solusi pengayaan matematika - jejakseribupena.files.wordpress.com · cot tanx x a , maka nilai cot...
Post on 29-Mar-2019
235 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 16
April Pekan Ke-4, 2005
Nomor Soal: 151-160
151. Jika
π 2π1 sin cos
2005 2005tanπ 2π
cos sin2005 2005
x
, maka nilai x adalah ....
A. π
5 B.
π
401 C.
π
1002,5 D.
π
2005 E.
2π
2005
Solusi: [D]
π 2π1 sin cos
2005 2005tanπ 2π
cos sin2005 2005
x
2π π1 sin 1 2sin
2005 2005π π π
cos 2sin cos2005 2005 2005
π πsin 1 2sin
2005 2005
π πcos 1 2sin
2005 2005
πtan
2005
ππ
2005x k , dengan Bk
Jika 0k , maka π
2005x .
152. Jika cot tanx x a , maka nilai 2 2cot tan ....x x
A. 2 2a B. 2 1a C. 2a D. 2 1a E. 2 2a
Solusi: [E]
Kita mengetahui bahwa 22 2 2a b a b ab dan cot tan 1x x , sehingga
22 2cot tan cot tan 2cot tanx x x x x x
2 2a
153. Tiang bendera diletakkan di puncak gedung, sehingga puncak dan dasar tiang
terlihat oleh pengamat dengan sudut , dengan 5
1tan . Jika tinggi gedung
adalah 40 meter dan jarak pengamat ke dinding gedung adalah 50 meter,
tentukan panjang tiang bendera.
A. 21
1119 m B.
1118
21m C.
1116
21m D.
1110
21m E.
119
21m
Solusi: [A]
2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
Misalnya panjang tiang bendera adalah xCD .
50
40tan
x
50
40
tantan1
tantan x
50
40
40250
50200 x
50
40
210
250 x
125021840 x
41021 x
21
1119
21
410x
Jadi, panjang tiang bendera adalah 21
1119 m.
154. Titik-titik A, B, C, dan D terletak pada keliling lingkaran. AC adalah diameter
dan DBACBD . Jika 2CB dan 4AB , berapa panjang BD?
A. 4 3
B. 4 2
C. 3 3
D. 3 2
E. 2 3
Solusi: [D]
AC diameter , 90ABC , dan
45DBACBD .
Karena CAD dan CBD dan sama-
sama menghadap busur BC, maka
45CBDCAD
Menurut Teorema Pythagoras
22 ABBCAC 5242 22
A
B
C
D
2 4
A
B
C
D
A B
C
D
x
4
0 50
40 1
4050 540 1 50
150 5
x
3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
Misalnya BAC , sehingga nilai
AC
BCsin
52
2
5
1 .
AC
ADCAD cos
CADACAD cos 45cosAC
Menurut Aturan Sinus:
ABD
AD
BAD
BD
sinsin
45sin
45cos
45sin
ACBD
45sin52BD sin45coscos45sin52
2 2 2 1
2 52 25 5
5
2
2
352 23
155. Tentukan nilai eksak dari hasil kali 2 4
cos cos cos7 7 7
.
A. 1
2 B.
1
3 C.
1
8 D.
1
18 E.
1
21
Solusi: [C]
2 4cos cos cos
7 7 7
2 4
2sin cos cos cos7 7 7 7
2sin7
2 2 42sin cos cos
7 7 7
4sin7
4 42sin cos
7 7
8sin7
8sin
7
8sin7
sin7
8sin7
sin7
8sin7
1
8
156. Dalam ABC diketahui bahwa 3sin 4cos 6A B
dan 4sin 3cos 1B A .
Nilai 21 cot C adalah ....
A. 2 B. 3 C. 4 D. 3 3 E. 4 3
Solusi: [A]
6cos4sin3 BA
36cossin24cos16sin9 22 BABA .... (1)
1cos3sin4 AB
1sincos24cos9sin16 22 BAAB .... (2)
Jumlah persamaan (1) dan (2) menghasilkan
4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
37sincoscossin24cossin16cossin9 2222 BABABBAA
37sin2411619 BA
12sin24 BA
2
1
24
12sin BA
150atau30BA
30atau150C
Untuk 30A , maka 6cos4sin3 BA sehingga 64
2
3
Karenanya besar sudut C adalah 30 .
2
2 21 cot 1 cot 30 1 3 1 3 4C
157. Jika nilai minimum fungsi 4 4cos sin 2 1 cosf x x x k x adalah 2
1 ,
maka nilai k adalah ....
