یزاف یاه هعومجم .2...
Post on 04-Nov-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
12
مجموعه های فازی. 2فصل
13
مقدمه
علمي به دنياي علم توسط پرفسور زاده در يك مقاله 1965هاي فازي در سال مجموعه
ها يك مدل رياضي براي نمايش ابهام و مفاهيم غير دقيق و دانش معرفي شد. اين مجموعه
در فرهنگ لغت به معناي مبهم، گنگ، نادقيق و پيچيده آمده Fuzzyكنند. كلمه ارائه مي
شود. در بعضي كتابها از كلمه است. در زبان فارسي از همان كلمه فازي استفاده مي
مشكك نيز استفاده شده است.
هاي شود. ابتدا مجموعههاي فازي مطرح ميدر اين فصل مفاهيم اساسي نظريه مجموعه
دهيم. عمليات روي با چند مثال مفهوم آنرا توضيح مي ، سپسكردهفازي را تعريف
هاي معمولي را مورد هاي فازي، برشها و برخي مفاهيم ديگر متناظر با مجموعهمجموعه
دهيم.بررسي قرار مي
مفهوم مجموعه فازي 2-1
د كنيم مانندر گفتگوهاي روزمره خود از كلمات و جملات مبهم زيادي استفاده مي
هوا خيلي گرم »و « سرعت ماشين زياد است»، «مريم جوان است»، «استعلي قد بلند »
اي هاين مفاهيم را در قالب مجموعه هاي كلاسيك نمي توان بيان كرد. مجموعه«. است
فازي ابزار مناسبي براي بيان اين مفاهيم مي باشند. البته در مثالهاي قبل، مجموعه افراد قد
كرد مشخصبه عنوان شبه مجموعه توان هاي معمولي نيز ميبلند را با استفاده از مجموعه
توان آنها را به دنياي واقعي نزديكتر كرد.هاي فازي ميولي با مجموعه
يك مجموعه معمولي يا قاطع، نمايش رياضي بصورت )(: xpx .دارد)(xp
خوش تعريف باشد مجموعه معين خواهد xp)(باشد. وقتي مي xبيانگر خاصيت عناصر
كه بصورت « 10مجموعه اعداد طبيعي بزرگتر از »بود. مانند 10: xNx نمايش
.شودداده مي
14
توان مجموعه را مشخص كرد. در واقع خوش تعريف نباشد، نمي xp)(اما اگر
خوش تعريف را ارائه xp)(توان د نمينزماني كه مفاهيم مبهم و غير دقيق مطرح شو
خيلي بزرگتر يك مفهوم « 10اعداد طبيعي خيلي بزرگتر از »گوييم كرد، مثلاً زماني كه مي
خوش تعريف آنرا نمايش داد. دراين نوع xp)(ا يك توان بباشد كه نميمبهم مي
توان اعضاء مجموعه را مشخص كرد. بعنوان نمونه ها بطور صريح و با قاطعيت نميمجموعه
باشد. را در نظر بگيريد، مفهوم قد بلند صريح و روشن نمي« افراد قد بلند»ديگر مجموعه
ام و كنيم داراي يك نوع ابهفتگوهاي خود استفاده ميمعمولاً اصطلاحات زباني كه در ك
دهيم. هاي فازي نمايش ميباشد. اين اصطلاحات زباني را با مجموعهپيچيدگي مي
: در جدول زير نام افراد و اندازة قد آنها برحسب سانتيمتر داده شده است. 1-2مثال
مجموعه افراد قد بلند را مشخص كنيد.
علي جواد محمد هنامب حامد امير حسين نام
181 192 175 165 212 195 205 قد
اقض است ولي با اغماض آنرا با تن مفهوم با خاصيت معين بودن مجموعه دراين
مجموعه يك اين دهيم. براي مشخص كردن نمايش مي )شبه مجموعه( مجموعه معمولي
دارند عضو 180بيشتر از گوييم، افرادي كه قد گيريم. مثلاً ميمعيار سنجش درنظر مي
باشند. با اين معيار مجموعه بصورت زير خواهد بود:مجموعه افراد قد بلند مي
=T}حسين ، امير ، حامد ، جواد ، علي{
χ𝑇(𝑥) = {
1 𝑥 = علي ، جواد ، حامد ، امير ، حسين
0 𝑥 = محمد ، بهنام
15
شود علي و حامد هر دو متعلق به مجموعه ديده مي Tهمانطور كه در مجموعه
باشد. فاصله قد علي تا معيار ما سانتيمتر مي 212و قد حامد 181باشند. ولي قد علي مي
باشد. سانتيمتر مي 32باشد در صورتي كه فاصله قد حامد تا معيار ، ( يك سانتيمتر مي180)
باشد. اين بلندي حامد خيلي بيشتر از ميزان قدبلندي علي مي دق تر ميزانبه عبارت ساده
توان نمايش داد.هاي معمولي نميتفاوت را با مجموعه
البته ممكن است يك نفر ديگر معيار ديگري را براي افراد قد بلند درنظر بگيريد مثلاً
195رگتر از و يك بازيكن بسكتبال معيار بز 175ممكن است يك خانم معيار بزرگتر از
را درنظر بگيرند.
