prof.ssa matilde pietrafesa prof. a. nucara università … · 2016. 4. 2. · y. cengel...
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Fisica Tecnica per Elettronica
Prof.ssa Matilde Pietrafesa – Prof. A. Nucara
Università Mediterranea
Dipartimento DIIES
1
Il corso fornisce le nozioni di base relative aidiversi meccanismi di trasmissione del calore(conduzione, convezione ed irraggiamento), inregime stazionario e transitorio, ed alle loroapplicazioni nell’ambito dell’elettronica,soffermandosi in particolare sulle tecniche ed isistemi di raffreddamento delle apparecchiatureelettroniche e dei sistemi fotovoltaici.
Obiettivi formativi
Trasmissione del calore in regime stazionario
a) Conduzione
Legge di Fourier Equazione generale della conduzione Conduzione monodimensionale senza generazione di calore
– geometrie piane, cilindriche e sferiche con conducibilità termica costante o variabile con la temperatura
– sistemi composti con conducibilità termica costante
Analogia elettrica Conduzione monodimensionale con generazione di calore Conduzione bi e tridimensionale senza generazione di calore
b) Convezione
Convezione forzata, naturale e mista
Equazioni fondamentali del moto non isotermo
Analisi dimensionale
Raggruppamenti adimensionali (numeri diNusselt, Prandtl , Grashof e Reynolds)
c) Irraggiamento
Radiazioni termiche
Grandezze e leggi fondamentali (Planck, Stefan-Boltzmann, Wien)
Riflessione, trasmissione ed assorbimento
Corpi neri, grigi e reali
Radiosità
Scambio termico fra superfici nere e grigie -Fattori di vista
Trasmissione del calore in regime transitorio
Sistemi a parametri concentrati (sistemi con resistenza interna trascurabile)
Conduzione termica in regime variabile
Metodi numerici di soluzione dell’equazione di scambio termico in transitorio
Metodo delle differenze finite:
formulazione esplicita ed implicita
Raffreddamento delle apparecchiature elettroniche
Carico termico nelle apparecchiature elettroniche Raffreddamento:
a) per conduzioneb) ad aria (in convezione naturale ed irraggiamento; in
convezione forzata) c) a liquido d) ad immersione
Sistemi di raffreddamento :– Alette e piastre di raffreddamento – Ventilatori
Sistemi di rilevamento della temperatura (termocamere).
Raffreddamento dei sistemi fotovoltaici
Energia solare Sfruttamento dell’energia solare per la
produzione di energia elettrica e termica
Raffreddamento dei sistemi fotovoltaici mediante scambiatori di calore – Metodo della differenza di temperatura
media logaritmica– Metodo dell’efficienza
Pannelli fotovoltaici termici (Sistemi PVT)
Sistemi di accumulo energetico
Testi Consigliati
F. Kreith – Principi di Trasmissione del Calore – ed. Liguori.
Y. Cengel – Termodinamica e trasmissione del calore – McGraw-Hill
G. Guglielimini, C. Pisoni – Elementi di trasmissione del calore – Ed. Veschi
Trasmissione del calore
Conduzione
Convezione
Irraggiamento
Scambio termico: trasmissione di energia da una regione ad un’altra dovuta ad una differenza di temperatura.
Calore
Non si può parlare di contenuto di calore di un corpo, essendo esso energia in transito, riconoscibile solo quando attraversa il contorno di un sistema.
La spiegazione fisica della sua natura si è avuta con lo sviluppo della teoria cinetica molecolare.
Energia interna
La somma delle energie cinetica epotenziale di tutte le molecole checostituiscono il sistema rappresenta lasua energia interna, che è quindisomma di tutte le forme microscopichedi energia.
Le particelle durante il loro moto possono traslare, vibrare una relativamente all’altra o ruotare attorno ad un asse.
A questi moti sono associate le energie cinetiche di traslazione, vibrazione e rotazione, la cui somma costituisce l’energia cinetica di una molecola.
Temperatura ed energiaAl crescere della temperatura aumenta la velocità media delle particelle e quindi la loro energia cinetica e conseguentemente l’energia interna del sistema.
In seguito all’emanazione della teoria cinetica il calore fu interpretato come energia associata al moto delle particelle e quindi all’energia interna di un corpo.
Energia termica
Componenti dell’energia internaIn particolare viene chiamata energia termica la componente dell’energia interna di un sistema la cui variazione è proporzionale alla variazione di temperatura.
Un’altra componente dell’ energia interna è infatti legata alle forze intermolecolari ed una terza componente è legata ai legami atomici
ConduzioneE’ un processo mediante il quale l’energia termica si trasmette per contatto diretto tra le molecole senza che si spostino sensibilmente.
Si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia.
Conduzione
Lo scambio di energia per conduzione può avvenire nei solidi, nei liquidi e nei gas, ma è il solo meccanismo secondo cui il calore può propagarsi nei solidi opachi.
Essa è anche importante nei fluidi, ma nei mezzi non solidi è di solito associata alla convezione ed all’irraggiamento.
Meccanismi di scambio di energia
Lo scambio di energia può avvenire per urto elastico tra le molecole (nei fluidi) o per diffusione degli elettroni più veloci da regioni a temperatura maggiore verso regioni a temperatura minore (nei metalli);
nei solidi non metallici è invece dovuto alle vibrazioni delle molecole all’interno del reticolo.
Conduzione nei solidi
In generale, nei solidi, la trasmissione del
calore è dovuta alla somma di due componenti:
a) gli effetti delle onde di vibrazione del reticolo
prodotte dal movimento vibratorio delle
molecole che occupano posizioni
relativamente fisse (componente di reticolo)
b) l’energia trasportata dal flusso libero di
elettroni (componente elettronica).
Componenti di reticolo ed elettronica
La componente di reticolo, che prevale nelle sostanze non metalliche, dipende fortemente dalla disposizione delle molecole: per solidi cristallini estremamente ordinati (quali i diamanti) arriva ad esser molto più alta di quella dei metalli puri, nei quali invece il meccanismo prevalente è la componente elettronica.
Conduzione nei fluidi
In un liquido o un gas, invece, le particelle muovendosi urtano tra di loro e con le pareti del contenitore: una parte dell’energia cinetica della molecola più energetica (a temperatura maggiore) si trasferisce allora alla molecola meno energetica (a temperatura minore).
Maggiore è la temperatura, più velocemente le molecole si muovono, più elevato è il numero di tali collisioni e migliore è la trasmissione del calore.
Distribuzione di temperatura
T = f(x,y,z) definisce un campo scalare.
superfici isoterme: superfici caratterizzate da un unicovalore di temperatura, non si intersecano tra loro e siestendono fino ai confini del sistema o si richiudono suse stesse restando tutte all’interno del sistema.
Gradiente di temperatura
gradiente di temperatura in un punto del campo: rapporto tra la variazione di temperatura corrispondente ad un segmento normale alla superficie isoterma passante per quel punto e la lunghezza del segmento stesso.
Gradiente di temperatura e flusso di calore
Il gradiente di temperatura è orientato positivamente verso le temperature crescenti; con la sua definizione ad esso viene associato un campo vettoriale, le cui linee di forza sono perpendicolari alle superfici isoterme
Poiché il calore fluisce spontaneamente da punti a temperatura maggiore verso punti a temperatura minore, il flusso di calore ha verso opposto al gradiente di temperatura
Verso del gradiente e del flusso
atemperaturdigradientex
T0
termicoflussoq 0
T
x
x
T1
2
verso del flusso termico
T
x
1
2
T
x
verso del flusso termico
atemperaturdigradientex
T0
termicoflussoq 0
Densità di flusso di calore
E’ possibile definire un nuovo campo vettoriale, quello del flusso di calore, le cui linee di forza coincidono con quelle del campo del gradiente di temperatura, ossia i due vettori sono paralleli, ma hanno verso opposto.
densità di flusso di calore q: quantità di calore che nell’unità di tempo attraversa l’unità di superficie isoterma
Esempi
Superfici isoterme
Linee di flusso termico
Legge di FourierRange di valori di k
q = -k gradT
k = conducibilità termicadel materiale [W/mK]
Equazione di Fourier
si considera un elemento divolume = dxdydz di unsistema omogeneo ed isotropocon conducibilità termicacostante k ed in assenza dicambiamenti di fase, racchiusoda una superficie
V
S
Principio di conservazione dell’energia
dEc + dEp + dU = dQ - dL
dL =0 non essendoci lavoro di deformazione
dEc = dEp = 0 considerando il sistema in quiete rispetto ad un riferimento inerziale
dQ + dQg = dUdQ = quantità di calore entrante o uscente nel sistema
dQg = quantità di calore generata nel sistema
dU = variazione di energia interna del sistema
I termini dell’equazione
ddSnqdQS
ddVqdQV
gg
ddVT
cUdTmcduV
dTdVkddVkgradTdivddVdivqdQVVV 2
.
