matematinĖ fizika paskaitų medžiaga · matematinĖ fizika paskaitų medžiaga aleksandras...
Post on 31-Mar-2021
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMATINĖ FIZIKAPaskaitų medžiaga
Aleksandras Krylovas
Vilniaus Gedimino technikos universitetas
2010 m. lapkričio 23 d.
ii
Turinys
1 Lygtys dalinėmis išvestinėmis 31.1 Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis . 4
1.2.1 Homogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis . . . . . . . . . . 6
1.3 Kintamųjų keitimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Laplaso operatorius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Antrosios eilės lygčių klasifikacija 132.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių klasifikacija . . . 14
2.2.1 Pagrindinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisiais pertvarkymas
į kanoninį pavidalą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Hiperbolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Parabolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Elipsinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Hiperbolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Elipsinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Lygties su pastoviais koeficientais prastinimas . . . . . . . . . 19
3 Stygos svyravimo lygtis 213.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Dalambero metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Dalambero formulės tyrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iii
iv TURINYS
3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai . . . . . . . . . . 27
3.5.1 Ilgosios linijos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.2 Membranos svyravimų lygtis . . . . . . . . . . . . . . 303.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . 31
4 Šilumos laidumo ir difuzijos lygtys 334.1 Difuzijos matematinis modelis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Šilumos laidumas strype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Šilumos laidumas erdvėje . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Koši uždavinio sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Furjė metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė . . . . . . . 384.3.4 Kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu . . . . . 40
4.4 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Elipsinės lygtys 455.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Bendrosios sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.2 Normalioji išvestinė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.3 Adamaro pavyzdys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Harmoninės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.1 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Puasono formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3.1 Temperatūros pasiskirstymas apvalioje plokštelėje . . 49
5.4 Grino funkcijų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui . . . . . . . . . . . . 51
6 Kintamųjų atskyrimo metodas 536.1 Hiperbolinių lygčių sprendimas kintamųjų atskyrimo metodu 536.2 Elipsinių lygčių sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.1 Laplaso lygties sprendimas apskritime . . . . . . . . . 55
TURINYS v
7 Šturmo ir Liuvilio uždavinys 597.1 Bendroji kintamųjų atskyrimo metodo schema . . . . . . . . . 59
7.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius . . . . . . . . . . . 597.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Apibendrintosios funkcijos 618.1 Pagrindinės ir apibendrintosios funkcijos . . . . . . . . . . . . 61
8.1.1 Bendrosios sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.1.2 Apibendrintų funkcijų erdvė D′ . . . . . . . . . . . . . 628.1.3 Apibendrintųjų funkcijų diferencijavimas . . . . . . . 63
9 Fundamentalieji sprendiniai 659.1 Apibendrintieji sprendiniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius . . . . . . . . . . . 659.1.2 Fundamentalusis sprendinys . . . . . . . . . . . . . . . 669.1.3 Nehomogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2 Fundamentaliųjų spendinių pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . 679.2.1 Tiesinis diferencialinis operatorius su paprastosiomis
išvestinėmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2.2 Šilumos operatoriaus lygties fundamentalusis sprendinys 679.2.3 Banginio operatoriaus fundamentalusis sprendinys . . 689.2.4 Laplaso operatoriaus fundamentalusis sprendinys . . . 68
vi TURINYS
TURINYS 1
PAGRINDINĖS TEMOS
1. Antrosios eilės tiesinių lygčių dalinėmis išvestinėmis klasifikacija
2. Hiperbolinio tipo lygtys. Koši uždavinys
3. Hiperbolinio tipo lygtys. Mišrusis uždavinys
4. Parabolinio tipo lygtys
5. Elipsinio tipo lygtys
6. Apibendrintosios funkcijos
LITERATŪRA
1. Paulauskas V. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: Mintis, 1974.456 p.
2. Ambrazevičius A. Matematinės fizikos lygtys. D. 1. Vilnius: Aldorija,1996. 380 p.
3. Ambrazevičius A., Domarkas A. Matematinės fizikos lygtys. D. 2.Vilnius: Aldorija, 1999. 380 p.
4. Kamuntavičius G. Matematinė fizika. Kaunas: VDU, 2008.
5. Karpickaitė V. Matematinės fizikos lygčių uždavinynas. Kaunas: KPI-1980.
6. Žiaukienė S. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: 1987.
7. Dosinas G., Tvarijonas P. Matematinės fizikos lygtys. Užduotys irmetodiniai nurodymai. Kaunas: Technologija, 1991.
8. Būda V., Rutkauskas S. Pagrindiniai matematinės fizikos uždaviniaiir sprendimo metodai. Vilnius: Technika, 1992.
2 TURINYS
skyrius 1
Lygtys dalinėmis išvestinėmis
1.1 Įvadas
Tarkime, kad u(x, y) yra diferencijuojama funkcija. Jos pirmosios eilės da-lines išvestines žymėsime:
∂u
∂x= u′x = ux,
∂u
∂y= u′y = uy.
