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Captulo VI:Problemas generales

Solucin 266Datos: X = 20; S x = 12; r pi = 0,84; Y = 12; S y = 3; rxy = 0,801. NC 96% --7 Zc = 2,05Cuando se utiliza el mtodo de la distribucin normal de los errores se utiliza el

error tpico de medida cuya frmula es :

Por el contrario, si se utiliza el modelo de regresin la frmula a utilizar es el errortpico de estimacin de la puntuacin verdadera. Su frmula es:

a) Intervalo utilizando el mtodo de la distribucin normal de los erroresf xx = 2rp i 2 x 0,84 = 0,911 + rpi 1,84

, . . . - - - -se= sx = 12 \11 - 0,91 = 12 . 0,30 = 3,6fmx = 3,6 X 2,05 = 7,38/C = X fmx = 36 7,3828,62 ::; V::; 43,38b) Intervalo utilizando el modelo de regresinse= 3,60svx = 3,60 \,IQ.91 = 3,42fm x = 2,05 X 3,42 = 7,01V' = fxx (X -X) +X= 0,91(36 - 20) + 20 = 34,5627,55::; V::; 41,57

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262Psicometria: problemas resueltos

2. Syx = SyV 1 - = 3 V 1 - 0,64 = 1,80S - - 3Y' = rxy___x_ (X - X) + Y= 0,80 - (36 - 20) + 12 = 15 ,20sx 12

Emx = SyxZc = 1,8 X 2,05 = 3,69IC = Y' Em x = 15,20 3,6911,51 ::::: y ::::: 18,89

3. K = V 1 - = V 1 - 0,64 = 0,60

4. z = 36 - 20 = 1,3312P(Z :s: 1,33) = 0,9082p = 91

5. POn = 50 + 20(1 ,33) = 76,6 = 776. E = 5 + 2(1,33) = 7,66 = 8Solucin 267Datos: n = 1 00; X = 8; Sx = 5; rxx = 0,75; rxy = 0,60; ryy = 0,80; s; = 161. K= V 1 - = V 1 - 0,6 2 = 0,8. El porcentaje de inseguridad o azar que afec-ta a los pronsticos es del 80% .2. E = 1 - K = 1 - 0,8 = 0,2. Hay un porcentaje de seguridad en los pronsti-

cos del 20% .3. d = = 0,6 2 = 0,36. Entre el test y el criterio hay un 36% de varianza comno asociada lo que implica que, a partir de las puntuaciones de los sujetos en el test,

se puede pronosticar el 36% de la variacin de sus puntuaciones en el criterio.S24. rxx = _ v -7 S ~ = r ~ ; = 0,75 X 25 = 18,7552X

Sv = v'18,75 = 4,335. NC 99% -7 Zc = 2,58Utilizando el mtodo de la distribucin normal de los erroress. = sx = sv1 o.7s = 2.so

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262Psicometria : problemas resueltos

2. sy x = SyV 1 - = 3 V 1 - 0,64 = 1,80S - - 3Y' = rxy_Y_ (X - X) + Y = 0,80 - (36 - 20) + 12 = 15,20sx 12

Em x = SyxZc = 1,8 X 2,05 = 3,69IC = Y' E mx = 15,20 3,6911,51 :S y ::; 18,89

3. K= V 1 - = V 1 - 0,64 = 0,603 6 - 204. z = = 1,3312

P(Z s 1,33) = 0,9082p = 91

5. POn = 50 + 20(1 ,33) = 76,6 = 776. E = 5 + 2(1 ,33) = 7,66 = 8Solucin 267Datos: n = 1 00; X= 8; Sx = 5; rxx = 0,75; rxr = 0,60; rrr = 0,80; s; = 161. K = V 1 - = V 1 - 0,6 2 = 0,8. El porcentaje de inseguridad o azar que afec-ta a los pronsticos es del 80%.2. E = 1 - K = 1 - 0,8 = 0,2. Hay un porcentaje de seguridad en los pronsti-cos del 20%.3. d = = 0,62 = 0,36. Entre el test y el criterio hay un 36% de varianza comno asociada lo que implica que, a partir de las puntuaciones de los sujetos en el test,

se puede pronosticar el 36% de la variacin de sus puntuaciones en el criterio.52

4. rxx = _v S ~ = rx.S: = 0,75 X 25 = 18,7552X

5. NC 99% ~ Zc = 2,58Utilizando el mtodo de la distribucin normal de los errores

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f mx = 2,58 X 2,50 = 6,45/ ( == X:::: fm x = 12 :::: 6,455,55 ::::: V ::::: 18,456. NC 95%--- Zc = 1,96

Syx = syY 1 - = 4 Y 1 - 0,602 = 3,20f mx = 1,96 X 3,20 = 6,27, Sr 4y = rxy-x = 0,6 - (12 - 8) = 1,92sx 5/( =y' :::: fm x = 1 92 :::: 6,27- 4,35 :::=:y :::; 8,19

0,60-----;:= ='====- = 0,78Y0,75 X 0,80100 + 508. n = = 1,50100

nrxxRxx = -------"''------1 + (n - r)rxx 1 50 X 0,75 = 0,82+ (1,5-1)0,759. NC 95% --- Zc = 1,64 . Es una prueba unilateral.

Sd = s xy:-=-;::V2 = 5 Y 1 - 0,75 V2 = 3,53Dif. mn. = 1,64 X 3,53 = 5,79

10. a) E= 5 + 2(Z) = 5 + 2 X 1,5 = 8b) Z = 1,5 --- P93 ,32--- Percentil 93e) x =Z Sx = 1,50 X 5 = 7,5d) PD = 10 + 3 X 1,50 = 14,50= 15e) X= x + X = 7,50 + 8 = 15,50

Solucin 268Datos: Sx = 4; rxy = 0,80; Sr = 2; rxx = 0,90; ' rr = 0,90

263Problemas generales

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264Psicometra: problemas resueltos

2. syx = Sy Y 1 - = 2 Y 1 - 0,64 = 1,203. NC 95% --- Zc = 1,96

Syx = 1,20Emx = SyJC = 1,96 X 1,2 = 2,35y' = 1,20/C = 1,20 :: 2,35- 1,15:::::y ::::: 3,55

4. Rxy = rxyJ10,80--;===========- = 0,82J-1_-----'o_9o_rxxn + fxx + 0,902

0,80--;::='====- = o89Y0,90 X 0,9036. x = 3; Zx = 4 = 0,75; PO = 50 + 20(0,75) = 65

E= 5 + 2(0,75) = 6,5 = 7p = 77

Solucin 269N = 100 X = 20 Sx = 5 K = 0,60

y10-127-94-61-3

y= 635 = 6,35100

f fa a/p m10 9540 7035 32,515 7,5

S = 4 "705 - 6 352 = 2 59100 ' '

Ym11852

fYm11032017530

635

il

fY 2m1.2102.560

87560

4.705

1. Y = 8 puntos. Se busca en la tabla de los porcentajes acumulados hasta elpunto medio y vemos que a la puntuacin directa 8--- P .

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265Problemas generales

8 - 6,35 o 6 1 . ' ' . ' .Z = = , 4 es a puntuaCion t1p1ca e m p ~ n c a2,59Zn sera la puntuacin tpica normalizada, para ello, a partir del percentil, se buscalas tablas la puntuacin tpica que le correspondera a ese sujeto si la distribucinpuntuaciones fuera una distribucin normal. Al P70 (0,6985 en tablas) le corresuna Zn = 0,52.

E = 5 + 2(Zn) = 5 + 2(0,52) = 6,04 ~ E = 62. Un sujeto que ocupa el centil 60 es superior al 60% de los sujetos de su

P60 ~ Zn = 0,25X-X -Zx = ~ X = X + Z ~ x = 20 + 0,25(5) = 21,25

sxE = 5 + 2(0,25) = 5,50 ~ E = 6

3. Si la distribucin de las puntuaciones en el test es normal, la media, la mediay la moda coinciden, por lo tanto hay 40 sujetos que estn por encima de la mediay que acertaron el elemento

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266Psicometra: problemas resueltos

2. Si hubiese respondido al azar, en la primera parte tendra que haber acertado:100X1/2 = 50.

En la segunda: 100 x 1/3 = 33.En la tercera: 100 x 1/4 = 25.La PO al azar hubiera sido:

PO, = 50 - 50 = OP0 2 = 33 3 - 66 ' 8 = O' 2

75P0 3 = 25-- =O3La puntuacin total habra sido un cero.

