relajación y procesamiento híbrido de restricciones diferentes técnicas de relajación algunas...

Relajación Relajación y y

Procesamiento híbrido de Procesamiento híbrido de restriccionesrestricciones

Diferentes técnicas de relajaciónDiferentes técnicas de relajación

Algunas técnicas híbridas popularesAlgunas técnicas híbridas populares

RelajaciónRelajación

Consistencia de nodoConsistencia de nodo

Forward checkForward check

Lookahead checkLookahead check

AC1AC1

AC3AC3

Path-consistencyPath-consistency

3

EjemploEjemplo

4 familias 4 familias AA, , BB, , CC y y DD viven unas junto a otras en viven unas junto a otras en casas numeradas casas numeradas 11, , 22, , 33 y y 44.. DD vive en una casa vive en una casa con número más bajocon número más bajo que que BB,, BB vive vive al lado deal lado de AA en una casa en una casa con número con número

mayormayor,, Hay Hay al menos una casa entreal menos una casa entre BB yy CC,, DD no viveno vive en la casa con número en la casa con número 22,, CC no viveno vive en la casa con número en la casa con número 44..

¿Cuál familia vive en cuál casa ?¿Cuál familia vive en cuál casa ?

El enigma de las 4 casas:El enigma de las 4 casas:

4

Representación:Representación:

Las variables: Las variables: AA, , BB, , CC y y DD Los dominios: dLos dominios: dAA = d = dBB = d = dCC = d = dDD = { = { 11, , 22, , 33, , 44}}

Restricciones:Restricciones: unaria:unaria: r(r(CC) =) = CC 4 4 r(r(DD) =) = DD 22 binaria:binaria:

r(r(AA,,BB) =) = BB == A A + 1+ 1

r(r(BB,,DD) =) = DD BB r(r(BB,,CC) = |) = |BB -- CC| | 1 1

r(r(AA,,CC) =) = A A C C r(r(AA,,DD) = ) = A A DD r(r(CC,,DD) = ) = C C DD

5

Consistencia de nodos:Consistencia de nodos:

Las restricciones unarias son eliminadas por Las restricciones unarias son eliminadas por reducción del dominio:reducción del dominio:

O: consistencia-1O: consistencia-1 (solo 1 variable involucrada)(solo 1 variable involucrada)

r(r(CC) =) = CC 4 4

r(r(DD) =) = DD 22

ddCC = { = { 11, , 22, , 33}}

ddDD = { = { 11, , 33,, 4 4}}

6

Red de restricciones:Red de restricciones:

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

Relajación débilRelajación débil

Forward CheckForward Check

Lookahead CheckLookahead Check

8

Forward Check:Forward Check: Asuma que fijamos el valor de 1 variable Asuma que fijamos el valor de 1 variable zizi: : zizi = = aa

Forward Check(Forward Check(zizi) = ) = activar cada restricción r(activar cada restricción r(zizi, , zjzj) o r() o r(zjzj, , zizi) una vez ) una vez

para remover los valores inconsistentes con para remover los valores inconsistentes con zizi = = aa

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{2} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

Nuestro ejemploNuestro ejemplo: asumir : asumir AA = = 22 : :

9

Forward check: Forward check: consistencia débilconsistencia débil

Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valorRequiere que 1 variable ya haya obtenido un valor sugiere el uso en combinación con backtracking sugiere el uso en combinación con backtracking

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{2} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

No produce un No produce un estado consistenteestado consistente no se realiza toda la relajaciónno se realiza toda la relajación

Look ahead checkLook ahead check

Método de relajación más fuerte (débil)Método de relajación más fuerte (débil)

11

Look ahead Check:Look ahead Check: Look Ahead Check = Look Ahead Check =

activar cada restricción r(activar cada restricción r(zizi, , zjzj) exactamente ) exactamente una vez para remover los valores una vez para remover los valores inconsistentes de los dominios inconsistentes de los dominios DiDi y y DjDj..