Antrosios eilės išvestinės:
∂2u
∂x2= u′′xx = uxx,
∂2u
∂y2= u′′yy = uyy,
∂2u
∂x∂y= u′′xy = uxy,
∂2u
∂y∂x= u′′yx = uyx.
Prisiminkime1, kad mišriosios išvestinės yra lygios:
∂2u
∂x∂y=
∂2u
∂y∂x.
Nagrinėsime lygčių dalinėmis išvestinėmis pavyzdžius.
1.1 pavyzdys. Raskime diferencialinės lygties
∂u(x, y)
∂x= u(x, y)
1Suformuluokite šį teiginį griežtai.
3
4 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
bendrąjį sperendinį.Sprendimas. Sprendžiame lygtį kaip paprastąją diferencialinę lygtį suparametru y:
du
u= dx⇒
∫
du
u=
∫
dx⇒ lnu = x+ lnC(y).
Taigi u(x, y) = C(y) ex.
1.1 pratimas. Išspręskite Koši uždavinį u′y = u, u(x, y)|y=0 = sinx.Atsakymas. u(x, y) = sin(x) ey .
1.2 pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija u(x, y) = sin(x− y) yra dife-rencialinės lygties
∂u
∂x+∂u
∂y= 0
sprendinys.Įrodymas. Funkcijos u dalinės išvestinės yra:
ux = cos(x− y), uy = − cos(x− y).
Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname tapatybę (tapačiai teisingą ly-gybę, esant visiems x, y). Pastebėkime, kad šios lygties bendrasissprendinys yra u(x, y) = ϕ(x − y), kai ϕ(z) – bet kuri diferencijuo-jamoji funkcija.
1.2 pratimas. Išspręskite Koši uždavinįu′x − u′y = 0, u(x, y)|y=0 = lnx.Atsakymas. u(x, y) = ln(x+ y).
1.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmisišvestinėmis
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem neprik-lausomais kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip
F
(
∂u
∂x,∂u
∂y, u, x, y
)
= 0. (1.1)
Lygtis
a(u, x, y)∂u
∂x+ b(u, x, y)
∂u
∂y= c(u, x, y) (1.2)
vadinama tiesine išvestinių atžvilgiu (dar vadinama kvazitiesine).
1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS5
1.2.1 Homogeninė lygtis
Kai (1.2) lygtyje c ≡ 0, lygtis vadinama homogenine:
a(u, x, y)∂u
∂x+ b(u, x, y)
∂u
∂y= 0. (1.3)
Akivaizdu, kad funkcija u ≡ const yra šios lygties sprendinys.Raskime kitus pirmosios eilės tiesinės homogeninės lygties dalinėmis
išvestinėmis sprendinius. Užrašykime paprastąją diferencialinę lygtį (charak-teristikų lygtį):
dx
a(u, x, y)=
dy
b(u, x, y), u = const. (1.4)
Tarkime, kad Ψ(x, y) = C−const yra šios paprastosios diferencialinės lygtiesintegralas. Tada funkcija u = Ψ(x, y) yra tiesinės homogeninės diferencial-inės lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys.
1.3 pavyzdys. Raskime lygties
yux − xuy = 0
bendrąjį sprendinį.Sprendimas. Užrašome paprastąją diferencialinę (charaktestikų) lygtį
dx
y= −dy
x.
Jos bendrasis integralas x2 + y2 = const. Taigi turime u(x, y) =ψ(x2 + y2). Čia ψ(z) – bet kuri diferencijuojamoji funkcija.
1.3 pratimas. Įrodykite, kad funcijos u = sin(x2+y2), u = ln√
x2 + y2,u = e−(x2+y2)3 yra 1.3 pavyzdžio lygties sprendiniai.
Tarkime, kad turime n nepriklausomų kintamųjų. Tada homogeninėlygtis užrašoma taip
n∑
j=1
aj (x1, x2, . . . , xn)∂u
∂xj= 0.
Atitinkama simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialinių lygčių sistema yra
dx1a1
=dx2a2
= · · · = dxnan
.
6 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
Tarkime, kad ϕ1 (x1, x2, . . . , xn), ϕ2 (x1, x2, . . . , xn), . . ., ϕn−1 (x1, x2, . . . , xn)yra nepriklausomi šios sistemos integralai. Tada funkcija
u (x1, . . . , xn) = Φ (ϕ1 (x1, . . . , xn) , ϕ2 (x1, . . . , xn) , · · · , ϕn (x1, . . . , xn))
yra diferencialinės lygties sprendinys. Čia Φ yra bet kuri tolydžiai diferen-cijuojama funkcija.
1.4 pavyzdys. Išspręsime tiesinę pirmos eilės lygtį dalinėmis išvestinėmis
2xy∂u
∂x+ x
∂u
∂y+ z2y
∂u
∂z= 0.