Solucin 271Datos: d = 0,25 X= 5,40 Sx = 1,20 Y= 6 Sy = 0,80 NC = 95%

sz1. rxx = _v = o45s: 'rvx = Yr:x = VoAs = 0,67

2. NC 95% ~ Z c = 1,96Se= Sx ~ = 1 ,2Y1- 0,45 = 0,89fmx = 1,96 X 0,89 = 1,74

Utilizando el modelo de la distribucin normal de los errores:IC = 4 ::: 1,742,26 ::; V::; 5,74

La puntuacin verdadera en Selectividad de un alumno que obtuvo un 4 en dichaprueba se encuentra en el intervalo comprendido entre 2,26 y 5,74 a un nivel de con-fianza del 95%.Sy - -3. Y' = rxy - (X - X) + Ysx

d = = 0,25 ~ rxy = 0,50Y' = 0,50 80 (7 - 5,40} + 6 = 6,53

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267Problemas generales

Con los datos que se tienen, a un alumno que obtuvo un 7 en las pruebas deSelectividad se le pronosticar una puntuacin de 6,53 al finalizar el tercer curso decarrera.

4. RC=flsd[d [ = [4 ,5-5 ,5 [ = [1 [sd=seV i = 0,89Vl = 1,26

1RC = -- = 0,79 > 1,961,26Por tanto, al nivel de confianza del 95%, no existen diferencias estadsticamentesignificativas entre un alumno que ha obtenido un 4,5 en la prueba de selectividad y

otro que ha obtenido un 5,5.S. 51 Y 1 - r 11 = 52 Y 1 - r22

S = 25f = 2 X 1 202 = 2,88 ~ 52 = 1,701,20 Y 1 - 0,45 = 1,7 Y 1 - r220,52 = Y 1 - r220,27 = 1 - r22 ~ r22 = 0,73

Al duplicar la varianza de la muestra la fiabilidad de la prueba de Selectividad pasade 0,45 a 0,73.

0,50-ff*---'--, = 0,64Al modificar la variabilidad de la muestra su fiabilidad ha pasado de 0,45 a 0,73,esta mejora de la fiabilidad afecta al coeficiente de validez que pasa de 0,50 a 0,64.7. Se trata de un problema bivariado de validez y homogeneidad, supuesta conocida la variabilidad de las puntuaciones en la variable directamente selectiva -la prueba de Selectividad- en el grupo amplio -todos los alumnos- y en el grupo restringi

do -los alumnos matriculados en la Facultad de Psicologa.1,20 X 0,50 = 0,57Y 1 44 X 0,502 (1 - 0,502) X 1

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268Psicometra: problemas resueltos

Solucin 272N=10 n=8

A 71. ID = - = - = O 70N 10 '2. Aplicando KR 20

rxx = KR2o = n : 1 ( 1 - t)tems A p q pq

1 10 1 o o2 7 0.7 0,3 0,213 5 0,5 0,5 0,254 6 0,6 0,4 0,245 5 0,5 0,5 0,256 2 0,2 0,8 0,167 4 0,4 0,6 0,248 2 0,2 0,8 0,161,51

Sujetos X X,1 4 162 4 163 6 364 2 45 4 166 3 97 8 648 1 19 7 49

10 2 441 215

- IX 41X=-=-=410N 10 '

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269Problemas generales

Aplicando arxx = a = n : 1 ( 1 ~ ~ l )

X, Xl x, X' x, X1 x. X' X, Xg Xs Xl X1 X' x. X'1 1 1 1 1 1 o o 1 1 o o o o o o1 1 1 1 o o o o 1 1 o o 1 1 o o1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o1 1 o o o o 1 1 o o o o o o o o1 1 1 1 1 1 1 1 o o o o o o o o1 1 1 1 o o o o o o o o 1 1 o o1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 o o o o o o o o o o o o o o1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o o 1 1 1 11 1 o o o o 1 1 o o o o o o o o

10 10 7 7 5 5 6 6 5 5 2 2 4 4 2 2

52 = IX? ~ ( ~ ) 2 = _2_2_ ~ (_2_2_)2 = 0x, N N 1 O 1 O52 =-- - = 021( 7 )2

x, 1o 1o '52 =-- - =o 25( 5 )2x, 1o 1o '52 =-- - =o 24( 6 )2x. 1o 1o '52 =-- - = 025( 5 )2xs 1 O 1 O '52 =- - - =o 16( 2 )2

x6 1 O 1 O '52 =--- = 024( 4 )2x1 1 O 1 O '52 =-- - =o 16( 2 )2

Xg 1o 1o 'a=-- 1 - = 0,77( o+ 0,21 + 0,25 + 0,24 + 0,25 + 0,16 + 0,24 + 0,16)

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270Psicometra: problemas resueltos

Aplicando dos mitadesFrmula de Rulon

5 ~ - ir = 1 ---x s;Sujetos X

1 42 43 64 25 46 37 88 19 7

10 2

p1131214o31

17

52 = __!__!__ - ( - 7 ) 2 = o 61p - 1 1o 1o 'rxx = 1 - 0,61 = 0,874,69Frmula de Flanagan

4rpisps ir xx = S ~

i p-i3 -23 -23 o1 o2 o2 - 14 o1 - 14 -11 o

24 -7

N'i p i- 'i pi irpi = -Y-;::=N==p==-=(I=p=)=2J=[N=I=,=.=-=(==i)=-1

(p - i ) l44ooo1o11o

11

10 X 51 - 17 X 24-----===========- = O,77Y(10 X 43 - 17 2){10 X 70 - 24 2)

p2119141

16o16

143

5 2 = -- - - = - - - = 1 41 ~ S = 1 19p2 ( I p )2 43 ( 17 )2P N N 10 10 ' P 'St = ~ - ( ~ r ~ ~ - ( ~ ~ r 1,24 ~ S = 1,11

4 X 0,77 X 1,19 X 1,11rxx = --------- = 0,87

j2999144

161

161

70

pi339142

16o12

151

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Aplicando la frmula de Guttmanr = 2 (1 - + St) = 2 (1 - 1,41 + 1,24) = O 87XX S ~ 4,69 '

2 X 0,77----'----- = 0,87 Utilizando rxx = ex.1 + 0,77

271Problemas generales

2 X 0,87Rxx = = 0,931 + 0,87 Utilizando el valor de rxx calculado por elmtodo de las dos mitades.

4. En= 5 + 2ZnLa puntuacin obtenida por el sujeto n.0 5 es 4. El centil que corresponde a estapuntuacin ser el siguiente:

X f f. ac.1 1 12 2 33 1 44 3 75 o 76 1 87 1 98 1 10

C4

= f. acum.b + 0,5fd x 100 = 4 + 0,5 x 3 x 100 = 55N 10Se ha aplicado la frmula que permite calcular el centil correspondiente al puntofacum b es la frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior a

en que se encuentra la puntuacin y fd es la frecuencia que hay dentro del in-.

Veamos en las tablas de la curva normal qu puntuacin corresponde a una pro-0,55. Este valor es Zn = O, 13. Por tanto:

En = 5 + 2 X O,13 = 5,26 =Al sujeto n. 0 5 le corresponde el estanino 5.

Solucin 273N I XY - x y

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272Psicometra: problemas resueltosSujetos X y x> y> XY

1 6 16 36 256 962 5 14 25 196 703 3 10 9 100 304 3 11 9 121 335 2 6 4 36 126 2 8 4 64 167 4 10 16 100 408 5 12 25 144 609 7 19 49 361 133

10 6 18 36 324 10843 124 213 1.702 598

10 X 598 - 43 X 124Rxy = Y(10 X 213 - 43 2)(10 X 1.702- 1242}

648 = 0,95Y281 X 1.6442 E= 1 -K = 1 - Y1 - r2 = 1 - Y1 - O 95 2 = 1 - O 31 = O 69 xy ' ' 'Por consiguiente el porcentaje de seguridad o certidumbre con el que se puedepronosticar el xito acadmico a partir de las puntuaciones en la prueba X de nivel de

conocimientos es del 69%.3. Aplicando a

( ist)ex = n : 1 1 - 52=X NCmo los nicos valores posibles para cualquier elemento de la prueba es 1 O,entonces X1 = Xf. Por consiguiente:

Sujetos X, x> x3 x. Xs x6 x7 Xa1 1 1 1 1 1 o 1 o2 1 1 1 o 1 o 1 o3 1 o 1 o 1 o o o4 o 1 o 1 o 1 o o5 o o 1 o o o o 16 1 o o o 1 o o o7 1 1 o o 1 o 1 o8 1 1 1 o 1 o 1 o9 1 1 1 1 1 1 1 o

10 1 1 o 1 1 o 1 1:

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115 2 = -- - =o 16( 8 )21 1o 1o '

7 ( 7 )2Si=10- 10 =0,216 ( 6 )2S ~ = 10 - 10 = 0,244 ( 4 )2S ~ = 10 - 10 = 0,24

52 = -- - =o 16( 8 )2S 10 10 '

2 ( 2 )2St = 10- 10 = 0,1651 = 160 - ( 160r 0.24S = 120 - ( 120r O, 16I sr = 1,57

273Problemas generales

Al mismo resultado se llega utilizando la frmula de la varianza de una variabledicotmica que es igual a pq.52 = 'ifX 2 _ ('ifX)2

X N N

X f fX X' fX '2 2 4 4 83 2 6 9 184 1 4 16 165 2 10 25 506 2 12 36 727 1 7 49 49

10 43 213

5 2 = --- - = 2 8113 ( 43 )2X 10 10 '

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274Psicometra: problemas resueltos

Aplicando la ecuacin de Kuder-Richardson 20

tem n. 0 p q pq1 0,8 0,2 0,162 0,7 0,3 0,213 0,6 0,4 0,244 0,4 0,6 0,245 0,8 0,2 0,166 0,2 0,8 0,167 0,6 0,4 0,248 0,2 0,8 0,16I 1,57

ex=8

( 1 - ~ ) = o 508 - 1 2,81 '4. se= sx ~ = v'2.81 V1 - o,so = 1,19

y f fY y> fY 26 1 6 36 368 1 8 64 64

10 2 20 100 20011 1 11 121 12112 1 12 144 14414 1 14 196 19616 1 16 256 25618 1 18 324 32419 1 19 361 361I 10 124 1.702

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275Problemas generalesro x o,95

Y4,5 X 0,952 + (1 - 0,95 2)2,812,02- - =====- = 0,97Y4,o6 + o,n

E2 36. A 2 - - -= - - = 7 - --- = 6n-1 4-17. Hay que calcular el centil primero.