Equazione generale della conduzione
02
dVT
cqTkV
g
T
c
qT
g2
c
k
Diffusività termica
Condizioni al contorno
valore assegnato della temperatura sulla superficie di contorno, in funzione della posizione e del tempo;
valore assegnato del flusso di calore che attraversa la superficie di contorno, in funzione della posizione e del tempo;
valore assegnato del flusso di calore che attraversa la superficie di contorno, dipendente dalla differenza tra i valori assunti dalla temperatura sulla superficie stessa e ad una distanza tale da non risentire praticamente del fenomeno di scambio termico in atto (scambio convettivo e/o radiativo).
Regime stazionario e non stazionario
regime stazionario: in qualsiasi punto del sistema la potenza termica entrante è uguale alla potenza termica uscente e non si ha alcuna variazione di energia interna. La temperatura in ogni punto non varia nel tempo
regime non stazionario (distinto tra transitorio o variabile): la potenza è variabile e la temperatura in ciascun punto varia nel tempo. Poiché una variazione di temperatura sta ad indicare una variazione di energia interna, l’accumulo di energia è peculiare del flusso non a regime
Casi particolari
Regime stazionario con generazione di calore
Regime stazionario senza generazione di calore
EQUAZIONE DI LAPLACE
• Regime variabile senza generazione di calore
02 k
qT
gEQUAZIONE di POISSON
02 T
TT2
Conduzione monodimensionale stazionaria senza generazione di calore
con le condizioni al contorno:
per x = 0 T = T1
per x = Δx T = T2
02
2
dx
Td
Integrazione
Una prima integrazione fornisce:
ed una seconda:
0dx
dT
dx
dAte
dx
dT tancos
AdxdT BAxT
Determinazione delle costanti
Imponendo le condizioni al contorno si ricavano le costanti:
BT 1
12 TxABxAT
x
TTA
12
112 Tx
x
TTT
per x = 0 T = T1
per x = Δx T = T2
da cui:
k
x
TT
x
TTk
dx
dTkq
2112
Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore
Strato di materiale omogeneo ed isotropo, delimitato da due superfici piane e parallele di estensione infinita, a temperatura costante ed uniforme
T1
T2
x
x1 x2
T1 T2
KA
xR
dx
dTkAq
R
TT
kAx
TTq 2121
Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore
Cilindro cavo di materiale omogeneo e isotropo delimitato da due superifici cilindriche di estensione infinita, a temperatura costante ed uniforme
2dr
dTrLkq
dr
dTkAq
R
TT
kL
rr
TTq 21
12
21
2
ln
kL
rrR
2
ln 12
T1 T2
Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore
Guscio sferico di materiale omogeneo ed isotropo delimitato da due superfici sferiche a temperatura costante ed uniforme
T1 T2
k
rrR
4
11
21
4 2
dr
dTrk
dr
dTkAq
1
21
21
21
4
11 R
TT
k
rr
TTq
Analogia elettricaL’analogia che collega lo studio dei fenomeni termici ed elettrici trae origine dalla similitudine esistente tra le equazioni che li governano. Si ha infatti che formalmente alla legge di Fourier corrisponde la legge di Ohm e all’equazione di Fourier l’equazione del potenziale elettrico.
Ciò consente di utilizzare alcuni risultati analitici propri della teoria dell’elettricità per lo studio della trasmissione del calore (un tipico esempio si ha nel concetto di resistenza)
L’esistenza di una tale analogia consente quindi di realizzare modelli elettrici per mezzo dei quali è possibile prevedere il comportamento termico di strutture complesse, che difficilmente potrebbero essere studiate analiticamente.
Coefficiente globale di scambio termico
AhAk
x
Ak
x
AhR
R
TTq
eii
i
i
i
ei 11
2
1
1
1
i
totR
UATUAq1
dove
.
Sistemi composti piani
Condizioni al contorno di tipo convettivo:
T1
T2
T3
x1 x2
x1 x2 x3
(hi)
(Ti)(he)
(Te)
Akx
TT
Akx
TTq
22
32
11
21
21
31
2
2
1
1
31
RR
TT
Ak
x
Ak
x
TTq
Ah
TT
Akx
TT
Akx
TT
Ah
TTq
e
e
i
i
11
3
22
32
11
211
4321
2
2
1
1 11 RRRR
TT
AhAk
x
Ak
x
Ah
TTq ei
ei
ei
Sistemi composti cilindriciSuperficie interna:
Cilindro interno:
Cilindro esterno:
Superficie esterna:
r1
r2
r3
Ti
T1T2
T3
Te
L
1
1
1
1
21 R
TT
Lhr
TTq i
i
i
4
3
3
3
21 R
TT
Lhr
TTq e
e
e
.
2
21
1
12
21
2
ln R
TT
Lk
rr
TTq
3
32
2
23
32
2
ln R
TT
Lk
rr
TTq
ei
ei
LhrLk
rr
Lk
rr
Lhr
TTq
32
23
1
12
1 2
1
2
ln
2
ln
2
1
Coefficiente globale di scambio termico
Nel caso di geometria cilindrica le superfici Ai sono diverse. Il coefficiente U può riferirsi a qualsiasi area, ma essendo il diametro esterno più facile da misurare, di solito si usa l’area esterna
i
totR
UATUAq1
dove
.
ei
ei
hk
rrr
k
rrr
hr
r
Lhr
Lr
Lk
rrLr
Lk
rrLr
Lhr
LrU
1lnln
1
2
2
2
ln2
2
ln2
2
2
1
2
233
1
123
1
3
3
3
2
233
1
123
1
3
Spessore critico dell’isolante
Dalle espressioni del flusso risulta come un aumento di r3, lo spessore dell’isolante, faccia aumentare logaritmicamente la resistenza termica di conduzione, ma riduca linearmente la resistenza di convezione.
Per determinare la relazione fra calore trasmesso e spessore dell’isolante va studiata quantitativamente l’espressione analitica.
Spessore critico dell’isolante
e
ei
e
ei
hrk
rr
TTL
LhrLk
rr
TTq
32
23
32
23 1ln
2
2
1
2
ln
Essendo in molte situazioni pratiche la resistenza termicaconcentrata nell’isolante e sulla superficie esterna, si porràche Ti sia la temperatura della superficie interna dell’isolante(ciò equivale a considerare lo strato più interno sottile e di kelevata, così da poter trascurare il salto termico su di esso).
Si trova: è un minimo per la funzione f(r3)
per cui è un massimo per q.
ehrk
rrrf
32
233
1ln
.
e
crh
kr 2
3
Andamento della resistenza termicaSe r < r3cr la resistenza termica R diminuisce con l’aggiunta di isolante se r <r3cr la resistenza termica R cresce con l’aggiunta di isolante
Spessore critico dell’isolante
Se r < r3cr le perdite di calore aumentano con l’aggiunta di materiale isolante se r <r3cr decrescono per aggiunta di materiale isolante. Nei casi pratici tuttavia k2 è molto piccolo ed rcr è più piccolo dello spessore del tubo nudo, per cui è sempre utile isolare.
Conducibilità termica variabile
L’andamento della temperatura dipende dal segno di b:
b>0: k cresce con la temperatura, il materiale è buon conduttore ad alta temperatura e cattivo conduttore a bassa temperatura.
b<0: k decresce con la temperatura ed il materiale è un cattivo conduttore ad alta temperatura e buon conduttore a bassa temperatura.
bTkk 10
k variabile con la temperatura
>0 se b>0
<0 se b<0
=0 se b=0
se b>0 la concavità è rivolta verso il basso,
se b<0 la concavità è rivolta verso l’alto,
se b=0 l’andamento è lineare.
T1
T2
b>0
b=0
b<0
bkdT
dk0
k(t) – Strato piano
Calcolando il valor medio di k sulle due superfici esterne
si ha:
dx
dTAbTkq 10
21 12
120
TTbTTk
21
2
210
21 TTbk
kkkm
x
TTk
A
qm
21
k(t) – cilindro cavo e guscio sferico
Analogamente si ricava:
Cilindro cavo
Guscio sferico
Lk
rr
TTq
m2
ln 12
21
mk
rr
TTq
4
11
21
21
Conduzione monodimensionale stazionaria con generazione di calore
Esempi caratteristici sono le bobine e le resistenzeelettriche, i reattori nucleari e le caldaie.
