Algebras de Boole

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<p>ALGEBRA DE BOOLE</p> <p>Algebra Algebra de Boole: de Boole:Definicin Definicin Algunas Algunas Observaciones Observaciones Propiedad Dn Propiedad Ejemplos Ejemplos Sublgebras Sublgebras</p> <p>Algebra de Boole Homomorfismo Algebra de Boole Homomorfismo Trivial Ejemplos Trivial Ejemplos Proposicin Proposicin Propiedades Propiedades Ejercicios Ejercicios</p> <p>Definicin:B es un lgebra de Boole si B es una red distributiva y complementada. Podemos decir que un conjunto parcialmente ordenado en el cual dos elementos cualesquiera tienen una nica cota superior mnima y una nica cota inferior mxima, complementado y distributivo se conoce como lgebra de Boole.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Algunas ObservacionesEl conjunto B est ordenado. El primer elemento de B es . El ltimo elemento de B es . Mnima cota superior m.c.s {a,b} = a b B Mxima cota inferior m.c.i {a,b} = a b B (B; es un lgebra de Boole si y slo si cumple las siguientes ; ) propiedades: 1. B B; B B : : 2. a B, b B: a b = b a , a b = b a 3. a B, b B, c B: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 4. B tal que a B: a = a B tal que a B: a = a 5. a B, a B tal que a = a a = a</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Algebra de Boole Trivial({0, 1}; cuyas tablas de operaciones son las ; ) siguientes:0 1</p> <p>0 0 0</p> <p>1 0 1</p> <p>0 1</p> <p>0 0 1</p> <p>1 1 1</p> <p>Es el lgebra de Boole trivial con el siguiente Diagrama de Hasse: 1</p> <p>0Algebra de Boole</p> <p>Proposicin:En un lgebra de Boole (B; se satisfacen las ; ) siguientes propiedades: Los elementos 0 B y 1B son nicos. Todo elemento tiene un nico complemento. Todo elemento es idempotente, es decir, a B a a = a , a a = a Los elementos _ neutros se complementan mutuamente es decir que: 1 B = B 0 B =1B</p> <p>0</p> <p>SigueAlgebra de Boole</p> <p>Proposicin:Todo elemento es involutivo, es decir a =a El elemento neutro para ( 1B ) es absorbente para la es decir que a B: a 1B 1B ; = Anlogamente, a B: a 0B 0B ; es decir, por el = principio de dualidad, resulta que el elemento neutro para es absorbente para la . Leyes de De Morgan: a B, b B: (a b) = a b a B, b B: (a b) = a b La distributividad garantiza que los elementos slo pueden tener un nico complemento.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Propiedad: DnSea n N, n 2. Entonces la red distributiva: = { x N, tal que x | n } con la relacin divide a es un lgebra de Boole si y slo si n = p p con ai {0, 1} i = 1, r , pi es un nmero primo i = 1, r donde pi pj si i j, i = 1, r.1 1 ... r r</p> <p>Es decir la red distributiva alcanzar la estructura de lgebra de Boole si y solamente si el nmero n se puede expresar como un producto de primos distintos.</p> <p>Ejemplos Algebra de Boole</p> <p>Ejemplo 1:D10 = {x tales que x | 10}, con a es un Algebra de Boole. Su diagrama de Hasse es el siguiente:10</p> <p>b a | b</p> <p>2</p> <p>5</p> <p>1</p> <p>Tomemos los tomos para generar los nmeros x = 2a . 5b , y = 2c . 5d con a, b, c, d {0, 1}SigueAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo 1:Entonces operemos x e y con y para ver si cumplen con las propiedades: a) Veamos si son operaciones cerradas : x y = 2a c . 5b d D10 x y = 2a c . 5b d D10 Por lo tanto e son operaciones cerradas en D10 b) Comprobemos ahora si son conmutativas: x y = 2a c . 5b d = 2c a . 5d b por conmutatividad del = y x x y = 2a c . 5b d = 2c a . 5d b por conmutatividad del = y x Por lo tanto e son operaciones conmutativas en D10Algebra de Boole</p> <p>Sigue</p> <p>Ejemplo 1:c) Probemos la distributividad de ambas operaciones: Sea z = x = 2e . 5f , con e y f {0, 1} x (y z) = 2a . 5b ( 2c . 5d 2e . 5f) reemplazando los valores de x, y, z = 2a (c e) . 5b (d f) = 2(a c) (a e) . 5(b d) (b f) = (x y) (x z)</p> <p>Esto verifica la distributividad de respecto de y por lo tanto de respecto de , es decir x D10 , y D10 , z D10 , se cumple que: x (y z) = (x y) (x z)</p> <p>SigueAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo 1:d) Encontremos el y el Se cumple que x D10 : 1 x = 1 (2a . 