Nuestro ejemploNuestro ejemplo::

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

12

Ejemplo (continuac.):Ejemplo (continuac.):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

Las otras 3 restriccionesLas otras 3 restricciones::

13

Look ahead: resultados finales:Look ahead: resultados finales:

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D B

A D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Aun no produce un Aun no produce un estado consistenteestado consistente no se realiza toda la relajaciónno se realiza toda la relajación

El resultado puede depender del orden en el cual se procesan las restricciones. El resultado puede depender del orden en el cual se procesan las restricciones. La remoción de algunos valores inicialmente puede permitir hallar otros La remoción de algunos valores inicialmente puede permitir hallar otros

inconsistentes.inconsistentes.

Técnicas de consistencia de arcoTécnicas de consistencia de arco

Técnicas que reducen los dominios a Técnicas que reducen los dominios a estados consistentes para cada restricción estados consistentes para cada restricción

(o arco).(o arco).

También llamadasTambién llamadas: técnicas consistencia-2: técnicas consistencia-2

15

AC 1 (Mackworth)AC 1 (Mackworth)AC1:AC1:

RepeatRepeat

Look ahead checkLook ahead check;; IfIf algún valor fue removido de algún valor fue removido de algún dominio algún dominio thenthen

Ocurrió_borradoOcurrió_borrado := verdad:= verdad

UntilUntil (not(not Ocurrió_borradoOcurrió_borrado))

Fuerza a que Look ahead alcance un Fuerza a que Look ahead alcance un estado consistenteestado consistente por reactivación de Look ahead hasta consistenciapor reactivación de Look ahead hasta consistencia

Ocurrió_borradoOcurrió_borrado := falso ;:= falso ;

16

El ejemplo (1):El ejemplo (1):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

Primera pasada (== Look ahead check):Primera pasada (== Look ahead check):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Ocurrió_borradoOcurrió_borrado := verdad:= verdad

17

El ejemplo (2):El ejemplo (2): Segunda pasada:Segunda pasada:

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Ocurrió_borradoOcurrió_borrado := verdad:= verdad

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}

18

El ejemplo (3):El ejemplo (3): Tercera pasada:Tercera pasada:

Ocurrió_borradoOcurrió_borrado := falso:= falso

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}

ResultadoResultado: : AA ( (2 o 32 o 3) , ) , BB ( (3 o 43 o 4), ), CC ( (1 o 21 o 2), ), DD ( (1 o 31 o 3))

Consistente, pero ¡¡ NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!Consistente, pero ¡¡ NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!

19

AC-3 (Mackworth)AC-3 (Mackworth)Consistencia de arco más Consistencia de arco más

eficiente:eficiente:AC3:AC3:

Remover Remover r(r(xx,,yy)) de de COLACOLA;;

End-WhileEnd-While

COLACOLA := {todas las restricciones en el problema}:= {todas las restricciones en el problema}

Remover todos los valores inconsistentes deRemover todos los valores inconsistentes de

los dominios los dominios DDxx y y DDyy con respecto a con respecto a r(r(xx,,yy));;

WhileWhile not vacia(not vacia(COLACOLA) ) DODO

IfIf algún valor fué removido de algún valor fué removido de DDxx (o (o DDyy)) thenthen agregar todas agregar todas las otraslas otras restricciones restricciones que involucranque involucran xx (o (o yy) a ) a COLACOLA;;

20

El ejemplo (1):El ejemplo (1):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

COLA COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLACOLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)} = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D)Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D)

Todo ya enTodo ya en COLACOLA ! !

21

El ejemplo (2):El ejemplo (2):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLACOLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLACOLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)} = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

22

El ejemplo (3):El ejemplo (3):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLA COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLACOLA = {r(B,D), r(C,D), = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)r(A,B), r(A,C)}}

Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)

23

El ejemplo (4):El ejemplo (4):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLACOLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}: = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}:

COLACOLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C) = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(A,D)}}

Para agregar: r(A,D), r(C,D)Para agregar: r(A,D), r(C,D)

24

El ejemplo (5):El ejemplo (5):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

COLACOLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}: = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}:

COLACOLA = {r(A,C), r(A,D)} = {r(A,C), r(A,D)}

Para agregar: r(A,C), r(A,D)Para agregar: r(A,C), r(A,D)

25

El ejemplo (6):El ejemplo (6):

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}

COLACOLA = {r(A,C), r(A,D)}: = {r(A,C), r(A,D)}:

COLACOLA = vacía = vacía

¡ PARAR !¡ PARAR !