Il caso più semplice si ha quando la generazione dicalore è costante nel tempo e nello spazio, comenei conduttori percorsi da corrente elettrica, sede digenerazione di calore per effetto Joule:
dove L è la lunghezza ed ro il raggio del conduttore,a sezione cilindrica, I la corrente che lo attraversa eV la tensione
Lr
IV
V
RIqg 2
0
2
.
ro
To
Ts
Te
L
Caso di conduttori cilindrici
L’equazione di Poisson:
utilizzando le coordinate cilindriche e supponendo
che la distribuzione di temperatura dipenda solo dalla distanza radiale: T = T(r), si ha
02 k
qT
g
r,
01
2
2
k
q
dr
dT
rdr
Td g
ro
To
Ts
Te
L
Andamento della temperatura
Utilizzando due condizioni al contorno del tipo:
Con Ts temperatura della superficie esterna.
L’andamento della temperatura: è:
con il massimo sull’asse, per r = ro
)(4
22
0
2
0rr
k
rqTT
g
S
.
0
0
per e 0 rrTTdr
dTS
r
ro
To
Ts
Te
L
Conduzione bidimensionale stazionaria senza generazione di calore
Per una piastra rettangolare sottile senza sorgenti dicalore e con le superfici superiore ed inferioreisolate l’equazione di Laplace diviene:
02
2
2
2
y
T
x
T
Conduzione monodimensionale in regime variabile senza generazione di calore
Per uno strato piano costituito da un materialeomogeneo ed isotropo, che non è sede digenerazione di calore, l’equazione di Fourierdiviene:
T
x
T2
2
,
Metodi numerici
Quando la geometria del sistema e le condizioni alcontorno sono tanto complicate da non consentire néla soluzione analitica, né l’analogica si può ricorrere allesoluzioni numeriche
Si suddivide il sistema in un numero piccolo disottovolumi uguali, supponendo che ciascuno di essi sitrovi alla temperatura del suo punto centrale (puntonodale)
Il trasporto di calore avviene solo tra punti nodali el’energia si immagazzina solo in essi, come se fosserocollegati da fittizi conduttori – resistenze.
Bilancio termico in un punto nodale
In condizioni di regime stazionario, la potenzatermica che fluisce verso ciascun punto nodaledeve essere uguale alla potenza termica chefluisce dal punto nodale (Kirkhoff).
Per soddisfare questa condizione si effettua unbilancio termico in ogni punto nodale,ottenendo tante equazioni algebriche quantisono i punti nodali, che consentono dideterminarne le temperature.
Equazione della temperatura al nodo
Il bilancio termico nel nodo n si scrive:
04321 nnnn qqqq
04321
L
TAk
L
TAk
L
TAk
L
TAk
044321 nTTTTT
n1
2
3
4
n1
2
3
4
Bilancio in un punto nodale esterno
n1
2
3
Se un punto nodale è esterno solo metà della superficieassociata alla conduzione fra punti interni è coinvolta
0
22
022
3
2
1
321
nAn
nn
a
TTk
hLTTTT
TT
TAhL
TAk
L
TAk
L
TAk
Conduzione in regime non stazionario
Si hanno condizioni stazionarie se la potenza termica in un sistema non varia nel tempo: in qualsiasi punto la potenza termica entrante è uguale alla potenza termica uscente. La temperatura in ciascun punto non cambia e non si ha variazione di energia interna
Quando la potenza varia la trasmissione ha invece luogo in condizioni di regime non stazionario. La temperatura in ciascun punto varia nel tempo e c’è variazione di energia interna.
Conduzione in transitorio in sistemi con resistenza interna trascurabile
Sistemi in cui la resistenza conduttiva interna Ri delsistema è così piccola che la sua temperatura si puòassumere uniforme in ogni istante.
E’ possibile adottare questa semplificazione quando laresistenza termica esterna Re tra la superficie delsistema ed il mezzo circostante è tanto grande inconfronto a quella interna da controllare il processo discambio termico. Una misura della relazione fra le dueresistenze è data dal loro rapporto:
e
i
R
R
,
Numero di Biot
K
hL
hA
kAL
R
R
e
i /1
/
adimensionale, con:
h coefficiente di convezione del fluido circostantek coefficiente di conducibilità termica del corpoL una sua lunghezza significativa, che si ottiene dividendoil volume V del corpo per l’area A della sua superficie
Il rapporto prende il nome di Numero di Biot, Bi.Se Bi < 0,1, ossia Ri < 10% Re l’errore introdotto è < 5%.
Raffreddamento di un piccolo corpoa temperatura uniforme
Un esempio di sistemi con Bi < 0,1 è dato dalraffreddamento di un piccolo corpo, estratto da un fornoa temperatura uniforme, che venga immerso in un fluidoa temperatura costante Te così rapidamente da potereapprossimare la variazione della temperatura ambientecon una variazione a gradino.
Bilancio di energia in un intervallo di tempo dt:
c, ρ = calore specifico, densità del corpo
il segno – indica che l’energia qdt è ceduta dal corpo
qdU
dtTThAVdTc e
Andamento della temperatura
Essendo Te costante, il bilancio può anche scriversi come:
dt
Vc
hA
TT
TTd
e
e
Integrando fra il tempo t = 0 ed il tempo t, con condizioni al contorno:
ttTTtTT per ,0per 0
t
Vc
hA
TT
TT
e
e
0
ln
eo
e
TT
TT
hA
Vct
t
tVc
hA
e
e eTT
TT
0
Costante di tempo del sistema
La quantità
avendo le dimensioni di un tempo, prende il nome dicostante di tempo del sistema. Essa indica la velocità dirisposta di un sistema ad una sola capacità ad unaimprovvisa variazione della temperatura ambiente.
Per t =
la differenza di temperatura è pari al 36,8% delladifferenza iniziale
Ah
Vc
Ah
Vc
eo TTV
cVC Ah
R1
Rete elettrica equivalente
Nella rete elettrica equivalente alla rete termica ilsistema è costituito da una sola capacità, che,caricata al potenziale To, si scarica attraverso laresistenza 1/hA.
I risultati si possono esprimere mediante parametriadimensionali. Essendo L = V/A l’esponente diviene:
tVc
hA
cL
th
.
Numero di Fourier
Moltiplicando e dividendo per kL si ha:
Ponendo:
Fo = Numero di Fourier
22 L
tBi
cL
kt
k
hL
kL
kL
cL
ht
.
2L
tFo
0
e FoBi
e
e eTT
TTFoBi
cL
ht
.
Esercizio 1
Determinare il flusso termico per unità di area che attraversa inregime permanente una lastra piana (k = 0.19 W/mK) spessa 38mm con le due facce mantenute alle temperature T1 = 311 K e T2
= 294 K.
1T
x
T2
k
2
21 85038.0
)294311(19.0
m
W
m
KmK
W
x
TTk
A
q
Esercizio 2
Il coefficiente di scambio termico per convezione di un fluidocaldo che scorre alla temperatura Tf = 394 K su una superficiefredda alla temperatura Tp = 283 K vale h = 227 W/m2K.Determinare il flusso termico unitario trasmesso dal fluido allasuperficie.
fT
Tp h
222
2,2525197)283394(227m
kW
m
WK
Km
WTTh
A
qpf
Esercizio 3
Determinare il raggio critico per un tubo ricoperto di isolante (k =0.208 W/mK) esposto ad aria il cui coefficiente di scambiotermico convettivo è hi = 8.51 W/m2K.
h
k
cmm
Km
WmK
W
h
kr 44.20244.0
51.8
208.0
2
Esercizio 4Un forno industriale è costruito con una muratura di mattoni (k1 = 0.95W/mK) spessa 0.22 m ed è ricoperto all’esterno da uno strato di 0.03m di materiale isolante (k2 = 0.06 W/mK). La superficie interna delmuro si trova alla temperatura di 1000°C mentre quella esternadell’isolante a 40°C. Calcolare la quantità di calore trasmessa per unitàdi superficie e la temperatura interfacciale fra il muro e l’isolante.
1TT2 T3
1x x2
k1 k2
mK
W
m
mK
W
m
K
k
x
k
x
TT
A
q
06.0
03.0
95.0
22.0
)401000(
2
2
1
1
31
Km
W2
1312
A
q
C
mK
W
m
m
WT
k
x
A
qT
k
x
TT40
06.0
03.01312
23
2
2
2
2
2
32 C696
Esercizio 5In un cilindro di rame, i cui raggi interno ed esterno valgonorispettivamente 1 cm e 1.8 cm, la superficie interna e quella esternasono mantenute alle temperature T1 = 305 K e T2 = 295 K e k varia conla temperatura secondo la legge k = ko(1+ bTm), con ko = 371.9 W/mK eb = - 9.25 x10-5 K-1. Valutare le perdite di calore per unità di lunghezza.
