pripreme septembar
Post on 19-Oct-2015
400 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
5/28/2018 pripreme septembar
1/258
1
Matematikaprvi razred strune kole
-
5/28/2018 pripreme septembar
2/258
2
-
5/28/2018 pripreme septembar
3/258
3
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 1.Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom
Tip asa: Uvodni as
Nastavne metode: MonolokaOblici rada: Frontalni
Cilj asa: Upoznati uenikesa planom i programom Matematike i nainom rada naasovima
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Upoznati uenike sa nastavnim sadrajima koji ese obraivati u nastavi fizike
prvog razreda
Odgojni zadatak: Izgraditi kod uenika nauni pogled na svijetFunkcionalni zadatak: Pripremiti uenike za budui nain rada na asovima fizike
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
4/258
4
TOK ASA
Uvodni dio(3 min.)
Predstavljam se uenicima,upoznajem ih ukratko sa predmetom matematike i znaajem nastavnogpredmeta u okviru srednjokolskog obrazovanja, a posebno znaajem za struku.
Glavni dio (40 min.)
Ukratko uenike upoznajem sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi matematike u prvomrazredu strune kole. Uenicima predlaem da sa table prepiu kratki pregled oblasti koje su predviene
Nastavnim planom i programom za prvi razred strune kole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanjuudbenika i zbirke) provjeriti da li im udbenikodgovara.
Prva oblast koja e se raditi je Skupovi brojeva. U okviru ove oblasti radiemo sljedee:
Skup prirodnih brojeva , osobine i operacije u tom skuputu emo govoriti o Peanovim aksiomama,operacijama u skupu prirodnih brojeva i osobinama operacija sabiranja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja.
Skup cijelih brojeva Ovdje govoriti i cijelom broju, razlozima za uvoenje cijelih brojeva, operacijamasa cijelim brojevima i njihovim osobinama.
Skup racionalnih brojeva Govoriemo razlozima za uvoenje racionalnih brojeva, pojmu rasionalnogbroja i osnovnim raunskim operacijama sa racionalnim brojevima.
Skup realnih brojeva Govoriemo o razlozima za uvoenje realnih brojeva, definisati iracionalne irealne brojeve i razmotriti operacije sa realnim brojevima i njihove osobine..
Druga oblast koja e se obraivati u prvom razredu Algebarski izrazi. U okviru ove oblasti radiemo
sljedee:StepeniGovoriemo o pojmu stepena, osobinama stepena i nauiemo kako se izvode osnovne operacijesa stepenima (sabiranje, oduzimanje, mnoenje i dijeljenje). Pri tome emo provjeriti kada se mogu, a kadane mogu, izvoditi pojedine operacije sa stepenima.
Monomita su monomi, koje su njihove osnovne osobine, kad se mogu sabirati i oduzimati i kako se toradi, kako se monomi mnoe i dijele..
Polinomita su polinomi, koje su im osnovne osobine i kako se izvode raunske operacije sa polinomima.
Trea oblast je Geometrija u ravni. U okviru ove oblasti radiemo sljedee:
Osnovni i izvedeni pojmovi u geometrijikoji su pojmovi osnovni, a koji izvedeni, kako se deduktivnommetodom izvodi geometrija u ravni, ta je euklidska geometrija. Definisaemo najvanije geometrijskefigure u ravni.
etvrta oblast je Izometrije u ravni. Tu emo prouiti osnovne izometrije u ravni (translaciju, rotaciju,centralnu i osno simetriju) i njihove osobine.
Peta oblast je Pravougli koordinatni sistem u ravni, gdje emo nauiti metodu koordinata, funkcije
direktne i obrnute proporcije i njihove grafike i osobine, kao i linearnu funkciju.
-
5/28/2018 pripreme septembar
5/258
5
esta oblast je Linearne jednaine, nejednaine i sistemi, gdje emo definisati i nauiti rjeavati linearnejednaine sa jednom nepoznatom, linearne nejednaine sa jednom nepoznatom i sistem od dvije linearnejednaine sa dvije nepoznate.
Zavrnidio (2 min.)
Zakljuiemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program matematike za prvi razred strune kole,najbolje odgovara Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla
Krili, IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
Napominjem uenicima da, kada kupuju udbenik, obavezno pogledaju da li on sadri sve oblasti koje sunapisane na tabli.
Plan table
MATEMATIKA
SKUPOVI BROJEVA
ALGEBARSKI IZRAZIGEOMETRIJA U RAVNI
IZOMETRIJA U RAVNIPRAVUOGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI
LINEARNE JEDNAINE, NEJEDNAINE I SISTEMI
Matematika sa zbirkomzadataka za prvi razredsrednje kole
Meliha Ali, Lejla Krili,
-
5/28/2018 pripreme septembar
6/258
6
-
5/28/2018 pripreme septembar
7/258
7
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 2.Nastavna jedinica: Osnovni pojmovi u matematici, definicija, aksioma, teorema, dokaz
Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sadeduktivnim nainom zasnivanja matematuike teorije
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti daje matematika deduktivna nauka i razumjeti ta to znai.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
8/258
8
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o pojmovima u matematici kao to su npr. Taka, prava, ravan, prostor,poluprava, trougao, krug itd.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov
Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici
Glavni dio (35 min.)
U zasnivanju neke naune teorije mogue je primijeniti jedan od dva osnovna pristupa:
- Induktivni pristupod posebnog ka optem na osnovu nekoliko pojedinanih sluajeva u kojimaje neto tano zakljuujemo da je to uvijek tano. Na primjer, mjerenjem temperature tokomnekoliko dana u mjesecu julu mogli bi zakljuiti da se temperatura u nekoj oblasti kree u rasponuod 25C do 35C. Problem je u tome to bi se mjerenjem temperature u istoj oblasti u decembrudobile znatno nie temperature. Dakle, problem induktivne metode je u tome to nije pouzdana.
Dobra strana je u tome to je lake doi do zakljuka.- Deduktivni pristupod opteg ka posebnomprvo se izvodi pravilo/zakon koji treba da vrijediuvijek, tj. u optem sluaju, a zatim se izvedeno pravilo primjenjuje na pojedinane sluajeve.Prednost je u tome to je ova metoda pouzdanija, a nedostatak u tome to je mnogo tee doi donekog tvrenja.
Matematika je deduktivna nauka, to znai da se prvo izvode i dokazuju opti zakoni i principi, koji sezatim primjenjuju na pojedinane sluajeve.
Pri uspostavljanju matematike teorije moramo raditi sa nekim matematikim pojmovima, kao to su broj,skup, prava, krug, trougao, taka, itd. Sve ove pojmove bi u principu trebali da definiemo, da bi znali ta
predstavljaju ti pojmovi, koje su im osobine i kako raditi sa njima.
Definicija bi trebala da sadri opte obiljeje (koje ukazuje na zajednike osobine tog pojma sa slinimpojmovima u klasi) i specifino obiljeje (po kojima se pojam koji definiemo razlikuje od ostalih pojmovaiz klase). Kad npr. definiemo jednakokraki trougao kao trougao ije su dvije susjedne stranice jednake,ondaje opte obiljeje to da jednakokraki trougao pripada skupu (klasi) trouglova, a specifino obiljeje jeto da su mu dvije susjedne stranice jednake.
Definicija treba da bude to jednostavnija, da opte obiljeje bude to ue, a da specifino obiljeje sadrito manje osobina.
Na primjer, ako definiemo kvadrat, neemo rei da je to etverougao (preiroko opte obiljeje) kome susve etiri stranice jednake i meusobno okomite,a dijagonale okomit i polove se (previe osobina uspecifinom obiljeju). Kvadrat emo definisati kao pravougaonik kome su susjedne stranice jednake. To
je najue mogue opte obiljeje sa najmanjim skupom osobina u specifinom obiljeju. Na taj nain jenajlake prepoznati ta je kvadrat, a dodatne osobine kvadrata se lako izvodeiz navedenih.
Definicija ne smije da koristi pojmove koji nisu poznati tj. definisani ranije, niti smije biti u suprotnosti sa
nekim od definisanih pojmova. Ovdje se oito javlja problem u tim to je oito da ne moemo ba svedefinisati. Zato neke pojmove uzimamo kao osnovne pojmove.
