reliability analysis in engineering applications · sannolikhet är ett tal som beskriver chansen...

Structural Engineering - Lund University 1

Reliability analysis in engineering applications

• Sannolikhetsteorins grunder• Fördelningar och stokastiska variabler• Extremvärdesfördelningar• Simulering

Fredrik Carlsson

Structural Engineering - Lund University 2

Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER

Låt oss tänka oss ett kast med en tärning!

Utfallsrum (sample space): S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Utfall (sample point): Ett utfall, s i utfalls rummet S, s Є S, tex. s=2

Händelse (event): En händelse, A är en delmängd av utfallsrummet. tex. A>4

Structural Engineering - Lund University 3

Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER

Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar.

Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå en sexa?

P(Att med en tärning slå en sexa)=P(A)=1/6

Tex. vad är sannolikheten, P att med en tärning slåmer än 4?

P( A>4)=2/6=1/3

Structural Engineering - Lund University 4

Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram

Utfallsrummet Grundmängden

Händelsen A; A inträffar

Delmängden, A

Komplementära händelsen Ac till

A; A inträffar inte

KomplementetAc till A

A

AcA

Structural Engineering - Lund University 5

Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram

Unionshändelsen A U B; A eller B

eller båda inträffarUnionen A U B

Snitthändelsen A ∩ B; både A och B inträffar

A och B är oförenliga

händelser, A och B kan inte

inträffa samtidigt

A och B är disjunkta (Mutually

excluding)

A B

Snittet A ∩ B; A B

BA

Structural Engineering - Lund University 6

Sannolikhetsteorins grunder

Mer om sannolikhet:

Låt A vara en händelse i utfallsrummet S.

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(S) = 1A s

Structural Engineering - Lund University 7

Sannolikhetsteorins grunder

AB

Betrakta två disjunkta händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.

P(A U B)=P(A)+P(B)

Det innebär att: A ∩ B = Ø

Ø är den tomma mängden (omöjlig händelse P(A ∩ B) = 0

Structural Engineering - Lund University 8

Sannolikhetsteorins grunderBetrakta två händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.

P(A U B)=P(A)+P(B)- P(A ∩ B)

A B

Structural Engineering - Lund University 9

Sannolikhetsteorins grunderOberoende och beroende händelser

A och B är oberoende om:P(A ∩ B) =P(A)*P(B)

P(A ∩ B) ≠P(A)*P(B)

A och B är beroende om:

Structural Engineering - Lund University 10

Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning

Är A och B oberoende?

A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}

B = { Att slå en 2 eller 3 } = { 2, 3}

Structural Engineering - Lund University 11

Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning

Är A och B oberoende om P(1,3,4,5,6)=0,15 och P(2)=0,25?

A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}

B = {Att slå en 2 eller 3} = {2, 3}

Structural Engineering - Lund University 12

Sannolikhetsteorins grunderExempel: Räddningsstation

Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en

speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande

sannolikheter?

P(Ett larm under måndagen)

P(Ett larm på måndagen och tisdagen)

P(Exakt ett larm under veckan)

P (Exakt tre larm under veckan)

Structural Engineering - Lund University 13

Sannolikhetsteorins grunderMöjlighet: MÅN TIS ONS TORS FRE LÖR SÖN

1 1 2 32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 36 1 2 37 1 2 38 1 2 39 1 2 310 1 2 311 1 2 312 1 2 313 1 2 314 1 2 315 1 2 316 1 2 317 1 2 318 1 2 319 1 2 320 1 2 321 1 2 322 1 2 323 1 2 324 1 2 325 1 2 326 1 2 327 1 2 328 1 2 329 1 2 330 1 2 331 1 2 332 1 2 333 1 2 334 1 2 335 1 2 3

P (Exakt tre larm under veckan)

Structural Engineering - Lund University 14

Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen

Låt oss anta att vi gör ett n antal oberoende försök. Varje försök har sannolikheten p att

lyckas. En viktig frågeställning är, vad är sannolikheten att lyckas med P(K=k) försök av n

gjorda försök.

Structural Engineering - Lund University 15

Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen

( ) knkk pp

kn

pkKP −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 1)(

)!(!!

knkn

kn

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n: antal försökp: sannolikheten att lyckask: antalet lyckade försökP(K=k): sannolikheten för k lyckade försök

Structural Engineering - Lund University 16

Sannolikhetsteorins grunderFortsättning: Räddningsstationen

Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en

speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande

sannolikheter?

P(Exakt ett larm under veckan)

P (Exakt tre larm under veckan)

Structural Engineering - Lund University 17

Sannolikhetsteorins grunderBetingad sannolikhet:

Låt oss betrakta två händelser: A och B

Sannolikheten att B inträffar givet att A har

inträffat betecknas P(B|A)

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Structural Engineering - Lund University 18

Sannolikhetsteorins grunderExempel: Betingad sannolikhet.

Penna: 1 2 3 4 5 6 7 8

Färg: R R R S S S S S

Hårdhet: H H M H H H M M

A={Röd penna väljes}

B={Det är en hård penna}

Structural Engineering - Lund University 19

Sannolikhetsteorins grunderPenna: 1 2 3 4 5 6 7 8

Färg: R R R S S S S S

Hårdhet: H H M H H H M M

P(A)=3/8

P(B)=5/8

Vad är sannolikheten att välja en röd hård penna P(A∩B)?

Vad är sannolikheten att välja en hård penna givet att den är röd P(B|A)?

Structural Engineering - Lund University 20

Sannolikhetsteorins grunderOm A och B är oberoende händelser:

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(P(A)*P(B))/P(A)=P(B)

Kunskapen om sannolikheten att A inträffar påverkar inte sannolikheten att B inträffar

Structural Engineering - Lund University 21

Sannolikhetsteorins grunderKast med en tärning, där N är antalet prickar:

Vad är sannolikheten att N<3 då vi vet att N är udda?

Structural Engineering - Lund University 22

Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet

S

A1

A2 A4

A3

A1……A4 är partitioner av S, dvs.

P(A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A4)=1

Structural Engineering - Lund University 23

Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet

S

A1

A2 A4

A3

B

P(B)=P(BIA1)P(A1)+ P(BIA2)P(A2)+ P(BIA3)P(A3)+ P(BIA4)P(A4)

Structural Engineering - Lund University 24

Sannolikhetsteorins grunderBestäm sannolikheten för händelsen B, att ett elavbrott

sker under en dag.

Under ett normalår stormar det 20 dagar och det är åska 2 dagar.

Från tidigare erfarenheter vet man att sannolikheten för elavbrott vid storm är 0,1, vid

åska 0,2 och en vanlig dag 0,01.