2r1r
k
mk
rr
TT
L
q
2
)/ln( 12
21 )1( mom bTkk 2
21 TTTm
K
KK300
2
295305
)1( mom bTkk 371.9 KKmK
W300)1025.91( 15 361.58
mK
W
Esercizio 6Un tubo di acciaio con diametro esterno di 7.5 cm è ricoperto con unostrato di 1.25 cm di materiale plastico (k1 = 0.207 W/mK), il quale è a suavolta rivestito da uno strato di 5 cm di lana di vetro (k2 = 0.055 W/mK).Sapendo che le temperature esterne del tubo di acciaio e della lana divetro valgono rispettivamente T1 = 200°C e T3 = 35°C determinare il flussotermico trasmesso per unità di lunghezza e la temperatura interfacciale frail materiale plastico e la lana di vetro T2.
1T
T2
T3
1rr 2 r 3
Lkam
klv
m
W
mK
W
mm
mK
W
mm
K
k
rr
k
rr
TT
L
q85.73
0548.02
05.01.0ln
207.02
0375.050.0ln
)35200(
2
ln
2
ln
2
23
1
12
31
kL
rr
TTq
2
)/ln( 23
32T2 = T3 +
kL
rrq
2
)/ln( 23 =
)5/10ln(
055.02
85.73
35 cmcm
mK
Wm
W
C
183.66°C
Esercizio 7Un materiale spesso 15 cm (k = 0.87 W/mK) è esposto ad aria a 25°Cdal lato interno ed a 0°C dal lato esterno. Sapendo che il coefficiente discambio convettivo interno hi vale 10.46 W/m2K mentre quello esternohe vale 52.3 W/m2K determinare il flusso termico e la temperatura sulledue facce del materiale.
Ti Te
hi he
1x
T2T1 k
2
22
1.87
46.10
1
87.0
15.0
3.52
1
)025(
11 m
W
Km
W
mK
W
m
Km
W
K
hk
x
h
TT
A
q
ei
ei
C
Km
W
m
W
CAh
qTT
h
TT
A
q
i
i
i
i
7.16
46.10
1.87
251
2
2
1
1
C
Km
W
m
W
CAh
qTT
h
TT
A
q
e
e
e
e
7.1
3.52
1.87
01
2
2
2
2
Esercizio 8
Del vapore scorre in un tubo di acciaio con raggio interno pari a 5 cmed esterno pari a 5.7 cm, rivestito da uno strato di isolante di 2.5 cm. Icoefficienti di scambio termico convettivo interno ed esterno valgonorispettivamente hi = 87.1 W/m2K e he = 12.43 W/m2K mentre icoefficienti di conducibilità per l’acciaio e per l’isolante valgonorispettivamente k1 = 45 W/mK e k2 = 0.071 W/mK. Determinare ilcoefficiente globale di scambio termico U.
Km
W
Km
W
mK
W
mmm
mK
W
mmm
Km
Wm
m
hk
rrr
k
rrr
hr
rU
ei
2
22
2
233
1
123
1
3
5.0
43.12
1
071.0
)57.0/082.0ln(082.0
45
)05.0/057.0ln(082.0
1.8705.0
082.0
1
1lnln
1
Esercizio 9Un sistema piano è costituito da due strati di materiali (k1 = 1.5 W/mK, k2 = 1.2W/mK) entrambi spessi 10 cm, separati da un’intercapedine d’aria di 30 cm (ka
= 0.022 W/mK). Il sistema separa due ambienti a temperatura T1 = 40°C e T2 =20°C per i quali h1 = 30 W/m2K e h2 = 5 W/m2K. Determinare il flussotrasmesso sia nel caso in cui l’aria nell’intercapedine non dia luogo a moticonvettivi che nel caso in cui questi ultimi siano presenti (ha = 2.5W/m2K).
Supponendo che lo scambio attraverso l’aria avvenga per conduzione:
TiTe
hihe
1x x2 x3
k1 k2 k3
T1 T2 T3 T4
)( ie TTUA
q
Km
W
Km
W
mK
W
m
mK
W
m
mK
W
m
Km
W
2
22
07.0
5
1
2.1
1.0
022.0
3.0
5.1
1.0
30
1
1
)( ie TTUA
q
224.1)2040(07.0
m
WK
Km
W
ei hk
x
k
x
k
x
h
U11
1
3
3
2
2
1
1
Esercizio 9
TiTe
hihe
1x x2 x3
k1 k3
T1 T2 T3 T4
haria
Km
W
Km
W
mK
W
Km
W
mK
W
Km
Whk
x
hk
x
h
U
iariae
2
2223
3
1
1
26.1
5
1
2.1
1.0
5.2
1
5.1
1.0
30
1
1
111
1
222.25)2040(26.1)(
m
WK
Km
WTTU
A
qie
Supponendo che lo scambio attraverso l’aria avvenga per convezione:
Esercizio 10Determinare la potenza termica trasmessa attraverso il sistemain figura. I coefficienti di conducibilità termica valgono: k1 = 175W/mK, k2’ = 35 W/mK, k2’’ = 60 W/mK, k3 = 80 W/mK e letemperature sulle facce esterne: T1 = 370°C e T2 = 66°C.
k1
x1 x2 x3
k"2
k3k'2
T1 T2 T3T4
)( 41 TTUATUAq
iR
UA1
1T T4R 1
R'2
R 3
R"2
W
K
mmK
W
m
Ak
xR 0014.0
1.075.1
105.2
2
2
1
11
W
K
mmK
W
m
Ak
xR 00625.0
1.080
105
2
2
3
33
Esercizio 10k1
x1 x2 x3
k"2
k3k'2
T1 T2 T3T4
1T T4R 1
R'2
R 3
R"2
W
K
mmK
W
m
Ak
xR
W
K
mmK
W
m
Ak
xR
025.0
)2/1.0(60
105.7
2/""
043.0
)2/1.0(35
105.7
2/''
2
2
2
22
2
2
2
22
W
K
W
K
W
KRR
R 0158.0
025.0
1
043.0
1
1
''
1
'
1
1
22
2
W
K
W
KRRRRTOT 0234.)00625.00158.00014.0(321
K
W
W
KRUA
i
44
107.22
11
3
kWKK
WTTUAq 4.13)66370(44)( 41
Esercizio 11Derivare l’equazione della temperatura nodale per un nodo in un angolo esterno nei due casi:
a) uno dei lati contigui isolato e l’altro soggetto ad uno scambio termico convettivo;
b) entrambi i lati contigui isolati.
x
TTxk n)(
2
1
2
x
TTxk n)(
2
2
2
02
)(2
ne TTxh
nTTxk
12
nTTxk
22
0
2
2
ne TTxh
021
nenn TTk
xhTTTT
0221
ne T
k
xhT
k
xhTT
Esercizio 11
x
TTxk n )(
2
12
0)(
2
22
x
TTxk n
021 nn TTTT
0221 nTTT
Esercizio 12
Determinare le temperature nodali nei punti a, b, c sapendo che il materiale èomogeneo ed isotropo e che le temperature delle superfici interna ed esternavalgono rispettivamente Ti = 150°C e Te = 50 °C.
a
b
c
c' b'
Ti Te
nodo a: 04' aeibb TTTTT
nodo b: 04 beaci TTTTT
nodo c: 04 cbeib TTTTT
nodo a: 045050' abb TTT
nodo b: 0450150 bac TTT
nodo c: 0450150 cbb TTT
'
bb TT e '
cc TT . Pertanto :
041002 ab TT 502 ba TT
04100 ac TT 2004 cba TTT
042002 cb TT 1002 cb TT
.6.95;6.91;8.70 CTCTCT cba
Convezione
E’ un processo di trasporto di energia mediante l’azionecombinata della conduzione, dell’accumulo di energia edel mescolamento: a livello molecolare, allo scambiotermico per conduzione si affianca un trasporto dienergia interna dovuto al moto relativo delle particelle.
E’ il più importante meccanismo di scambio termico trauna superficie solida ed un liquido o un gas.
Meccanismo fisicoIl calore passa per conduzione dalla superficie alleparticelle di fluido adiacenti e l’energia trasmessa nefa aumentare l’energia interna e la temperatura.Il flusso di calore genera nel fluido variazioni delladensità degli strati più prossimi alla superficie e sigenera un moto del fluido più leggero verso l’alto (siha quindi flusso tanto di materia che di energia).Quando le particelle di fluido riscaldate raggiungonouna regione a temperatura minore, nuovamente delcalore viene trasmesso per conduzione da quelle piùcalde a quelle più fredde.
Convezione naturale e forzata
La convezione si distingue in naturale e forzata,secondo la causa che determina il moto.
Naturale: quando dipende solo da differenze di densitàdovute a gradienti di temperatura
Forzata: quando è dovuta a cause indipendenti dallatrasmissione di calore (differenze di pressione indotteda agenti esterni come una pompa o un ventilatore)
In entrambi i casi, i moti convettivi trasferisconol’energia nel fluido in modo essenzialmente analogo.
