

m

210

NSE

N

SNS

SS

SSS

N

SNS

Nt

NS

t

S

t

S

t

S

Nt

NS

B

t

iS

N

NB

i

N

N

N

mmmm

m

mi

N

N

85

Engset. Cálculo del tráfico por fuente libre

Consideraciones sobre el cálculo de , j

B. de pequeños valores para obviado

ser puede que iteración de proceso un pues requiere Se

. de función es B pero

libre tiempo

fuente la de actividad

)1(

)1(1

BAS

A

Ba

a

86

Engset. Tráfico por fuente libre

BSA

SA

BAS

A

111

BS

A

11

Pero B depende de α, por lo que hay que montar un proceso iterativo

Tráfico ofrecido dividido por el númeromedio de fuentes libres

87

Algoritmo Engset

1. Partimos de una primera aproximación de , considerando B=0

2. Con el valor de se obtiene un primer valor de B

3. Se sustituyen los valores de y B en la fórmula de A y se compara la estimación de A así obtenida con el dato Tráfico Ofrecido, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria en nuestro cálculo

4. Se calcula una nueva con el valor de B obtenido en el punto 2

5. Se calcula un nuevo B con el valor de del punto 4

6. Se realiza una nueva estimación de A como en el punto 3, si la diferencia está por encima de la precisión necesaria se repite desde el punto 4.

88

Engset. Fórmula recursiva

B es función de N,S y

1,,0

,,1

,,1),,(

SB

SNBNSN

SNBNSSNB

La probabilidad de pérdida con 0 servidores es 1

89

TABLAS DE ENGSET

Grupos nuevos Se conoce A, S y el nivel de pérdida deseado. Se busca N

Procedimiento Se busca la columna del nivel de pérdida En la columna se busca A para el número de fuentes S Se obtiene N

90

TABLAS DE ENGSET

Grupos existentes: Se conoce A, N (número servidores) y S (número de fuentes) Se establece el nivel de bloqueo (pérdida )deseado

Procedimiento Buscar en la tabla la fila que corresponda a N y S Buscar en la fila el valor más cercano a A La columna corresponde al valor de pérdida (interpolar en su

caso) Si no es el deseado, buscar la columna de la pérdida deseada

y en la misma encontrar A para el número de fuentes S , una vez encontrado S para ese A se obtiene N.

91

COLAS

92

Colas. Notación de Kendall

D.G. Kendall estableció en 1953 la siguiente notación:

A/B/c/k/s/Z

A: Proceso de llegada B: Proceso de servicio c: número de canales o servidores k: capacidad del sistema s: número de fuentes Z: disciplina de la cola

93

Kendall

Proceso de llegada M: Markoviano, random,

exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General

Proceso de servicio M: Markoviano, random,

exponencial E: Erlangiano H: Hiperexponencial h: Hipoexponencial G: General

A/B/c/k/s/Z

94

Kendall

Número de canales 1,2,3, … ∞

Capacidad del sistema Servidores +posiciones de

cola

Número de fuentes 1,2,3, … ∞

Disciplina de la cola FCFS. Primero entra, primero

sale LCFS. Último entra, primero

sale SIRO. Servicio aleatorio GD. General RR. Round Robin

95

Cola M/M/N. Probabilidades de estado

111 i

tit

A

ii

m

m

i

i

servicio de medio tiempot

ocupados servidores de número i

m

m

i t

i

A partir del estado N, no puede aumentar la tasa de salida, es decir para los estados N, N+1, N+2, .... la tasa de salida es constante m

N t

N

...

0!

...

0!

2

0!

1

0!

... 02

2 01

2

2

N

A

N

AjN

N

A

N

AN

N

A

N

AN

N

AN

N

AN

AA

Nj

N

N

N

96

Cola M/M/N. Probabilidades de estado

1

0

1

0 0

232

!!

10

unidad la amenor razón de serie una de suma la contiener denominado del términosegundo el

!!

10

!!!!!3!21

10

N

i

Ni

N

i j

jNi

NjNNN

AN

N

N

A

i

A

N

A

N

A

i

A

N

A

N

A

N

A

N

A

N

A

N

A

N

AAAA

1

0 !!