5b) Recordemos para justificar el siguiente paso que al elevar a la 0 cualquier base no nula obtenemos 1. = 2(0 a) . 5(0 b) = 2a . 5b =x por lo tanto el primer elemento de D10 es 1</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Sigue</p> <p>Ejemplo 1:Se cumple que x D10 : 10 x =10 (2a . 5b) = 2 . 5 (2a . 5b) = 21 a . 51 b = 2a . 5b =x de D10 es 10</p> <p>por lo tanto el ltimo elemento</p> <p>SigueAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo 1:e) Encontremos los complementos Sea x D10 con x = 2 a . 5 b y sea y D10 con y = 21 a . 51 b Entonces x y = 2 a . 5 b 2 1 a . 5 1 b = 2 a (1 a) . 5 b (1 b) = 2 (a a) 1 . 5 (b b) 1 = 2 01 . 5 01 = 2 0. 5 0 = 1. 1 =1</p> <p>SigueAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo 1:Adems: x y = 2 a . 5 b 21 a . 51 b = 2 a (1 a) . 5 b (1 b) = 2 (a 1) (a a) . 5 (b 1) (b b) = 2 1 1 . 5 1 1 = 2 1. 5 1 10 = 1 = 10 1 =10 Con lo cual y = X2 =5 5 =2</p> <p>OtroAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo</p> <p>Ejemplo 2:D28 = { x tales que x | 28 }, con a b a | b NO es un Algebra de Boole. Su diagrama de Hasse es el siguiente:No es complementada pues: 28 = 11 = 28 7= 4</p> <p>Pero no existen 2 ni 1 4 4= 7 Como D28 no es una red complementada ya que hay dos elementos que no tienen complemento no es lgebra de Boole.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Sublgebras:Sea B un lgebra de Boole. Sea A B. A es un sublgebra de B si (A; /A) es un lgebra de Boole. De sta definicin podemos decir que: /A = orden restringido a A. Si B es un lgebra de Boole y A es una sublgebra entonces A verifica: a A a A Ejemplo a A, b A a b A a A, b A a b A 0B A 1B AAlgebra de Boole</p> <p>Ejemplo de Sublgebra:( D42 = { x tal que x | 42 }; ) con a b a | b es un lgebra de Boole. Su diagrama de Hasse es el siguiente:42 6 2 14 3 21 7</p> <p>1</p> <p>Tomemos el conjunto A1 = {1, 42} y probemos que es sublgebra. El diagrama de Hasse es el siguiente:4 2 1</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Ejemplo de Sublgebra:i) Analicemos los complementos:__ 42 = 1_ 1 = 42</p> <p>Verifica que si a A1 a A1 ii) a A1 , b A1 a b A1 Como a b = [a; b] se obtiene: 1 1 = [1; 1] = 1 A1 42 1 = [42; 1] = 1 42 = [1; 42] = 42 A1 42 42 = [42; 42] = 42 A1</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Ejemplo de Sublgebra:iii) a A1 , b A1 a b A1 Como a b = (a; b) se obtiene: A1 1 1 = (1; 1) = 1 42 1 = (42; 1) = 1 42 = (1; 42) = 1 A1 42 42 = (42; 42) = 42 A1</p> <p>iv) Como</p> <p>o A1 = 1 A</p> <p>1</p> <p>y</p> <p>1 A= 42 A1 1</p> <p>Queda probado que es Sublgebra.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Homomorfismos:Sean (A; y (B; dos lgebras de Boole. ; ) ; ) Una funcin f: A B se dice homomorfismo si verifica las siguientes condiciones: a A: f(a)=f(a) Ejemplo (a a A, b A:f (a b ) = f ) f(b ) a A, bA :f ( a b ) = f ( a ) f (b )_</p> <p>f(0A) = 0Bf(1A ) = 1BIsomorfismo</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Ejemplo Homomorfismo:EnD10 se verifica que : EnD21 se verifica que:1 = 10 10 = 1_ __</p> <p>2=5 5 =21 = 21 21 = 1_ __</p> <p>_</p> <p>__</p> <p>3=7 7 =3</p> <p>_</p> <p>__</p> <p>Definimos la siguiente funcin f : D10 D21 tal que : f(1) = 1 f(2) = 3 f(5) = 7 f(10) = 21 y probaremos que es un homomorfismo.Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Ejemplo Homomorfismo:Como:f(2) = f(5) = 7</p> <p>f(2) = 3 = 7f(5) = f(2) = 3</p> <p>de ac inferimos que f(2)= f(2)</p> <p>f(5)=7=3</p> <p>de ac inferimos que f(5) = f(5)</p> <p>f(1 ) = f(1 0 ) = 2 1</p> <p>f(1) = 1 = 21 de ac inferimos que f(1) = f(1)Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Ejemplo Homomorfismo:f(10) = f(1) = 1</p> <p>f(10) = 21 = 1</p> <p>De ac inferimos que f(10) = f(10) Por lo tanto, se verifica el primer punto de la definicin de homomorfismos de lgebras de Boole. De manera similar se prueban los restantes puntos.