ortocentar u različitim trouglama · web viewvisina i ortocentar trougla. definicija: visina...
Post on 27-Sep-2020
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Elvira Đorđević 459/13
Visina i ortocentar trougla
DEFINICIJA: Visina trougla je prava koja sadrži jedno teme trougla i koja zaklapa prav ugao sa suprotnom stranicom trougla.
DEFINICIJA: Ortocentar se nalazi u preseku visina trougla.
Ortocentar u različitim trouglama
U oštrouglom trouglu ortocentar je unutar trougla, a u tupougli trougao ortocentar će biti u spoljašnjoj oblasti trougla.
Oštrougli trougao Tupougli trougao
Elvira Đorđević 459/13
Teme pravog ugla pravouglog trougla je ujedno i ortocentar tog trougla. U jednakostraničnom trouglu ortocentar, centar opisane kružnice, centar upisane kružnice i težište se poklapaju.
Jednakostranični trougao Pravougli trougao
TEOREMA: U svakom trouglu visine se seku u jednoj tački.
DOKAZ:
p – prava kroz C paralelna sa p(A , B)
q – prava kroz A paralelna sa p(B ,C)
r – prava kroz B paralelna sa p(A ,C)
r ∩ p= {A ' }
p∩q={B' }q∩ r={C ' }
Posmatrajmo trouglove ∆ ABC i ∆CB ' A :
AC ≅CA
¿ BAC≅<B' CA (što su transverzalni uglovi)
¿ BCA≅<B ' AC (što su transverzalni uglovi)
⇒ ∆ ABC ≅∆C B' A
Elvira Đorđević 459/13
Analogno, ∆ ABC ≅∆ BAC ' i ∆ ABC ≅∆ A ' CB.
Neka je C1 tačka na stranici AB tako da duž CC1 bude visina iz temena C.
Tada p (C ,C1 )⊥ p (A ,B), pa p (C ,C1 )⊥ p (A ' ,B '). Znamo, da je C središte duži A ' B' . Sledi da je p (C ,C1 ) simetrala duži A ' B' .
Elvira Đorđević 459/13
Analogno i p (A , A1 ) i p (B ,B1 ) su simetrale, i znamo, da se simetrale duži seku u jednoj tački, pa prave p (A , A1 ), p (B ,B1 ) i p (C ,C1 ) se sve seku u jednoj tački.
Kako da konstruišemo ortocentar
Konstruišemo proizvoljan trougao ∆ ABC. Produžimo stranicu AB i tako dobijamo pravu AB.
Šestarom crtamo kružni luk čiji je centar u tački C, a koja seče pravu AB u tačkama M i N .
Uzimamo pomoćnu duž, koja je duža od polovine duži MN .
Elvira Đorđević 459/13
Konstruišemo kružnice čiji je centar u tačkama M i N , a poluprečnik je jednak dužini te pomoćne duži. Te kružnice se seku.
Preko presečnih tačaka kružnica povučemo pravu, koja je u stvari visina trougla hc.
Istu konstrukciju ponovimo i za stranu BC i za stranu AC.
U preseku tako dobijenih visina se nalazi ortocentar H .
Elvira Đorđević 459/13
top related