Osnovni pojmovi su pojmovi koji se ne definiu, ve se uzimaju kao unaprijed (intuitivno) poznati. To sunpr. taka, prava, ravan, broj, skup itd.
Izvedeni pojmovi se definiu pomou osnovnih, kao i ve definisanih pojmova. To su npr. poluprava, ugao,podskup itd.
Zavrnidio (5 min.)
-
5/28/2018 pripreme septembar
9/258
9
Ponavljam osnovne i izvedene pojmove u matematici, u emu se razlikuju osnovni i izvedeni pojmovi, tasu aksioma i teorema, navodim primjere osnovnih i izvedenih pojmova, aksioma i teorema.
Plan table
Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici
- Induktivni pristup- Deduktivni pristup- Osnovni pojmovi- Izvedeni pojmovi- Aksiome
- Teoreme
-
5/28/2018 pripreme septembar
10/258
10
-
5/28/2018 pripreme septembar
11/258
11
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 3.Nastavna jedinica: Skupovi brojeva, skup i definicija i operacije u njimaTip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa skupovima brojeva i osobinama raunskih operacija
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti kako se uvode skupovi brojeva, kako se ispituju osobine tih skupova,
podsjetiti seosnovnih raunskih operacija sa brojevima, kako se izvode i kojeosobine imaju.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,
IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
12/258
12
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je induktivnipristup?
Odgovor: Induktivni pristup je pristup odposebnog ka optem.
Pitanje: ta je deduktivni pristup?
Odgovor: Deduktivni pristup je pristup od opteg ka posebnom.
Pitanje: ta je osnovni pojam?
Odgovor: Osnovni pojam je pojam koji se ne definie, ve se uzima kao unaprijed poznat.
Pitanje: ta je izvedeni pojam?
Odgovor: Izvedeni pojam je pojam koji se definie preko osnovnog i ve izvedenog pojma.
Pitanje: ta je aksioma?Odgovor: Aksioma je tvrenje koje se ne dokazuje, ve se uzima kao unaprijed tano.
Pitanje: ta je teorema?
Odgovor: Teorema je tvrenje koje se dokazuje preko aksioma i ve dokazanih teorema.
Pitanje: ta znai dokazati tvrdnju?
Odgovor: Dokazati tvrdnju znai primjenom matematike logike tu tvrdnju svesti na aksiome i vedokazana tvrenja, ili na oigledno tano tvrenje.
Pitanje: ta jecirculus vitiosus?
Odgovor: Circulus vitiosus (kruna logika greka) je greka pri dokazivanju, kada se tvrdnja dokazujepreko neega to tek treba dokazati.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Skupovibrojeva, skup i
-
5/28/2018 pripreme septembar
13/258
13
Glavni dio (35 min.)
Ve nam je poznato da je skup prirodnih brojeva skup 1,2,3,4,5,6,7,...
. Meutim, taj nain ne
definie nedvosmisleno skup prirodnih brojeva.
Italijanski matematiar Giuseppe Peano (1858 1932)je skup pri rodnih brojeva defi nisao preko pet
aksioma, koje su danas poznate kao Peanove aksiome:
(1) Jedinica je pri rodan broj 1
(2) Svaki pri rodan broj ima neposrednog sl jedbenika ' : 'n n n n
(3) Jedinica ni je slj edbenik ni jednog pri rodnog broja ' 1n
(4) Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne sljedbenike, onda su oni jednaki
, ' 'm n m n m n
(5) Ako neki podskup skupa pri rodnih brojeva sadri broj 1 i uz to sadri sljedbenih svakog svojegelementa, onda je taj skup jednak skupu pr ir odnih brojeva
: 1 'M M n M n M M
U skupun prirodnih brojeva definiu se etiri osnovne raunske operacije: sabiranje, oduzimanje,mnoenje i dijeljenje. Ove raunske operacije mogu imate neke od sljedeih osobina:
1. Zatvorenost ,a b a b
2. Komutativnost a b b a
3. Asocijativnost a b c a b c
4. Li jeva distributivnost a b c a b a c
5. Desna distributivnost a b c a c b c
6. Neutraln i element a n a
7. I nverzni element a a n
Osobine sabiranja:
1. Sabiranje je zatvoreno u skupu prirodnih brojeva ,a b a b
2. Sabiranje je komutativno a b b a
3. Sabiranje je asocijativno a b c a b c
4. Sabiranje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a
5. Sabiranje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n
Na primjer:
2 5 7
2 5 5 2
7 7
2 5 3 2 5 3
2 8 7 3
10 10
-
5/28/2018 pripreme septembar
14/258
14
Osobine oduzimanja:
1. Oduzimanje nije zatvoreno ,a b a b (npr. 2 5 )
2. Oduzimanje nije komutativno a b b a
npr. 5 2 2 5 jer 5 2 3 a 2 5 33
3. Oduzimanje nije asocijativno a b c a b c
15 8 3 15 8 3
15 5 7 3
10 4
4. Oduzimanje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a
5. Oduzimanje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n
Osobine mnoenja:
1. Mnoenje je zatvoreno u ,a b a b 2. Mnoenje je komutativno a b b a
3. Mnoenjeje asocijativno a b c a b c
4. Mnoenje je lijevo distributivno prema sabiranju a b c a b a c
5. Mnoenje je lijevo distributivno prema oduzimanju a b c a b a c
6. Mnoenje je desno distributivno prema sabiranju a b c a c b c
7. Mnoenje je desno distributivno prema oduzimanju a b c a c b c
8. Neutralni element za mnoenje je broj 1 1a a a
9. Mnoenje nema inverznog elementa a a a n
Osobine dijeljenja:
1. Dijeljenje nije zatvoreno u , :a b a b
2. Dijeljenje nije komutativno : :a b b a
3. Dijeljenje nije asocijativno : : : :a b c a b c
4. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema sabiranju : : :a b c a b a c
5. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema oduzimanju : : :a b c a b a c
6. Dijeljenje je desno distributivno prema sabiranju : : :a b c a c b c
7. Dijeljenje je desno distributivno prema oduzimanju : : :a b c a c b c
8. Neutralni element za dijeljenje je broj 1 :1 ali 1:a a a a a
9. Dijeljenje nema inverznog elementa :a a a n
Da bi oduzimanje brojeva bilo zatvoreno, odnosno da bi mogli da oduzimamo bilo koji prirodan broj,
uvodimo skup cijelih brojeva . Negativno cijeli brojevi nanose se na brojnu osu na suprotnu stranu od
pozitivnih cijelih brojeva.
U skupu cijelih brojeva sabiranje ima neutralni element (broj 0) i inverzni element (broj a , suprotan od
broja a ). Neutralni element za oduzimanje je broj 0, dok je inverzni element broja aisti taj broj a.
Napominjem uenike da se podsjete pravila izvravanja raunskih operacija sa cijelim brojevima iz osnovnekole:
Sabiranje:
-
5/28/2018 pripreme septembar
15/258
15
- Dva broja jednakih predznaka sabiramo tako to prepiemo zajedniki predznak i saberemoapsolutne vrijeednosti brojeva
- Dva broja suprotnih predznaka sabiramo tako to prepiemo predznak broja sa veom apsolutnomvrijednou i od vee apsolutne vrijednosti oduzmemo manju.
Oduzimanje:
Broj boduzimamo od broja atako to broj asaberemo sa brojem suprotnim od broja b a b a b
Mnoenje i dijeljenje:- Dva broja jednakih predznaka mnoimo/dijelimo tako to im mnoimo/dijelimo apsolutne
vrijednosti
- Dva broja suprotnih predznaka mnoimo/dijelimo tako to piemo predznak i mnoimoapsolutne vrijednosti.
Primjeri:
5 7 5 7 12
5 7 7 5 2
5 7 7 5 2
5 4 5 4 20
3 8 3 8 24
5 7 5 7 35
24 : 6 24 : 6 4
18 : 3 18 : 3 6
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje skupa prirodnih brojeva, operacije sa prirodnim i cijelim brojevima i osobine tih
operacija.