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Isomorfismo:Si f: A B es homomorfismo biyectivo f se dice isomorfismo y en ese caso las lgebras de Boole A y B son isomorfas y se indica A B. Es decir que dos lgebras de Boole son isomorfas si son la misma lgebra con distintos nombres para los elementos. Observaciones:Un lgebra de Boole es sin tomos si no tiene tomos. Si f: A B es isomorfismo de lgebras de Boole y a A es tomo de A entonces f(a) es un tomo en B.Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Isomorfismos:Teorema:Toda lgebra de Boole finita es isomorfa al conjunto de partes de sus tomos, por lo tanto debe n tener la misma cantidad de elementos que son 2</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Isomorfismos:Teorema:Sea (A; un lgebra booleana finita y A el conjunto de ; ) tomos. Entonces (A; es isomorfo al sistema ; ) algebraico definido por la red (P(A);). Recordemos que (P(A);) es una red complementada que es la red (P(A);;) que es un lgebra de Boole. La importancia de esta propiedad es que existe un lgebra booleana nica y finita de 2n elementos para cualquier entero n &gt; 0. Adems, no existen otras lgebras booleanas finitas. Esto indica que si B es un lgebra de Boole finita necesariamente tiene 2n elementos.Algebra de Boole</p> <p>Ms</p> <p>Observaciones:Toda lgebra de Boole finita tiene tomos. Si B es un lgebra de Boole finita, existe n tal que |B| = 2n Si A y B son dos lgebras de Boole finitas de igual cardinal entonces son isomorfas.</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Ejemplo Isomorfismo:Como los tomos deD 3 0 son {2,3,5} y los de D7 0 son{2, 5, 7} alguna de las posibilidades para que f:D 3 0 D7 0 sea Isomorfismo es: 25 32 57 Se prueba fcilmente que f es biyectiva y resulta entonces: las lgebras de Boole son isomorfas y se indica D 30 D70 Ahora construyamos f: D 3 0 f(2) = 10 , f(30) = 70 f(3) = 14 , f(1) = 1 f(5) = 7 , f(10) = 2 f(15) = 35 , f(6) = 5Algebra de Boole</p> <p>D7 0de forma que:</p> <p>Ms</p> <p>Ejemplo Isomorfismo:Es biyectiva pero no es homomorfismo (es decir no puede ser isomorfismo), dado que: a = 2 D30 tal que a es tomo deD30 y f(a) = 10 D70 pero 10 no es tomo de D70 ,entonces no respeta la estructura ordenada La siguiente proposicin formaliza todo lo que estuvimos trabajando:</p> <p>Si (B; es un lgebra de Boole finita y A es el ; ) conjunto de tomos de B, entonces B (A).Algebra de Boole</p> <p>Ejercicios</p> <p>Complejidad Baja</p> <p>Complejidad Alta</p> <p>Algebra de Boole</p> <p>Complejidad Baja</p> <p>1. Es D2 8 = { x tales que x | 28 }, con a b a | b un Algebra de Boole?</p> <p>Ejercicios</p> <p>Complejidad Alta 1. En un lttice distributivo, si un elemento posee un complemento entonces este complemento es nico. 2. Todo elemento es idempotente, es decir, a B a a = a (a a = a)</p> <p>Ejercicios</p> <p>Complejidad Baja Respuestas1. Es D2 8 = { x tales que x | 28 }, con a b a | b un Algebra de Boole? NO es un Algebra de Boole. Su diagrama de Hasse es el siguiente:2 8 4 2 1 4 7</p> <p>1</p> <p>No es complementada pues: 28 = 1 1 = 28 7 = 4 4 = 7 Pero no existen 2 ni 14Ejercicios</p> <p>Complejidad Alta Respuestas1. En un lttice distributivo, si un elemento posee un complemento entonces este complemento es nico. Demostracin: Supongamos que un elemento a posee dos complementos b y c. Lo que escribimos: a b = 1 a b = 0 a c = 1 a c = 0 Sabemos que: b = b 1 = b (a c) reemplazando a c = 1 = (b a) (b c) por propiedad distributiva = 0 (b c) reemplazando a b = 0 = (a c) (b c) reemplazando a b = 0 = (a b) (c c) por propiedad distributiva = (a b) c reemplazando c c = c = 1 c reemplazando a b = 1 = cEjercicios</p> <p>Complejidad Alta Respuestas2. Todo elemento es idempotente, es decir, a B a a = a (a a = a) Demostracin: a = a 0B es el elemento neutro para = a (a a) Definicin de complemento. = (a a) (a a) Propiedad Distributiva = (a a) 1B Definicin de complemento. = a a elemento neutro para Por principio de dualidad: a a = a.</p> <p>Ejercicios</p>