Equazione di NewtonNella zona adiacente la superficie il calore fluisce per conduzione
La stessa potenza si trasmette nel fluido. Può esprimersi con la:
EQUAZIONE DI NEWTON
Ts = temperatura della superficieTf = temperatura del fluido ad una distanza dalla superficie tale da non risentire dello scambio termico (teoricamente distanza infinita)h = coefficiente di convezione: non è una costante, dipende dalla geometria della superficie, dalla velocità, dalla natura e dalle proprietà fisiche del fluido ed, in alcuni casi, anche dalla differenza di temperatura.
n
TkAq
con n versore normale alla superficie.
fS TThAq
Numero di Nusselt
Eguagliando le due espressioni:
Di solito h viene inserito in un raggruppamento adimensionale, detto numero di Nusselt.Moltiplicando ambo i membri per L (lunghezza significativa) e riordinando:
n
TkTTh fS
.
n
T
TT
L
K
hLNu
Sf
.
Per la complessità del fenomeno della convezione nello studio si possono seguire due vie:a) metodo analitico: richiede la risoluzione delle equazioni differenziali riguardanti sia gli aspetti meccanici del moto che quelli termici. Il problema è tuttavia di difficile soluzione e spesso a prezzo di semplificazioni che limitano la fedeltà del modello matematico alla realtà fisicab) metodo empirico: tende pragmaticamente alla determinazione empirica di regole di calcolo, utilizzando dati sperimentali per ricavare leggi e correlazioni. In tal modo si esclude tuttavia a priori la pretesa di spiegare la natura dei fenomeni studiati.
Metodologie di analisi
Equazione generale della convezione
Il lavoro è compiuto contro le forze applicate all’elemento di volume, gli sforzi di pressione e quelli tangenziali. E’ di solito trascurabile; può conglobarsi formalmente nel termine dqg.
La derivata della temperatura T = T(x,y,z,t) rispetto al tempo, trattandosi di particella in moto, deve essere totale:
Si ottiene:
dUdLdqdq g
.
vgradTt
T
t
dz
z
T
t
dy
y
T
t
dx
x
T
t
TT
dt
d
dt
d2 T
c
qT
g
Distribuzione di velocitàE’ l’equivalente dell’equazione di Fourier scritta per la convezionee può integrarsi se si conosce la distribuzione della velocità, cheindipendentemente dalla natura del moto (laminare o turbolento)è determinata dalla soluzione del sistema:
a) l’equazione di continuità (bilancio di massa)b) l’equazione del moto di Newton.
Il sistema è tuttavia praticamente insolubile se non si ricorre ad ipotesi semplificative più o meno gravose, quali quelle di fluido incomprimibile, convezione naturale pura o forzata pura, strato limite, ecc. o a metodi di calcolo approssimato (calcolo numerico).
Analisi dimensionale
Non comporta equazioni da risolvere, ma basandosi sullaconsiderazione che tutte le leggi fisiche sono espressecon equazioni dimensionalmente omogenee, realizza ilraggruppamento adimensionale delle variabili da cuidipende un fenomeno fisico.
Si basa sull’organizzazione in leggi di dati sperimentaliricavati dall’osservazione, al fine di individuare l’influenzaesercitata sul fenomeno da ciascuna grandezza da cuidipende.
Adottando il SI, le dimensioni fondamentali sono:lunghezza L, massa M, tempo t, temperatura T.
Teorema di Buckingham
Il numero di gruppi adimensionali indipendenti, chesi possono formare dalla combinazione delle nvariabili fisiche di un problema è uguale al numerototale delle grandezze fisiche che lo descrivonomeno il numero m delle dimensioni fondamentalirichieste per esprimere le espressioni dimensionalidelle grandezze fisiche
se N1, N2, …, Nn è l’insieme di tutti i raggruppamentiadimensionali ottenibili, la soluzione può esprimersi:
mnNNNNF N con 0,,........., 21
.
Parametri della convezione
Nel caso di contemporanea presenza di convezionenaturale e forzata, la distribuzione della temperaturain un fluido in moto è determinabile in funzione deiparametri fisici
e delle condizioni al contorno
gkh ,,,,
fS TTTvL ,,
.
TvLgkhNiNi ,,,,,,,
n= 8, m = 4 gruppi adimensionali ottenibili: 4
Raggruppamenti adimensionali
TT
Ltv
LL
TLtg
tL
tL
TMLtk
TMth
1
12
12
12
13
13
000011212121313 TtLMTLtLTLttLtLTMLtTMtNihgfedcba
.
hgfedcba TvLgkhNi
Risoluzione del sistemaPerché i raggruppamenti siano adimensionali, lasomma algebrica degli esponenti di ciascunadimensione fondamentale deve essere nulla:
Essendo 8 le incognite e 4 le equazioni, si possonofissare arbitrariamente i valori di 3 esponenti.Risolvendo il sistema si trovano i 4 raggruppamenti.
0: baM
022: gfedcbL
0233: gedcbat
0: hebaT
.
Raggruppamenti adimensionali
Numero di Reynolds
Numero di Grashof
Numero di Prandtl
Nuk
LhN 1
Re2
VLN
GrTLg
N
2
3
3
Pr4
N
0Re,Pr,, GrNuF
,
GrNuNu Re,Pr,
.
cba GrCNu PrRe
Numero di Nusselt
Convezione forzata
In convezione forzata:
per cui il numero delle variabili presenti nell’equazioneche esprime il generico raggruppamento Ni passa da 8a 7 ed i raggruppamenti diventano 3 (scompare ilNumero di Grashof)
0g
RePr,NuNu
baCNu PrRe
Convezione naturaleIn convezione naturale v = 0. Riducendosi di uno il numero delle variabili, scompare anche un raggruppamento, il Numero di Reynolds
La gran parte degli studi sulla convezione naturale esprime ilnumero di Nusselt in funzione del prodotto GrRe, anziché deidue numeri separatamente, ossia gli esponenti a e b sono uguali
Per l’enorme quantità di studi condotti sull’argomento e lavarietà di leggi proposte, è tuttavia possibile trovare in diversitesti espressioni più o meno differenti da quelle riportate
Pr,GrNuNu baGrCNu Pr
aGrcNu Pr
Esercizio 1Un materiale (k = 0.87 W/mK) spesso 15 cm ed alto 3 m, èesposto dal lato interno, che si trova alla temperatura di 20°C,ad aria a 34°C e dal lato esterno ad aria (he = 53 W/m2K) a 0°C.Determinare il flusso termico trasmesso per unità di area.
1T
x
T2
1x x2
Ti
Te
k
h i
h e
ei
ei
hk
x
h
TT
A
q
11
L
kNuh
k
LhNu i
i
nGrcNu Pr)(
Pr
2
3
TLgGr
CCCTT
T im
27
2
2034
2
1
s
m25105682,1
s
m25102160,2
mK
Wk 02622,0
Esercizio 1
708,0Pr
11
2
3
10502,0
TLgGr
1110355,0Pr Gr
7,420Pr)( nGrcNu 3/1;13,0 nc
Km
W
m
mK
W
L
kNuhi 2
67,33
02622,07,420
Km
W
Km
W
mK
W
m
Km
W
K
hk
x
h
TT
A
q
ei
ei
2
22
07,74
53
1
87,0
15,0
67,3
1
34
11
Esercizio 2Del vapor d’acqua (hi 100 W/m2K) alla temperatura di 120°C scorre inun tubo d’acciaio (k1 = 45) avente temperatura interna di 117°C. Il tuboha raggio interno di 5 cm ed esterno di 5.5 cm, è ricoperto da unostrato di 2.5 cm di isolante (k2 = 0.07 W/mK) ed è esposto ad aria a17°C. Determinare le due temperature interfacciali dell’isolante e ilnumero di Nusselt per la convezione naturale dell’aria esterna.
1T
T2
T3
1r
r2r 3
Lk1
k2
Ti
Te
he
hi
Lk
rrqTT
Lk
rr
TTq
1
12
12
1
12
21
2
ln
2
ln
Lk
rrqTT
Lk
rr
TTq
1
12
12
1
12
21
2
ln
2
ln
m
WK
Km
WmTThr
L
qii 2.94310005.022
211
.