26

Comparación:Comparación:

Igual resultado: completa consistencia de arco:Igual resultado: completa consistencia de arco: A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3} A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3}

Eficiencia:Eficiencia: AC1: AC1:

3 veces 6 verificaciones = 3 veces 6 verificaciones = 1818 AC3:AC3:

99 verificacíones de restricciones verificacíones de restricciones

27

Consistencia-k:Consistencia-k: consistencia-1consistencia-1 (consistencia de nodo): (consistencia de nodo):

restricciones unarias (en 1 variable) son consistentesrestricciones unarias (en 1 variable) son consistentes

consistencia-2consistencia-2 (consistencia de arco): (consistencia de arco): restricciones binarias (en 2 variables) son consistentesrestricciones binarias (en 2 variables) son consistentes

consistencia-3consistencia-3:: todas las restricc. que involucran 3 variables son consist.todas las restricc. que involucran 3 variables son consist.

AA BB

DDCC

B = A + 1

A C D BA D

|B - C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

Un valor Un valor se mantienese mantiene en el dominio si hay valores en el dominio si hay valores consistentes en los dominios de las otras 2 variables consistentes en los dominios de las otras 2 variables (para todas las restricciones que las conectan)(para todas las restricciones que las conectan)

Ejemplo:Ejemplo:

28

Practicidad de la consistencia k:Practicidad de la consistencia k:

VerificarVerificar la consistencia-k para k la consistencia-k para k 2 es muy 2 es muy dificil de realizar eficientemente !!dificil de realizar eficientemente !!

Ejemplo:Ejemplo: consistencia-4 para el enigma de las consistencia-4 para el enigma de las 4 casas es equivalente a hallar soluciones del 4 casas es equivalente a hallar soluciones del problema original.problema original.

Procesamiento híbrido de Procesamiento híbrido de restriccionesrestricciones

Combina el poder de laCombina el poder de la

búsqueda exhaustiva (backtrack)búsqueda exhaustiva (backtrack)

con (relajación) podacon (relajación) poda

Forward checkingForward checking

Backtracking combinado Backtracking combinado con Forward Checkcon Forward Check

31

Forward checking:Forward checking:

Forward Checking:Forward Checking:

ExecuteExecute Standard BacktrackingStandard Backtracking

AfterAfter cada asignación de un cada asignación de un valor a una variable valor a una variable zizi DODO

Forward Check(Forward Check(zizi))

BUTBUT

32

11AA

Funcionamiento de forward checkingFuncionamiento de forward checking

BB

22

AA BB

CC DD

{1}{1} {1,2,3,4}{1,2,3,4}

{1,2,3}{1,2,3} {1,3,4}{1,3,4}

B=A+1B=A+1

AADDAACC

AA BB

CC DD

{1}{1} {2}{2}

{2,3}{2,3} {3,4}{3,4}

|B-C||B-C|11

DD B B

fallafalla

AA BB

CC DD

{2}{2} {1,2,3,4}{1,2,3,4}

{1,2,3}{1,2,3} {1,3,4}{1,3,4}

B=A+1B=A+1

AADDAACC

22

BB33

AA BB

CC DD

{2}{2} {3}{3}

{1,3}{1,3} {1,3,4}{1,3,4}

|B-C||B-C|11

DD B B

CC11

AA BB

CC DD

{4}{4} {3}{3}

{1}{1} {1}{1}CCDD

fallafalla

AA BB

CC DD

{3}{3} {1,2,3,4}{1,2,3,4}

{1,2,3}{1,2,3} {1,3,4}{1,3,4}

B=A+1B=A+1

AADDAACC

33

BB44

AA BB

CC DD

{3}{3} {4}{4}

{1,2}{1,2} {1,4}{1,4}

|B-C||B-C|11

DD B B

AA BB

CC DD

{3}{3} {4}{4}

{1}{1} {1}{1}CCDD

AA BB

CC DD

{3}{3} {4}{4}

{2}{2} {1}{1}CCDD

11 CC 22

fallafalla exitoexito

Lookahead checkingLookahead checking

Backtracking combinado Backtracking combinado con Look ahead checkcon Look ahead check