Plan table
Skupovi brojeva, skup i
1. 1
2. ' : '
3. ' 1
4. , ' '
5. : 1 '
n n n n
n
m n m n m n
M M n M n M M
1. ,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a b a b
a b b a
a b c a b c
a b c a b a c
a b c a c b c
a n a
a a n
Osobine sabiranja:
1. ,
2.
3.
4.
a b a b
a b b a
a b c a b c
:
5.
n a n a
:a a a n
2 5 7
2 5 5 2
7 7
2 5 3 2 5 3
2 8 7 3
10 10
Osobine oduzimanja:
1. ,
2.
3.4.
a b a b
a b b a
a b c a b c
:
5.
n a n a
:
15 8 3 15 8 3
15 5 7 3
10 4
a a a n
-
5/28/2018 pripreme septembar
16/258
16
-
5/28/2018 pripreme septembar
17/258
17
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 4.Nastavna jedinica: Skup definicija, osobine, prikaz racionalnog brojaTip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa skupovima brojeva i osobinama raunskih operacija
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti kako se uvode skupovi brojeva, kako se ispituju osobine tih skupova,
podsjetiti seosnovnih raunskih operacija sa brojevima, kako se izvode i kojeosobine imaju.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
TOK ASA
-
5/28/2018 pripreme septembar
18/258
18
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: Koji su to prirodni brojevi?
Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...
Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?
Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?
Odgovor: Druga Peanova aksioma glasi: Svaki prirodan broj ima svog neposrednog sljedbenika
Pitanje: Kako glasi treaPeanova aksioma?
Odgovor: Trea Peanova aksioma glasi: Jedinica nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja.
Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?
Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposrednesljedbenike, onda su oni jednaki.
Pitanje: Kako glasi peta Peanova aksioma?
Odgovor: Peta Peanova aksioma glasi: ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadri jedinicu ineposrednog sljedbenika svakog svog elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih
brojeva.
Pitanje: Da li je sabiranje komutativno u skupu prirodnih brojeva i ta to znai?
Odgovor: Sabiranje u skupu prirodnih brojeva je komutatovno, to znai da vrijedi a b b a , tj. daredoslijed sabiranja dva prirodna broja moemo zamijeniti.
Pitanje: Koje operacije su asocijativne u skupu prirodnih brojeva?
Odgovor: U skupu prirodnih brojeva su asocijativne operacije sabiranja i mnoenja.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Skup
Glavni dio (35 min.)
Skup racionalnih brojeva uvodimo zato to u skupu cijelih brojeva ne moemo uvijek izvriti dijeljenje,odnosno dijeljenje nije zatvoreno u skupu cijelih brojeva. Racionaljan broj uvodimo tako to, u sluaju dase dijeljenje ne moe izvriti, znak dijeljenja zamijenimo razlomakom linijom.
brojnik:
nazivnik
aa b
b
Racionalan broj je kolinik cijelog i prirodnog broja:
,a
q a bb
Skup racionalnih brojeva je skup
| ,a
q a bb
-
5/28/2018 pripreme septembar
19/258
19
Racionalan broj se moe definisati i kao kolinik dva cijela broja, samo u tom sluaju moramo napomenutida broj u nazivniku ne smije biti jednak nuli.
, , 0a
q a b bb
| , , 0a
q a b bb
Na taj nain smo rijeili zatvorenost sve etiri osnovne raunske operacije. Dakle, u skupu racionalnihbrojeva operacije sabiranja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja su zatvorene.
Moemo definisati reciprone brojeve. To su brojevi iji je proizvod jednak jedinici.
1 2 1q q
Reciproan broj brojaa
b dobijamo zamjenom mjesta brojnuku i nazivniku, ime dobijemo broj
b
a. Dakle,
brojevia
b i
b
a su reciproni, jer vrijedi
1a b
b a
Ovo ujedno znai da je broj reciproan brojuxinverzni element za mnoenje.
Reciproan broj broja aje broj1
a
, a isto tako je reciproan broj broja1
a
broj a. Kaemo da su brojevi ai
1
a
uzajamno (meusobno) reciproni.
Sad i dijeljenje racionalnih brojeva moemo svesti na mnoenje:
1
:p q p q
Odnosno
:
a c a d
b d b c
Operacije sa racionalnim brojevima:
Sabiranje i oduzimanje
a c ad bc
b d bd
(mada u praksi traimo najmanju zajedniki sadrioc za nazivnike, tj. najmanji zajedniki nazivnik zarazlomke koji se sabiraju/oduzimaju)
Mnoenje
a c a c
b d b d
Dijeljenje
-
5/28/2018 pripreme septembar
20/258
20
:
a c a d a d
b d b c b c
Primjeri:
5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41
6 8 6 4 8 3 24 24 24 24
11 1 11 2 1 3 22 3 199 6 18 18 18
4
15
25
6
2 5 2 5 10
3 3 3 3 9
5 4 5:
6 9 6
9
5 3 5 3 15
4 2 4 2 4 8
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa racionalnim brojevima i osobine tih
operacija.
Plan table
Skup
1 2
brojnik:
nazivnik
,
| ,
, , 0
| , , 0
1
aa b
b
aq a b
b
aq a b
b
aq a b b
b
aq a b b
b
q q
1
1:
:
:
a b
b a
p q pq
a c a d a
c ad bcb d b cb d bd
a c a c
b d b d
a c a d a d
b d b c b c
Primjeri:
5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41
6 8 6 4 8 3 24 24 24 24
11 1 11 2 1 3 22 3 19
9 6 18 18 18
4
15
25
6
2 5 2 5 10
3 3 3 3 9
5 4 5:
6 9 6
9
5 3 5 3 15
4 2 4 2 4 8
-
5/28/2018 pripreme septembar
21/258
21
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 5.Nastavna jedinica: Skupovi I i , realna brojana osa
Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa skupovima brojeva i osobinama raunskih operacija
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti kako se uvode skupovi brojeva, kako se ispituju osobine tih skupova,
podsjetiti seosnovnih raunskih operacija sa brojevima, kako se izvode i kojeosobine imaju.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,
IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
22/258
22
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: Koji su to prirodni brojevi?
Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...
Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?
Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.
Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?
Odgovor: Druga Peanova aksioma glasi: Svaki prirodan broj ima svog neposrednog sljedbenika
Pitanje: Kako glasi treaPeanova aksioma?
Odgovor: Trea Peanova aksioma glasi: Jedinica nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja.
Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne
sljedbenike, onda su oni jednaki.
Pitanje: Kako glasi peta Peanova aksioma?
Odgovor: Peta Peanova aksioma glasi: ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadri jedinicu ineposrednog sljedbenika svakog svog elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih
brojeva.
Pitanje: Da li je sabiranje komutativno u skupu prirodnih brojeva i ta to znai?
Odgovor: Sabiranje u skupu prirodnih brojeva je komutatovno, to znai da vrijedi a b b a , tj. daredoslijed sabiranja dva prirodna broja moemo zamijeniti.
Pitanje: Koje operacije su asocijativne u skupu prirodnih brojeva?
Odgovor: U skupu prirodnih brojeva su asocijativne operacije sabiranja i mnoenja.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Skup
Glavni dio (35 min.)
Razlog za uvoenje skupa realnihbrojeva je zatvaranje operacije korjenovanja.
Kvadrat racionalnog broja je jednak proizvodu tog broja sa samim sobom
2q q q
Kvadratni korijen racionalnog broja qje brojpiji je kvadrat jednak broju q, odnosno
2p q p q
Problem nastaje zato to kvadratni korijen racionalnog broja ne mora biti racionalan broj. Broj je racionalan
ako se moe prikazati kao kolinik cijelog i prirodnog broja. Racionalan broj se isto tako moe predstaviti
-
5/28/2018 pripreme septembar
23/258
23
decimalnim brojem sa konani mnogo decimala ili sa beskonano mnogo decimala od kojih se dioperiodiki ponavlja, kao npr. 2,35 ili 14,12568568568568568568...
Pokazalo se da broj 2 nije mogue prikazati ni na jedan od navedenih naina. Postoji i dokaz da 2 nije racionalan, ali ga ovdje neemo izvoditi. Dakle:
2
Brojeve koji se ne mogu predstaviti kao kolinik cijelog i prirodnog broja zazivamo iracionalni brojevi.
