robótica 02-08-2000 copyright 2000, jorge lagoa 1ª aula - Álgebra de boole
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RobóticaRobótica
1ª aula - Álgebra de Boole
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02-08-2000
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1. 2.
Robótica
Definição
Álgebra de boole é todo o terno
ordenado, constituído por um
conjunto A, com mais de um
elemento, e por duas operações:
adição (+) e multiplicação (·).
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1. 3.
Robótica
Propriedades1 - (A,+) e (A,.) São semigrupos comutativos, logo: Existência das operações
Comutatividade das operações
Associatividade das operações
Existência de elemento neutro
2 - distributividade entre operações
3 - existência de complementar
Onde é o complementar de .
dbacbaAA dcba : ,,
abbaabbaAba ,
cbacbacbacbaAcba :,,
aaaaAa 10
cabacba cabacba
01: aaaaAAaa
a a
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1. 4.
Robótica
TeoremasElemento neutro
Elemento absorvente
Idempotência
Involução
Complementar
Comutatividade
Distributividade
Leis de morgan
aaaaaa 1100
aaaaaa
01 aaaa
aa
abbaabba
babaababaa
babababa
000111 aaaa
abaaabaa
cabacbacabacba
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1. 5.
Robótica
Funções Booleanas
a b ba 0 0 00 1 11 0 11 1 1
a b ba0 0 00 1 01 0 01 1 1
a a0 11 0
Função E (AND) Função OU (OR)
Função NÃO (NOT)
Funções lógicas booleanas básicasFunções lógicas booleanas básicas
a a0 01 1
Função SIM (YES)
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1. 6.
Robótica
a b ba0 0 00 1 01 0 11 1 0
Função INIBIÇÃO
Função DILEMA ou OU EXCLUSIVO (XOR)
a b ba 0 0 00 1 11 0 11 1 0
a b ba0 0 10 1 11 0 11 1 0
Função NÃO E (NAND)
Função NÃO OU (NOR)
a b ba0 0 10 1 01 0 01 1 0
Funções lógicas booleanas derivadasFunções lógicas booleanas derivadas
Função IMPLICAÇÃO
a b ba0 0 10 1 01 0 11 1 1
Função EQUIVALÊNCIA (THRESHOLD OPERATION)
a b
baba
0 0 00 1 11 0 11 1 0
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1. 7.
Robótica
Funções Lógicas
Af
F
B
Bn
0
1
Aplicação de Bn em B
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1. 8.
Robótica
100101110111
F
BB3
0
1
Aplicação de B3 em B
000001010011
Para B3 existirão 8 elementos diferentes.
Fazendo uma representação de F em extensão:
Representando os elementos pelas variáveis x2, x1, x0, tem-se para a função característica:
2xF
1111 ,110 ,101 ,100 F
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1. 9.
Robótica
Representação Analítica 1ª forma canónica
2ª forma canónica
3ª forma canónica
4ª forma canónica
12
10
n
iFi
imF
12
00
n
iFi
imF
12
10
n
iFi
imF
12
00
n
iFi
imF
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1. 10.
Robótica
Seja a função definida em B3, de acordo com a seguinte tabela de verdade:
nº ordem x2 x1 x0 F0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 14 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 1 0
5
Logo: 1101 ,011 ,010 F
0111 ,110 ,100 ,001 ,000 F
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1. 11.
Robótica
1ª Forma canónica (levantamento pelos 1’s)
2ª Forma canónica (levantamento pelos 0’s)
3ª Forma canónica (função NAND)
4ª Forma canónica (função NOR)
012012012 xxxxxxxxx F
012012012012012 xxxxxxxxxxxxxxx F
012012012012012 xxxxxxxxxxxxxxx F
012012012 xxxxxxxxx F
xxxxxxxxx 012012012 F
012012012012012 xxxxxxxxxxxxxxx F
012012012012012 xxxxxxxxxxxxxxx F
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1. 12.
Robótica
Para a tabela anterior:
F tem valor 1 nos pontos 2, 3, 5 e tem valor 0 em todos os restantes pontos de B3. É usual não escrever os pontos de valor 0.
Representação Numérica As coordenadas de um ponto de bn escritas, sem
parêntesis ou virgulas, resulta numa sequência ordenada de zeros e uns que pode ser lida como um número de base 2.
O ponto será referenciado numericamente pelo número decimal correspondente ao valor binário.
01
3 7 ,6 ,4 ,1 ,05 ,3 ,2BF
6202121200110 012310
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1. 13.
Robótica
Representação Geométrica Em B1
Em B2
Em B3
01
Valores lógicos
x0
x0
x1
0
0
0
1
1
1x0
x2
x1
2
2
3
3
4 56
7
(00) (01)
(10) (11)
(000) (001)
(010) (011)
(100)(101)
(110) (111)
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1. 14.
Robótica
Representação TabularMapa de Karnaugh: 2 variáveis
3 variáveis
4 variáveis
5 variáveis
01 1x
0021130x
0 0 1 1 2x
0 1 1 0 1x
0 0 2 6 41 1 3 7 50x
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 0 4 12 80 1 1 5 13 91 1 3 7 15 111 0 2 6 14 10
1x 0
x
0x4 0 0 1 1 3
x0 1 1 0 2
x0 0 0 4 12 80 1 1 5 13 91 1 3 7 15 111 0 2 6 14 10
1x 0
x
1x4 0 0 1 1 3
x0 1 1 0 2
x0 0 16 20 28 240 1 17 21 29 251 1 19 23 31 271 0 18 22 30 26
1x 0
x
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1. 15.
Robótica
01 1x
0111010x
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 1 0 d 10 1 d d 0 d1 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1
1x 0
x
1
2 3 ,2 ,0BF
d
BF 21 ,9 ,5 ,101 ,8 ,7 ,3 ,2 ,01
4
Em algumas situações não interessa definir valor para um ponto, será o projectista a escolher o valor que mais lhe aprover.
Iremos usar a letra d de d’ont care (tanto faz).
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1. 16.
Robótica
Simplificação De Funções AnaliticamenteAnaliticamente
1
4 21 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,0BF
01230123
012301230123
012301230123
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
F
1232301 xxxxxxx F
232301 xxxxxx F
Por utilização das propriedades e teoremas obtém-se:
ou ainda:
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1. 17.
Robótica
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 0 01 0 0 1 0 0
1x 0
x
Mapa de karnaughMapa de karnaugh
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 0 01 0 0 1 0 0
1x 0
x
Levantamento pelos 1’s: Levantamento pelos 0’s:
F
1213023023 xxxxxxxxxx F
01 xx 23 xx 123 xxx F023 xxx 023 xxx
13 xx 12 xx
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1. 18.
Robótica
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 0 0 d 00 1 0 1 0 01 1 1 1 d 11 0 d 0 d 1
1x 0
x
0 0 1 1 3x
0 1 1 0 2x
0 0 0 0 d 00 1 0 1 0 01 1 1 1 d 11 0 d 0 d 1
1x 0
x
Estados d’ont care (tanto faz)
Levantamento pelos 1’s: Levantamento pelos 0’s:
F
120213 xxxxxx F
12 xx 023 xxx F 13 xx 02 xx 12 xx
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1. 19.
Robótica
Bibliografia Folhas das Cadeiras de Automação Industrial:
Mestrado em Engenharia Mecânica - IST (1995/96)
Rui Loureiro
Licenciatura em Engenharia Mecânica - IST (1990)
Caldas Pinto
Método Sequencial para Automação Electropneumática
Fundação Calouste Gulbenkian (Agosto 1983)
José Novais
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