ل هاي معمولي قابباشد كه با مجموعهمفهوم قد بلندي داراي يك ابهام و عدم دقت مي
لندي پذيرد. ويژگي قد بهاي فازي به راحتي انجام ميباشد. اين كار با مجموعهنمايش نمي
باشد. مجموعه زير را درنظر بگيريد:بندي ميقابل درجه
علي جواد محمد بهنام حامد امير حسين نامميزان
عضويت0.9 0.6 1 0 0 0.5 0.1
Tعلي({ = 0.1جواد( ) 0.5حامد( ) 1امير( ) 0.6حسين( ) 0.9})~
قدبلند 0.1كند يعني علي به ميزان اعداد مقابل هر نام ميزان قد بلندي را مشخص مي
متعلق به مجموعه 0.1قد بلند است. يا به عبارت ديگر علي به ميزان 0.6است و امير به ميزان
T متعلق به 0.6باشد و امير به ميزان ميT باشد.مي
Tدر مجموعه قرار دارد كه بيانگر ميزان 1و0، مقابل هر عضو يك عددي بين ~
هاي فازي، د. در مجموعهباشباشد. اين نوع مجموعه همان مجموعه فازي ميعضويت مي
16
ن اي ،باشد. براي هر عضوبندي نيز مييك خاصيت مبهمي وجود دارد كه قابل درجه
شود كه در واقع همان ميزان عضويت بندي ميدرجه 1و0خاصيت بصورت عددي بين
( مد 0بودن )ن( و عضو 1هاي معمولي فقط عضو بودن )باشد در حالي كه در مجموعهمي
نظر است.
ن با توجه به درک افراد از اي مفاهيم مبهم افرادمختلف برداشتهاي مختلفي دارنددر
ناقضي با ت تفاوت كه اين مفاهيم و نوع استفاده از آنها، ميزان عضويتها مشخص مي شوند.
فازي ندارد زيرا با توجه به موقعيت زماني و مكاني و فردي و... مفهوم مفهوم مجموعه
ساله بين افرادي كه همه 30ري خواهد بود. بعنوان مثال يك فرد مبهم داراي معناي ديگ
باشد ولي همين شخص بين افرادي كه سن باشند جوان ميسال به بالا مي 50داراي سن
سرعت »د گويباشد. يا بعنوان مثال ديگر وقتي يك پليس ميدارند جوان نمي 25تا 18بين
باشد ولي وقتي در يك مي 120بالاتر از اگر دريك آزادراه باشد منظور سرعت« بالاست
مد نظر است. 60باشد سرعت بالاتر از خيابان درون شهري مي
تعريف مجموعه فازي 2-2
هاي معمولي روش همانطور كه در فصل قبل گفته شد يكي از روشهاي نمايش مجموعه
شد.يتابع نشانگر يا تابع عضويت بود دراين روش تابع عضويتي بصورت زير تعريف م
χ𝐴: 𝑈 ⟶ {0,1}
𝜒𝐴(𝑥) = {
1 𝑥 ∈ 𝐴0 𝑥 ∉ 𝐴
هاي شود ولي در مجموعهنمايش داده مي 0و عدم عضويت با عدد 1عضو بودن با عدد
فازي اين ميزان عضويتها اعدادي بين صفر و يك خواهد بود.
Xتعريف شده روي �̃�فازي مجموعه مرجع باشد. مجموعه X: فرض كنيد 1-2تعريف
𝜇و ميزان عضويت xعبارت است از اعضاي 𝐴(𝑥) .عضويت تابع 𝜇𝐴(𝑥) ازX به
17
كند. به عبارت را مشخص مي Aدر مجموعه xباشد و ميزان عضويت عناصر [ مي1,0]
ديگر:
�̃� = {(𝑥, 𝜇𝐴(𝑥)): 𝜇𝐴(𝑥): 𝑋 ⟶ [0,1]} ر از بزرگت: فرض كنيد مجموعه مرجع اعداد طبيعي باشند مجموعه اعداد خيلي 2-2مثال
دهيم:را بصورت زير نمايش مي 10�̃� = {(11 , 0.1)(12 , 0.2) (13 , 0.3). . (19 , 0.9)(20 , 1)… }
باشد، بدين معني كه ميزان خيلي بزرگتر از مي Aمتعلق به 3.0با ميزان عضويت 13عدد
باشند، يعني ميزان مي 1و... داراي ميزان عضويت 21و 20باشد. اعداد مي 3.0بودن آن 10
باشد.مي 1بودن آنها 10گتر از بزر
: با توجه به اطلاعات جدول زير مجموعه افراد جوان را مشخص كنيد.3-2مثال
علي جواد محمد بهنام حامد امير حسين رضا نام
23 25 55 31 19 18 47 15 سن
، آنگاه :در نظر بگيريم 1را 25تا 20افراد داراي سن ميزان جوان بودن فرض كنيد
A({=علي 1جواد( ) 1محمد( ) 0حامد() 6.0امير() 4.0حسين() 3.0رضا() 1.0})~
باشد.و محمد صفر مي 4.0ميزان جوان بودن امير در مجموعه فوق
1-2شکل
18