Skup iracionalnib brojeva oznaavamo sa I.
2, 2, 3, 3,... I
Unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva:
I
Skup realnih brojeva se moe prikazati na realnoj brojnoj osi. Svaka taka na realnoj brojnoj osi odgovaranekom realnom broju, i svakom realnom broju odgovara neka taka na realnoj brojnoj osi. Izmeu realnih
brojeva i realne brojne ose moe se uspostaviti obostrano jednoznano preslikavanje, kojim se svakomrealnom broju prudruuje talka na realnoj brojnoj osi, i obrnuto. To je osnova na kojoj se zasniva metoda
koordinata.
R6543210-1-2-3-4-5-6
Kako iracionalnom broju pridruiti taku na brojnoj osi? Primjenom Pitagorine teoreme na jednakokraki
pravougli trougao sa stranicama 1 i 1, dobijamo da je duinahipotenuze jednaka 2 , pa taku na brojnoj
osi pridruenu broju 2 moemo dobiti na sljedei nain:
R32210-1
1
1
2
Na slian nain se moe prikazati taka koja odgovara bilo kojem iracionalnom broju. Na primjer,
iracionalnom broju 3 moemo na brojnoj osi pridruiti taku na sljedei nain:
R32310-1
2 1
1
1
3
-
5/28/2018 pripreme septembar
24/258
24
Za vjebu: Na realnoj brojnoj osi prikazati iracionalne brojeve:
1. 5
2. 6
3. 7
Rjeenja:
1. Za broj 2 25 1 4 1 2 nam treba pravougli trougao sa katetama 1 i 2.
R32 510-1
2
1
5
2. Za broj2
26 4 2 2 2 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 2
R32210-1
1
1
2
2
6
6
-
5/28/2018 pripreme septembar
25/258
25
3. Za broj2
27 4 3 2 3 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 3 .
R32
7
10-1
2 1
1
1
3
2
7
-
5/28/2018 pripreme septembar
26/258
26
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa iracionalnim i realnim brojevima i osobine
tih operacija. Pojanjavam prikaz iracionalnog broja na realnoj brojnoj osi. Dajem zadatke za domauzadau:Prikazati na realnoj brojnoj osi iracionalne brojeve:
1. 2 28 4 4 2 2
2. 2 210 9 1 3 1
3.2
211 9 2 3 2
Plan table
Skupovi I i
2
2
2
2, 2, 3, 3,...
q q q
p q p q
I
I
R6543210-1-2-3-4-5-6
R32210-1
1
1
2
R32310-1
2 1
1
1
3
-
5/28/2018 pripreme septembar
27/258
27
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 6.Nastavna jedinica: Stepen sa cjelobrojnim eksponentomdefinicija, operacijeTip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa pojmom i osnovnim osobinama stepena
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti osnovne osobine
stepena.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
28/258
28
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: Koji su to prirodni brojevi?
Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?
Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.
Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?
Odgovor: Druga Peanova aksioma glasi: Svaki prirodan broj ima svog neposrednog sljedbenika
Pitanje: Kako glasi treaPeanova aksioma?
Odgovor: Trea Peanova aksioma glasi: Jedinica nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja.
Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?
Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposrednesljedbenike, onda su oni jednaki.
Pitanje: Kako glasi peta Peanova aksioma?
Odgovor: Peta Peanova aksioma glasi: ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadri jedinicu ineposrednog sljedbenika svakog svog elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih
brojeva.
Pitanje: Da li je sabiranje komutativno u skupu prirodnih brojeva i ta to znai?
Odgovor: Sabiranje u skupu prirodnih brojeva je komutatovno, to znai da vrijedi a b b a , tj. daredoslijed sabiranja dva prirodna broja moemo zamijeniti.
Pitanje: Koje operacije su asocijativne u skupu prirodnih brojeva?
Odgovor: U skupu prirodnih brojeva su asocijativne operacije sabiranja i mnoenja.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Stepeni
Glavni dio (35 min.)
Proizvod vie jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen emo definisati sljedeom formulom:
puta
.......
- baza
- eksponent
n
n
a a a a
a
n
Uzeemo da je eksponent cijeli broj n .
Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, ve se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a piemo samo a .
Gdje god ubudue vidimo a , podrazumijevamo da to znai1
a Osobine stepena:
-
5/28/2018 pripreme septembar
29/258
29
Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj
0 0n
a a
Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj
0, 2 0n
a n k a
Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj
0, 2 1 0
n
a n k a
Stepen ija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent razliit od nule.
0 0 0na a n
Stepenovanje ima vii prioritet od mnoenja.c
ba znai
cb
a , a ne c
ba .
Stepenovanje nije komutativno
3 22 8 3 9
Stepenovanje nije asocijativno
c cb b
a a
Primjer 1.
Izraunati 82 .
Rjeenje:
82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256
Odavde vidimo da je mogue stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako to se stepen na izrazipreko stepena iji je eksponent za 1 manji od n 1na
1 1n na a a n
Tako je:
2
3
4
1
1
2
3 2
4 3
5 4
1....n
a
a
a
n n
a
a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
Primjer 2.
Izraunati 92
Rjeenje:
-
5/28/2018 pripreme septembar
30/258
30
Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je
9 82 2 2 256 2 512
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:1. Izraunati 53 ako se zna da je 43 81 .2. Izraunati 4n , gdje je 2,3,4,5,6,7n
Plan table
Stepeni
3 2
puta
.......
- baza
- eksponent
0 0
0, 2 0
0, 2 1 0
0
2 8
0 0
3 9
c
n
n
n
n
n
n
cb b
a a a a
a
n
n
a a
a n k a
a n k a
a a n
a a
2
3
1
8
8
1
1
2
3 2
4 3
1
9
Primjer 1. 2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2
16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256
1
....
Primjer 2. 2
n
n n
a
a
n n
a
a a a n
a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a
8
9 8
?
2 256
2 2 2 256 2 512
-
5/28/2018 pripreme septembar
31/258
31
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 7.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih baza
Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa osnovnim operacijama sa stepenima
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti kako se vre osnovne
operacije sa stepenima.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
32/258
32
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je stepen?
Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojevaputa......
n
na a a a
Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?
Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .
Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?
Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.
c cb ba a
Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?
Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.
Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.
Pitanje: Da li mnoenje ima vii prioritet od stepenovanja?
Odgovor: Mnoenje nema vii prioritet od stepenovanja, ve upravo suprotno: stepenovanje ima viiprioritet (prije se radi) od mnoenja.
Pitanje: ta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?
Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za raunanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Onaima oblik: 1n na a a
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Operacije sa stepenima jednakih baza
Glavni dio (35 min.)
Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih baza:
puta puta puta
...... ..... ......m n m n
m n m n
a a a a a a a a a a a a
Na primjer:
5 3 8 5 3
5 puta 3 puta 8 puta
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Primjer 1.23 11 23 11 34
a a a a
-
5/28/2018 pripreme septembar
33/258
33
Primjer 2.
5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b
Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.
:
m
m n
n
a a
a a
a
a ..... a
puta
...
m
a a
a
a ..... a puta
puta
..... m n
m n
n
a a a a
Na primjer:
99 4
4:
a a
a a
a
a a a
9 puta
a a a a a
a
a a a
5 9 4
5 puta
4 puta
a a a a a a a
Primjer 3.
23 11 23 11 12:a a a a
Primjer 4.17 17 17 17 0
:a a a a
Sa druge strane, ovo moemo izraunati i bez primjene pravilastepenovanja:
17
17 17:
a
a a 17
a
1
Poto moe biti samo jedan taan rezultat, a oba postupka su ispravni, zakljuujemo da je
01a
Ovo moemo izvesti i u optem sluaju:
:n
n n aa a
na
0
0
11
:n n n n
a
a a a a
Napomena: Ovo vrijedi uz ogranienje da je 0a , jer se nula ne moe stepenovati sa nulom.
Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:
0
0 1n nn n
aa aa a
Dakle,1
n
n
a
a
Primjer 5.
5
5
1a
a
Jo emo razmotriti kako moemo stepenovati stepen:
-
5/28/2018 pripreme septembar
34/258
34
puta puta puta puta puta
puta
..... ..... ..... ..... ..... .....m
n n n n m n
m n n n m n
m
a a a a a a a a a a a a a a a a a
Na primjer:
4
3 3 3 3 3 12 4 3
4 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta
4 puta
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Primjer 6.