Užrašome atitinkamą simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialiniųlygčių sistemą:
dx
2xy=dy
x=
dz
z2y.
Gauname integralus
dx
2xy=dy
x⇒ dx = 2ydy ⇒ x = y2 + C1,
dx
2xy=
dz
z2y⇒ lnx = −2
z+C2.
Taigi bendrąjį lygties sprendinį galima išreikšti taip
u = Φ
(
x− y2, ln x+2
z
)
.
1.4 pratimas. Patikrinkite, kad funkcijau(α, β), α = x− y2, β = lnx+ 2
z
yra 1.4 pavyzdžio sprendinys.
1.2.2 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis
Nagrinėsime (1.2) nehomogeninę lygtį. Tarkime, kad sprendinys u(x, y)užrašomas neišreikštine funkcija
U(x, y, u) = C − const,∂U
∂u6= 0.
Tada turime dvi tapatybes:
∂U
∂x+∂U
∂u
∂u
∂x≡ 0,
1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS7
∂U
∂y+∂U
∂u
∂u
∂y≡ 0.
Taigi įrašę iš šių tapatybių gaunamus reiškinius
ux = −Ux
Uu, uy = −Uy
Uu
į (1.2) lygtį, gauname lygtį
a(u, x, y)∂U
∂x+ b(u, x, y)
∂U
∂y+ c(u, x, y)
∂U
∂u= 0.
Užrašome atitinkamą paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą
dx
a(u, x, y)=
dy
b(u, x, y)=
du
c(u, x, y), U = C − const. (1.5)
1.5 pavyzdys. Išspręskime diferencialinę lygį
xux + yuy + u = 0.
Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtis
dx
x=dy
y=du
−u.
Sprendžiame lygčių sistemą:
lnx = ln y + lnC1, lnx = − lnu+ lnC2.
Taigi u =C2
x,x
y= C1, C2 = ϕ (C1), u(x, y) =
ϕ(
xy
)
x.
Patikrinkime, kad funkcija u yra diferencialinės lygties sprendinys:
ux = − ϕ
x2+ϕ′
xy, uy = −ϕ
′
y2,
x
(
− ϕ
x2+ϕ′
xy
)
+ y
(
−ϕ′
y2
)
+ϕ
x= 0.
8 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
1.3 Kintamųjų keitimas
Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x, y keičiami taip:
x = ϕ(ξ, ν), y = ψ(ξ, ν). (1.6)
Raskime funkcijos v(ξ, ν) = u(x, y) dalines išvestines:
∂v
∂ξ=∂u
∂ϕ
∂ϕ
∂ξ+∂u
∂ψ
∂ψ
∂ξ,
∂v
∂ν=∂u
∂ϕ
∂ϕ
∂ν+∂u
∂ψ
∂ψ
∂ν.
Pareikalaukime, kad Jakobianas būtų nelygus nuliui2:
J =
∣
∣
∣
∣
ϕξ ψξ
ϕν ψν
∣
∣
∣
∣
6= 0. (1.7)
Tada funkcijos u(x, y) dalinės išvestinės išreiškiamos funkcijos v(ξ, ν) dali-nėmis išvestinėmis:
(
uxuy
)
=
(
ϕξ ψξ
ϕν ψν
)−1(vξuν
)
1.5 pratimas. Pakeiskite kintamuosius x = ξ sin ν, y = ξ cos ν , kaiu(x, y) =
√
x2 + xy + y2. Raskite funkciją v(ξ, ν) = u(x, y).
1.3.1 Laplaso operatorius
1.1 apibrėžimas. Reiškinys
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
žymimas ∆u, t. y.:
∆ ≡ ∂2
∂x2+
∂2
∂y2
arba trimačiu atveju
∆ ≡ ∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
ir vadinamas Laplaso operatoriumi.2(1.7) sąlyga garantuoja atvirkštinės transformacijos egzistavimą, t. y. galimybę
išreikšti naujuosius kintamuosius ξ ir ν seniaisiais kintamaisiais x, y.
1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 9
Užrašykime Laplaso operatorių polinėse koordinatėse:
x = r cosϕ, y = r sinϕ, r =√
x2 + y2, tgϕ =y
x.
Tada∂u
∂x=∂u
∂r
∂r
∂x+∂u
∂ϕ
∂ϕ
∂x,
∂u
∂y=∂u
∂r
∂r
∂y+∂u
∂ϕ
∂ϕ
∂y.
Apskaičiuokime dalines išvestines:
∂r
∂x=
2x
2√
x2 + y2=x
r= cosϕ,
∂r
∂y=
2y
2√
x2 + y2=y
r= sinϕ.
Diferencijuojame lygybę tgϕ = yx
pagal x ir y:
1
cos2 ϕ
∂ϕ
∂x= − y
x2,
1
cos2 ϕ
∂ϕ
∂y=
1
x.