مجموعه مرجع باشد. مجموعه اعداد X{=1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8: فرض كنيد }4-2مثال
را مشخص كنيد. 5نزديك
پيشنهاد مي شود. با توجه به تعريف مجموعه فازي، اين مجموعه بصورت زير
({4.0 8()6.0 7()8.0 6()1 5()8.0 4()6.0 3()4.0 2()2.0 1=})A~
𝑋: مثال قبل را براي 5-2مثال = ℝ .حل كنيد
ي باشد، بدين معنباشد. اين مجموعه پيوسته ميدر اينجا مجموعه مرجع اعداد حقيقي مي
2باشند. بطور مثال كه اعضا آن بصورت جداگانه مشخص نمي ∈ ℝ ولي اولين عدد
5پس براي مشخص كردن اعداد حقيقي نزديك چه عددي است؟ 2حقيقي بعد از
مشخص كرد دراين نوع مجموعه ازيك توان براي هر عضو جداگانه ميزان عضويت نمي
كنيم.تابع عضويت پيوسته استفاده مي
𝜇𝐴(𝑥) =
{
𝑥−3
2 3 < 𝑥 ≤ 5
7−𝑥
2 5 < 𝑥 < 7
0 𝑜. 𝑤
5: مجموعه اعداد نزدیک 2-2 شکل
كافي است اين عدد را تابع عضويت قرار 4در اين مثال براي محاسبه ميزان عضويت عدد
ميزان عضويت را بدست آوريم.داده و
5.02
34)4(
A
19
ن آ . تابع عضويت غير خطي در نظر گرفته شده استتابع عضويت خطي در مثال قبل
بصورت زير است.2)5(1
1)(
xxA
5 نزدیک اعداد فازی مجموعه: 3-2 شکل
هاي فازينمايش مجموعه 2-3
ميزان عضويتهاي مربوطه هر دو بايد مشخص باشند. در دريك مجموعه فازي، عضوها و
شود. اگر مجموعه مرجع حالت كلي مجموعه فازي بصورت زوج مرتبي نمايش داده مي
تي كه شود ودر صورميزان عضويت آن در يك پرانتز نوشته مي و گسسته باشد هر عضو
ع مشخص ك تابتابع عضويت آن بصورت يمجموعه فازي با مجموعه مرجع پيوسته باشد
شود. بنابراين:مي
1,0::))(,(~
XxxA AA دهيم.نمايش مي �̃�را با نماد Aمجموعه فازي
عبارتند از:هاي فازي نمايش مجموعه متداول براي روشهاي
گسسته باشد. Xالف( مجموعه مرجع
فرض كنيد nxxxX ,..., 21 :در اينصورت
نمايش با نماد سيگما:
20
i
iAn
in
nAAA
x
xAor
x
x
x
x
x
xA
)(~)(...
)()(~
12
2
1
1
باشد.در اينجا نماد + براي بيان اجتماع مي
اينمايش مجموعه
n
nAAA
x
x
x
x
x
xA
)(,...,
)(,
)(~
2
2
1
1
ه كنيم. شماره هر آرايها استفاده ميبراي نمايش مجموعه فازي گسسته در رايانه از آرايه
باشد.بيانگر يك عضو مي
پيوسته باشد. Xب( مجموعه مرجع
x
xA A )(~
وقتي مجموعه مرجع گسسته باشد را بصورت زير 5: مجموعه اعداد نزديك 6-2مثال
دهيم:نمايش مي
8
4.0
7
6.0
6
8.0
5
1
4
8.0
3
6.0
2
4.0
1
2.0~A
وقتي مجموعه مرجع اعداد حقيقي باشند آنگاه:
x
x
x
xA
2/)7(2/)3(~7,55,3
اده عضويت نمايش دلتي كه مجموعه مرجع گسسته نباشد فقط همان تابع امعمولاً در ح
شود.مي
، 750، 500، 350، 280، 200، 150: يك شركت ساختماني زمينهاي با مساحت 7-2مثال
طبقه بسازد. 4واحدي 8خواهد يك دستگاه آپارتمان متر مربع دارد.اين شركت مي 1200
21
يك مجموعه فازي براي مجموعه زمينهاي مناسب براي ساخت اين آپارتمان پيشنهاد
دهيد.
1200
0
750
0
500
3.0
350
7.0
280
1
200
1
150
8.0~A
هاي : در يك كوره حرارتي براي كنترل سيستم حرارتي نياز به مدلسازي مجموعه8-2مثال
باشد. اگر مجموعه مرجع حرارت كم، حرارت زياد، حرارت متوسط مي
450,50x معمولي و مجموعه فازي ها را بصورت مجموعهباشد. اين مجموعه
مشخص كنيد.
هاي معمولي:الف( با استفاده از مجموعه
450,250Hزياد : 250,100Mمتوسط: 100,50Lكم :
4-2شكل
باشد مي Lدر 9/99باشد. مثلاً عدد بندي در مرزها قابل اعتماد نميدر اين نمايش تقسيم
درجه سلسيوس درجه 9/99باشد بدين معني كه درجه حرارت مي Mدر 100لي عدد و.