A. 2 3 B. 31 C. 2 D. 2 3 E. 32
Solusi: [D]
4 4cos sin 2 1 cosf x x x k x
2 2 2 2cos sin cos sin 2 1 cosf x x x x x k x
22cos 1 2 2 cosf x x k k x
2 2
2 cos 2 12 2
a af x x a
dan dengan mempertimbangkan kasus berikut.
Kasus 1:
Jika 2k , maka xf memberikan minimum 1 4k untuk 1cos x .
Kasus 2:
Jika 2k , maka xf memberikan minimum 1untuk 1cos x .
Kasus 3:
Jika 2 2k , maka xf memberikan minimum 2
2 12
kk untuk
cos2
kx .
Dalam dua kasus pertama minimum xf tidak dapat menjadi
2
1 .
Sehingga kita mempunyai
5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
2 12 1
2 2
kk
2 4 1 0k k
4 16 4
2k
2
324 32
Dalam interval 2,2 , kita memperoleh 2 3k .
158. Misalnya a, b, dan c adalah tiga bilangan berurutan dalam barisan geometri
yang menunjukkan panjang sisi-sisi di depan sudut A, B, dan C dari ABC .
Jika sin cos tan
sin cos tan
A A Cx
B B C
, maka penyelesaian nilai yang mungkin untuk x
adalah ....
A. 0x C. 5 1 5 1
2 2x
E.
5 1
2x
B. 5 1
02
x
D. 5 1
2x
Solusi: [B]
Misalnya rasio antara a, b, c adalah r, maka arb dan 2arc .
sin cos tan
sin cos tan
A A Cx
B B C
sinsin cos
cossin
sin coscos
CA A
CC
B BC
sin cos cos sin
sin cos cos sin
A C A C
B C B C
CB
CA
sin
sin A
B
πsin
πsin
A
B
sin
sin
b arr
a a
Di sini kita hanya memerlukan untuk menghitung interval (range) dari r.
Karena a, b, c adalah barisan geometri, panjang maksimum hanya a atau c.
Juga karena a, b, c adalah panjang tiga sisi segitiga, mereka memenuhi
hubungan cba dan acb .
Sehingga
aarar
arara2
2
01
012
2
rr
rr
1 5 5 1
2 2
5 1 5 1atau
2 2
r
r r
Jadi, interval (range) dari x atau r adalah 5 1 5 1
2 2r
atau
5 1 5 1
2 2x
.
159. Suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya 21, 28, dan 35. Di dalam
segitiga tersebut terdapat dua lingkaran yang saling bersinggungan dan kedua
6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
lingkaran juga menyinggung kaki dan hipotenusa segitiga tersebut. Tentukan
jari-jari lingkaran tersebut.
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 E. 5
Solusi: [E]
2tan1
2tan2
tan2 B
B
B
2
2 tan28 4 2
21 31 tan
2
B
B
2tan3
2tan22 2 BB
022
tan32
tan2 2 BB
022
tan12
tan2
BB
2
1
2tan
B(diterima) atau 2
2tan
B(ditolak)
BY
QYB
2tan
BY
r
2
1
rBY 2
2tan1
2tan2
tan2 A
A
A
2
2 tan21 3 2
28 41 tan
2
A
A
2tan8
2tan33 2 AA
032
tan82
tan3 2 AA
032
tan12
tan3
AA
3
1
2tan
A(diterima) atau 3
2tan
A(ditolak)
C B
Y
X
A
28
21
P
Q r
r
7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005
AX
PXA
2tan
AX
r
3
1
rAX 3
BXXYAXAB
35 3 2 2r r r
7 35r
5r
160. Dalam trapesium ABCD, / /AB CD , A adalah sudut siku-siku, 8AB ,
34AD , 24CD , dan titk E terletak pada AD sedemikian sehingga besar
AEB adalah setengah besar CED . Tentukan panjang AE .
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 E. 18
Solusi: [D]
Misalnya AEB dan 2CED . xAE dan xDE 17 .
8tan
x
24tan 2
34 x
2
2 tan 24
341 tan x
2
82
24
3481
x
x
x
2
16 24
3464
x
xx
2
2 3
3464
x
xx
2 268 2 3 192x x x 25 68 192 0x x
5 12 16 0x x
12
5x (ditolak) atau 16x (diterima)
Jadi, panjang AE adalah 16.
B
A
C
D
8
24
E
2
x
34 x
top related