Taigi∂ϕ
∂x= −sinϕ
r,∂ϕ
∂y=
cosϕ
r.
Perrašome dalines išvestines
∂u
∂x=∂u
∂rcosϕ− ∂u
∂ϕ
sinϕ
r,
∂u
∂y=∂u
∂rsinϕ+
∂u
∂ϕ
cosϕ
r.
Užrašykime antrąsias išvestines:
∂2u
∂x2=∂(
∂u∂r
)
∂r
∂r
∂x+∂(
∂u∂x
)
∂ϕ
∂ϕ
∂x=
∂2u
∂r2cos2 ϕ− 2
∂2u
∂r∂ϕ
sinϕ cosϕ
r+ 2
∂u
∂ϕ
sinϕ cosϕ
r2+∂u
∂r
sin2 ϕ
r+∂2u
∂ϕ2
sin2 ϕ
r2,
10 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
∂2u
∂y2=∂2u
∂r2sin2 ϕ+2
∂2u
∂r∂ϕ
sinϕ cosϕ
r−2
∂u
∂ϕ
sinϕ cosϕ
r2+∂u
∂r
cos2 ϕ
r+∂2u
∂ϕ2
cos2 ϕ
r2.
Taigi Laplaso operatorius polinėse koordinatėse užrašomas taip:
∆u =∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r+
1
r2∂2u
∂ϕ2.
Pastebėkime, kad reiškinį galima perrašyti tokiu pavidalu:
1
r
∂
∂r
(
r∂u
∂r
)
+1
r2∂2u
∂ϕ2.
1.6 pratimas. Įrodykite, kad Laplaso operatorius sferinėse koordi-natėse
x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ, r =√
x2 + y2 + z2
užrašomas taip:
∆u =∂2u
∂r2+
2
r
∂u
∂r+
cos θ
r2 sin θ
∂u
∂θ+
1
r2∂2u
∂θ2+
1
r2 sin2 θ
∂2u
∂ϕ2.
1.4. KOŠI IR KOVALEVSKAJOS TEOREMA 11
1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema
Normalioji pavidalo sistema užrašoma taip:
∂njuj∂tnj
= Fj
(
t, x1, . . . , xn, u1, . . . , uN , . . . ,∂kui
∂tk0∂xk11 . . . xknn, · · ·
)
,
k0 + k1 + · · ·+ kn = k 6 nj, k0 < nj, i, j = 1, 2, . . . , N.
Koši uždavinys:
∂kuj∂tk
∣
∣
∣
∣
t=t0
= ϕ(k)j (x1, x2, . . . , xn) , k = 0, 1, . . . , nj − 1.
1.1 teorema. Tarkime, kad funkcijos Fj yra analizinės tam tikroje taško(
t0, x01, . . . , x
0n, ϕ1, . . . , ϕn, . . .
)
aplinkoje, funkcijos ϕ(k)j analizinės taško
(
t0, x01, . . . , x
0n
)
aplinkoje. Tada egzistuoja tokia taško(
t0, x01, . . . , x
0n
)
aplin-ka, kurioje Koši uždavinys turi vienintelį analizinį sprendinį.
12 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
skyrius 2
Antrosios eilės lygčiųdalinėmis išvestinėmisklasifikacija
2.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis
Antrosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem neprik-lausomais kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip:
F
(
∂2u
∂x2,∂2u
∂x∂y,∂2u
∂y2,∂u
∂x,∂u
∂y, u, x, y
)
= 0.
Lygtis
a(u, x, y)∂2u
∂x2+ 2b(u, x, y)
∂2u
∂x∂y+ c(u, x, y)
∂2u
∂y2+ F
(
∂u
∂x,∂u
∂y, u, x, y
)
= 0.
vadinama tiesine aukštesniųjų išvestinių atžvilgiu. Ši lygtis dar vadinamakvazitiesine. Nagrinėsime antrosios eilės tiesinę lygtį dalinėmis išvestinėmis:
auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu+ g = 0. (2.1)
Lygties koeficientai a, b, c, d, e, f , g priklauso tik nuo kintamųjų x, y.Pakeiskime kintamuosius ξ = ϕ(x, y), ν = ψ(x, y). Priminkime, kad
(1.7) Jakobianas nelygus nuliui. Perrašome dalines išvestines (žr. (1.6) for-
13
14 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
mules):
ux = uξξx + uννx,uy = uξξy + uννy,uxx = uξξξ
2x + 2uξνξxνx + uννν
2x + uξξxx + uννxx,
uxy = uξξξxξy + uξν(ξxνy + ξyνx) + uνννxνy + uξξxy + uννxy,uyy = uξξξ
2y + 2uξνξyνy + uννν
2y + uξξyy + uννyy.