باشد.سيوس متوسط ميدرجه حرارت سل 100باشد ولي درجه حرارت حرارت كم مي
ب( مجموعه فازي:
هاي فازي بصورت زير هاي درجه حرارت كم، متوسط و زياد با روش مجموعهمجموعه
باشد.مي
22
مجموعه هاي فازي كم ، متوسط و زياد: 5-2 شکل
400240
160
240
4001
)(x
x
x
xH
26020060
260
2001501
1509060
90
)(
xx
x
xx
xM
12070
50
120
701
)(x
x
x
xL
متعلق باشد هم به Lدر روش مجموعه فازي يك عضو ممكن است هم به مجموعه
Lمتعلق به 4.0با ميزان عضويت 100عضويتهاي متفاوت . مثلا البته با ميزان Mمجموعه
100باشد. بدين معني كه درجه حرارت مي Mمتعلق به 6/1با ميزان عضويت باشد و مي
ميزان، فوق هايباشد. با توابع عضويتكم مي 4.0متوسط است به ميزان 6/1به ميزان
بر ميزان متوسط بودن آن غالب است. 100كم بودن
23
پردازش يك سيستم فازي معمولاً چند مجموعه فازي همزمان مورد نياز است كهدر
گيرد.با همديگر انجام مي آنها روي
فازي براي ميزان عضويت مجموعه xA)(در اين كتاب از اين به بعد به جاي قرارداد:
AازxA~
كنيم.استفاده مي )(,
عنوان توان مدلسازي كرد. بدر برخي از موارد مفاهيم مبهم را با مجموعه فازي نيز نمي نكته:
كرد. چرا كه مفهوم زيبا بودن قابل توان مشخص مثال مجموعه كبوترهاي زيبا را نمي
باشد.بندي نميدرجه
هاي فازي از لحاظ شكل تابع عضويتانواع مجموعه 2-4
اي، شبه در مثالهاي قبل شكلهاي مختلفي از توابع عضويت مانند مثلثي، ذوزنقه، زنگوله
نديبذوزنقه و... مورد استفاده قرار گرفت. در اين قسمت انواع آنها را دريك دسته
دهيم.مشخص مورد بررسي قرار مي
گونه مجموعه فازي 2-4-1
د يابيافزايش م و شده منحني تابع عضويت از مقدار صفر شروع ،در اين نوع مجموعه فازي
،برسد، سپس از آن نقطه به بعد ( كمتر يا مساوي يك حداكثر خود )مقداريتا به مقدار
اي و هاي فازي مثلثي و ذوزنقهكند تا به مقدار صفر برسد. مجموعهشروع به كاهش مي
هاي فازي براي مدلسازي باشند. از اين نوع مجموعهاي شكل جزء اين دسته ميزنگوله
شود.مفاهيم نزديك، تقريباً، حول وحوش، متوسط استفاده مي
24
گونه پی فازی مجموعه 7-2شکل
[ باشد در اينصورت 0، 20كنيد مجموعه مرجع، مجموعه نمرات در بازه ]: فرض 9-2مثال
توان بصورت زير نمايش داد.را مي 10مجموعه نمرات متوسط و نمره تقريباً
8-2 شکل
توان نوشت چون كافي است معادلات مياي را به سادگي تابع عضويت مثلثي و ذوزنقه
خطها را بدست آورد.
bxmmb
xb
mxaam
ax
xM )(
مثلثی فازی مجموعه 9-2 شکل
25
amكه درآن را پهناي باند چپ وmb باشند.را پهناي باند راست مي
هاي فازي كه ميزان عضويت ماكزيمم فقط در يك نقطه تابع عضويت مثلثي براي مجموعه
هايي كه گيرد و تابع عضويت ذوزنقه براي مجموعهافتد مورد استفاده قرار مياتفاق مي
گيرد.ميباشد مورد استفاده قرار ميزان عضويت ماكزيمم در يك بازه مي
bxnnb
xb
nxm
mxaam
ax
xN 1)(
ای ذوزنقه فازی مجموعه 10-2 شکل
شود. تابع اي حاصل ميغيرخطي باشد همان شكل زنگوله ، گونه𝜋وقتي تابع عضويت
ك اعداد حقيقي نزدي»بعنوان مثال مي باشد. ابع كسري يا نمايي ت ، 2عضويت آن درجه
a »توان با توابع عضويت زير نمايش داد:را مي
e k
ax
xA
2)(
)(
2)(1
1)(
axxA
گونه Zمجموعه فازي 2-4-2
ميزان باشد، سپسدر اين نوع مجموعه فازي عضويت در يك نقطه يا يك بازه حداكثر مي
يابد تا به مقدار صفر برسد. از اين نوع مجموعه فازي براي مدلسازي عضويت كاهش مي
گونه شبه ذوزنقه zفازي شود. در واقع مجموعهمفاهيم كم، پايين، كوتاه، بد و... استفاده مي
ت.يا شبه مثلثي اس
26
گونه Z فازی مجموعه 11-2 شکل
باشد.گونه ميzيك مجموعه فازي : مجموعه فازي نمرات بد9-2مثال
1210
2
12
1001
)(x
x
x
xB
2-12 شکل
گونه Sمجموعه فازي 2-4-3
به يابدعضويت از ميزان صفر شروع شده و افزايش ميدر اين نوع مجموعه فازي تابع
هاي فازي مدلسازي ميزان حداكثر در يك نقطه يا يك بازه برسد. از اين نوع مجموعه
شود.مفاهيم زياد، بالا، خوب، بلند و... استفاده مي
27
2-13 شکل
باشد.گونه مي S: مجموعه نمرات خوب يك مجموعه فازي 10-2مثال
1816
2
16
20181
)(x
x
x
xG
گونه Vمجموعه فازي 2-4-4
د تا يابدر اين نوع مجموعه فازي تابع عضويت از ميزان حداكثر شروع شده و كاهش مي
يابد تا به مقدار حداكثر برسد. از اين نوعبه مقدار صفر برسد سپس دوباره افزايش مي
شود.و نه بد استفاده مي مجموعه فازي براي مدلسازي مفهوم نه خوب
گونه Vمجموعه 16-2شكل
: مجموعه نمرات نه خوب نه بد.11-2مثال
15-2شکل
28
201010
10
10010
10
)(
xx
xx
xV
هاي[ مجموعه0، 20: براي مفاهيم مجموعه نمرات خوب، بد، متوسط دربازه ]1-2تمرين
بنويسيد. 2فازي با تابع عضويت درجه
باشند.گونه مي Zگونه و Sگونه تركيباتي از Vگونه و 𝜋هاي نكته: مجموعه
چند تعريف مقدماتي 2-5
نرمال، محدب، ارتفاع مانند مجموعه هاي فازيدر اين بخش مفاهيم ديگري از مجموعه
كنيم.تعريف ميرا مجموعه فازي و...