34

Lookahead checking:Lookahead checking:

ExecuteExecute Standard BacktrackingStandard Backtracking

Look Ahead CheckLook Ahead Check

BUTBUT

Look Ahead Check Look Ahead Check ;;

Lookahead Checking:Lookahead Checking:

AfterAfter cada asignación de un cada asignación de un valor a alguna variable valor a alguna variable DODO

35

Funcionamiento de lookahead checkingFuncionamiento de lookahead checking

AA BB

CC DD

{1,2,3,4}{1,2,3,4} {1,2,3,4}{1,2,3,4}

{1,2,3}{1,2,3} {1,3,4}{1,3,4}

B=A+1B=A+1

AADDAACC DD B B|B-C||B-C|11CCDD

AA BB

CC DD

{1}{1} {3,4}{3,4}

{1,2}{1,2} {1,3}{1,3}

B=A+1B=A+1

fallafalla

AA BB

CC DD

{2}{2} {3,4}{3,4}

{1,2}{1,2} {1,3}{1,3}

B=A+1B=A+1

AADDAACC DD B B|B-C||B-C|11CCDD

fallafalla

AA BB

CC DD

{3}{3} {3,4}{3,4}

{1,2}{1,2} {1,3}{1,3}

B=A+1B=A+1

AADDAACC DD B B|B-C||B-C|11CCDD

AA BB

CC DD

{3}{3} {4}{4}

{2}{2} {1}{1}

DD B B|B-C||B-C|11

CCDD

AA BB

CC DD

{3}{3} {4}{4}

{2}{2} {1}{1}CCDD

11 AA

22

33

BB 44

CC22

exitoexito

36

¿Cuál es mejor?¿Cuál es mejor? Forward checking:Forward checking:

hace menos verificación de consistenciahace menos verificación de consistencia tiene mas ramificacióntiene mas ramificación

más cercano a backtrackingmás cercano a backtracking

Lookahead checking:Lookahead checking: lleva más tiempo con consistencialleva más tiempo con consistencia intenta menos valor alternativosintenta menos valor alternativos

Usualmente: forward checking es la mejor solución de compromisoUsualmente: forward checking es la mejor solución de compromiso Para problemas MUY restringidos:Para problemas MUY restringidos:

Lookahead checking es necesario para podar másLookahead checking es necesario para podar más

37

Aplicaciones:Aplicaciones:

Todos los problemas de búsqueda combinatoriosTodos los problemas de búsqueda combinatorios Problemas de distribución de tareas:Problemas de distribución de tareas:

Ej.:Ej.: redistribución de horario de trenes cuando ha ocurrido algun problema en las vías. redistribución de horario de trenes cuando ha ocurrido algun problema en las vías.

Problemas de distribución de trabajos:Problemas de distribución de trabajos: Ej.:Ej.: computar turnos de trabajo, dadas varias res- computar turnos de trabajo, dadas varias res-

tricciones de expertise y preferencias personalestricciones de expertise y preferencias personales

Planeamiento de producción:Planeamiento de producción: Ej.:Ej.: planificar el flujo óptimo de trabajo planificar el flujo óptimo de trabajo

Problemas de carga:Problemas de carga: Ej.:Ej.: optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas

38

Técnicas alternativasTécnicas alternativas Programación linealProgramación lineal

técnicas numéricas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (e inecuaciones) + problemas de optimizacióntécnicas numéricas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (e inecuaciones) + problemas de optimización Ej.:Ej.: algoritmo simplex algoritmo simplex

Funciona MUY bien para restricciones ‘lineales’ Funciona MUY bien para restricciones ‘lineales’

4*X - 3*Y 4*X - 3*Y Z + 2 Z + 2

XX33 - 3*Y - 3*Y Z Z22 + 2 + 2

¡ SI !¡ SI !

¡ NO !¡ NO !

Funciona, pero no MUY bien, para problemas discretos Funciona, pero no MUY bien, para problemas discretos

En tales casos:En tales casos: Procesam. de Restricc. es una mejor opción Procesam. de Restricc. es una mejor opción

También: para problemas de restricciones en También: para problemas de restricciones en datos no-numericosdatos no-numericos ! !