Tada (2.1) lygtis perrašoma taip:
Auξξ + 2Buξν +Cuνν + F = 0. (2.2)
ČiaA = aξ2x + 2bξxξy + cξ2y ,
B = aξxνx + b(ξxνy + νxξy) + cξyνy,C = aν2x + 2bνxνy + cν2y ,
F = αuξ + βuν + γu+ δ.
Pastebėkime, kad lygtis lieka tiesinė.Pasirinkime kintamuosius ξ, ν taip, kad koeficientas A būtų lygus nuliui:
aξ2x + 2bξxξy + cξ2y = 0. (2.3)
2.1 teorema. Tarkime, kad funkcija ξ(x, y) yra (2.3) lygties sprendinys.Tada reiškinys ξ(x, y) = const yra diferencialinės (charakteristikų)lygties
a(dy)2 − 2bdydx+ c(dx)2 = 0
bendrasis integralas. Galioja ir atvirkštinis teiginys: jei ξ(x, y) =const yra šios paprastosios diferencialinės lygties bendrasis integralas,tai funkcija ξ(x, y) yra (2.3) lygties sprendinys.
Pastebėkime, kad jei y = y(x) yra lygties ξ(x, y) = const sprendinys, tai
dξ = ξxdx+ ξydy = 0 ir y′ =dy
dx= −ξx
ξy.
2.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčiųklasifikacija
Taikydami kintamųjų keitinį antrosios eilės diferencialinę lygtį su n neprik-lausomais kintamaisiais x1, x2, . . ., xn užrašome kanoniniu pavidalu:
α1∂2u
∂x21+ α2
∂2u
∂x22+ · · ·+ αn
∂2u
∂x2n= (2.4)
2.2. ANTROSIOS EILĖS TIESINIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ KLASIFIKACIJA15
F
(
x1, x2, . . . , xn, u,∂u
∂x1,∂u
∂x2, . . . ,
∂u
∂xn
)
,
čia αj ∈ {0, 1,−1} ir |α1|+ |α2|+ · · ·+ |αn| 6= 0.
2.1 apibrėžimas. (2.4) lygtį vadiname elipsine, kai visi koeficien-tai αj yra vienodo ženklo ir nelygūs nuliui; kai visi koeficientai αj
nelygūs nuliui ir bent du iš jų yra skirtingo ženklo, lygtį vadinamehiperboline; kai tarp koeficientų αj yra bent vienas lygus nuliui,lygtį vadiname paraboline.
2.2.1 Pagrindinės lygtys
Lygtisuxx + uyy + uzz = 0
vadinama Laplaso lygtimi ir yra elipsinio tipo.
Lygtisuxx + uyy + uzz = utt
yra įvairių bangų sklidimo matematinis modelis ir yra hiperbolinio tipo.
Lygtisuxx + uyy + uzz = ut
vadinama šilumos laidumo lygtimi ir yra parabolinio tipo.Pažymėję ∆u antrosios eilės dalinių išvestinių sumą (Laplaso operatorių;
žr. 1.1, 8 p.) šias lygtis galime perrašyti taip:
∆u =
0, elipsinio tipo lygtisutt, hiperbolinio tipo lygtisut, parabolinio tipo lygtis
2.1 pavyzdys. Perrašykime diferencialinę lygtį
x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtį:
x2 (dy)2 − 2xy dx dy + y2 (dx))2 = 0 ⇒ (xdy − ydx)2 = 0.
16 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
Gauname tik vieną integralą y = Cx (lygtis yra parabolinė). Keičiame
kintamuosius: ξ =y
xir ν = y. Tada
ξx = − y
x2, νx = 0, ξy =
1
x, νy = 1,
ux = uξ
(
− y
x2
)
,
uy = uξ1
x+ uν ,
uxx =y2
x4uξξ +
2y
x3uξ,
uxy = uξξ
(
− y
x3
)
− uξ1
x2+ uξν
(
− y
x2
)
,
uyy = uξξ1
x2+ uξν
2
x+ uνν ,
Įrašę gautus reiškinius į lygtį gauname jos kanoninį pavidalą:
uνν = 0.
Šios lygties bendrasis spendinys (kai x 6= 0) yra u = νϕ(ξ)+ψ(ξ) arba
u(x, y) = yϕ(y
x
)
+ ψ(y
x
)
.
2.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisi-ais pertvarkymas į kanoninį pavidalą
LygtiesAuxx + 2Buxy + Cuyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0 (2.5)
charakteristikų diferencialinė lygtis
Ady2 − 2Bdydx+ Cdx2 = 0. (2.6)
Perrašome charakteristikų lygtį:(
Ady −(
B −√
B2 −AC)
dx)
·(
Ady −(
B +√
B2 −AC)
dx)
= 0.
Priklausomai nuo diskriminanto D = B2 −AC ženklo, gauname:1) D > 0 – hiperbolinė lygtis;2) D = 0 – parabolinė lygtis;3) D < 0 – elipsinė lygtis.