7
5 7 5 35a a a
Moemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo vie pravila. Na primjer:
rm n m r n r
p p r
a b a b
c c
Primjer 7.6
7 5 7 6 5 6 42 30
4 3 4 6 3 6 24 18
a b a b a b
c d c d c d
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
1. 4 3
5 3 2 4?a b a b
2. 2 3
5 4 3 2 2: ?x y z x y z
Plan table
Operacije sa stepenima jednakih baza
puta puta puta
5 3 8 5 3
5 puta 3 puta 8 puta
23 11 23 11 34
...... ..... ......
Primjer 1.
Primjer
m n m n
m n m n
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
5 3 3 2 5 3 3 2 8 5
2.
:m
m n
n
a b a b a b a b
a aa a
a
a ..... a
puta
...
m
a a
a
a ..... a putaputa
99 4
4
.....
:
m n
m n
n
a a a a
a aa a
a
a a a
9 puta
a a a a a
a
a a a
5 9 4
5 puta
4 puta
a a a a a a a
23 11 23 11 12
17 17 17 17 0
1717 17
Primjer 3.
:
Primjer 4.
:
:
a a a a
a a a a
a
a a
17a0
1
1
:n
n n
a
a
a a
n
a
0
0
11
:
0
n n n n
a
a a a a
a
-
5/28/2018 pripreme septembar
35/258
35
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 8.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih eksponenata
Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Upoznati uenike sa osnovnim operacijama sa stepenima
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti kako se vre osnovne
operacije sa stepenima.
Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo
-
5/28/2018 pripreme septembar
36/258
36
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je stepen?
Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojevaputa......
n
na a a a
Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?
Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .
Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?
Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.
c cb ba a
Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?
Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.
Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.
Pitanje: Da li mnoenje ima vii prioritet od stepenovanja?
Odgovor: Mnoenje nema vii prioritet od stepenovanja, ve upravo suprotno: stepenovanje ima viiprioritet (prije se radi) od mnoenja.
Pitanje: ta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?
Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za raunanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Onaima oblik: 1n na a a
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:
Operacije sa stepenima jednakih baza
Glavni dio (35 min.)
Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih eksponenata:
puta puta
puta
...... ..... ......nn n
n nn
a b a a a b b b a b a b a b a b
Na primjer:
33 3
3 puta3 puta3 puta
a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b
Primjer 1.
-
5/28/2018 pripreme septembar
37/258
37
55 5 5
2 5 2 5 10 100 000
Primjer 2.
8 8
2 5 2
3 2
5
3 2
8 8
5
3
Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.puta
puta puta
.....: .....
.....
n
nn
n n
n
n n
a a a a a a a aa b
b b b b b b b b
Na primjer:
4 puta
444 4
4
4 puta 4 puta
: a a a a a a a a a a
a bb b b b b b b b b b
Primjer 3.
5
5 5
5
6 66 : 4
4
4
5 5
3
2
Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) moemo itati na dva naina; slijeva nadesno (kako sunapisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj nain dobijamo jo dva
pravila:
Stepenovanje proizvoda:
n n n
a b a b
Primjer:
3 3
5 3 5 153 3 27a a a
Uoiti da 3
53a nije jednako 153a 3
5 153 3a a , ve 1537a
35 15
3 27a a
Stepenovanje kolinika (razlomka, racionalnog broja):
0n n
n
a ab
b b
Primjer:
4 4
4
2 2 16
3 3 81
-
5/28/2018 pripreme septembar
38/258
38
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
1. 5 3
3 42 3 ?a b ab
2.
4 33 5
2 3
2 6?
3 4
x y
y x
Plan table
Operacije sa stepenima jednakih baza
puta putaputa
33 3
3 puta3 puta3 puta
55 5 5
8
...... ..... ......
2 5 2 5 10 100000
2
3
nn n
n nn
a b a a a b b b a b a b a b a b
a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b
85 2
2
5
3 2
8 8
puta
puta puta
4 puta
444 4
4
4 puta 4 puta
5
3
.....: .....
.....
:
n
nn
n n
n
n n
a a a a a a a aa b
b b b b b b b b
a a a a a a a a a aa b
b b b b b b b b b b
55 5
5
6 66 : 4
4
4
5 5
3 35 3 5 15
35 15
35 15
4 4
4
3
2
3 3 27
3 3
3 27
0
2 2 16
3 3 81
n n n
n n
n
a b a b
a a a
a a
a a
a ab
b b
-
5/28/2018 pripreme septembar
39/258
39
Matematikadrugi razred strune kole
-
5/28/2018 pripreme septembar
40/258
40
-
5/28/2018 pripreme septembar
41/258
41
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 1.Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom
Tip asa: Uvodni as
Nastavne metode: MonolokaOblici rada: Frontalni
Cilj asa: Upoznati uenikesa planom i programom matematike i nainom rada naasovima
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Upoznati uenike sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi
matematike prvog razreda
Odgojni zadatak: Izgraditi kod uenika nauni pogled na svijetFunkcionalni zadatak: Pripremiti uenike za budui nain rada na asovima matematike
Literatura:
Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednjih kola,
-
5/28/2018 pripreme septembar
42/258
42
TOK ASA
Uvodni dio(3 min.)
Predstavljam se uenicima, upoznajem ih ukratko sa predmetom matematike i znaajem nastavnogpredmeta u okviru srednjokolskog obrazovanja, a posebno znaajem za struku.
Glavni dio (40 min.)
Ukratko uenike upoznajem sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi matematike u drugomrazredu strune kole. Uenicima predlaem da sa table prepiu kratki pregled oblasti koje su predviene
Nastavnim planom i programom za drugi razred strune kole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanjuudbenika i zbirke) provjeriti da li im udbenik.
Stepeni i korijenistepen sa cjelobrojnim eksponentom, ponoviti pravila stepenovanja i nauiti nova,nauiti ta je korijen i kako se izvode operacije sa korijenima, definisati stepen sa racionalnimeksponentom i dovesti u vezu stepene i korijene.
Skup kompleksnih brojevaalgebarski oblik kompleksnog brojaoperacije sa kompleksnim brojem u
algebarskom obliku, predstavljanje kompleksnog broja u Gaussovoj ravni.
Kvadratna funkcija, jednaina i nejednaina nepotpuna i potpuna kvadratna funkcija, njen grafik iosobine, potpuna i nepotpuna kvadratna jednaina i naini rjeavanja, Viete-ove formule, kvadratnitrinom, kvadratne nejednaine i rjeavanje kvadratnih nejednaina.
Osnovi trigonometrijetrigonometrijske funkcije, njihov grafik i osobine, adicione teoreme, rjeavanjepravouglog i kosouglog trougla, trigonometrijske jednaine.
Zavrnidio (2 min.)
Zakljuiemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za prvi razred strune kole, najboljeodgovara udbenih Matematika sa zbirkom zadataka za drugi razred srednjih kola.
Napominjem uenicima da, kada kupuju udbenik, obavezno pogledaju da li on sadri sve oblasti koje sunapisane na tabli.
Plan table
MATEMATIKA
STEPENI I KORIJENISKUP KOMPLEKSNIH BROJEVAKVADRATNA FUNKCIJA, JEDNAINAI NEJEDNAINAOSNOVI TRIGONOMETRIJE
Matematika sa zbirkomzadataka za drugi razred
srednjih strunih kola
-
5/28/2018 pripreme septembar
43/258
43
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 2.Nastavna jedinica: Stepeni sa cjelobrojnim eksponentom, pravila stepenovanja
Tip asa: Ponavljanje
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Ponoviti i podsjetiti se pojma i osnovnih osobina stepena
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen i koje su osnovne osobine stepena.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
44/258
44
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o prostoru i vremenu, o poloaju i kretanju tijela, koje vrste kretanjapoznaju, kojih veliina u vezi sa kretanjem se sjeaju.
Najavljujem cilj asa. Na vrh table piem naslov
Stepeni
Glavni dio (35 min.)
Proizvod vie jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen emo definisati sljedeom formulom:
puta
.......