Aفرض كنيد ~
باشد. xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع
A)ارتفاع مجموعه فازي(: به بيشترين مقدار تابع عضويت مجموعه فازي 2-2تعريف ~
(شود و آنرا با نماد ارتفاع آن مجموعه فازي گفته مي~
(Ahgt دهيم.نمايش مي
Aموعه فازي نرمال(: مجموعه فازي )مج 3-2تعريف را نرمال گوييم هرگاه ~
1)~
( Ahgt گاه مجموعه فازي اعضايي از مجموعه مرجع گاه مجموعه فازي(: تكيه)تكيه 4-2تعريف
(باشد و با باشند كه ميزان عضويت آنها بزرگتر از صفر ميمي~
(ASUPP نمايش داده
. شودمي 0)(:)~
( xAXxASUPP
1اي كه ميزان عضويت آن گذر يا معبر(: به نقطه)نقطه 5-2تعريف
2باشد نقطه گذر مي
شود.گفته مي
29
A)عدد اصلي(: به مجموع ميزان عضويتهاي مجموعه فازي 6-2تعريف عدد اصلي آن ~
dxxAA شود.گفته ميXx
)(~
يا
Xx
xAA )(~
هاي معمولي به تعداد عضوهاي يك مجموعه عدد اصلي آن مجموعه يا به در مجموعه
شود.عبارت ديگر به تعداد يكهاي تابع عضويت يا جمع مقدارهاي تابع عضويت گفته مي
Aعدد اصلي نسبي: عدد اصلي نسبي مجموعه فازي ~
عبارت است از:
X
AA
~~
A: )مجموعه فازي محدب(: مجموعه فازي 7-2تعريف
~ محدب است هرگاه
1,0,, 21 Xxx ))(),(min())1(( 2121 xAxAxxA
نامحدب b محدب a:17-2شكل
توان تعريف كرد كه در هاي تراز نيز ميهاي محدب را با استفاده از مجموعهمجموعه
هاي فازي با تابع عضويت مثلثي و بخشهاي بعدي به آن اشاره خواهيم كرد. مجموعه
باشند. اي محدب ميذوزنقه
كند )مجموعه سطح(: به ميزان عضويتهايي كه يك مجموعه فازي اختيار مي 8-2تعريف
شود.وعه سطح گفته ميمجم
XxxAA )(:
30
12)افراز فازي(: فرض كنيد 9-2تعريف
~,
~,...
~AAAn هاي فازي روي مجموعهX باشند
بطوريكه :
n
i
i xA1
1)( Xx
12در اينصورت
~,
~,...
~AAAn را افزار فازي مجموعه مرجعX .گويند
، 15، ...، 45} : مجموعه فازي جوان با تابع عضويت زير را درنظر بگيريد.12-2مثال
10 ،5 =}X
45
0
40
3.0
35
5.0
30
9.0
25
1
20
9.0
15
4.0
10
2.0
5
0~Y
باشند وباشند بنابراين نرمال ميمي 1مجموعه داراي ارتفاع
10} 15, 20, 25, 30, 35, {40,)~
( YSUPP Y نقطه گذر
باشد و عدد اصلي، عدد اصلي نسبي و مجموعه سطح آن مي 35عدد ~
باشند.بصورت زير مي
2.4=3.0+5.0+9.0+1+9.0+4.0+2.0+0=Y~ 48.0
9
2.4~Y
{1 ،9.0 ،5.0 ،4.0 ،3.0 ،2.0 ،0=}A
12هاي فازي مجموعه مرجع باشد، مجموعه X{=1، 2، 3، 4، 5: اگر }13-2مثال
~,
~AA
باشند.مي Xافزار فازي
4
0
3
3.0
2
6.0
1
12 A
4
1
3
7.0
2
4.0
1
0~1 A
با تابع عضويت « پنجاعداد نزديك »: مجموعه فازي 14-2مثال 2)5(1
1)(
xxA
باشد.يك مجموعه فازي نرمال و محدب مي
31
18-2 شکل
هاي فازياعمال روي مجموعه 2-6
را تعريف ي فازي مثل اجتماع، اشتراک، متممهادر اين بخش اعمال روي مجموعه
هاي معمولي با نمايش تابع نشانگر به كنيم. عملهاي اجتماع و اشتراک مجموعهمي
رت وهاي فازي نيز اعمال به همين صند. براي مجموعهدگيري تبديل شنيممماكزيمم و مي
هاي فازي با تابع عضويت سروكار داريم.باشند چون در مجموعهمي
AB: فرض كنيد 10-2تعريف ~
,~
باشند آنگاه Xهاي فازي روي مجموعه
اجتماع -الف
(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = max{𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)}
19-2 شکل
32
اشتراک -ب
(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = min {𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)}
20-2 شکل
متمم -ج
(𝐴′)(𝑥) = 1 − 𝐴(𝑥)
21-2 شکل
Aرابطه زيرمجموعه: -دBرا زيرمجموعه ~
گويند هرگاه ~
)()( xBxA Xx
33
AB: فرض كنيد 15-2مثال ~
,~
{ باشند. اجتماع 1، 2، 3، 4، 5هاي فازي روي }مجموعه
و اشتراک آنها را بدست آوريد.