2.3. LYGTIES SU DVIEM NEPRIKLAUSOMAIS KINTAMAISIAIS PERTVARKYMAS Į KANONINĮ PAVID
2.3.1 Hiperbolinis atvejis
Tarkime, kad ϕ(x, y) = const ir ψ(x, y) = const yra du (2.6) lygties inte-gralai. Tada keitinys
ξ = ϕ(x, y), ν = ψ(x, y)
leidžia perrašyti (2.5) lygtį antruoju kanoniniu pavidalu:
∂2u
∂ξ∂ν= F̃
(
ξ, ν, u,∂u
∂ξ,∂u
∂ν
)
.
Pastebėkime, kad pakeitę kintamuosius ξ = x − y, ν = x + y, gausime šioslygties pirmąjį kanoninį pavidalą:
uxx − uyy = F (· · · ).
2.2 pavyzdys. Perrašykime lygtį
x2uxx − y2uyy = 0
kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Nagrinėsime atvejį x > 0, y > 0, kai lygtis yra hiper-bolinė: D = 02 − x2(−y2) = x2y2 > 0. Sudarome charakteristikųlygtį:
x2dy2 − y2dx2 = 0 ⇒ xdy ± ydx = 0.
Gauname du integralus: ln y ± lnx = lnC±. Taigi reikia pakeistikintamuosius:
ξ = xy, ν =y
x.
Užrašome lygties kanoninį pavidalą:
uξν =1
2ξuν , ξ > 0, ν > 0.
2.3.2 Parabolinis atvejis
Charakteristikų lygtis šiuo atveju yra pilnas kvadratas
Ady2 − 2Bdydx+ Cdx2 =(√
Ady −√Cdx
)2= 0
ir gauname tik vieną nepriklausomą integralą ϕ(x, y) = const. Keičiame kin-tamuosius ξ = ϕ(x, y), o kitą kintamąjį ν galima pasirinkti laisvai (žr. 2.1 pavyzdį,15 p.) Nepamirškime, kad jakobianas turi būti nelygus nuliui.
18 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
2.3.3 Elipsinis atvejis
Charakteristinės lygties pirmieji integralai bus kompleksinės jungtinės funkci-jos
ξ + iν = ϕ(x, y), ξ − iν = ψ(x, y).
2.3 pavyzdys. Perrašykime lygį
y2uxx + x2uyy = 0
kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygį
y2dy2 + x2dx2 = 0 ⇒ (ydy + ixdx) (ydy − ixdx) = 0.
Gauname du pirmuosius integralus: 12y
2 ± 12 ix
2 = C±. Keičiamekintamuosius: ξ = 1
2y2, ν = 1
2x2. Lygties kanoninis pavidalas yra
uξξ + uνν +1
2ξuξ +
1
2νuν = 0.
2.4 Lygtys su pastoviais koeficientais
2.4.1 Hiperbolinis atvejis
Lygties su pastoviais koeficientais charakteristikos yra tiesės. Todėl kinta-muosius galima keisti taip: ξ = x+ αy, ν = x+ βy. Tada turime
ux = uξ + uν ,uy = αuξ + βuν ,uxx = uξξ + 2uξν + uνν ,uxy = αuξξ + (α+ β)uξν + βuνν ,uyy = α2uξξ + 2αβuξν + β2uνν .
2.4 pavyzdys. Perrašykime lygtį
uxx + 2uxy − 3uyy = 0
kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Gauname
uξξ+2uξν+uνν+2 (αuξξ + (α+ β)uξν + βuνν)−3(
α2uξξ + 2αβuξν + β2uνν)
= 0.
2.5. LYGTIES SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS PRASTINIMAS 19
Iš čia(
1 + 2α− 3α2)
uξξ + 2 (1 + α+ β − 3αβ) uξν +(
1 + 2β − 3β2)
uνν = 0.
Taigi, kai α = −1
3, β = 1 gauname lygtį
uξν = 0.
2.4.2 Elipsinis atvejis
2.5 pavyzdys. Perrašykime lygtį
uxx + 2uxy + 5uyy = 0
kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristinę lygtį
dy2 − 2 dx dy + 5 dx2 = (dy − (1 + 2i) dx) (dy − (1− 2i) dx) = 0.
Taigi turime y = x ± 2ix + C±. Keičiame kintamuosius: ξ = y − x,ν = 2x. Todėl
ux = −uξ + 2uν ,uy = uξ,uxx = uξξ − 4uξν + 4uνν ,uxy = −uξξ + 2uνξ,uyy = uξξ.
Perrašome lygtį:
uξξ − 4uξν + 4uνν + 2 (−uξξ + 2uνξ) + 5uξξ =
(1− 2 + 5) uξξ + (−4 + 4) uξν + 4uνν = 4(uξξ + uνν) = 0.