- baza
- eksponent
n
n
a a a a
a
n
Uzeemo da je eksponent cijeli broj n .
Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, ve se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a piemo samo a .Gdje god ubudue vidimo a , podrazumijevamo da to znai 1a
Osobine stepena:
Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj
0 0n
a a
Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj
0, 2 0n
a n k a
Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj
0, 2 1 0n
a n k a
Stepen ija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent razliit od nule.
0 0 0na a n
Stepenovanje ima vii prioritet od mnoenja.c
ba znai
cb
a , a ne
cb
a .
Stepenovanje nije komutativno
3 22 8 3 9
Stepenovanje nije asocijativno
c cb b
a a
Primjer 1.Izraunati 82 .
-
5/28/2018 pripreme septembar
45/258
45
Rjeenje:
82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256
Odavde vidimo da je mogue stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako to se stepen na izrazipreko stepena iji je eksponent za 1 manji od n 1na
1 1n na a a n
Tako je:
2
3
4
1
1
2
3 2
4 3
5 4
1....
n
a
a
a
n n
a
a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
Primjer 2.
Izraunati 92
Rjeenje:
Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je
9 82 2 2 256 2 512
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:1. Izraunati 53 ako se zna da je 43 81 .2. Izraunati 4n , gdje je 2,3,4,5,6,7n
-
5/28/2018 pripreme septembar
46/258
46
Plan table
3 2
puta
.......
- baza
- eksponent
0 0
0, 2 0
0, 2 1 0
0
2 8
0 0
3 9
c
n
n
n
n
n
n
cb b
a a a a
a
n
n
a a
a n k a
a n k a
a a n
a a
Stepeni
2
3
1
8
8
1
1
2
3 2
4 3
1
9
Primjer 1. 2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2
16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256
1
....
Primjer 2. 2
n
n n
a
a
n n
a
a a a n
a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a
8
9 8
?
2 256
2 2 2 256 2 512
-
5/28/2018 pripreme septembar
47/258
47
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 3.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima
Tip asa: Ponavljanje
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Ponoviti osnovna pravila stepenovanja
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Ponoviti kako se izvode raunske operacije sa stepenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
48/258
48
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je stepen?
Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.
Pitanje: Kako se rauna stepen?
Odgovor: Stepen se rauna po formuliputa
.......n
n
a a a a
Pitanje: ta je baza stepena?
Odgovor: Baza stepena je broj koji se mnoi.
Pitanje: ta je eksponent stepena?
Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.
Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za raunanje stepena?
Odgovor: Rekurzivne formule za raunanje stepena su1
1....
n
n n
a
a a a a a a a
, gdjenmoe biti
bilo koji broj vei od 1
Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?
Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .
Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?
Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.
c cb ba a
Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?
Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.
Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.
Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.
Pitanje: Da li mnoenje ima vii prioritet od stepenovanja?
Odgovor: Mnoenje nema vii prioritet od stepenovanja, ve upravo suprotno: stepenovanje ima viiprioritet (prije se radi) od mnoenja.
Najavljujem cilj asa. Na vrh table piem naslov
Operacije sa stepenima
-
5/28/2018 pripreme septembar
49/258
49
Glavni dio (35 min.)
Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih baza:
puta puta puta
...... ..... ......m n m n
m n m n
a a a a a a a a a a a a
Na primjer:
5 3 8 5 3
5 puta 3 puta 8 puta
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Primjer 1.
23 11 23 11 34a a a a
Primjer 2.
5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b
Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.
:
m
m n
n
a a
a a
a
a ..... a
puta
...
m
a a
a
a ..... a puta
puta
..... m n
m n
n
a a a a
Na primjer:
99 4
4:
a a
a a
a
a a a
9 puta
a a a a a
a
a a a
5 9 4
5 puta
4 puta
a a a a a a a
Primjer 3.
23 11 23 11 12:a a a a
Primjer 4.
17 17 17 17 0:a a a a
Sa druge strane, ovo moemo izraunati i bezprimjene pravila stepenovanja:
17
17 17:
a
a a 17
a
1
Poto moe biti samo jedan taan rezultat, a oba postupka su ispravni, zakljuujemo da je
0 1a
Ovo moemo izvesti i u optem sluaju:
:
n
n n a
a a n
a
0
0
11
:n n n n
a
a a a a
Napomena: Ovo vrijedi uz ogranienje da je 0a , jer se nula ne moe stepenovati sa nulom.
-
5/28/2018 pripreme septembar
50/258
50
Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:
0
0 1n nn n
a
a a
a a
Dakle,1
n
n
a
a
Primjer 5.
5
5
1a
a
Jo emo razmotriti kako moemo stepenovati stepen:
puta puta puta puta puta
puta
..... ..... ..... ..... ..... .....m
n n n n m n
m n n n m n
m
a a a a a a a a a a a a a a a a a
Na primjer:
43 3 3 3 3 12 4 34 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta
4 puta
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Primjer 6.
7
5 7 5 35a a a
Moemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo vie pravila. Na primjer:
rm n m r n r
p p r
a b a b
c c
Primjer 7.
67 5 7 6 5 6 42 30
4 3 4 6 3 6 24 18
a b a b a b
c d c d c d
Pogledajmo kako bi mogli pomnoiti dva stepena jednakih eksponenata:
puta puta
puta
...... ..... ......nn n
n nn
a b a a a b b b a b a b a b a b
Na primjer:
33 3
3 puta3 puta3 puta
a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b
Primjer 8.
55 5 5
2 5 2 5 10 100 000
Primjer 9.
8 8
2 5 2
3 2
5
3 2
8 8
5
3
-
5/28/2018 pripreme septembar
51/258
51
Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.
puta
puta puta
.....: .....
.....
n
nn
n n
n
n n
a a a a a a a aa b
b b b b b b b b
Na primjer:
4 puta
444 4
4
4 puta 4 puta
: a a a a a a a a a a
a bb b b b b b b b b b
Primjer 10.
5
5 5
5
6 66 : 4
4
4
5 5
3
2
Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) moemo itati na dva naina; slijeva nadesno (kako sunapisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj nain dobijamo jo dva
pravila:
Stepenovanje proizvoda:
n n n
a b a b
Na primjer:
3 3
5 3 5 153 3 27a a a
Uoiti da 3
53a nije jednako 153a 3
5 153 3a a , ve 1537a
35 15
3 27a a
Stepenovanje kolinika (razlomka, racionalnog broja):
0n n
n
a ab
b b
Na primjer:
4 4
4
2 2 16
3 3 81
-
5/28/2018 pripreme septembar
52/258
52
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
1. 4 3
5 3 2 4?a b a b
2. 2 3
5 4 3 2 2: ?x y z x y z
3. 5 3
3 42 3 ?a b ab
4.4 33 5
2 3
2 6?
3 4
x y
y x
Plan table
puta puta puta
5 3 8 5 3
5 puta 3 puta 8 puta
23 11 23 11 34
...... ..... ......
Primjer 1.
Primjer
m n m n
m n m n
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
5 3 3 2 5 3 3 2 8 5
2.
:m
m n
n
a b a b a b a b
a aa a
a
a ..... a
puta
...
m
a a
a
a ..... a putaputa
9
9 44
.....
:
m n
m n
n
a a a a
a a
a aa
a a a
9 puta
a a a a a
a
a a a5 9 4
5 puta
4 puta
a a a a a a a
Operacije sa stepenima
23 11 23 11 12
17 17 17 17 0
1717 17
Primjer 3.
:
Primjer 4.
:
:
a a a a
a a a a
a
a a
17
a
0
1
1
:n
n n
a
a
a a
n
a
0
0
11
:
0
n n n n
a
a a a a
a
-
5/28/2018 pripreme septembar
53/258
53
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 4.Nastavna jedinica: Pojam aritmetikog korijena. Pravila korjenovanja.Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Nauiti ta je korijen i koje su mu osnovne osobine
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Nauiti kako se izvode raunske operacije sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
54/258
54
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je stepen?
Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.Pitanje: Kako se rauna stepen?
Odgovor: Stepen se rauna po formuliputa
.......n
n
a a a a
Pitanje: ta je baza stepena?
Odgovor: Baza stepena je broj koji se mnoi.
Pitanje: ta je eksponent stepena?
Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.
Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za raunanje stepena?