5
1
4
8.0
3
5.0
2
2.0
1
0~B
5
3.0
4
7.0
3
1
2
7.0
1
3.0~A
حل:
5
3.0
4
7.0
3
5.0
2
2.0
1
0~~ BA
5
1
4
8/0
3
1
2
7/0
1
3/0~~ BA
AB: فرض كنيد 16-2مثال ~
,~
اعداد »و « اعداد حقيقي نزديك صفر»هاي فازي مجموعه
با توابع عضويت « 2حقيقي نزديك 22 1
1)(,
)2(1
1)(
xxA
xxB
دست آوريد.باشند. اجتماع و اشتراک دو مجموعه را به
22-2شکل
34
minآوريم سپس قبل و بعد از نقطه برخورد ابتدا نقطه برخوردهاي دو تابع را بدست مي
كنيم.توابع را مشخص مي maxو
1)2(1
1
1
1)()(
22
x
xxxBxA
مي باشد قبل و بعد از اين نقطه ماكزيمم گيري و مي نيمم گيري انجام 1پس نقطه برخورد
مي دهيم:
(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = {max {
1
1+𝑥2,
1
1+(𝑥−2)2} 𝑥 ≤ 1
max {1
1+𝑥2,
1
1+(𝑥−2)2} 𝑥 > 1
پس
(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = {
1
1+𝑥2 𝑥 ≤ 1
1
1+(𝑥−2)2 𝑥 > 1
و همچنين براي اشتراک داريم:
(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = {min {
1
1+𝑥2,
1
1+(𝑥−2)2} 𝑥 ≤ 1
min {1
1+𝑥2,
1
1+(𝑥−2)2} 𝑥 > 1
لذا
(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = {
1
1+𝑥2 𝑥 > 1
1
1+(𝑥−2)2 𝑥 ≤ 1
A: فرض كنيد 17-2مثال Bو 1اعداد فازي بزرگتر از ~
1اعداد فازي خيلي بزرگتر از ~
با توابع عضويت 11 )1(1
1)(,
)1(101
1)(
xxA
xxB آنگاه دباشن
35
ABنشان دهيد -الف~~
ب- A .را بدست آوريد
)()(واضح است كه -الف xAxB Rx پسAB~~
-ب1)1(1
11)(
xxA
iAيك مجموعه انديس باشد و Iاگر -توجه~ ،Ii هاي فازي روي مجموعهX باشند
آنگاه
Ii
IixAA ii
)(min و
Ii
IixAA ii
)(max
ثالهاي باشد. در مگيري فازي ميدر تصميمهاي فازي يكي از كاربردهاي اشتراک مجموعه
زير اين موضوع را توضيح مي دهيم.
1200، 750، 350، 280، 200، 150: يك شركت ساختماني زمينهايي با مساحت 18-2مثال
واحدي انتخاب 8خواهد از بين آنها يك زمين مناسب براي آپارتمان متر مربع دارد. مي
23-2شکل
36
هاي فازي مربوط بصورت زير باشد اگر مجموعه باشد.كند، بطوريكه آن زمين بزرگ هم
انتخاب بهينه كدام است.
1200
1
750
1
500
8.0
350
6.0
280
3.0
200
1.0
150
0~L زمينهاي بزرگ
1200
0
750
0
500
3.0
350
7.0
280
1
200
1
150
8.0~S زمينهاي مناسب
آپارتمان
حل: زمين مورد نظر بايد هر دو خاصيت را داشته باشد پس بايد اشتراک دو مجموعه را
محاسبه كنيم.
1200
0
750
0
500
3.0
350
7.0
280
3.0
200
1.0
150
0~~ SL
كنيم كه بيشترين مقدار عضويت را فازي حاصل آن زميني را انتخاب مي حال در مجموعه
متر مربع باشد. 350داشته باشد پس انتخاب بهينه
خواهد از بين بازيكنان قد بلند خود بازيكني انتخاب كند : يك مربي واليبال مي19-2مثال
هاي فازي زير بازيكن با چه قديسانتيمتر باشد با توجه به مجموعه 195نزديك كه قد او
را بايد انتخاب كند.
x= 196 جواب:
24-2شکل
37
Gدر حالت كلي اگر Cمجموعه هدف باشد بطوريكه داراي محدوديت ~
باشد آنگاه ~
CGD~~~
اي از گويند و انتخاب بهينه آن نقطه را فضاي تصميمDباشد كه مي~
بيشترين ميزان عضويت را دارد.