!N

i

Ni

N

AN

N

N

A

i

AN

AN

97

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

Será la probabilidad de que las peticiones entren con todos los servidores ocupados

Se dará en los estados N, N+1, N+2 ….

210

21)0(

NNN

p

Eliminando y poniendo todas las probabilidades de estado en función de la probabilidad [0]

0

!0

!30

!200

0!

0!

0!

)0(32

2

N

AAAA

N

A

N

A

N

A

N

A

N

A

pN

NNN

98

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

Eliminando [0] y reordenando

1

0

2

2

!!

!

!!21

1!

)0(N

i

Ni

N

N

N

AN

N

N

A

i

AAN

N

N

A

N

AAA

N

A

N

A

N

A

p

Que se puede simplificar

Sumar y restar en el denominador el término

!N

AN

con lo que el denominador quedaría

N

i

Ni

AN

N

N

A

N

A

0

1!!

99

Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

dividiendo ahora numerador y denominador por

N

i

i

i

A

0 !

e identificando que B

i

AN

A

N

i

i

N

0 !

!

es decir la probabilidad de pérdida de un sistema de tipo Erlang-B con un tráfico ofrecido A y N servidores.

BANBNp

ABAN

BN

ANA

B

ANN

B

ANN

B

ANN

Bp

1)0(

111)0(

A esta fórmula se la conoce como Erlang-C o segunda fórmula de Erlang EN,2(A)

100

M/M/N. Longitud media de la cola

0j

q jNjL

j

j

Nj

j

N

q N

Aj

N

A

N

A

N

AjL

00

0!

0!

2

2

02

0!1

0!

1rcon 1

AN

N

N

A

N

A

NAN

A

N

AL

r

rrj

NN

q

j

j

Utilizando que

1rcon

102

j

j

r

rrj

2200

1

11

1

r

r

rrr

dr

drjr

jrdr

dr

j

j

j

j

jj

101

M/M/N. Longitud media de la cola

AN

ApL

AN

N

N

Ap

q

N

)0(

0!

)0(

Recordando que

1

0

2

2

!!

!

!!21

1!

)0(N

i

Ni

N

N

N

AN

N

N

A

i

AAN

N

N

A

N

AAA

N

A

N

A

N

A

p

102

M/M/N.Tiempo medio en la cola

Hay dos posibles preguntas a las que responder: ¿Cuál es el tiempo medio en la cola considerando todas las

peticiones de servicio? ¿Cuál es el tiempo medio de espera para las peticiones de servicio que entran en cola?

El teorema de Little establece que

wq tL por lo tanto

AN

tp

tN

tp

AN

Ap

Lt m

m

mqw

)0()0(1

)0(1

AN

tt mwq

103

M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t

Se trata de responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de permanecer en cola más de un determinado tiempo t?

Para responder a esa pregunta hay que establecer la disciplina de la cola. Si la disciplina es Primero entra – Primero sale (FIFO) que es la que nos encontramos cotidianamente, si nos encontramos en la posición j de la cola, para ser atendidos tienen que producirse j terminaciones de servicio. Las terminaciones se producen con una fdp exponencial cuyo parámetro es el tiempo medio en la cola para las llamadas que entran en cola

104

M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t

mt

tAN

c etp)(

)(

Si queremos calcular la probabilidad de que una petición de servicio cualquiera permanezca en cola más de t

m

m

t

tAN

t

tAN

eptp

epptp

)(

)(

)0()(

)0(0)0(1)(

105

M/M/N/N+L

En este nuevo escenario las llamadas que lleguen con todos los servidores ocupados y todas las posiciones de cola ocupadas se “pierden”.

Calcularemos expresiones para los parámetros significativos del escenario

Cálculo de las probabilidades de estado

1

0 0 !!

10

)0(0!

)0(0!

N

i

L

k

Nki

Nj

j

N

A

N

A

i

A

LjparaN

A

N

AjN

Njparaj

Aj

106

M/M/N/N+L

1

1

1

1

1

!!