Tn = 50 + 1OzC = facumb + 0,5fd X 100

X NX f f.2 2 23 2 44 1 55 2 76 2 97 1 10

Se busca en tablas de curva normal y la puntuacin tpica normalizada que lees:

Zn = 0,25Tn = 50 + 1 O (0,25) = 53

Solucin 2741. KR = n (1 - 'I_pq)

2o n - 1 52Xx, x, x, x. Xs x.

p 5\6 3\6 3\6 4\6 4\6 1\6q 1\6 3\6 3\6 2\6 2\6 5\6pq 5\36 9\36 9\36 8\36 8\36 5\36 44\36 = 1,22

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276Psicometria: problemas resueltos

x, Xz x3 x. X, x6 X xz1 1 o 1 1 o 4 161 o o 1 o o 2 41 1 1 1 1 o 5 251 o 1 o 1 o 3 91 o 1 1 1 1 5 25o 1 o o o o 1 1

20 80

52 = - - - = 2 22 ~ S = 1 490 ( 20 )2X 6 6 ' X '

KR = - 1 - -- = 0,54( 1,22)20 5 2,22rvx = yiQ.54 = 0,73

N IXY - IX IYl . rXY = -Yr-[=N=I=X==_=(=I=X=)2=][=N=I=Y==-=(I=Y=)=-]

X y XY yz xz4 7 28 49 162 4 8 16 45 6 30 36 253 5 15 25 95 8 40 64 251 3 3 9 1

33 124 199 80

6 X 124 - 20 X 33Gv = - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ~Y[6 X 199 - 33 2][6 X 80 - 202]84- - - - - :===- = o'9 2Y105 X 80

43. ID = p = - ~ ID = O 676 'N. 0 discriminaciones = AE = 4 X 2 ~ N. 0 discriminaciones = 8

d d. . . . 4 2 8 p d d" . . . o 22Po er 1scnmmat1vo = pq = - x - = - ~ o er 1scnmmat1vo = ,6 6 36

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18/50

N' i XX 4 - ' i X' i X4rxx. = -Yr:[=N='i=X==-=(=i='X'=)2=][=N=i=X=J=-=(i=X=4 )=-]52 = ' iXl _ ( ' i X4 )2

x. N N

x. X1 41 21 5o 31 5o 14

6 X 16 - 20 X 4rxx = -Y---;:(=6=X=80=-=2=0=)=(6=X=4==4=2=-)

xx. X ~ )(24 1 162 1 45 1 25o o 95 1 25o o 1

16 4 80

16---= 0,6380 X 852 = ~ - ( ~ ) = 0 22 ~ S = 0 4 7x. 6 6 ' x. 'IH = 0,63 X 1 ,49- 0,47 ~ IH = 0,38Y2,22 + 0,22 - 2 X 0,63 X 1,49 X 0,474. 1 - rxx = 1 - 0,54 = 0,46

277Problemas generales

El 46% de la variabilidad de las puntuaciones empricas del test es varianza error.S. 1 - = 1 - 0,92 2 = O, 15El 15% de la variabilidad de las puntuaciones en el criterio no es explicado a par

tir de las puntuaciones del test.

Solucin 2751. Se trata de calcular la fiabilidad del test utilizando el mtodo test-retest. Elcoeficiente de fiabilidad en este caso se calcula mediante la correlacin entre las pun

tuaciones obtenidas por los sujetos en ambas aplicaciones:

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278Psicometra: problemas resueltosx, x2 x,X2 Xf X22

5 6 30 25 364 3 12 16 96 5 30 36 253 4 12 9 161 1 1 1 14 5 20 16 25

23 24 105 103 112

6 X 105 - 23 X 24rx, x2 = -Y---.(=6=X=1=03==2=3=)=(6=X=1=1=2=-=2=4=-)

78----;:===- = o'84V89 X 96rxx = 0,84 --7 f xv = v'0,84 --7 fx v = 0,922. E = 1 - V -

N 'iXY - 'iX I Yr xy = - Y : : ; [ = N = = X 2 = - ~ ( I X = F ~ H N ~ I ~ Y 2 = - = ( I = Y ) =

X, x2 y X1Y X2Y Y25 6 8 40 48 644 3 6 24 18 366 5 4 24 20 163 4 5 15 20 251 1 2 2 2 44 5 3 12 15 928 117 123 154

6 X 117 - 28 X 23 58rx,y = V(6 X 154 - 28 2)(6 X 103 - 23 2) V 140 X 89 = 0,52

6 X 117 - 28 X 23 66f x,y =

V (6 X 154 - 28 2)(6 X 112 - 242) V 140 X 99= 0,57

E, = 1 - V 1 - 0,52 2 = O, 15E2 = 1 - V 1 - 0,57 2 = O,18

El coeficiente de valor predictivo variar segn se tome una serie de puntuaciones u otra. En cualquier caso la diferencia no es muy grande. En el primero el por

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20/50

279Problemas generales

3. El error de estimacin es la diferencia entre la puntuacin obtenida y la proel coeficiente de validez obtenido a partir de

puntuaciones obtenidas en la primera aplicacin del test .E=Y -Y '

Sy - -Y' = rxy- (X, - X1) + Y1 sxS2 = 2: Y2 _ ( I Y )2 = 154 _ ( 28 )2 = 3 89 ~ S = 1 97Y N N 6 6 ' Y 'S2 = 103 - ( 23 )2 = 2 47x, 6 6 '

- 2:Y 28Y= -=- = 467N 6 '- 23X = - = 3 831 6 'Y' = 0,52 1'97 (5 - 3,83) + 4,67 = 5,431,57E = Y - Y' = 8 - 5,43 = 2,574. El sujeto que en el criterio obtuvo un 8, en la primera aplicacin del test obtu-

un 5.E = 5 + 2Zne = 4 + o,5 01= 5 6 = ,75 ~ Z c= 0,75 = 0,67E = 5 + 2(0,67) = 6,34 = 6

rxy5 R - ----'----- ~ n =. xy- ~ - r x x

Considerando rx,y :1 - 0,84n = = 0,67

0,522 - 0,840,25

EFn=- ~ EF = nEI

1 - rxx-- rR2 XXxy

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280Psicometra: problemas resueltos

Solucin 276NIXY - IX IY1" rxr = - Y - - - r [ = N = I = ) ( 2 ~ - = ( = I X = ) = ] = [ N = I = Y 2 = = - = ( I = Y ) =

Sujetos X y )(21 3 15 62 4 20 163 2 14 44 5 30 255 1 13 16 5 28 2520 120 80

6 X 456 - 20 X 120r ~ = -r==========================Y(6 X 80 - 20 2)(6 X 2.674 - 1202)

Y' XY225 45400 80196 28900 150169 13784 1402.674 456

336---= 0,93362,66Dado que el criterio ha sido medido con anterioridad al test se puede hablar deuna validez retrospectiva. Sin embargo, si se considera que a pesar de que el criterio

se haya medido con anterioridad la aplicacin del test ha sido inmediatamente des-pus, se podra hablar de un estudio de validez concurrente.2. Zx = 1 ~ Zr. = rxr Zx = (0,93)1 = 0,93

Szyqzx = Y1 - r;y = Y1 - 0,8649 = 0,37Z = O - 0'93 = -2 51 ~ P(Z 2 0,994)

r 0,37 'Buscando en las tablas de curva normal, la probabilidad que queda por encimade una Z = -2,51 se obtiene una probabilidad de 0,994. Esta ser la probabilidad dexito de los sujetos del problema.3. El error de medida es la diferencia entre la puntuacin emprica y la verdade-

ra, pero como la verdadera no se puede conocer se utiliza la verdadera pronosticada.E=X - V 'V' = rxx(X - X) + X

20X=-= 3 336 '52 = 80 - (3 33) 2 = 2 24

X 6 ' '