Odgovor: Rekurzivne formule za raunanje stepena su1
1....
n
n n
a
a a a a a a a
, gdjenmoe biti
bilo koji broj vei od 1
Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?
Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .
Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?
Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.
c cb ba a
Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?
Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.
Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.
Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?
Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.
Pitanje: Da li mnoenje ima vii prioritet od stepenovanja?
Odgovor: Mnoenje nema vii prioritet od stepenovanja, ve upravo suprotno: stepenovanje ima viiprioritet (prije se radi) od mnoenja.
Najavljujem cilj asa. Na vrh table piem naslov
Korijeni
-
5/28/2018 pripreme septembar
55/258
55
Glavni dio (35 min.)
Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a.
nnb a b a
Broj nje eksponent korijena, a apotkorjena veliina.Ako je potkorjena veliina stepen nekog broja, ondarazlikujemo stepen korijena i stepen potkorjene veliine.
- stepen korijena
- stepen potkorjene veliine
- potkorjena veliina
n m
m
a
n
m
a
Na primjer
3
3
2 8
8 2
Neke osobine korijena:
n n
n n
a a a
Na primjer
77
5 5
ako je 2n n
a a n k
Na primjer
10 10
2424
8 8
5 5 5
ako je 2 1n n
a a n k
Na primjer
5 55
33 3
32 2 2
8 2 2
Korijen pozitivnog broja uvijek je pozitivan.
0 0na a
Na primjer
481 3
Korijen negativnog broja moe se izraunati samo za neparne eksonente korijena, i onda je negativan.
0, 2 1 0na n k a
Na primjer
-
5/28/2018 pripreme septembar
56/258
56
3
4
27 3
81 nije definisan
Primjer 1.
Izraunati 36
236 6 6
Primjer 2.
Izraunati1
9
1 1
9 3
Primjer 3.
Izraunati81
100
81 9
100 10
Primjer 4.
Izraunati 0,49
0, 49 0, 7
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
Izraunati: 223 31, 8, 5 , 5 , 36 2 25
Plan table
Korijeni
3
3
77
- stepen korijena
- potkorjena veliina
- stepen korijena
- stepen potkorjene veliine
- potkorjena veliina
2 8
8 2
5 5
nn
n m
m
n nn n
b a b a
n
a
a
n
m
a
a a a
10 10
2424
5 55
33 3
4
3
4
ako je 2
8 8
5 5 5
ako je 2 1
32 2 2
8 2 2
0 0
81 3
0, 2 1 0
27 3
81 nije definisan
n n
n n
n
n
a a n k
a a n k
a a
a n k a
2
Primjer 1.
36 6 6
Primjer 2.
1 19 3
Primjer 3.
81 9
100 10
Primjer 4.
0, 49 0,7
-
5/28/2018 pripreme septembar
57/258
57
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 5.Nastavna jedinica: Proirivanje i skraivanje korijena.Tip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Nauiti ta je korijen i koje su mu osnovne osobine
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Nauiti kako se izvode raunske operacije sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
58/258
58
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je korijen?
Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?
Odgovor: Definicija korijena se matematiki zapisuje na sljedei nain: nnb a b a .
Pitanje: emu je jednak n-ti stepen n-tog korijena?
Odgovor: N-tistepen n-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: n n
n n
a a a .
Pitanje: emu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena jednak je apsolutnoj vrijednosti potkorjene veliine ako je n paranbroj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2n n
a a n k .
Pitanje: emu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena je jednak potkorjenoj veliini ako je n neparan broj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2 1n n
a a n k .
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov
Proirivanje i skraivanje korijena
Glavni dio (35 min.)
Korijen proirujemo tako to mu mnoimo eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine istimbrojem.
n pn m m pa a
Primjer 1. Proiriti korijen 5 3a sa 4.
5 5 4 203 3 4 12a a a
-
5/28/2018 pripreme septembar
59/258
59
Proiriti moemo bilo kojim cijelim pozitivnim brojem.
Primjer 2. Korijen34
a b proiriti do eksponenta 12.
Da bi korijenu34
a b eksponent bio 12, treba ga proiriti sa 12 : 4 3 .
4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12a b a b a b a b
Primjer 3. Proiriti korijene 3 26 x y i 5 78 x y do zajednikog eksponenta.
Zajedniki eksponent za ova dva korijena je jednak najmanjem zajednikom sadriocu zabrojeve 6 i 8.
6,82
3, 42
3, 22
3,1 3
1,1
NZS 6,8 2 2 2 3 24
Korijene treba proiriti tako da im eksponenti budu jednaki 24.
Prvi korijen ima eksponent 6, pa emo fga proiriti sa 24 : 6 4 .
3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24x y x y x y
Drugi korijen ima eksponent 8, pa emo ga proiriti sa 24 : 8 3
. 5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24x y x y x y
Primjer 4. Proiriti korijene 22a b i 3 23ab do zajednikog eksponenta
NZS 2,3 66 : 2 3
6 : 3 2
2 3 62 3 2 3 3 6 32 2 8a b a b a b
3 3 2 62 2 2 2 2 2 43 3 9ab a b a b
Korijen se skrauje tako to mu se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine podijele istimbrojem.
: :n pn m m p
a a
Korijen se moe skratiti sao zajednikim djeliocem brojeva mi n.
Primjer 5. Skratiti korijen16 8 12
a b
Treba nai najvei zajedniki djelioc za brojeve 16, 8 i 12.
16,8,12 2
8,4, 6 2
4,2, 3
NZD 16,8,12 2 2 4
-
5/28/2018 pripreme septembar
60/258
60
Dakle, korijen16 8 12a b moemo skratiti sa 4.
16 16:48 12 8:4 12:4 2 34a b a b a b
Korijen se korjenuje tako to mu se pomnoe eksponenti.
m n m np pa a
Primjer 6. Korjenovat7i ko+rijen
3 54
x
3 4 35 5 54 12x x x
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab
2. Skratiti korijen 16 3224 x y
3. Korjenovati korijen7 5 3
2a b
Plan table
Proirivanje i skraivanje korijena
5 5 4 203 3 4 12
4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12
3 2 5 76 8
Primjer 1.
Primjer 2.
Primjer 3.
,
6,82
3,42
3,22
3,13
1,1
NZS 6,8 2 2 2 3 24
n pn m m pa a
a a a
a b a b a b a b
x y x y
3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24
5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24
32 2
2 3 62 3 2 3 3 6 3
3 3 2 62 2 2 2 2 2 4
24 : 6 4
24 : 8 3
Primjer 4.
2 , 3
NZS 2,3 6
6 : 2 3
6 : 3 2
2 2 8
3 3 9
x y x y x y
x y x y x y
a b ab
a b a b a b
ab a b a b
16 8 12
16 16:48 12 8:4 12:4 2 34
3 4 35 5 54 12
Primjer 5.
16,8,12 2
8, 4, 6 2
4,2, 3
NZD 16,8,12 2 2 4
Primjer 6.
m n m np p
a b
a b a b a b
a a
x x x
-
5/28/2018 pripreme septembar
61/258
61
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 6.Nastavna jedinica: Proirivanje i skraivanje korijena.Tip asa: Utvrivanje
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Uvjebati izvoenjeraunskih operacija sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
62/258
62
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je korijen?
Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..
Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?
Odgovor: Definicija korijena se matematiki zapisuje na sljedei nain: nnb a b a .
Pitanje: emu je jednak n-ti stepen n-tog korijena?
Odgovor: N-tistepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: n n
n n
a a a .
Pitanje: emu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena jednak je apsolutnoj vrijednosti potkorjene veliine ako je n paranbroj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2n n
a a n k .
Pitanje: emuje jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena je jednak potkorjenoj veliini ako je n neparan broj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2 1n n
a a n k .
Pitanje: Kako se korijeni proiruju?
Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliine
pomnoe istim brojemn pn m m p
a a
.
Pitanje: Kako se korijeni skrauju?
Odgovor: Korijeni se skrauju tako to im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine
podijele istim brojem: :n pn m m p
a a .
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov
Proirivanje i skraivanje korijena- vjeba
-
5/28/2018 pripreme septembar
63/258
63
Glavni dio (35 min.)