10

N

i

LNi

NAN

A

N

A

i

A

1

0

11

0 0

1

1

!!

!

!!

!

N

i

L

Ni

NL

N

i

L

k

Nki

NL

NA

NA

NA

iA

NA

NA

NA

NA

iA

NA

NA

LNB

Probabilidad de pérdida

107

M/M/N/N+L

LN

LNNNp

10

11)0(

Probabilidad de entrar en cola

NAN

AN

N

A

N

A

N

ANp

LL

1

11)0(

12

NAN

A

NAN

A

N

A

i

A

NA

p

L

N

i

LNi

N

1

1

1

1

!!

!)0(1

0

1

108

M/M/N/N+L

Longitud media de la cola

L

iq iNiL

1

En general, y aunque se puede llegar a una expresión cerrada por manipulaciónde la fórmula anterior, es más fácil sumar los términos de la serie.

Tiempo medio en la cola

LNB

WL

c

cq

1)1(

109

Colas con abandono

Se considera que la petición de servicio tiene una paciencia limitada y abandona , es el proceso natural cuando en una cola consideramos que el tiempo de espera es mayor que el que podemos aceptar.

Como hipótesis para modelar el abandono aceptaremos que la tasa de abandono aumentará con la longitud de la cola, en la posición i de la cola, la tasa de abandono será:

mi t

Ni )(

mm

i t

Ni

t

NN

Tasa de terminación de llamadas en el estado i

tm , no tiene significación física, seUtiliza para simplificar la expresión

110

Colas con abandono

N

i jj

k

jNi

N

j

k

j

N

NN

mm

N

kN

ANA

iA

N

A

kN

AjN

N

A

N

A

N

AN

N

A

N

A

N

A

ttN

N

N

AN

AA

0 1

1

1

2

!!

10

0!

0!2

2

0!

0!

1

0!

02

2 01

111

Cola M/G/1

Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con tiempos de servicio con una distribución general . Pero con tiempos de servicio independientes.

Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la cola y la longitud media de la cola.

resmq ttLW

Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola por el tiempo medio de servicio +probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual

112

Obtención de parámetros de la M/G/1

Una petición de trabajo que llega al sistema debe esperar al tiempo residual de servicio (si el servidor está ocupado) y a los tiempos de servicio de los trabajos que le preceden en la cola (si existen)

Por la propiedad PASTA conocemos que la probabilidad de que un servidor esté ocupado es de ρ

Y que el tiempo medio de espera es

Atm

resmq ttLW

113

Cálculos

Por el teorema de Little

Combinando las dos ecuaciones se obtiene la fórmula de Pollacek – Khinchin

WLq

1res

resresm

tW

tWttWW

114

Tiempo residual

La media del tiempo residual es de

Podemos también a partir de estas fórmulas calcular el tiempo total en el sistema

Tiempo en cola +tiempo de servicio

Y número medio de peticiones en el sistema Longitud media de la cola + ocupación media del servidor

(que es igual al tráfico ofrecido)

servicio

servicioresidual tE

tEtE

2

2

115

Cálculo del tiempo residual

Supongamos que una petición llega cuando se está atendiendo otra petición, y que el tiempo total del trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria), y que tendrá una f.d.p. fX(x), Para buscar esa f.d.p. observamos que la probabilidad de que llegue un trabjo estando otro en curso será mayor si la duración del trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X sera de longitud x deberá ser proporcional a la longitud x y a la frecuencia con la que se produzca esa longitud

116

Cálculo tiempo de vida residual

servicio

servicioservtservt

servtX

tEC

tCEdxxxfdxxxf

C

dxxCxfdxxfdxxXxP

1

1)(C 1)(C

densidad defunción la normalizar para constante una es

)()()(

.0.0

.

serv

servservt

servX

serv

servtX

tE

tEdxxfx

tEdxxxfXE

tE

xxfxf

2

0

2

0

1)(

117

Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir en cualquier momento de la vida del trabajo en curso con igual probabilidad, tendrá su media en la mitad de X

serv

servresidual tE

tEXEtE

22

2