Esercizio 2
Per l’elevata conducibilità termica dell’acciaio ed il piccolo spessore deltubo il salto termico sulle sue facce non risulta apprezzabile
1T
T2
T3
1r
r2r 3
Lk1
k2
Ti
Te
he
hi
C
mK
W
m
m
m
W
CTLk
rrqTT
117
452
05.0
055.0ln2.94
1172
ln2
1
1212
Lk
rrqTT
2
2323
2
ln
C
mK
W
m
m
m
W
CT
7.36
07.02
055.0
080.0ln2.94
1173
Esercizio 2
1T
T2
T3
1r
r2r 3
Lk1
k2
Ti
Te
he
hi
CCCTT
T em
9.26
2
177.36
2
3 karia = 0,02622
Km
W
Km
m
W
TTLr
qhTThr
L
q
e
eee 2
33
33 5.9)177.36(08,02
2.94
)(22
58
02622.0
16.05.92
mK
W
mKm
W
k
DhNu
aria
e
aria
e
k
DhNu
Esercizio 3Del vapor d’acqua alla temperatura di 130°C scorre alla velocità di 10 cm/s inun tubo d’acciaio (k1 = 45 W/mK ) avente temperatura interna di 110°C e raggiinterno ed esterno rispettivamente pari a 10 ed 11 cm. Il tubo è rivestito diuno strato di 3 cm di isolante (k2 = 0.17 W/mK) ed è esposto ad aria (hi = 12W/m2K). Calcolare il valore del coefficiente globale di scambio termico U.
ei hk
rrr
k
rrr
hr
rU
1lnln
1
2
233
1
123
1
3
D
Nukh
k
DhNu i
i
CCCTT
T im
120
2
110130
2
1
s
m271047,2
s
m281008,17
mK
Wk 685,0
Esercizio 3
3/18.0 PrRe023.0 Nu
446.1
1008.17
1047.2
Pr2
8
27
s
m
s
m
6.80971
1047.2
2.01.0
Re2
7
s
m
ms
m
vd
5,219)446.1()6.80971(023.0 3/1805.0
Km
W
m
mK
W
D
Nukh
28.751
2.0
685.05.219
Km
W
Km
W
mK
W
mmm
mK
W
mmm
Km
Wm
m
hk
rrr
k
rrr
hr
rU
ei
2
22
2
233
1
123
1
3
7.4
12
1
17.0
)11.0/13.0ln(13.0
45
)10.0/11.0ln(13.0
8.7511.0
13.0
1
1lnln
1
Esercizio 3
Esercizio 4Un conduttore di rame, avente un diametro di 1.8 mm ed una resistenzaelettrica di 0.065 Ω/m, è isolato da una guaina (kg = 0.118 W/mK) dellospessore di 1 mm ed è esposto ad aria a 20°C.
Sapendo che la temperatura esterna della guaina è 84°C, determinare lospessore critico dell’isolante e la corrente che attraversa il conduttore.
1r r 2
Lh
1TT2
Te
kg
2
1
1
d
h
krr
g
cr
L
kNuh
k
hLNu
nGrcNu Pr)(
CCCTT
T im
52
2
2084
2
1
s
m25108213,1
s
m25105996,2
mK
Wk 02811,0
R
qI
Esercizio 4
Per il range in questione (10-1 < GrPr < 104) si fa
riferimento ad un diagramma:
1r r 2
Lh
1TT2
Te
kg
7,0
105996.2
108213.1
Pr2
5
25
s
m
s
m
23.319
sec108213.1
108.364325
1
sec8.9
22
5
331
2
2
3
m
mKKm
TLgGr
65.223Pr Gr
51.2Nu
Esercizio 4
1r r 2
Lh
1TT2
Te
kg
m
WK
Km
WmTThr
L
qe 19.146457.18109.12)(2
42
3
22
Am
mW
LR
LqI 77.14
/065.0
/19.14
mmm
Km
WmK
Wd
h
krr
g
cr 45,52
108.1
57.18
118.0
2
3
2
11
2357.18
108.3
0281.051.2
m
W
m
mK
W
L
kNuh
Esercizio 5Un tubo lungo 3 m, avente diametro interno pari a 25 mm, è percorso dauna corrente d’aria (he = 53,3 W/m2K) alla temperatura di 220°C, conportata di 6 g/s. Determinare la diminuzione di temperatura subita dalfluido nel condotto, supponendo di ritenere costante il flusso termicosullaparete e la differenza di temperatura fluido-parete (20°C) (cp = 1.005kJ/kgK).
Gc
qTTGcq
.
WCKm
WmmTrLhq 3,251203.5330125.022
2
C
kgK
J
s
kg
W
Gc
qT
7.41
1005106
3.251
3
Irraggiamento
Un sistema circondato dal vuoto (per cui non puòscambiare energia per contatto con altri sistemi)tende a raffreddarsi, dimostrando che è possibile ilverificarsi di flusso di energia termica anche inassenza di conduzione o di convezione.
Il meccanismo che ha luogo anche nel vuoto èl’irraggiamento, definito come l’energia raggianteemessa da un mezzo a causa della suatemperatura.
Emissione per irraggiamento
Tutti i corpi emettono continuamente calore perirraggiamento e l’intensità dell’emissione dipendedalla temperatura e dalla natura della superficie edavviene a scapito dell’energia interna.
L’emissione termica per irraggiamento divienesempre più importante al crescere dellatemperatura del corpo; a temperature prossime aquella atmosferica può spesso essere trascurato.
Radiazioni termiche
L’energia raggianteviaggia alla velocitàdella luce e presentauna fenomenologiasimile a quella delleradiazioni luminose,che può esseredescritta con lateoria delle onde.
λ radiazioni termiche
La luce e l’irraggiamento differiscono solo per lalunghezza d’onda:
radiazioni visibili: 400 < λ < 700 nm
radiazioni termiche: 0,1 μm (100 nm) < λ < 100 μm.
Spettro delle radiazioni
Potere emissivo monocromatico
Potere emissivo monocromatico: flusso diradiazione emesso nell’unità di tempo dall’unitàdi superficie di un corpo, per unità di intervallodλ, in tutte le direzioni; si esprime in
Potere emissivo totale E: flusso di radiazioneemesso per unità di area e di tempo su tutto lospettro, in tutte le direzioni; si misura in
mm
W
2
.
.
2m
W
A
qdEE
0
.
Potere emissivo angolare
Potere emissivo angolare: flusso di radiazioneemesso nell’unità di tempo dall’unità disuperficie di un corpo, per unità di angolo solidodω; si esprime in
srm
W2
.
.
.
2
0
diEA
q
d
ndA
dA
Legge di Planck
125
1
TCe
CE
sec10998.2 8 m
c
.
K
JkJh 2334 103805.1sec;106256.6
2
482
1 10742.32m
mWhcC
Kmk
chC 4
2 10439.1
Legge di Wien
Alle temperature più elevate le emissioni più intenseavvengono nel campo delle lunghezze d’onda delvisibile, mentre alle temperature più basse, inferiori a700-800 K, le emissioni sono invisibili.
Ad ogni curva corrispondeun massimo associato adun valore λmax variabile conT che si sposta, al cresceredella temperatura, versolunghezze d’onda minori.
mKtTm 6.2897cos
Legge di Stefan-Boltzmann
Integrando l’espressione di Eλ, data dalla legge diPLANCK, su tutto il campo delle lunghezze d’onda, siottiene l’espressione di E, che rappresentageometricamente l’area sottesa dalle curve aventi comeparametro T :
42
84
0
106697.5Km
WTdEE
A
q
Sole:•corpo nero a T ≈ 5760 K•massimo di emissione nelvisibile, per λmax = 0,5 μm (500nm)•emissione radiante a bassalunghezza d’onda (0,2 μm ≤ λ ≤3 μm).
Effetto serraSi può illustrare il fenomeno sulla base delle leggi di Plancke di Wien
Terra:•corpo nero a T ≈ 288 K•massimo di emissionenell’infrarosso, per λmax = 10 μm•emissione radiantenell’infrarosso (fra 4 e 40 μm),invisibile.
Effetto serra
Superfici selettive:manifestano un comportamento diverso in relazioneall’assorbimento ed alla riflessione della radiazione neidiversi campi di lunghezza d’onda.
Vetro:trasparente per radiazioni visibili e del primo infrarosso(0,4 μm < λ < 2,5 μm)opaco per λ > 2,5-3 μmquesta proprietà permette alla radiazione solare diattraversare la superficie, ma impedisce alla radiazioneinfrarossa di uscirne, causando un aumento dellatemperatura (effetto serra).
Effetto serra
L’effetto serra si verifica a scala più vasta sulla Terra,dove alcuni gas presenti in atmosfera trasmettono laradiazione solare in ingresso, ma assorbono quellainfrarossa emessa dalla Terra: ciò dà origine ad unsurriscaldamento, in crescita per l’incremento diorigine antropica delle concentrazioni dei gas di serra,che genera cambiamenti climatici.
Riflessione, assorbimento, trasmissione
Quando una radiazione colpisce la superficie chesepara due mezzi diversi, parte dell’energia incidenteviene riflessa e parte penetra nel secondo mezzo: laproporzione tra le due frazioni dipende dall’angolo diincidenza sulla superficie e dal suo grado ditrasparenza.Se il secondo mezzo attraversato ha spessore finito,sulla seconda superficie di separazione ancora partedell’energia viene riflessa e parte trasmessa; la parteriflessa torna nuovamente sulla prima superficie, doveviene nuovamente in parte riflessa ed in partetrasmessa.