2.5 Lygties su pastoviais koeficientais prastinimas
Antrosios eilės tiesinę lygtį
Auxx + 2Buxy + Cuyy + aux + buy + cu+ f = 0
galima pervarkyti į pavidalą, kai koeficientai a = b = 0.Keičiame kintamąjį
u(x, y) = v(x, y) eλx+µy .
20 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
Turimeux = (vx + λv) eλx+µy ,uy = (vy + µv) eλx+µy ,uxx = (vxx + 2λvx + λ2v) eλx+µy ,uxy = (vxy + λvy + µvx + λµv) eλx+µy ,uyy = (vyy + 2µvy + µ2v) eλx+µy.
Taigi reikia paimti, pavyzdžiui, λ = −a2
, µ = − b2
, kai lygtis yra elipsinė, ir
gausime kanonines formas:vxx + vyy + cv + f = 0 – elipsinis tipas;vxy + cv + f = 0vxx − vyy + cv + f = 0
]
– hiperbolinis tipas;
vxx + bvy + f = 0 – parabolinis tipas.
skyrius 3
Stygos svyravimo lygtis
3.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas
3.1.1 Modeliavimo prielaidos
• Styga – ištemptas absoliučiai lankstus siūlas
• Susidariusi įtempimo jėga veikia liestinės kryptimi
• Styga svyruoja vienoje plokštumoje
• Svyravimų amplitudė maža
3.1 pav.: Styga įtvirtinta taškuose x = X1 ir x = X2
Žymėjimaiu(t, x) – stygos nukrypimo taške x laiko momentu t funkcija;
21
22 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
ρ(x) – stygos linijinis tankis taške x:x+∆x∫
x
ρ(x) dx ≈ ∆xρ(x) – stygos atkar-
pos [x, x+∆x] masė;T (x) taške x veikianti liestinės kryptimi įtempimo jėga;α – stygos liestinės kampas su x ašimi;F (t, x) – stygos elementą veikianti išorinė jėga (linijinis jėgos tankis).
Kampą α imsime mažą: sinα ≈ tgα = ∂u(t,x)∂x
, cosα ≈ 1;∂u(t, x)
∂t– stygos taško x judėjimo greitis;
∂2u(t, x)
∂t2– stygos taško x judėjimo pagreitis.
Remiantis antruoju Niutono dėsniu užrašome
ρ(x)∆x∂2u(t, x)
∂t2= T (x+∆x) sinα′ − T (x) sinα+ F (t, x)∆x.
Iš čia gauname:
ρ(x)∆x∂2u(t, x)
∂t2= T (x+∆x)
∂u(t, x+∆x)
∂x− T (x)
∂u(t, x)
∂x+ F (t, x)∆x.
Padaliję abi lygybės puses iš ∆x ir perėję prie ribos, kai ∆x → 0, gau-name skersinių stygos svyravimų lygtį
ρ(x)∂2u
∂t2=
∂
∂x
(
T (x)∂u
∂x
)
+ F (t, x). (3.1)
Jei stygos neveikia išilginė išorinė jėga (F ≡ 0) ir styga yra homogeninė:ρ ≡ ρ0, T ≡ T0, užrašome (3.1) lygties atskirą atvejį
utt − a2uxx = 0, (3.2)
čia a =
√
T0ρ0
.
3.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos
Styga itvirtinta taškuose x = X1 ir x = X2. Todėl galime užrašyti kraštinessąlygas:
u(t,X1) = 0, u(t,X2) = 0. (3.3)
3.2. DALAMBERO METODAS 23
Tarkime, kad pradiniu laiko momentu t = 0 yra žinoma stygos nuokryp-ių funkcija u
(0)0 (x) ir kiekvieno jos taško x judėjimo greitis u(1)0 (x). Tada
formuluojame pradines sąlygas:
u(0, x) = u(0)0 (x), u′t(0, x) = u
(1)0 (x). (3.4)
3.2 Dalambero metodas
Pakeiskime (3.2) lygties kintamuosius: ξ = x − at, ν = x + at. Gaunameantrąjį lygties kanoninį pavidalą:
uξν = 0,
kurios bendrasis sprendinys yra
u(ξ, ν) = f(ξ) + g(ν) ⇒ u(x− at, x+ at) = f(x− at) + g(x+ at).
Raskime funkcijas f ir g, kai žinomos (3.4) pradinės sąlygos:
(f(x− at) + g(x+ at))|t=0 = f(x) + g(x) = u(0)0 (x),
∂
∂t(f(x− at) + g(x+ at))|t=0 = −af ′(x) + ag′(x) = u
(1)0 (x).
Integuojame antrąją lygtį:
−f(x) + g(x) =1
a
x∫
x0
u(1)0 (s) ds + C
ir gauname funkcijas
f(x) =1
2u(0)0 (x)− 1
2a
x∫
x0
u(1)0 (s) ds −C,
g(x) =1
2u(0)0 (x) +
1
2a
x∫
x0
u(1)0 (s) ds + C.