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281Problemas generales

P2q2 = 0,67 X 0,33 = 0,22p3q3= 0,67 X 0,33 = 0,22p4q4 = 0,67 X 0,33 = 0,22p 5q5 = 0,50 X 0,50 = 0,25'i pq = 1,05a = n ( 1 - L ~ = 2 ( 1 - ~ = 0,66

n- 1 Sx 4 2,22V' = 0,66(5 - 3,33) + 3,33 = 4,43 ~ E = 5 - 4,43 = 0,574. Test B (n = 1 O elementos)

2 0 - (14 + 2,22)--=---- '------- '-- - - - ' - ---=- = o 4220[1 -((-!s-Y + ~ ~ y ) ]

5. EF = 8 El= 5 n = 1,60nrxx'R X = ----- '"'----1 + (n - 1)rxx'

1,60 X 0,66----- ' ----- ' ------- = O,761 + (1 ,60 - 1) X 0,66Solucin 2771. Se uti lizar el mtodo de las dos mitades .

xp= 20,90X = 19,90X1 = 40,80rxx = 2[1 -

sp = 3,64S = 4,48st = 6,78

S2 + 51] l= 2 1S ~

- = o 553,29 + 20,09]45,96 's = s ~ + 57- 2rpispsi = 13,29 + 20,09 - 2 x 0,385 x 3,64 x 4,48 = 20,83s 20,83rxx = 1 - - - = 1 = 1 - 0,453 = 0,55sx 45,96

S2 S22 . rxx = 1 - _ e ~ _ e = 1 - 0,55 = 0,45S S

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282Psicometra: problemas resueltos

nrxx'3. Rxx = - - - - - - - " " ' - - - - - -1 + (n - 1)rxx'2 X 0,55----- ' - - - - - - - - = 0,711 + (2 - 1) X 0,55

X4. Zx = - ~ x = Z.Sx = (0,75)6,78 = 5,09sx

v' = rxxX = 0,55(5,09) = 2,80S ~ = S ~ ( 1 - rxx) = 45,96(1 - 0,55) = 20,68Se = 4,55Svx = SeYr:x = 4,55 V0,55 = 3,37Emx = SvxZc = 3,37 X 1,96 = 6,60- 3,80 ::; V::; 9,40

5. N = 1O; L,X = 404; L, )(2 = 16.834; L, Y= 303; L, Y2 = 9.704; L,XY = 12.573NL,XY - L,X L,Yr - =O 64xy - Y [N L, )(2 - (L,X)l][NL, Y2 - (L, Y)2] '

7. n = 1 - rxx-- rR2 XXxy0,64 = 0,64 = o97Y 0,80 X 0,55 0,66 '

_ 1_ -_0_,5_5_ = _0_.4_5 = 5 63o40 0,08 '____!___ - o 550,64 '

EFn = - ~ EF = n x El = (5,63)4 = 22,52 = 23 ~ 23 - 4 = 19 temsElS. S2 = 9.704 _ ( 303 )2 = 52 31y 10 10 '

Sy = 7,23Sxy = SyY1 - = 7,23 Y 1 - 0,642 = 5,55Y' = 1,64 + 0,20X ~ Y' = 1,64 + 0,20(60) = 13,64

Y - Y' 17 - 13,64Z = e = 0,61r SyY 1 - 5,55

Z, = 0,61 < Zc = 1,64 al NC 95% en pruebas unilaterales.

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283Problemas generales

9. d = = 0,642 = 0,41 ~ Hay un 41% de varianza comn o asociada entre ely el criterio.K= Y1 - = Y1 - 0,41 = 0,77 ~ 77% de incertidumbre o inseguridad en losE= 1 - K = 1 - O, 77 = 0,23 ~ 23% de seguridad en los pronsticos.

Solucin 278

1. I P = 154; 2:1= 160; 2:PI = 2.558; 2:P 2 = 2.602; 2:12 = 2.702; .LX= 314;2:X2 = 10.420

N .LXPI - PIrp.i = -Y--.[=N=L=P=2=-=(=P)=2]=[N=2:f=2=-=(=2.:=1)=-2]

10 X 2.558- 154 X 160------;================- = 0,52Y[18 X 2.602 - 23.716][1 o X 2.702 - 25.600]rxx = 2rp; 2 X 0,52 = O 681 + rp; 1 + 0,52 '

S ~ = .LXZ _ ( I X)2 = 10.420 _ (314)2 = 56 ,04 = 56n n 10 10S2rxx = _v ~ S2 = 0 68 X 56 04 = 38 11S ~ V , , 1

X -X2. Z = 2 = ~ X = X + 2SxsxX= 31,40 + 2(7,49) = 46,38V'= rxx

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284Psicometra: problemas resueltos

4. El= 50 EF = 75 75n= - = 1550 'n rxxR X = - ----'"'------

1 + (n - 1 )rxx1,5 X 0,68------ - = 0,761 + (1 ,5 - 1 )0,68

0'68 = 0,89 ~ 1 - 0,89 = O, 110,76Aumenta un 11%.S. Sujetos X y XY )(2 y>

1 35 40 1400 1225 16002 33 39 1287 1089 15213 40 42 1680 1600 17644 24 36 864 576 12965 20 29 580 400 8416 29 35 1015 841 12257 37 43 1591 1369 18498 20 30 600 400 9009 42 45 1890 1764 202510 34 36 1224 1156 1296

314 375 12.131 10.420 14.317

NI XY - I X I Yrry = - ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ~V [N I X2 - (LX)2][N I Y2 - (I Y)2]10 X 12.131 - 314 X 375--;:.=============== =- = 0,94V [10 X 10.420 - 98 .596][10 X 14.317 - 140.625]

rxy6. Rxy = -f i-

xx

0,94 = 0,99

0,94V0,96 = 0,96E 108. Pe = A - - - - = 40 - - - = 40 - 3,33 = 37n - 1 4-1

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285Problemas generales

Solucin 279Datos: N = 300; rxx = 0,81; Sx = 4; d = 0,49; ryy = 0,64; Sy = 61. 99% ~ zc = 2,58

XZ =- ~ X = (-0 50) X 4 = -2X SX 'd = = 0,49 ~ fxy = O,70

' SY 6y = r -x = O70- ( - 2) = - 2 1 Oxy Sx ' 4 'Syx = Sy Y1 - = 6Y1 - 0,49 = 4,28fmx = SyxZc = (4,28)2,58 = 11,04-13,14::; y::; 8,94

2. y' = -2,1 O ~ Zy = -0,35 ~ P(Z::; -0,35) = 0,3632(0,3632)300 = 109 ~ 300 - 109 = 191 obtienen puntuaciones superiores.

3. S ~ ( 1 - r22) = SW - r,,) ~ 8(1 - r22 ) = 16(1 - 0,81)Tzz = 8- 3,04 =o 628 '

0,70' r,::-;:;;; = o78v u , ~ 1

Solucin 280N= 500 Test A: A = 25; S ~ = 64; n = 30; : cov (j, k) = 49

Test B: 8 = 20; S ~ = 81; S ~ p = 24Y Y = 35 S2 = 16 dA = r2AY = O 60 d 8 = 0,49, y 1 1 1n ( I cov (j , k) ) 30 491. rAA = n - 1 rFk = 29 ( 64) = 0,79

rAY = Vd = ~ = O, 7781 - 84S ~ = 2 S ~ + 2 S ~ r p i ~ 81 = 48 + 48rpi ~ rpi = = 0,6948

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286Psicometra : problemas resueltos

_ 2rp iT88 - - = 0,821 + rpiT8 y = \cJ = \IOA9 = 0.70

2. rAY = \cJ = VQ.60 = O, 77T8 y = \cJ = \IOA9 = 0.70

Dado que los dos tests tienen el mismo nmero de tems elegira el test A. por-que al pronosticar el xito o fracaso como vendedores tiene mayor probabilidad deacertar.

Sy - - 43. Y' = rAy- (A - A) + Y = 0,77 - (40 - 25) + 35 = 40,77SA 84. NC 95% --7 Zc = 1,96sv.x = sx Vf:x = 9 V 1 - o,82 V.82 = 3.47V' = 0,82(24 - 20) + 20 = 23,28Em x = 1,96 X 3,47 = 6.8016,50 ::5 V ::5 30,06

S. r A = 0.79 = a2rAAR = - -'-"-'--AA 1 + (AA

2 X 0.79 = 0,881,79a - a ) ~t = ---;:.================V 4(1 - a,)(1 - a 2)(1 - d2)

- 2 01- -- = - 11,820, 17(0.79 - 0,88) V soo - 2

Y 4(1 - 0.79)(1 - o,88)(1 - o,71)

Se rechaza la H0 , es decir, la diferencia entre los dos coeficientes es significativa.2006. RS = - -= O 4500

30 - 357. z = = - 0,6258

150RE =-- = O75200 .