Coefficienti di riflessione, assorbimento, trasmissione
Al termine del processo, dell’energia specifica incidente G(irradianza), un’aliquota Gr verrà riflessa nel primo mezzo,un’aliquota Ga verrà assorbita dal secondo mezzo edun’aliquota Gt verrà trasmessa, ossia:
GtGaGrG
.
G
Gaa
G
Gtt
G
Grr ;;
.
r: coefficiente di riflessionet: coefficiente di trasmissione a: coefficiente di assorbimento
r, t, a dipendono dalla natura del corpo, dalla suatemperatura e dalla lunghezza d’onda della radiazione
1 tarGtGaGrG
Corpi trasparenti, riflettenti, assorbenti
Un corpo per il quale:
r = 1 è perfettamente riflettente t = 1 è perfettamente trasparente t = 0 è opacoa = 1 è perfettamente assorbente o nero
Il corpo nero rappresenta un modello ideale di corpocapace di assorbire tutta l’energia incidenteindipendentemente dalla lunghezza d’onda.E’ anche un corpo ideale che emette la massimaenergia che può essere emessa da un corpo.
Corpo nero
Può realizzarsi considerando una cavitàisoterma, con pareti interne riflettenti, checomunichi con l’esterno attraverso unforellino molto piccolo rispetto alledimensioni della cavità
Qualunque radiazione che penetri nel forosubisce delle riflessioni multiple sulle pareti ead ogni incidenza resta in parte assorbita;quando infine fuoriesce è stata cosìindebolita che a tutti gli effetti puòconsiderarsi interamente assorbita.
Emissività
Raramente i corpi godono delle proprietà dei corpi neri,ma emettono radiazioni in misura minore
L’energia emessa dai corpi reali può essere valutataintroducendo l’emissività e, definita come:
rapporto fra l’energia emessa da una superficie reale equella che, a parità di condizioni, emette un corpo nero
e = 1 per un corpo nero; 0 < e < 1 per tutti gli altri corpi
e dipende dalla lunghezza d’onda e dalla temperatura e,se l’emissione non è diffusa, anche dalla direzione
Potere emissivo di un corpo reale
Potere emissivo monocromatico ed integrale di unasuperficie reale
Anche il coefficiente di assorbimento a di un corporeale dipende dalla lunghezza d’onda e dallatemperatura
TETeTE n ,,,
00
,,, TETeTEE n
TeTa ,,
Corpo grigioSe ad una temperatura uguale a quella del corpo neroun corpo reale emette, per ogni lunghezza d’onda, unafrazione costante dell’energia emessa dal corpo neroviene detto corpo grigio. Per i corpi grigi e ed a sonouniformi in tutto il campo di lunghezza d’onda:
TeTa
4
0
, TedTETeA
qn
La forma della curvaspettrale è simile a quelladi una superficie nera, mal’altezza è ridotta del valoredell’emissività.
Fattore di vista
La frazione dell’energia raggiante che lasciauna superficie e viene intercettata daun’altra è detta fattore di vista Fij: il primopedice indica la superficie dalla quale laradiazione proviene, il secondo la superficieche la riceve.Esso dipende solo da fattori geometrici.Escluso alcuni casi particolarmente semplici,non è possibile eseguire la valutazioneanalitica dell’integrale che lo definisce; sonoreperibili diagrammi o formulari e per i casipiù complessi si ricorre al calcolo numerico.
Fij Piani paralleli
Fij Piani perpendicolari
Fij Cilindri concentrici
Fij Dischi paralleli
Proprietà dei fattori di vista
iijiji qFAq jjijij qFAq
.
jjijiijiijjiji qFAqFAqqq
.
Se le due superfici sono alla stessa temperatura:
0)( jijijiijjijiijiji FAFAqqFAqFAq
ji qq
jijiji FAFA RELAZIONE DI RECIPROCITÀ
Proprietà additiva
La radiazione che raggiungeuna superficie composta èla somma delle radiazioniche incidono sulle sue parti.
Suddividendo la superficie Aj in parti di area Ak il fattore divista Fij della superficie Ai rispetto alla superficie compostaAj può ritenersi suddiviso in n componenti secondol’espressione:
n
k
kiji FF1
Relazioni di additività
Moltiplicando ambo i membri per Ai ed applicando adentrambi la relazione di reciprocità:
n
k
ikkijj
n
k
kii
n
k
kiijii FAFAFAFAFA111
j
n
K
iKK
ijA
FA
F 1
.
• Se si suddivide la superficie ricevente, il fattore di vista è datodalla somma algebrica dei fattori di vista relativi alle singolesuperfici riceventi• se si suddivide la superficie emittente, il fattore di vista è datodalla media pesata dei fattori di vista delle singole superficiemittenti.
Le due relazioni sono note come RELAZIONI DI ADDITIVITA’
Superfici emittente e ricevente composte
Se oltre alla superficie j si suddivide in m parti anche la superficie i:
Si ha:
m
l
li AA1
n
k
kl
m
l
ljii FAFA1
,
1
i
n
k
kl
m
l
l
jiA
FA
F 1
,
1
Proprietà di chiusura
Se più superfici, nel loro insieme, formano unasuperficie chiusa, per ogni superficie si otterrà:
PROPRIETA’ DI CHIUSURA11
n
j
jiF
che esprime il principio di conservazione dell’energia,secondo cui l’energia totale raggiante che lascia lasuperficie i è intercettata dalle j superfici della cavità.
Fii
Fii = 0 per una superficie piana o convessaFii ≠ 0 per una superficie concava
Simbologia e pedici
:
q0i flusso di energia emesso dalla superficie i: AieiσTi4
qi→ flusso di energia uscente dalla superficie i (per i corpi neri ilflusso emesso coincide con quello uscente perché r = 0): q0i
+riGqi→jflusso di energia uscente dalla superficie i che raggiunge la
superficie j: Fijqi→
qi flusso netto di energia uscente dalla (o entrante nella)superficie i (flusso di energia uscente dalla superficie i menoflusso di energia entrante nella stessa superficie): qi→ - G
qi↔j flusso di energia scambiato fra le superfici i e j (flusso dienergia uscente dalla superficie i che raggiunge la superficiej meno flusso di energia uscente dalla superficie j cheraggiunge la superficie i): qi→j - qj→i
EsempioDate due superfici, 1 (nera) e 2 (grigia) si ha:
4
1110 TAq 4
22220 TeAq a) flusso emesso q0i
b) flusso uscente qi→
c) flusso uscente da iche raggiunge j qi→j
b) flusso netto qi
c) flusso scambiato qi↔j
101 qq
012121 qFq
1211 qqq
122121 qqq
212202 qrqq
2122 qqq
22112 qFq
Superfici completamente affacciateSuperfici piane nere infinitamente estese (ipotesi tecnicamente accettabile se la distanza fra le superfici è molto piccola rispetto alla loro area) allo scopo di eliminare gli effetti di bordo; A1 = A2
4
1110 TAq 4
2220 TAq
01012121 qqFq
12011 qqq
4
2
4
11122121 TTAqqq
21022 qqq
02022112 qqFq
11221 FF
T1
T2
121 aa 021 tt 021 rr
Schermi alla radiazionePer minimizzare il calore scambiato si può introdurre tra ledue superfici uno schermo costituito da un sottile fogliometallico, avente resistenza termica praticamente nulla,schematizzabile anch’esso come parete piana infinitamenteestesa, a temperatura T3 su entrambe le facce.
Schermo nero
T1
T2
T3
4
3
4
1131 TTAq 4
2
4
3323 TTAq
2
4
2
4
14
3
4
2
4
33
4
3
4
112331
TTTTTATTAqq
222
214
2
4
11
4
2
4
14
1131
qTTATTTAq
.
1
21
1
n
qq n
.
