métodos y terapias formulas & ejercicios

Objetivos: Conocer los distintos tipos de radioterapias y los mecanismos que asociados a estos.

Métodos y TerapiasFormulas & Ejercicios

www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica

Universidad Austral de ChileValdivia, Chile

Índice

Introducción

Flujo de fotones y partículas

Flujo de partículas/fotones por sección y tiempo [1/m2s]

Energía por sección [J/m2]

Partículas/Fotones por sección [1/m2]

Flujo de energía por sección y tiempo [J/m2s]

ICRU 33: Radiation Quantities and Units

Fuentes de radiación

Cuando estudiamos equipamiento vimos que los fotones provenían de la interacción de la materia con los electrones que se aceleraban.

Sin embargo se pueden generar rayos γ en forma directa empleando el decaimiento radiactivo de núcleos inestables.

Existen cuatro mecanismos básicos:

• Un protón se transforma en un neutrón (emitiendo un positrón)

• Un neutrón se transforma en un protón (emitiendo un electrón)

• El núcleo reduce masa emitiendo una partícula α

• Liberación de un neutrón por un proceso de fisión

Fuentes de radiación

Ley de decaimiento:

Actividad de la muestra [Bq=1/s]Numero de núcleos [-]Tiempo medio de vida [s]Constante de decaimiento [1/s]

Unidad Bq: 1 BequerelUnidad antigua: 1 Ci (Curie)Conversión: 37 mCi = 1 MBq1 Ci = 3.7×1010 1/s

Definición histórica de la exposición

La medición de radiación se hizo históricamente con cámaras de ionización.

1R = 2.58x10-4 C/kg

Como referencia se creo la unidad Roentgen que equivale a la cantidad de radiación que ioniza en 1 kg de aire a una atm y 22C la cantidad de 2.58x10-4 C:

Exposición

La relación entre actividad y la exposición es:

Elemento Γ137Cs 3.3x10-4

57Co 1.32x10-3

22Na 1.20x10-3

60Co 1.33x10-3

Exposición [R]Actividad [R]Distancia [m]Constante de exposición [R m2]

La Dosis se define como

Los factor de conversión son:

Si se conoce la relación de la energía de la radiación con respecto de la densidad de la materia se puede convertir la exposición en dosis:

Medio Factor (Gy/R)

Aire 0.00876

Musculo, Agua 0.009

Hueso 0.02-0.04

Índice

Interacción partículas cargadas - materia

Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada

Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distanciamínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil:

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Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma:

Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un tiempo característico:

El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso

Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula:

La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista:

Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones

Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía absorbida por los electrones

La energía absorbida por un electrón (Z=1) es:

La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En una distancia dx

Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia:

se obtiene el diferencial

y con ello la distribución de probabilidades

La distribución de energías:

tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios (radiación δ)

Partícula

Electrón δ

Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se tendría la energía transmitida al material.

La variación promedia de la energía es:

con el radio clásico del electrón:

so obtiene:

Las energías limites están dadas por:

la energía mínima que corresponde a la energía de ionización:

La energía máxima a ser transferida:

Se obtiene así:

O el stopping power

La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuentael efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación de Bethe-Bloch:

Hans Bethe(1906-2005)

Felix Bloch(1905-1983)

Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no para electrones.

Perdida de energía por colisiones

Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación)

El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los elementos relevantes para el tipo de mecanismo

Relación con dosis

La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer) recorrido por la partícula es:

que se puede estimar el Stopping Power

La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado con el espectro:

Camino recorrido

El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:

Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa:

Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la energía y parámetros del proyectil:

Modelamiento simplificado

Al ser las ecuaciones difíciles de integrar se prosigue resolviendo los problemas en forma numérica o mediante modelos simplificados. Ejemplo se modela la curva de penetración mediante un polinomio simple:

Energía mas probable

C1 = 0.22 MeVC2 = 1.98 MeV/cmC3 = 0.0025 MeV/cm2

C4 = 2.33 MeV/cm

La energía media en la superficie es

C5 = 0.88 MeV1/2cm

Profundidad equivalente

Contaminación con Bremsstrahlungwww.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08

Ley de Bragg

El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:

Camino R [cm]

William L. Bragg(1890-1971)

Deposito de energía en unaprofundidad especifica

Modelo de Difusión de Electrones

Basado en la teoría de un gas de electrones de Fermi-Eyges

Con la desviación estándar definida por

y la potencia lineal de scattering (cambio del cuadrado del ángulo de desviación con la distancia)

Enrico Fermi(1901-1954)

Característica de la radiación con electrones

Ventaja en el uso de radiación con electrones

Fuente

Colimador

Paciente

Cáncer

Órgano critico

Ubicación de las zonas irradiadas

Cancer

Oregano critic

Comparación con radiación con rayos gamma

Cancer

Oregano critic

Índice

Interacción fotones - materia

Absorción

El flujo que aun prevalece en el haz de radiación en una profundidad z esta dada por:

Φ(z)Φ(0)μ(z)z

Flujo en la profundidad z [W]Flujo en la superficie [W]Absorción del material en la posición z [1/m]Profundidad [m]

El factor de absorción se relaciona con el coeficiente de atenuación σ y la densidad del material ρ mediante

Absorción variable

En ese caso la intensidad será:

o sea que:

o en un limite continuo:

Que para el caso μ constante se reduce a la definición original de la reducción exponencial del flujo.