PTD = 50 + 10(-0,625) = 43.75 = 44

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Solucin 2811. Datos: Test A: A= 23; SA = 9; se= 3; 1 - = 0,40

Test B: 8 = 38; rp ; = 0,4924,80:::; V ::S 30Syx SY Y1 - -- d1 - r2 --K-=O 60 = V xysy ' sy

El coeficiente de valor predictivo del test A es:

287Problemas generales

EA = 1 - K = 1 - Y1 - = 1 - Y1 - 0,60 = 1 - 0,63 = 0,37El coeficiente de valor predictivo del test B es:E8 = 1 - 0,60 = K = 0,60 E = 1 - 0,60 = 0,40La prueba B tiene mayor poder predictivo.2. S ~ = S ~ + S ~ ----+ S ~ = 81 - 9 = 72

r = = 72 = O89AA S ~ 81 '

3. V' + Emx = 30

2 X 0,49---- = 0,661,49V' - Emx = 24,80Restando las dos ecuaciones:2Emx = 5,20Emx = 2,60

----+ S = 2' 60 = 1,33mx = 1 96Se e 1,961 33 = S8 '\11=-;::1,77 = sw - 0,66)s2 = 1' 77 = 5 208 0,34 '

4. Zy' = rAYZA

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288Psicometria : problemas resueltos

zy' = 0,77(1) = o,77S = V - r2 = V - O,77 2 = O,64Zy.x AYz = o - 0'77 = - 1 20r 0,64 '

Buscando en las tablas, una Z = - 1 20 deja por debajo un rea igual a O, 1115.La probabilidad de aprobar de un sujeto ser 1 - O, 1115 = 0,8849.

S. r88 = 0,66K = 0,60; a partir de ah se obtiene el coeficiente de validez:r8y = 0,80

nraaR a a = - - ~ ~ - -1+(n - 1)r88R = fa y \nBY V 1 + (n - 1)raa

-2-x----..:-66- = o 795 = o 801,66 ' 'o,8oV2--;:::======- = 0,88V 1 + ( 2 - 1)0,66

El coeficiente de fiabilidad pasara de 0,66 a 0,80 y el coeficiente de validez de0,80 a 0,88.

6. 5 ~ = 81 ; 5 = 5,2052 9RAA = 1 -_e_= 1 - -- = 0,78

5 ~ / 2 40,51,77R88 = 1 - -- = 0,322,59

El porcentaje de reduccin ha sido mayor en el test B.7. - Mtodo de la media: Como la diferencia de medias del test A al B es de 15puntos, habra que sumar 15 puntos a lo que obtuviera el mismo sujeto en

el test B.- Mtodo de transformacin lineal: 39 puntos en el test A equivale a 42 en el B.B = 2'28 (39 - 23) + 38 = 429

39 puntos en el test A equivalen a 42 en el B.

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289Problemas generales

Solucin 2821.

Sujetos X, X2 x, x. x, x6 X1 3 2 3 4 5 5 222 1 2 3 2 3 1 113 4 4 3 1 4 5 214 2 3 5 2 3 3 185 4 1 3 1 2 5 16

14 12 17 10 58 85 88

( fsr)a = _n_ 1 - ~ = ___ ( 1 - 7,84 ) = O 59n - 1 5 ~ 5 15,44 'N IXY - I X IY2" rxy = -Y---::[=N=I=X!-=-=(=LX=)=]=[N==Y2=-=(=Y)=2=-]5 X 492 - 88 X 27------;:===============- = 0,33Y[S X 1.626 - 882][5 X 179 - 27 2]

y43938

27

E= 1 - k = 1 - Y1 - = 1 - Y1 - 0,33 2 = 0,66

XY x> y>88 484 1633 121 9

189 441 8154 324 9

128 256 64492 1.626 179

La seguridad con la que se puede pronosticar la imagen de la clase poltica a parr de las respuestas al cuestionario es demasiado baja: un 6%.0,33 = 0,43V0,59

4. El valor mximo que puede alcanzar el coeficiente de validez es igual al ndicefiabilidad.rxy :S rxvrxv = ~ = ~ = 0,75 ~ rxy ::::: O,77

5. E= X - VV' = rxx(X- X) +X= 0,59(16 - 17,6) + 17,6 = 16,656 = 16,66E = 16 - 16,66 = -0,66

6. P(Y ?':. 7IX = 1 2) = F- 1(z = ye - Y' )sy,x, Sy - - 2,58Y= r x y - (X - X)+ Y= 0 , 3 3 - ~ ( 1 2 - 17,6) + 5,4 = 4,19

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290Psicometra: problemas resueltos

Sxy = Sy\11 - = 2,58Y1z = 7 - 4, 19 = 1 1 5

2,44 '

- 0,332 = 2,44

Buscando en las tablas de la curva normal se obtiene una probabilidad de obtener un valor inferior a este de 0,8749. Dado que lo que se preguntaba era si se podatener una imagen positiva, habr que restar de la unidad ese valor:

P(Y2 7/X = 12) = 1 - P(Y < 7/X = 12) = 1 - 0,8749 = 0,1251La probabilidad de tener una imagen positiva de la clase poltica habiendo obte

nido una puntuacin en la escala de 12 puntos o ms es slo del 12,51%.

8. x6 y X6Y5 4 201 3 35 9 453 3 95 8 40

85 27 117

2 X 0,59 = O741 + 0,59 '0,33 X \2----;:::.===- = 0,37v'1 + o,59

X2 Y225 16

1 925 81

9 925 6485 179

N' iX6Y - I X6I Y(X 6Y = ---=================-Y[N I Xt - (I X6)2][N I Y 2 - ( I Y)2]

5 X 117 -27 X 19---- ; : .========== = 0,70Y[5 X 85 - 192][5 X 179 - 272 ]9. X= 18

X-X 18 - 1 7 60=50+10Z=50+10 =5 0+1 0 ' = 5 1 , 0 2=51sx 3,93

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291Problemas generales

Solucin 2831.

x, x> x, x. Xs X y Xf Xf Xj XJ x>5 x> y> XY3 2 4 3 4 16 7 9 4 16 9 16 256 49 1122 3 4 3 2 14 8 4 9 16 9 4 196 64 1125 4 3 4 5 21 7 25 16 9 16 25 441 49 1472 1 2 2 1 8 4 4 1 4 4 1 64 16 323 2 2 1 3 11 5 9 4 4 1 9 121 25 554 5 4 5 4 22 8 16 25 16 25 16 484 64 17619 17 19 18 19 92 39 67 59 65 64 71 1.562 267 634

5 2 =-- - = 1 147 ( 19 )21 6 6 'As se van sacando las varianzas de cada uno de los elementos y del test total.

( fs7)a = __ _ 1 ___ _ = 5 ( 1 _ 7,24 ) = 0 89n - 1 5 ~ 5 - 1 25,2 2 'nrxx 2 X 0,892. Rxx = = 0,941 +(n-1) rxx 1 +0,89

( a , - a 2 ) ~t = - - - : : .===========Y (1 - a 1)(1 - a 2)(1 - d2)(0,94- 0,89) V6=2V (1 - o,94H1 - o,89)(1 - o,852) O,1--- = 1,17 < t0,95;4 = 2,1320,086

Se acepta la H 0 , es decir no parecen existir diferencias estadsticamente significalas pruebas de 5 y 1O preguntas.NIXY - IX IY3. r ~ = - ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ~Y[NIX2 - (LX) 2][NI Y2 - (I Y) 2]6 X 634 - 92 X 39---::.=========== = 0,80Y[6 X 1.562 - 92 2][6 X 267 - 39 2]

A la vista del valor obtenido para el coeficiente de validez, se puede considerar lacomo un buen predictor de las calificaciones de los alumnos en el rea de

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292Psicometra: problemas resueltos

4. V' = rxx (X -X ) + X = 0,89(8 - 15,33) + 15,33 = 8,81S. E = Y '- Y

S - - 1 5Y' = rxy___}'_(X- X)+ Y= 0 , 8 0 - ' - ( 1 4 - 15,33) + 6,5 = 6,18sx 5,02E = 6,18 - 8 = -1 ,82

N 'L X4(X - X4) - 'L X4'L (X - X46. rx.(x - x.> = ---;======================-v ' rN I Xl- ('LX4)2][N 'L (X - X4)2 - ('L (X - X4))2]

6 X 247 - 18 X 74-----;::==== ======- = 0,83Y [6 X 64 - 182][6 X 1.004 - 742]

X - X X - 15,337. D = 5 + Z = 5 + - - - = 5 +------'--5,02Sujetos X D

1 16 (5, 13)2 14 (4.74)3 21 (6,13)4 8 (3,54)5 11 (4,14)6 22 (6,33)

8. Sf(1 - r,,) = SW - r22 )25,22(1 - 0,89) = 38,5(1 - r22 ) ~ r22 = 0,93

9. P(Y ":?. 7/X = 15) = F- 1 (z, = yc - Y')Sy,xS - - 1 5Y' = rxy_ (X - X) + Y= 0 , 8 0 - ' (15 - 15,33) + 6,5 = 6,42sx 5,02

Sxy = SyY 1 - = 1,5 Y 1 - 0,802 = 0,90z = 7 - 6,42 = o 64r 0,90 '

Buscando en las tablas de la curva normal se obtiene una probabilidad de obtener un valor inferior a este de 0,7389. Habr que restar de la unidad ese valor:

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293Problemas generales

La probabilidad de que un alumno con una puntuacin de 15 en la prueba obten-ga una calificacin de al menos notable en el rea de Humanidades es de 0,2611.