هاي مجموعه هاي فازيويژگي 2-7
ABCفرض كنيد ~
,~
,~
باشد. در اينصورت به Xهاي فازي روي مجموعه مرجع مجموعه
هاي فازي اثبات كرد.راي مجموعهتوان خواص زير را براحتي مي
AAA قانون خودتواني -1~~~
AAA~~~
ABBA قانون جابجائي -2
~~~~
ABBA~~~~
( پذيريقانون شركت -3
~~(
~~)
~~( CBACBA
CBACBA~
)~~
()~~
(~
پذيريقانون توزيع -4
)~~
()~~
()~~
(~
CABACBA
)~~
()~~
()~~
(~
CABACBA قانون متمم مضاعف -5
AA~
)~
(
BABA قانون دمورگان -6 ~~
)~~
(
BABA ~~
)~~
( :بصورت زير است تابع عضويت آن نمايشكنيم ب را اثبات مي -3بعنوان مثال قانون
))()(()))((( xCBAxCBA
38
يا
)}()},(),(max{max{)}}(),(max),(max xCxBxAxCxBxA افتد.حالت اتفاق مي 8اثبات: براي اثبات
)()()(حالت اول: اگر xCxBxA :در اينصورت
)()(),(max{){()},(),(max{max{
)()}(),(max{)}}(),(max{),(max{
xCxCxAxCxBxA
xCxCxAxCxBxA
)()()(حالت دوم: xBxCxA آنگاه
)()(),(max{){()},(),(max{max{
)()}(),(max{)}}(),(max{),(max{
xBxCxBxCxBxA
xBxBxAxCxBxA
شود كه اثبات آنها را به عهده خواننده قبل اثبات ميبقيه حالتها نيز مشابه دو حالت
گذاريم.مي
باشد.هاي فازي قوانين زير برقرار نمياما براي مجموعه
XAA قانون شمول-1 ))((1 يا ~~ xAA
قانون طرد -2 AA~
))((0 يا xAA
هاي فازي درست توان نشان داد كه دو قانون بالا براي مجموعهميبا يك مثال نقض
باشد.نمي
و x{=1، 2، 3، 4، 5: فرض كنيد: }20-2مثال 5
1
4
8.0
3
6.0
2
4.0
1
2.0~A
پس 5
0
4
2.0
3
4.0
2
6.0
1
8.0~A
5
0
4
2.0
3
4.0
2
4.0
1
2.0~~AA و
XAA 5
1
4
8.0
3
6.0
2
6.0
1
8.0~~
39
با اعمال اشتراک و اجتماع Xهاي فازي تعريف شده روي بنابراين مجموعه تمام مجموعه
اً طلاحصباشد زيرا قوانين طرد و شمول را ندارند. او متمم تعريف شده يك جبربول نمي
باشند.هاي فازي يك شبه جبربول ميگويند مجموعهمي
MATLABنويسي هاي فازي با برنامهمحاسبه اعمال روي مجموعه 2-8
نويسي رياضي را دارد. در اين قسمت با يك برنامه قابليتهاي برنامه MATLABنرم افزار
هاي فازي را در حالت گسسته محاسبه ساده اعمال اجتماع و اشتراک و متمم مجموعه
يا فازي گسسته در رايانه بصورت يك آرايه كنيم. همانطور كه قبلاً گفته شد مجموعهمي
باشد.سازي مييك ماتريس يك بعدي قابل ذخيره
باشد:برنامه بصورت زير مي
% Enter two matrix A=input('Enter the first matrix'),' B=input('Enter the second matrix'),' Option=input('enter the option '),' % Option 1 union % Option 2 intersection % Option 3 complement If(option==1) U=max(A/B),' Forint F('unions is '),' Print F (u),' End If (option==2) I=min (A/B),' F print F('Intersection is'),' Print F(I) End If(option==3)
40
Op=input ('Enter whether to find complement for first set or second set'),' If(op==1) [min]=size(u),' C=ones(m)-u,' Else C=ones(m)-v,' End print f('complement is') Print f(c) i End
حال اگر 21-2مثال 4
1
3
7.0
2
5.0
1
2.0~A و
4
4.0
3
6.0
2
8.0
1
1~B باشند و بعنوان ورودي برنامه درنظر گرفته شوند بعد از
اجرا داريم:
Enter the first matrix [0.2, 0.5, 0.7, 1] Enter the second matrix [1, 0.8, 0.6, 0.4] Enter the option 1 Union is [1,0.8, 0.7,1]
اي بنويسيد كه قانون دمورگان را براي برنامه MATLABتمرين: با استفاده از نرم افزار
مثال بالا بررسي نمايد:
برش -αهاي تراز يا مجموعه 2-9
فازي را مورد بررسي هاي توان بعضي از خواص مجموعهبرشها مي -αبا استفاده از
هاي معمولي هاي فازي و مجموعهبه نوعي رابطه بين مجموعه ،هاي ترازقرارداد. مجموعه
كند.را بيان مي
41
A: فرض كنيد 11-2تعريف ~
باشد آنگاه: Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع
)(: xAXxA راα- برش ضعيف و
)(: xAXxA راα- برش قوي مجموعه فازيA كنيم.تعريف مي ~
α- تواند. با استفاده از آن ميباشمجموعة صريح مي يك مجموعه فازي خود يك برش