Superfici completamente affacciateSuperfici piane, una grigia opaca (A1) ed una nera (A2),A1 = A2 infinitamente estese
4
11110 TeAq 4
2220 TAq
112121 qqFq
1211 qqq
122121 qqq
21022 qqq
02022112 qqFq
11221 FF
T1
T2
12 a 021 tt02 r
202 qq 121011 qrqq
Superfici sfericheSuperfici nere
4
1110 TAq 4
2220 TAq
01012121 qqFq
12011 qqq
122121 qqq
2221022 qqqq
022112 qFq
121 aa 021 tt 021 rr
11 122111 FFAA
022222 qFq
Superfici sferiche
Superfici interna grigia opaca (A1) ed esterna nera (A2)
4
2220 TAq
122121 qqq222122 qqqq
022112 qFq
12 a 021 tt 02 r
11 122111 FFAA
022222 qFq
4
11110 TeAq
121011 qrqq 202 qq
112121 qqFq
1211 qqq
Contemporanea presenza di scambio per convezione ed irraggiamento
Attraverso la superficie delimitante un corpo solido daun fluido circostante ha luogo un flusso di calore perconvezione; inoltre la superficie emette energiaraggiante e ne riceve da parte di altri corpieventualmente presenti nel fluido
Ts: temperatura della superficie del corpoTf: temperatura del fluidoTi: temperatura dell’i-esimo corpo presente nel fluido
44
iSiSfS TTAFTThAQ
Coefficiente di adduzione
Se Ti = Tf
Coefficiente di trasmissione del calore per irraggiamento:
COEFFICIENTE DI ADDUZIONE: α = h+hr Q = αA(Ts -Tf)
α può essere usato anche nel coefficiente globale U
fSfSfSfSfSfS TTTTTTTTTTTT 22222244
ATTTTTTFhQ fSfSfSiS 22
.
fSfSiSr TTTTFh 22
Temperatura aria-sole
Se non è possibile confondere la temperatura dei corpiposti nel fluido con quella del fluido stesso si ricorrealla definizione di una temperatura fittizia del fluido,tale da dare per sola convezione lo stesso scambiotermico di calore che si ha in realtà per convezione edirraggiamento: questo artificio è utilizzato in particolarenel campo del condizionamento dell’aria, per valutare ilcalore scambiato dalle diverse superfici esterne dellecostruzioni con l’aria ed il Sole.
mm
kW
em
m
mW
e
CTE
Km
mK
T
Cn
2
164530,2
14378
5
2
48
5
1 133
1)30,2(
10742,3
1
,2
Esercizio 1
Determinare il potere emissivo monocromatico a 2,30 μm di un corpo nero che si trova alla temperatura di 1645 K.
Esercizio 2
L’energia radiante totale che colpisce un corpo cheriflette, assorbe e trasmette è pari a 2200 W/m2. Diquesta quantità 450 W/m2 vengono riflessi e 900 W/m2
assorbiti. Determinare la trasmissività del corpo.
39,0
2200
900
2200
450
111
2
2
2
2
m
Wm
W
m
Wm
W
G
G
G
Gart ar
Esercizio 3
Determinare, per un corpo nero mantenuto a 115°C, ilmassimo potere emissivo monocromatico, la lunghezzad’onda corrispondente ed il potere emissivo totale.
essendo:
1
,
max
2
5
max
1max
T
Cn
e
CTE
m
K
mK
47,7
388
6,2897max
mm
W
em
m
mW
mK
mK
2
6,2897
14390
5
2
48
113,4
1)47,7(
10742,3
4T
A
qo
2
4
42
8 1285)388(1067,5m
WK
Km
W
Esercizio 4
Determinare i fattori di vista F13 ed F31.
F1-23:
F12:
123,211313123,21 FFFFFF
1 m
1 m
1
2
3 m
5 m
3
6,05
3
m
m
c
b
,
6,05
3
m
m
c
b
4,05
2
m
m
c
a 19,03,21 F
2,05
1
m
m
c
a 125,012 F
065,0125,019,0123,2113 FFF
195,05
065,0152
2
13
3
131
m
mF
A
AF
Esercizio 5Determinare il fattore di vista F13, sapendo che F(1,2)-3 eF23 valgono rispettivamente 0,042 e 0,055.
1
2
3
3 m
3 m
4 m
2 m
23213132,121 FAFAFAA
029,0055,0
12
12042,0
12
12122
2
2
2
23
1
232,1
1
2113
m
m
m
mF
A
AF
A
AAF
Esercizio 6
Ricavare i fattori di vista F13, F31 ed F33 per uncontenitore cilindrico cavo alto 2 m e di raggio 2 m.
2
r
1
3L
12
22 m
m
L
r 1
2
2
1
m
m
r
L 39,02112 FF
11312 FF 61,039,011 1213 FF
13
3
131 F
A
AF 305,061,0
22
2
221313
2
m
mF
L
rF
rL
r
12 3331 FF 3133 21 FF 39,061,01
Esercizio 7
Due piani neri paralleli, infinitamente estesi, sonomantenuti rispettivamente a 300°C e 200°C.Determinare il flusso termico unitario scambiato.
T2
T1
2
44
42
8
4
2
4
1
4
2
4
102210112122121
8,32764735731067,5m
WKK
Km
W
TTTTqFqFqqq
12112 FF
Esercizio 8Per un cilindro lungo 2 m, con raggio esterno 2 m edinterno 1 m, si ricavino i fattori di vista F13, F23, F31, F32 eF33 tra le due superfici anulari che chiudono i cilindrialle due estremità.
Lr1
r2
21
2
1
m
m
r
L 2
1
2
1
2 m
m
r
r 33,021 F 23,022 F
.
12 131211 FFF )1(2
11213 FF
66,033,01
2
2
221
1
221
1
221
1
212
m
mF
r
rF
Lr
LrF
A
AF
1
23
165,0)66,01(2
1)1(
2
11213 FF
Esercizio 8
Lr1
r2
.
1
23
12 232221 FFF 22,0)23,033,01(2
1)1(
2
1222123 FFF
23
3
232 F
A
AF 15,022,0
3
212232
1
2
2
2
m
mmF
rr
Lr
1333231 FFF
323133 1 FFF 72,015,013,01
13,017,014
21
)(2
222132
1
2
2
1132
1
2
2
113
3
131
mm
mmF
rr
LrF
rr
LrF
A
AF
Esercizio 9Una superficie nera chiusa ha la forma di una scatolaparallelepipeda alta 3 m, larga 2,4 m e profonda 3 m. Lasuperficie di base si trova a 450 K, quella superiore a 530 K, edogni parete laterale a 480 K. Determinare i flussi termiciscambiati dalla superficie di base con le altre superfici.
T1
T3
T2
)(4
1
4
2212
4
1121
4
221201120221211212 TTFATFATFAqFqFqqq
)(4
3
4
2232
4
3323
4
223203320223233232 TTFATFATFAqFqFqqq
13
3
m
m
c
b 8,0
3
4,2
m
m
c
a
175,021 F
25,14,2
3
m
m
c
b 25,1
4,2
3
m
m
c
a 18,023 F
WKKKm
Wmmq 6,2607)530()450(1067,5175,0)34,2( 44
42
8
12
WKKKm
Wmmq 888)480()450(1067,518,0)34,2( 44
42
8
32
Esercizio 10Due rettangoli uguali (0,6 m x 1,2 m) e paralleli, distano 1,2 m. Il rettangolo superiore è nero e si trova alla temperatura di 500 K, quello inferiore è grigio, opaco, ha emissività pari a 0,2 e si trova alla temperatura di 900 K, determinare:1)il flusso di energia emesso da ciascuna superficie2)il flusso di energia uscente dalla superficie grigia3)il flusso netto di energia uscente da ciascuna superficie4)il flusso di energia scambiato tra le due superfici.
T2
T1WK
Km
WmmTAq 5,2551)500(1067,5)2,16,0( 4
42
84
1101
WKKm
WmmTeAq 53568)900(1067,52,0)2,16,0( 4
42
84
22202
01122020112202212022 )1( qFeqqFrqqrqq
Esercizio 10
1
2
21 AA
1221 FF
.
5,02,1
6,0
m
m
c
b 1
2,1
2,1
m
m
c
a 12,012 F
WWWqFeqq 533235,255112,08,053568)1( 01122022
WWWqFqqqq 3,38475332312,05,25512210112011
WWWqFqqqq 5,506022,42512,07,5111011222122
WWqqFqFqFqqq 6,6092533235,255112,0201122210112122121
Esercizio 11Date due sfere concentriche, di cui l’interna è grigia e l’esternanera, determinare:1) il flusso emesso dalle due superfici2) il flusso uscente dalla superficie interna3) il flusso netto uscente da ciascuna superficie;4) il flusso scambiato fra le due superfici.
r1
r2 T2
T1
0221101121011 qFrqqrqq
4
2202 TAq
112 F2
2
2
1
2
2
2
112
2
121
4
4
r
r
r
rF
A
AF
2
2
2
12122 11
r
rFF
.
4
1101 TAq
022111211 qFqqqq
222112022221022 qFqFqqqqq 122121 qqq
Esercizio 12
Calcolare i flussi termici netti uscenti dalla superficieesterna del cilindro interno e da quella interna delcilindro esterno.
T1
T3
Lr1
r2
T2
4
3131
4
2121
4
11
4
3313
4
2212
4
1103310221011312011
2
222
TFATFATA
TFATFATAqFqFqqqqq
4
3323
4
1121
4
2222
03320222011202232221022
2)1(
22
TFATFATAF
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112 F
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