Solucin 2841. x, x, x3 x. Xs X y x> x> x> x>1 2 3 4

3 2 2 1 3 11 1 9 4 4 12 1 2 2 1 8 o 4 1 4 45 4 3 4 5 21 1 25 16 9 164 5 4 5 4 22 1 16 25 16 252 3 4 3 2 14 1 4 9 16 93 2 4 3 4 16 o 9 4 16 9

19 17 19 18 19 92 4 67 59 65 64

ex= _n (1 - _J,_5f) =n- 1 5 ~ 5 (1 - 7,24 ) = o895 - 1 25,22 '

EF 202. n =-=- = 4El 5nrxxRxx = ---=----1 + (n - 1 rxx 4 X 0,89------ = 0,97+ ( 4 - 1 )0,89

x>5 x>9 1211 64

25 44116 4844 196

16 25671 1.562

3. Con los datos proporcionados esta cuestin no se puede resolver. Se trata deun problema de fiabilidad y variabilidad. En efecto, conocemos la fiabilidad del cuestionario completo en el grupo de 6 alumnos (calculado en el punto anterior) y podemos conocer la variabilidad de las puntuaciones de esos 6 sujetos en el cuestionariocompleto:

5; = n5;[1 + (n - 1)rxJ = 4 X 2,522[1 + (4 - 1 )0,89] = 3,7023Pero no conocemos la fiabilidad del cuestionario completo en el grupo de 500lumnos. Por tanto, tenemos una ecuacin con dos incgnitas (r22 y 5;):

5?(1 - r,,) = 5W - r22)xp -x J!. rbp = ____:___5x q

Xp= ( 11+21+22+14) = 17

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294Psicometra: problemas resueltos

92X=-= 15 336 '1 7 ~ 1 , 5 3 3 {4/6=0,47Y2,522 -Y 2i6

El valor obtenido para el coeficiente de validez no es muy elevado pero tampocoexcesivamente bajo (habra alrededor de un 22% de varianza comn entre el predic-tor y el criterio: 0,47 2 = 0,22), por lo que parece razonable utilizar con cierta precau-cin la informacin proporcionada por el cuestionario para predecir la tasa de aban-dono de los estudios en la UNED.

S. (X - x.) (X - x.F x.(x- X 4 )10 100 106 36 12

17 289 6817 289 8511 121 3313 169 3974 1.004 247

(1 + 4 + 5 + 3)X4p = = 3,25418X =-=34 6

6. x, = 3 + 2 + 2 + 1 + 3 = 11X ~ X 11 ~ 15,33E = 5 + 2Zn = 5 + 2 = 5 + 2 = 3,27 = 3sx 5,02

7. = 0,25 ~ rxx0 = 1 ~ d E = 1 ~ 0,25 = 0,75~ 0'75 = 8 33F~ , 97 ' (No_,)(Np_,)

Por consiguiente, existen diferencias estadsticamente significativas entre los coe-ficientes de fiabilidad obtenidos en las muestras de Psicologa y Derecho.

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295Problemas generales

Solucin 285Datos: N= 50Test atencin: Se = Sx ~s x ~ =025S ,

X

X= 18

Test agudeza: X = 71. Test atencin

~ = 0 , 2 51 ~ rxx = 0,06rxx = 0,94Test agudeza visual

S ~ v = 7 (YAV = 0,63

KR 20 = 1 ~ -- = - - - 1 ~ -- = 0,726 = 0.73( I pq ) 11 ( 2,38 )n ~ 1 S} 1 O 72. NC 95% ~ Zc = 1,96

sz,z, = ~ v-T:x = Y1 ~ 0,94 yi0,94 = 0,245 X 0,97 = 0,24fmx = 0,24 X 1,96 = 0,47Zv' = rxvZx = yi0,94 X 0,9 = 0,870,40 SZv S 1,34

nrxx3. Rxx = - - - - - - " ' ' - - - - - - - -1 + (n ~ 1)rxx2 X 0.73___ __:______ = 0,84+ (2 ~ 1 )0.73

4 K= Y1 ~ r2 = Y1 ~ O63 2 = O 77 xy , 'E = 1 ~ K = 1 ~ O, 77 = 0,23

Ir,, ~ r 1 ~S. t = -----;==============-Y4(1 ~ r,,)(1 ~ r22)(1 ~10.73 ~ 0,841 1V48-----;================- = 3,04V (1 ~ O,73)(1 ~ 0,841 )(1 ~ 0,80 2)

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296Psicometra: problemas resueltos

Al nivel de confianza del 95% la diferencia entre los coeficientes es estadsticamente significativa.

6. p = 90 ~ z = 1,28E = 5 + 2 Zx = 5 + (2 X 1 28) = 7,56 = 8

7. SZ y x = Y1 - r;y = 0,632 = 0,776 = 0,78fmx = ZcSz = :+:1,96 X 0,78 = :+:1,53y.x

8. 582 = pq = 0,3 X 0,7 = 0,21ID= 0,3

Solucin 286Sujetos Pares Impares

IX= 259IX 2 = 7.127'LY2 = 8.151IXY = 7.570

123456789

10

10118

1413171215187

1. Se aplica Rulon y Guttman-Fianagan:rxx = 1 - = 1 - - 8'29 = 0,80s; 41,89

151410910

181514209

y30282229253030323718

r = 2 ( 1 _ S ~ + 51) = 2 ( 1 _ 11,85 + 13,24) = 0 80XX s; 41,89 '

A la vista del resultado obtenido podemos afirmar que el test posee una consis

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297Problemas generalesRxx (1 - rxx ) 0,88(1 - 0,80)2. n = = = 1,83rxx (1 - Rxx ) 0,80(1 - 0,88)EF EFn=- ~ 1 83 =- = 74 ~ 74 - 40 = 34El ' 40

Habra que aadir 34 tems.

3. NC 95% ~ Zc = 1,96- -V' = rx) ( + (X - rxxX) = 0,80 X 18 + (25,9 - 0,80 X 25,9) = 19,58sv x= se T:x = 6,47\11 - 0,80 V0,80 = 2,58Emx = 2,58 X 1,96 = 5,06V' :::'::: Emx = 19,58 :::'::: 5,0614,52 ::::; V ::::; 24,64

4. Sr = 5,0510 + 7.570 - 259 X 281r = = 0,89

xy Y [71 .270 - 67.081 ][81.51 - 78.961]Sy x = Sy Y 1 - = 5,05 Y 1 - 0,892 = 2,30

5. 80%Se busca en tablas la puntuacin tpica que deja por debajo el 80% de los sujetosla muestra. Esa Z = 0,84 .

X - 25,900,84 = ~ X = 25,90 + (0,84 X 6,47) = 31,336,47S - - 5 05Y' = rxy ____!__(X - X) + Y= 0,89 - ' -(31,33 - 25 ,90) + 28,10 = 31 ,87sx 6,47

31,87 - 28,10 = 0,75Zy= - -----5,05E = 5 + 2 X 0,75 = 6,5 = 76. A ~ 25

E 15A= = - = 5a n - 1 3

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298Psicometra : problemas resueltos :1

7. La proporcin de varianza del test que se debe al error es el complementohasta la unidad del coeficiente de fiabilidad. Si se multiplica por 100 se tendr el por-centaje.La proporcin de la varianza del criterio que no se puede explicar a partir del test

es el complemento del coeficiente de determinacin. Multiplicado por 100 se obtiene el porcentaje.1 - (XX = 1 - 0,80 = 0,201 - = 1 - 0,892 = 0,21

y- 358 . - - -729 - 25'90 ~ y = - 7- (29 - 25,90) + 35 = 386,47 6,47

Solucin 287

1. Dado que los tems son dicotmicos y de distinta dificultad vamos a utilizar lafrmula KR 20 .

Teniendo en cuenta que el test tiene un nmero de tems par se puede utilizarRulon o Guttman.p, = 1; P 2 = 0,60; P3 = 0,40; P4 = 1; p 5 = 0,20; p6 = 0,40KR 20 = n (1 _ Ipq) = ~ ( 1 _ 3 x 0,24 + O, 16 ) = O 73n - 1 s; 5 2,24 'R 1 1 - S ~ = 1 - 0,64 = O72u on: rx x = ,s; 2,24

( 52 + S ) ( 0,80 + 0,64)Guttman: ( XX= 2 1 - p s; 1 = 2 1 - 2,24 = 0,72

2. Se plantea la hiptesis nula de que el coeficiente sea cero.Ha: ex =OH1 :ex * O

-exF=-- -1 - &1 - o----= 3,701 - 0,73

Fo.975 (4. 20) = 3,51/

Puesto que el valor de F que hemos obtenido con los datos no est comprendidoen el intervalo, se rechaza la Ha y podemos afirmar que el valor de exA es estadstica

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299Problemas generales

nrxx3. Rxx = -----'"'------1 + (n - 1)rxx0,84 = 1 150,73 '

2 X 0,73- - - -= 0,841 + 0,73

Habr un incremento del 15%.4. Primero es necesario calcular el coeficiente de validez para utilizar las ecuaciode regresin y pronosticar la puntuacin que obtendra en el criterio el sujeto quetest obtuvo un 4.