هاي فازي گسترش داد.هاي معمولي را به مجموعهبعضي از مفاهيم مجموعه
Aبرش مجموعه -α: 23-2 شکل~
A: فرض مجموعه فازي 22-2مثال و α=2.0برشهاي آنرا به ازا -αبصورت زير باشد ~
7.0 =α .بدست آوريد
8
2.0
7
4.0
6
6.0
5
8.0
4
1
3
8.0
2
6.0
1
4.0~A
حل:
𝐴0.2 = {𝑥: 𝐴(𝑥) ≥ 0.2 } = {1,2,3,4,5,6,7,8} 𝐴0.7 = {𝑥: 𝐴(𝑥) ≥ 0.7 } = {3,4,5}
Aفازي : فرض كنيد مجموعه23-2مثال با تابع 1و مجموعه اعداد حقيقي نزديك ~
برش آنرا بدست آوريد. -α عضويت زير باشد
42
11
1,11
111
111
1:
)1(1
1:)(:
)1(1
1)(
2
2
xRx
xRxxARxA
xxA
را بدست آورد. Aتوان به ازاء هر مقدار داده شده مي αحال با جايگذاري مقدار
𝐴0.1آنگاه α=0.1فرض كنيد = [−2 , 4]
A)اصل تجزيه(: فرض كنيد 1-2قضيه باشد Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع ~
برشهاي اين مجموعه فازي براي -A αو 1,0 باشد در اينصورت
))(,min()( sup1,0
xxA A
كه درآن A تابع عضويت مجموعه صريحA و)(xA همان تابع عضويت مجموعه
Aفازي ~
باشد.مي
داريم. Xxباشد بنابراين براي هر مي 1و0بين xA)(اثبات: مقدار تابع عضويت
𝑠𝑢𝑝α∈[0,1]
{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} =
max [ supα∈[0,A(x)]
{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} , supα∈[A(x),1]
{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} ] =
max [ supα∈[0,A(x)]
{min(𝛼, 1)} , supα∈[A(x),1]
{min(𝛼, 0)} ] =
sup𝛼≤𝐴(𝑥)
𝑋 = 𝐴(𝑥)
دهند:ياصل تجزيه را بصورت زير نيز نمايش م
43
AA~~
]1,0[
)min,)((كه درآن ~
xA A باشد.مي
اصل تجریه 24-2 شکل
A: فرض كنيد24-2مثال ~
برشهاي زير -αبا X{=1، 2، 3، 4يك مجموعه فازي روي }
باشد. مجموعه فازي مربوطه را بدست آوريد.
2,18.0 A 3,2,17.0A 4,3,2,14.0 A 21 A
با توجه به اصل تجزيه داريم:
4
4.0,
3
7.0,
2
1,
1
8.0
4
0,
3
0,
2
1,
1
01
4
0,
3
0,
2
1,
1
18.0
4
0,
3
1,
2
1,
1
17.0
4
1,
3
1,
2
1,
1
14.0
~1
~8.0
~7.0
~4.0
]1,0[
~18.07.04.0
~AAAAA A
44
باشد كه در زير اين برشها تعريف مجموعه فازي محدب مي -αيكي از كاربردهاي
آوريم.تعريف را مي
A: فرض كنيد 12-2تعريف ~
باشد. اين Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع
برشهاي آن محدب باشد. -αمجموعه فازي را محدب گوييم. هرگاه تمام
α- باشند لذا منظور از محدب بودن هاي معمولي ميبرشها مجموعهα- برشها همان
باشد.فصل اول مي تعريف
A: مجموعه فازي 25-2مثال ~
ابع عضويت زير يك مجموعه فازي محدب است زير با ت
برشهاي آن محدب است. -αهمه
𝐴(𝑥) = {2𝑥 − 5 2.5 < 𝑥 ≤ 37 − 2𝑥 3 < 𝑥 < 3.5
α- باشدبرش مجموعه فازي بصورت زير مي
2
7,
2
5 A
A يك بازه پيوسته رويR هايي چنين بازه در فصل اول ثابت كرديم باشد كهمي
هاي پيوسته باشند آنگاه برشها بازه -αتر اگر همه باشند. به عبارت سادهمحدب مي
برشي با چند زير بازه از هم -αباشد.و در صورتي كه مجموعه فازي متناظر محدب مي
جدا وجود داشته باشد مجموعه فازي نامحدب است )شكل زير(
45
25-2 شکل
A: )عدد اصلي فازي( فرض كنيد 13-2تعريفيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع ~
Aفازي باشد عدد اصلي فازي مجموعه Xمتناهي شود.بصورت زير تعريف مي ~
nAAnnAF
:sup,:),(~
مجموعه مرجع باشد كه اعداد بيانگر تعداد X{=1، 2، 3، 4، 5: فرض كنيد }26-2مثال
Aباشد. مجموعه فازي اتاقهاي خواب يك منزل آپارتماني مي~
آپارتمانهاي »بيانگر
با ميزان عضويتهاي داده شده است.« نفره 3مناسب براي خانواده
5
2.0
4
6.0
3
1
2
1
1
5.0~A
باشند.برشهاي اين مجموعه فازي بصورت زير مي
5
4
3
2
2.0
5.0
6.0
1
A
A
A
A
5,4,3,2,1
5,3,2,1
4,3,2
3,2
2.0
5.0
6.0
1
A
A
A
A
با توجه به تعريف داريم:
5
2.0
4
5.0
3
6.0
2
1~
FA
46
عضو وجود دارد كه ميزان عضويت 3بدين معني است كه A( 3) 0.6=گوييم وقتي مي
باشد.مي 6.0آن بزرگتر و مساوي با
top related