Absorción puntual

El flujo “que sufre scatterring” en la profundidad z será:

z + dzz

Absorción variable

En tres dimensiones debemos considerar que la Intensidad decrece en función del radio:

Muestra

Absorción variable

Si se supusiese que la energía es entregada en forma directa a la zonaen que ocurre el scattering, se puede considerar un volumen dV de masa:

Como la dosis es la energía absorbida por unidad de masa

Con lo que se obtiene para el caso monocromático (una sola energía):

Barras o agujas

Para el caso de que se apliquen semillas concadenadas o barras/agujas la dosis debe ser calculada sumando a lo largo L de la fuente. Un elemento dx de la fuente de actividad A contribuye en:

Absorción

Integrando a lo largo de la fuente

Se obtiene la llamada integral de Sievert y requiere de ser integrada numéricamente:

Alternativas

Fuentes Vida media Energía (keV) Aplicación

Cesio 137 30 a 662 Abuja

Oro 198 2.7 d 412 Semilla

Yodinio 125 60 d 27-35 Semilla

Paladio 103 17 d 20-23 Semilla

Iridio 192 74 d 136-1060 Alambre

Radio 226 1620 a 47-2440 Abuja

Ejercicios

1. Una muestra de Co-60 tiene 50 curie, su vida media es de 5.26 añosy al decaer emite un electrón de 0.31 MeV y dos fotones de 1.17 y 1.33 Mev. Cuanta energía emite 1g de Co-60 por segundo? (0.832 J/s)

2. Cual es el flujo de energía a una distancia de 10 cm si los fotones del ejercicio anterior se propagasen sin interacción con el medio? (5.89 W/m2)

3. Cual es la distancia media entre dos moléculas en agua? Asuma que la masa molar es 18 g y la densidad 1 g/cm3. (3.10x10-10 m)

4. Cual es la velocidad de una partícula alfa con una energía de 1MeV? Recuerde que la masa del protón y el neutrón son similar y del orden de 1.67x10-27 kg (5.49x106 m/s)

5. Si suponemos que la partícula alfa recién descrita viaja por un medio tipo agua y su distancia mínima al centro de una molécula es la mitad de la distancia media entre moléculas calculada en el ejercicio 3; cual es el tiempo característico de la interacción? (5.67x10-17 s)

6. Cual es la fuerza máxima que ejerce esta partícula alfa sobre la molécula de agua? (1.44x10+6 N)

7. Cual es el impulso promedio que se asocia a la fuerza estimada en 6 y el tiempo de interacción de 5? (8.14x10-11 kgm/s)

Ejercicios

8. Cual es la energía transferida a una molécula de agua como un todo?(1.11x10+5 J)

9. Cual es la energía transferida a un electrón? (1.11x10+5 J)10. Cual es la relación entre las energías transferida a un electrones respecto de las

de la molécula (núcleo)? (3.28x10+4)11. Si los electrones penetran una muestra en 2.2 cm cual es la energía probable?

(5.49 MeV)12. Cual es el R50? (1.1 cm)13. Cual es la energía en la superficie? (2.56 MeV)

Ejercicios

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1. Simule en forma manual la forma como un haz se propaga en la aproximación Pencil Beam. Considere un haz monocromático de 1 MeV en un medio tipo agua y vaya calculando la proporción que logra sobrevivir cm a cm en un total de 20 cm. Indique además la proporción que se genera en fotones involucrados en scattering Rayleigh, Compton, Fotoeléctrico y pares en cada elemento. Considere los factores de absorción Rayleigh: 4x10]4 cm2/g, Fotoeléctrico: 3 5x10]4 cm2/g 3.5x10 cm /g, Compton: 6x10]2 cm2/g y los restantes con valores despreciables.

2. Aplique el método cono colapsado en una hoja cuadriculada. Calcule como se distribuyen los electrones al decimo paso para el caso de que un 50% continua al cuadrito en la dirección de movimiento, y cada vez 25% a los cuadritos paralelos al cuadro anterior descrito.

3. Usando los cálculos de los dos ejercicios anteriores y empleando la tabla de números rondom que se muestra a continuación, calcule para tres casos tirando los dados si se genero electrón y donde fue este a dar. Asuma que el cuadriculado del ejercicio 2 tiene una malla de 1x1 mm. 0.830301|0.750572|0.160337|0.054459|0.043647|0.158783|0.961808 0 897865|0 666354|0 623756|0 746108|0 693814|0 449321|0 2084450.897865|0.666354|0.623756|0.746108|0.693814|0.449321|0.2084450.954671|0.386558|0.269915|0.940382|0.993867|0.707698

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