N 'iXY - I X ' i Yrxy = -V::.[=N=i=?=-='iX=)2=][=N=i=Y2=-=(I=Y)=-]

5 X 1 1 8 - 18 X 30- - .===========- = 0,94V[5 X 76 - 324][5 X 190 - 900]Sy - - 1 41Y'= r x y - ( X - X)+ Y = 0 , 9 4 - ' ( 4 - 3,60) + 6 = 6,35Sx 1.49

z = 6,35 - 6 = o 251.41 'PD = 50 + 1 O X 0,25 = 52,5 = 535. Desviacin tpica en el grupo ms homogneo = 1 49; la varianza = 2,22.

S ~ = 2,22

Desviacin tpica en el grupo ms heterogneo = 2,98; la varianza = 8,88.

6. El= 6 EF = 9Rxy = rxyJ1 - rxxn

s =(s,882,98 X 0,94

V8,88 X 0,942 + (1 - 0,942)2,22EF 9

n =-=-= 15El 6 '

+ rxx0,94- - ; = : , = = = = = = = = = = = = ~ = o'99J2__=._o 73 + o 731 5 '

= 0,98

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300Psicometra: problemas resueltos

7. El ndice de dificultad viene dado por la proporcin de aciertos. Para calcularel ndice de discriminacin, como tenemos una variable dicotmica (el tem) y unavariable continua (el test) se utiliza la correlacin biserial puntual.

A 2ID=-=-= O40T 5 '. . xp - xx ji 4 - 3,20 Mo,4oD1scr1. = rb p = Sx -q = -- = O 551,17 0,60 'Solucin 288Datos: Rvx = 0,80; X = 45; 5 ~ = 25; Zx = -1

y = 7; Sy = 2; rxy = 0,60; X = 50; Sx = 41. S. = Sx Y1 - Rxx = 5 Y1 - 0,64 = 32. 5_;(1 - Rxx) = s;(1 - rx); 25(1 - 0,64) = 16(1 - rx)

9 = 16 - 16rxx7rxx =- = 0,4416

Las letras en mayscula representan los datos del grupo de aspirantes, las mins-culas las del grupo seleccionado.3. P(Zs -1) = 0,1587Del total de aspirantes se eliminaron aquellos que obtuvieron una puntuacin

tpica igual o menor que -1 . Eso representa el 15% de la muestra que sobre los 1.500son 238 sujetos. Fueron seleccionados 1.500 - 238 = 1.262 sujetos.' d 1 . ' 1.262La razon e se ecc1on es: --- = 0,84.1.500

X -X4. Z = -1 = --.X = X - Sx = 45 - 5 = 40Sxf = 5 + 2 ( - 1 ) = 3

5 X 0,60Y25 X 0,36 + (1 - 0,36)16

3 3- - : : : .=== = -- = o68Y9 + 10,24 4,39 '

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301Problemas generales

6. Grupo de aspirantesCD = d = Rh = 0,682 = 0,46CA = K = V 1 - R ~ =

= V 1 - OA6 = o,73CVP = 1 - K = 1 - 0,73 = 0,27

Grupo seleccionadoCD = d = = 0,36

C A = K = ~ == V 1 - o,36 = o,8o

CVP = 1 - K = 1 - 0,80 = 0,20A mayor homogeneidad de la muestra (grupo seleccionado) menor ser el coefi-ciente de validez y, por lo tanto, menor el coeficiente de determinacin, mayor el coe-ficiente de alienacin y menor el de valor predictivo.7. Teniendo en cuenta que la media del test es 45 y la desviacin tpica S, para

ser seleccionado los sujetos tenan que haber obtenido una puntuacin igual o mayorque 40 (una desviacin tpica por debajo de la media). Por lo tanto el sujeto que obtuvo en el test una puntuacin de 38 no fue seleccionado.

Para saber si deba haber sido seleccionado es necesario hacer una estimacinacerca de su puntuacin verdadera. Para ello aplicamos el modelo de regresin :

V' = Rxx (X - X) + X = 0,64(38 - 45) + 45 = 40,52Debera haber sido seleccionado porque su puntuacin verdadera pronosticada es

de 40,52 y est por encima del punto de corte.Se podra haber calculado el intervalo confidencial al NC del 95% tal y comosugiere el enunciado del problema, pero dado que al hacer el pronstico el valor

obtenido ya es superior a 40, no es necesario.8. El sujeto del enunciado habr obtenido una puntuacin en el test igual a

45 + 5 = 50.NC 95% ~ Zc = 1,96Syx = SyY 1 - = 2 Y 1 - 0,36 = 1,60

S - - 2Y' = rxy _ Y (X - X) + Y = 0,60 - (50 - 50) + 7 = 7sx 4fm x = 1,96 X 1,60 = 3,147 ::+:: 3,143,86 :=:; y :=:; 1O,14

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302Psicometra: problemas resueltos

Solucin 289Datos: N = 3.000; test: n = 100; Rxx = 0,80; X= 65; Sx = 6

X ?:: 71 ; sx = 4; x = 80y = 7; Sy = 3; rxy = 0,76

1. Rxx = 0,80 Rxv = V0,8Q = 0,895;(1 - Rxx) = 5;(1 - rxJ; 36(1 - 0,80) = 16(1 - rxJ7,2 = 16 - 16rxx

8,8rxx = - - = 0,55 ~ rvx = 0,74162. De los 1 00 tems, los 25 primeros son de dos alternativas, los 40 siguientes detres y los ltimos 35 de cuatro alternativas:1. 0 20 - 5 = 15

102. 0 30-- = 25293. 0 26-- = 233

PD = 633. NC 95% ~ Zc = 1 96

se = 6 \11 - 0,80 = 2,68Svx = 2,68 V0,8Q = 2,41fmx = 2,41 X 1,96 = 4,72V' = Rxx(X- X) +X= 0,80(63 - 65) + 65 = 63,458,12 ::::; V::::; 68,12

4. r;Y = 0,762 = 0,5776 = 0,58Se puede predecir un 58% aproximadamente.

6 X 0,76- - - - - : . = ========= - = 0,868 = 0,87Y36 X 0,58 + 16 - 16 X 0,586. El tem 86 tiene 4 alternativas.Si no corrigieran los efectos del azar el ndice de dificultad sera 0,40 puesto que

es la proporcin de sujetos que acierta el elemento, pero corrigiendo los efectos delazar y utilizando frecuencias:

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EA - - - -K - 1 1 200 - 600ID = ---- - = = O20N 3.000 'Acertaron el tem 1.200, lo fallaron 1.800.7. X= 70

Sy - - 3Y'= rx y - (X - X)+ Y = 0,76-(70 - 80) + 7 = 1,30sx 41,3 - 7Zy = 3 = - 1,90;E = 5 + 2 Zy =5 - 3,8 = 1,2=1

Solucin 290Datos: N = 6; n = 4

303Problemas generales

I X = 16 I X2 = 48 I (X)2 = 246 I Y = 36 I Y2 = 226 I (Y) 2 = 1.296I XY = 96 I pq = 0,72 X = 2,67 X2 = 246 S ~ = 0,87 Sx = 0,93Y = 6 S ~ = 1,67 Sy = 1,29

4 ( 0,72)1. a = 3 1 - 0,87 = 0,23 l. fiabilidad = v'0,23 = 0,48La frmula de alfa de Cronbach con los tems que tenemos da el mismo resulta-

do que la KR20 .

2 X 0,23 = 0,37. Rxx = a2 = _ _ __.:____1,23te. 4gl = 2,776

t = (0,37 - 0,23)V6=2 = _0_2_8 = o 25-V-;::::4=(1= -==o=,3=7)=(1====o=2=3=)(=-=o=,3=6=-) 1 ,11 '

No hay diferencias significativas.

l . rxy = Y (6 X 48 - 256)(6 X 226 - 1.296)6 X 9 8 - 16,36 12- - = 0,2743,82

d = = 0,0729, .-- - -K= ~ = Y 1 - 0,0729 = 0,96

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304Psicometra: problemas resueltosEl coeficiente de validez es 0,27 . Con este valor hay un 7,29% de varianza comno asociada entre el test y el criterio o, lo que es lo mismo, a partir de la varianza delas puntuaciones de los sujetos en el test se puede predecir un 7% de la varianza delas puntuaciones en el criterio.La inseguridad que afecta a los pronsticos es del 96% y slo hay un 4% de seguridad en los mismos.4. Aadir al test cuatro elementos paralelos implica duplicar su longitud.

rxyYl 0,27VlRxy = = 0,34Y 1 + (2 - 1)rxx Y 1 + 0,235. X = 3 NC = 95% ~ Zc = 1,96

Y' = 0,27( 1'29 ) ( 3 - 2,67) + 6 = 6,130,87Syx = 1,29 Y 1 - 0,0729 = 1,24fm x = 1,24 X 1,96 = 2,436,13 ::!::: 2,43 = 3,7 y 8,563,7 :5 y ::; 8,65

a52 + (X - C) 26 K2 = - - - " x --=---- XV S + (X - C)2 0,23 X 0,87 + (2,67 - 2)2 = 0,65 = 0,490,87 + (2,67 - 2)2 1,32

Cuando el valor del punto de corte no coincide con la media, se verifica que Kes mayor que el coeficiente alfa. Un coeficiente como el que hemos obtenido indicaque la fiabilidad de las clasificaciones es una fiabilidad media .

