permutation グラフと distance-hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフとDistance-Hereditary グラフの再構築アルゴリズム

　 清見　礼○斎藤　寿樹　 上原　隆平

（ JAIST 仲良し 3 人組）

グラフ再構築問題 グラフ G=(V, E) の Deck: グラフの多重集合 {G-v | v∈V} グラフの多重集合 D の Preimage: D を Deck とするグラフ

v1

v2

v3 v5

v4

グラフG

v2

v3 v5

v4

G-v1

v1

v3 v5

v4

G-v2

v1

v2

v5

v4

G-v3

v1 v2

v3 v5

G-v4

v1 v2

v3 v4

G-v5

G のDeckPreimage

グラフ再構築問題 入力： n-1 頂点の n 個のグラフ D 質問： D を Deck とする Preimage は存在するか ?

入力： D

ラベルなしグラフ

グラフ再構築予想 n-1 頂点のグラフが n 個与えられたとき (n 3)≧ ，そ

れを Deck とする Preimage は高々一つ

入力： D

上のグラフとは異なるグラフ

グラフ再構築予想 Ulam と Kelly によって提唱 [1957 年 ]

未解決問題 予想が成立するグラフクラス

正則グラフ、木、非連結グラフなど

関連研究 再構築可能なもの ( 一意に決定 )

次数列、彩色数など グラフの同型性判定問題と深い関係

再構築問題は同型性判定問題以上に難しい

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加（ Gi

v ）3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ， D の Preimage は Giv

等しくなければ， 2 に戻る

入力： D

v

グラフGi

v

Giv の Deck

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加（ Gi

v ）3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ， D の Preimage は Giv

等しくなければ， 2 に戻る

入力： D

v

グラフGi

v

Giv の Deck

≠D は Gi

v の Deck ではない

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加（ Gi

v ）3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ， D の Preimage は Giv

等しくなければ， 2 に戻る

入力： D

グラフGi

v

Giv の Deck

v

=D は Gi

v のDeck

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加（ Gi

v ）3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ， D の Preimage は Giv

等しくなければ， 2 に戻る

同型性判定

候補が指数個

このアルゴリズムは遅い！ 多項式時間アルゴリズムの開発

入力に制限：同型性判定を多項式時間で行えるグラフクラス

入力 D のすべてのグラフが、あるグラフクラスに属する

多項式時間

今回の結果

Permutation グラフ

Tree

Distance-Hereditary グラ

フ

Chordal グラフ

Interval グラフ

HHD-free グラフ

Perfect グラフ

Proper Interval グラフ

Threshold グラフ

GI- 完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい

Comparability グラフ

GI 完全なグラフクラス

同型性判定が多項式時間

アルゴリズムが存在

再構築予想が成立

M. Kiyomi et al. (2009)つまらない！

今回の発表

Permutation グラフの再構築問題 入力：グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ 質問： D を Deck とするグラフが存在する

か？入力： D

Permutation グラフ

・・・

Permutation グラフ

ライン表現を持つグラフクラス

1 2 3 4 5 6

3 6 4 1 5 2

1

23

4

5

6

ライン表現 Permutation グラフ

Permutation グラフの特徴 補題 0

Permutation グラフの誘導部分グラフは Permutation グラフ

61 2 3 4 5 6

3 6 4 1 5 2ライン表現

1

23

4

5

Permutation グラフ

Preimage が Permutation グラフ⇒ Deck の中のグラフはすべて Permutation グラフ

逆は成り立たない！

Preimage が Permutation グラフの禁止グラフ

Permutation グラフの禁止グラフ [T. Gallai 1967]

k

2k+3

Preimage が禁止グラフかチェック

k+1 k k 2k+3 2k+2

k 0≧

これらのグラフとこの補グラフ

考えるべき問題 入力：グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ 質問： D を Deck とする Permutation グ

ラフが存在するか？

入力：D

・・・ Permutation グラフ

Permutation グラフを再構築するアルゴリズム？

Deck のグラフ Gi のライン表現に線分を追加

入力：D

・・・

グラフGi

O(n2)通りを試せば OK？

ライン表現が一意（高々 4 通り）に定まるもの

指数通りのライン表現が存在

ライン表現が一意の Permutation グラフ

補題 1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] Permutation グラフ G が modular decomposition において

prime であるとき、 G のライン表現は一意である

入力：D

・・・

グラフGi

O(n2)通りを試せばOK

Modular Decomposition G=(V, E) の module M: 頂点集合

V ＼ M の頂点は M のすべての頂点と隣接 , or　　 M のすべての頂点と隣接しない

module M が trivial: M=φ, M=V, or |M|=1 グラフ G が prime: G は trivial な module しか持たない

Permutation グラフとは独立の話

Prime

M の頂点の隣接関係は M の外を見るとどれも同じ

ライン表現が一意の Permutation グラフ

補題 1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] Permutation グラフ G が modular decomposition において

prime であるとき、 G のライン表現は一意である 補題 2 [J.H. Schmerl, W.T. Trotter, 1993]

グラフ G を prime なグラフとするG-v が prime であるような v が存在 ⇔ G が H2n や H2n ではない

グラフ H2n

・・・ ・・・

・・・ ・・・

x1

x2

xi

xn

y1

y2

yi

yn

PrimePrime

アルゴリズム（ Preimage がprime ）1. D の中から Prime なグラフを探す2. If Prime なグラフ Gi が存在

3. 　　　　 Gi のライン表現に線分を追加（ O(n2) 回）

4. 　 else Preimage が H2n または H2n かチェック

アルゴリズム 入力：グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ1. Preimage が禁止グラフかチェック

Preimage が Permutation グラフのみを考えるため2. Preimage が prime のとき

Preimage のライン表現が一意3. Preimage が prime でないとき

Modular Decomposition を用いて、問題を“Preimage が prime のとき”におとす

Modular Decomposition G=(V, E) の module M: 頂点集合

V ＼ M の頂点は M のすべての頂点と隣接 , or　　 M のすべての頂点と隣接しない

module M が strong: M は他の module と overlap しない strong module の包含関係を木で表現可能

Permutation グラフとは独立の話

M1M2

M3

M4

M5

M1 M2 M3

M4 M5

M4

M5

M1 M2 M3

Modular Decomposition とライン表現

strong module を含まない module のライン表現は一意

M1M2

M3

M1M2 M3

M5M4M4 M5

M3M5

M1 M2 M3

M4 M5

アルゴリズム（ Preimage が prime でない）

1. For グラフ Gi∈D (i=1 to n)

2. Gi の Modular Decomposition を計算

3. For strong module を含まない module M

4. M のライン表現に線分を追加 (O(n2)回 )

5. 　 Preimage が H2n や H2n を含むかチェック

まとめと今後の課題

Permutationグラフ

Tree

Distance-Hereditaryグラ

フ

Chordal グラフ

Intervalグラフ

HHD-free グラフ

Perfect グラフ

Proper Interval グラフ

Threshold グラフ

GI- 完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい

Comparability グラフ

GI 完全なグラフクラス

同型性判定が多項式時間

アルゴリズムが存在

再構築予想が成立

M. Kiyomi et al. (2009)

Circle グラフCircular-arc グラ

フ再構築予想が成立？

多項式時間アルゴリズムの開発