Poslije kratkog ponavljanja ranije nauenog gradiva, zadajem uenicima zadatke za uvjebavanje:
1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab
9 9 4 363 4 3 4 4 12 4
12 3 362 3 3 2 3 3 612
9,122
9, 62
9, 33
3, 13
1, 1
9,12 2 2 3 3 36
36 : 9 4
2 2 16
36:12 3
3 3 27
NZS
a x a x a x
ab a b a b
2. Skratiti korijen 16 3224 x y
16 32 16:8 32:8 2 424:8 324
24,16,32 2
12, 8,16 2
6, 4, 8 2
3, 2, 4
NZD 24,16, 32 2 2 2 8
x y x y x y
3. Korjenovati korijen7 5 3
2a b
7 5 7 5 353 3 32 2 2a b a b a b
4. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 6 3 63 24 2 ,a b ab
6 3 34 24
3 6 182 2
24 3 723 3 3 3 3 9 324
2 2
24,18 2
12, 9 2
6 , 9 2
3, 9 3
1, 3 3
1, 1
NZS 12,18 2 2 2 3 3 72
72 : 24 3
2 2 8
a b a b
ab ab
a b a b a b
-
5/28/2018 pripreme septembar
64/258
64
18 18 4 722 4 2 4 4 8
72 :18 4
ab a b a b
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:
1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 5 43 53 2 3,a b a b
2. Skratiti korijen 12 366 8 x y
Plan table
Proirivanje i skraivanje korijena- vjeba
9 3 212
9 9 4 363 4 3 4 4 12 4
12 3 362 3 3 2 3 3 612
1. 2 , 3
9,12 29, 6 2
9, 3 3
3, 1 3
1, 1
9,12 2 2 3 3 36
36 : 9 4
2 2 16
36 :12 3
3 3 27
a x ab
NZS
a x a x a x
ab a b a b
16 3224
16 32 16:8 32:8 2 424:8 324
7 5 7 5 353 3 3
2.
24,16,32 2
12, 8,16 2
6, 4, 8 2
3, 2, 4
NZD 24,16,32 2 2 2 8
3. 2 2 2
x y
x y x y x y
a b a b a b
6 3 63 24
6 3 34 24
3 6 182 2
24 3 723 3 3 3 3 9 324
18 18 4 722 4 2 4 4 8
3. 2 ,
2 2
24,18 2
12, 9 2
6, 9 2
3, 9 3
1, 3 3
1, 1
NZS 12,18 2 2 2 3 3 72
72 : 24 3
2 2 8
72 : 18 4
a b ab
a b a b
ab ab
a b a b a b
ab a b a b
-
5/28/2018 pripreme septembar
65/258
65
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: Matematika
Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 7.Nastavna jedinica: Mnoenje i dijeljenje korijenaTip asa: Obrada novog gradiva
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Nauiti ta je korijen i koje su mu osnovne osobine
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Nauiti kako se izvode raunske operacije sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
66/258
66
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: ta je korijen?
Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..
Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?
Odgovor: Definicija korijena se matematiki zapisuje na sljedei nain: nnb a b a .
Pitanje: emu je jednak n-ti stepen n-tog korijena?
Odgovor: N-tistepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: n n
n n
a a a .
Pitanje: emu jejednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena jednak je apsolutnoj vrijednosti potkorjene veliine ako je n paranbroj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2n n
a a n k .
Pitanje: emu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?
Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena je jednak potkorjenoj veliini ako je n neparan broj.
Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.
Odgovor: ako je 2 1n n
a a n k .
Pitanje: Kako se korijeni proiruju?
Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliine
pomnoe istim brojemn pn m m p
a a
.
Pitanje: Kako se korijeni skrauju?
Odgovor: Korijeni se skrauju tako to im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine
podijele istim brojem: :n pn m m p
a a .
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov
Proirivanje i skraivanje korijena
-
5/28/2018 pripreme septembar
67/258
67
Glavni dio (35 min.)
Korijeni jednakih eksponenata mnoe se tako to im se pomnoe potkorjene veliine.
n n na b a b
Primjer 1.
3 3 3 35 7 5 7 35
Ako se primijene pravila stepenovanja, moe se zakljuiti da vrijedi:n n nm p r s m r p sa b a b a b
Primjer 2.
4:45 7 3 5 5 3 7 5 8 12 8:4 12:4 2 3 2 34 4 4 4 1a b a b a b a b a b a b a b
Primjer 3.
3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 72 3 2 3 6x y x y x y x y
Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako to im se odijele potkorjene veliine.
: :n n n
na
a b a bb
Primjer 4.
6 6 6 618 : 3 18 : 3 6
Primjernom pravila stepenovanja moemo zakljuiti da virjedi
:n n nm p r s m r p sa b a b a b
Primjer 5.
2
8 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 58
5:
aa b a b a b a b
b
Ako stepeni nemaju zajedniki eksponent, onda se (slino kao u sluaju razlomaka) proiruju dozajednikog eksponenta.
m n n m mnn m n mm na b a b a b
Primjer 6.
Pomnoiti korijene 65 2 3 44 a b a b
6 4 3 6 25 2 3 4 5 3 2 3 3 2 4 2 15 6 6 8 15 6 6 8 21 144 12 12 12 12a b a b a b a b a b a b a b a b
Primjer 7.
Podijeliti korijene 3 26 92 : 2x y xy
7
3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 9 3 2 4 9 2 3 4 7 16 9 6 3 9 2 18 18 1818 18
8 22 : 2 2 : 2 8 : 4 2
4
xx y xy x y x y x y x y x y x y
y
-
5/28/2018 pripreme septembar
68/258
68
Zavrnidio (5 min.)
Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:Pojednostaviti izraz:
1.8 2 3 3 512
3 2a bc ab c
2.5 7 3 2
18125 3
:6 5
x y z xy z
3.3 4 52 24
2 2ab a b
Plan table
Mnoenje i dijeljenjekorijena
3 3 3 3
5 7 3 5 5 3 7 54 4 4
4:48 12 8:4 12:4 2 3 2 34 1
3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 7
Primjer 1.
5 7 5 7 35
Primjer 2.
Primjer 3.
2 3 2 3 6
n n n
n n nm p r s m r p s
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
x y x y x y x y
6 6 6 6
28 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 5 8
5
: :
Primjer 4.18 : 3 18 : 3 6
:
Primjer 5.
:
n n n n
n n nm p r s m r p s
m n n m mnn m n mm n
aa b a b
b
a b a b a b
aa b a b a b a b
b
a b a b a b
-
5/28/2018 pripreme septembar
69/258
69
Mjeovita srednja kolaHazim abanovi
Visoko
Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole
PRIPREMAza izvoenje asa
as: 8.Nastavna jedinica: Mnoenje i dijeljenje korijenaTip asa: Utvrivanje
Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni
Cilj asa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena
Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Uvjebati izvoenje raunskih operacija sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost
promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja
Literatura:
Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi
-
5/28/2018 pripreme septembar
70/258
70
TOK ASA
Uvodni dio(5 min.)
Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:
Pitanje: Kako se korijeni proiruju?
Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliinepomnoe istim brojem
n pn m m pa a
.
Pitanje: Kako se korijeni skrauju?
Odgovor: Korijeni se skrauju tako to im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine
podijele istim brojem: :n pn m m p
a a .
Pitanje: Kako se mnoe korijeni jednakih eksponenata?
Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se mnoe tako to im pomnoimo potkorjene veliinen n n
a b a b .
Pitanje: Kako se dijele korijeni jednakih eksponenata?
Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako to im se podijele potkorjene veliine
: :n n n n
aa b a b
b .
Pitanje: Kakose mnoekorijeni razliitih eksponenata?
Odgovor: Korijeni razliitih eksponenata se mnoe tako to se prvo prvo proire do najmanjegzajednikog eksponenta, a zatim pomnoe po pravilu za mnoenje korijena jednakiheksponenata.
Pitanje: Kakose dijele korijeni razliitih eksponenata?Odgovor: Korijeni razliitih eksponenata se dijele tako to se prvo prvo proire do najmanjeg
zajednikog eksponenta, a zatim podijele po pravilu za dijeljenje korijena jednakiheksponenata.
Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslovProirivanje i skraivanje ko
top related