7. ndice de dificultad = _i_ = 0,676ndice de discriminacin:2_ 0 = 4 2_ 0 2 =4 ' i (X - 0) = 12 ' i (X-0 )2=144 ' iO(X-0 ) = 9

6 X 9 - 4 X 12ro(x - o) = ----;.===========- = 0,61Y (6 X 4 - 16)(6 X 26 - 144)

El tem tiene un ndice de dificultad algo superior a la media y, por otra parte unndice de discriminacin medio alto. La correlacin ms adecuada sera la biserial puntual, aunque hay que tener en cuenta que esta correlacin no es ms que la correlacin de Pearson entre una variable continua y otra dicotmica.

8. X= 3 3 - 2,67Z = = 0,36 ~ Percentil ~ 64

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305Problemas generales

E = 5 + 2Zn = 5 + 2(0,36) = 5,2 ~ E = 69. El test no rene los requisitos necesarios para ser utilizado como un instrumento cientfico de medida, tanto el coeficiente de fiabilidad como el de validez sonmuy bajos, 0,23 y 0,27 respectivamente. Con estos valores el error de medida y lainseguridad que afectara a los pronsticos sera muy elevada. Convendra mejorar dealguna manera la fiabilidad. Dado que para calcular la fiabilidad se ha utilizado la fr-mula KR 20 , los resultados indican que la consistencia interna entre los elementos quecomponen el test no es muy alta, hay una baja homogeneidad entre los elementos,

lo que puede implicar que no todos midan la misma variable y en la misma cuanta.

Solucin 291Sujeto Pare. Imp. Total y X, y, XY X,1 X,2 x,x,

1 7 10 17 20 289 400 340 49 100 702 7 9 16 19 256 361 304 49 81 633 5 7 12 15 144 225 180 25 49 354 9 6 15 19 225 361 285 81 36 545 9 7 16 17 256 289 272 81 49 636 11 12 23 20 529 400 460 121 144 1327 8 10 18 18 324 324 324 64 100 808 10 9 19 21 361 441 399 100 81 909 12 13 25 22 625 484 550 144 169 156

10 5 6 11 12 121 144 132 25 36 302: 83 89 172 183 3.130 3.429 3.246 739 845 773X 17,2 18,3S, 17,16 8,01S 4,14 2,83

N'L X,X2 - 'LX,'LX21 rxx' = - Y r : [ = N = ' L = X = ~ = - = ( = L X = = = , ) =] = [ N = ' L = X = ~ = - = = = ( ' L = X = = ) 2 = - ]10X773 - 83X89--;:::===========- = 0,67

Y(1 o X 739 - 832)(1 o X 845 - (89 2)Dado que las dos mitades del test son paralelas se puede aplicar Spearman-Brownse puede calcular mediante las frmulas de Rulan y Guttman-Fianagan).

Rxx' = 12 X 0,67---'-- = 0,801 + 0,67

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306Psicometra: problemas resueltosCOMENTARIO: El test presenta una fiabilidad alta lo cual quiere decir que mide conuna precisin aceptable la agudeza visual en los nios de este estudio.2. rxy :S rxv por tanto el coeficiente de validez mximo ser VR:: = 0,89.

N 'iXY - 'iX 'i Y3. rxy = -================-Y[N'iX2 - (LX)2][N' i y - (' i Y) 2]

10 X 3 .246- 172 X 183-----;:.=============- = 0,84Y(1 o X 3 .130 - 1722)(1 o X 3.429 - 1832), Sy _ SY _Y = r x y -X + Y - rxy -X =

sx sx2 83 2 83= 0,84 - ' - X 1 6 + 18,3 - 0,84 -' X 17,2 = 17,614,14 4,14Syx = Sy Y1 - = 2,83 Y1 - (0,84)2 = 1,54Intervalo confidencial a a = 0,05Y' SyxZa = 17,61 1,54 X 1,96 ~ 17,61 + 3,02 = 20,63

17,61 - 3,02 = 14,60CoMENTARIO: El test presenta un coeficiente de validez alto que nos permite consi

derarlo un buen predictor de la agudeza visual valorada por el oftalmlogo.Este sujeto obtendra una puntuacin en el criterio comprendida entre 14,6 y20,63 (lmites del intervalo confidencial) con un nivel de confianza del 95%.

54. A = = 5a (2 - 1)

Pe = A - Aa = 15 - 5 = 1OCoMENTARIO: Teniendo en cuenta que el test consta de 26 elementos, este sujeto

tan solo alcanza una puntuacin de 1 O sobre los 26 que sobre 1 O sera un 3,8._o..:..., _0..:....(1_-_o_:_. _0_:_) = 2 250,80(1 - 0,90) '

EF EF2,25 = ; por tanto: 2,25 = - de donde:n.o tems inicial 26N. 0 de tems finales = 2,25 X 26 = 58,61 = 59tems que hay que aadir: 59 - 26 = 33

CoMENTARIO: Para incrementar la fiabilidad en O,1O, necesitaramos aadir 33 nuevos elementos paralelos, lo cual implica aumentar a ms del doble la longitud del

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6. z = X; - Xsx 23 - 17,2---- = 1404,14 'Percentil (Z < 1AO) = 91,92 = 92E = 5 + 2Z = 5 + 2 x 1AO = 7, 8 = 8

307Problemas generales

CoMENTARIO : Por debajo de este sujeto se encuentra el 92% de la muestra en lapuntuacin en agudeza visual. Lo cual quiere decir que este sujeto presenta una altaagudeza visual medida con este instrumento, conclusin que se extrae tambin delvalor del eneatipo.7. Porcentaje de varianza emprica del test debida a la varianza error:

( ~ = (1 - rxxl = (1 - 0,80) = 0,20Luego el porcentaje es 100 x 0,20 = 20%Porcentaje de la varianza del criterio no explicada por las puntuaciones en el test:CD = = 0,842 = 0,70% de varianza del criterio no explicada = 1 00(1 - CD) = 1 00(1 - OJO) = 30%COMENTARIO : El porcentaje de la varianza emprica que se debe a la va rianza de laspuntuaciones error no es excesivo.La varianza del criterio no explicada por el test es bastante baja por lo que pode-mos considerar que este test es un buen predictor de la agudeza visual.

Solucin 292

1. S = 0 , 6 7 S ~S ~ = S ~ + S = S ~ + 0 , 6 7 S ~ = 1 6 7 S ~S2 1~ = -- = O 59 = O 60 = rS ~ 1,67 ' ' xx'

A la vista de los resultados, se puede decir que este test presenta una fiabilidadaceptable, teniendo en cuenta que se trata de un test de poca longitud (n = 6 tems) .

2. rxx' =rxv = y;:;; = O, 77

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308Psicometra: problemas resueltos3. tems Dificultad

2 0,84 0,73 0,66 0,51 0,45 0,3

Como se puede apreciar, los tems del test presentan una gran variabilidad en dificultad, siendo el tem 2 el ms fcil y el tem 5 el ms difcil. Se trata de un test dedificultad intermedia, prxima a 0,50.Hay que tener en cuenta que cuando nos referimos al ndice de dificultad de untem en realidad estamos hablando de un tem de facilidad. Cuanto mayor es el valordel ndice de dificultad encontrado el tem es ms fcil.4. 253 = 2so + sazz = 0,060,06 = X - 3,3

1,61X= 3,39 = 3V' = 0,60 X 3 + (3,3 - 0,60 X 3,3) = 3,12

S. CD = d = = O, 17rxy = 0,41Rxy = 0,50n = (1 - r x x ) R ~ y

- R ~ / x x5 X 6 = 30tems finales = 30

(1 - 0,60)(0,50)2 O, 1=--=5O,17 - [(0,50)20,60] 0,02

Por lo tanto, tenemos que aadir 30 - 6 = 24 tems al test para obtener un coeficiente de validez de 0,5 con respecto al criterio.6. tems Varianza nj/n (nj/n)l

RN 6 2,61 O, 17 0,03CA 10 4 0,28 0,08AL 19 6 0,54 0,29

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309Problemas generales

20-12 ,61f3 = 20(1 - 0,41) = 0,626 ~ 0,63Teniendo en cuenta que la batera est formada por 35 tems, lo que implica una

se puede concluir que la fiabi lidad de la batera de apties baja, por lo que no mide con la precisin necesaria la aptitud