Taigi gauname Dalambero formulę
u(t, x) =u(0)0 (x− at) + u
(0)0 (x+ at)
2+
1
2a
x+at∫
x−at
u(1)0 (s) ds. (3.5)
24 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.3 Dalambero formulės tyrimas
Nagrinėsime (3.5) formulę, kai u(0)0 (x) = ϕ (x), u(1)0 (x) ≡ 0 ir funkcijos ϕgrafikas pavaizduotas paveiksle.
3.2 pav.: Funkcijos ϕ(x) grafikas
3.3 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms
3.4. NEHOMOGENINĖS LYGTIES SPRENDIMAS 25
3.4 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t1 > 0
3.5 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t2 > t1
3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas
Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę stygos svyravimo lygtį
utt − a2uxx = f(t, x) (3.6)
Parodykime, kad funkcija
Φ(t, x) =1
2a
t∫
0
dτ
x+a(t−τ)∫
x−a(t−τ)
f(τ, ξ) dξ (3.7)
26 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.6 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t3 > t2
yra (3.6) lygties sprendinys. Pažymėkime
F (t, x) =
x∫
0
f(t, ξ) dξ.
Pastebėkime, kad iš čia išplaukia
∂F (t, x)
∂x≡ F ′
x = f(t, x). (3.8)
Tada
Φ(t, x) =1
2a
t∫
0
(F (τ, x+ a(t− τ))− F (τ, x− a(t− τ))) dτ
ir gausime
∂
∂tΦ(t, x) =
1
2a(F (τ, x+ a(t− τ))− F (τ, x− a(t− τ)))|τ=t+
1
2aa
t∫
0
(
F ′x(τ, x+ a(t− τ)) + F ′
x(τ, x− a(t− τ)))
dτ = 0+1
2
t∫
0
(
F ′x + F ′
x
)
dτ,
∂
∂xΦ(t, x) =
1
2a
t∫
0
(
F ′x − F ′
x
)
dτ,
3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 27
∂2
∂t2Φ(t, x) =
1
2
(
F ′x(τ, x+ a(t− τ)) + F ′
x(τ, x− a(t− τ)))∣
∣
τ=t+
a
2
t∫
0
(
F ′′xx − F ′′
xx
)
dτ,
t∫
0
(
F ′x + F ′
x
)
dτ,
∂2
∂x2Φ(t, x) =
1
2a
t∫
0
(
F ′′xx − F ′′
xx
)
dτ.
Įrašome gautus reiškinius į (3.6) ir taikome (3.8) formulę:
Φ′′tt − a2Φ′′
xx = f(t, x).
3.1 pavyzdys. Funkcija
Φ(t, x) =1
2 · 3
t∫
0
dτ
x+3(t−τ)∫
x−3(t−τ)
cos(ξ − 5τ) dξ =
1
6
t∫
0
(sin(x+ 3(t− τ)− 5τ)− sin(x− 3(t− τ)− 5τ)) dτ =
1
48cos(x− 5t)− 1
48cos(x+ 3t)− 1
12cos(x− 5t) +
1
12cos(x− 3t) =
− 1
16cos(x− 5t)− 1
48cos(x+ 3t) +
1
12cos(x− 3t)
yra diferencialinės lygties
utt − 9uxx = cos(x− 5t)
sprendinys.
3.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai
3.5.1 Ilgosios linijos lygtys
Prisiminkime elektrinės grandinės elementų diferencialinius sąryšius.
28 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.7 pav.: Varža
Varža
Elektros srovės (3.7 pav.) stiprumui i(t) ir įtampai u(t) galioja lygybės
u(t) = R i(t) arba i(t) =1
Ru(t).
Talpa
Galioja (3.8 pav.) lygybė:
i(t) = Cdu(t)
dt.
Induktyvumas
Galioja (3.9 pav.) lygybė:
u(t) = Ld i(t)
dt.
Ilgosios linijos (telegrafo) lygtys
Esant dideliam atstumui x2 − x1 ≫ 1 voltmetro ir ampermetro rodmenystaškuose x1 ir x2 (3.10 pav.) bendruoju atveju bus skirtingi. Todėl funkci-jos i ir u priklauso nuo erdvinės koordinatės x, t. y. turime paskirstytų
3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 29
3.8 pav.: Talpa
parametrų sistemą. Nagrinėsime ilgosios linijos mažą (|∆x| ≪ 1) elementą(3.11 pav.). Kai linijos parametrai R (varža), L (saviindukcija), C (talpa),G (skersinis izoliacijos laidumas – nuotekis) nepriklauso nuo x, ji vadinamahomogenine. Taikome Omo ir Kirchhofo dėsnius mažam linijos elementui:
u(t, x) − u(t, x+∆x) = i(t, x)R
2∆x+
∂i(t, x)
∂t
L
2∆x+
i(t, x+∆x)R
2∆x+
∂i(t, x +∆x)
∂t
L
2∆x,
i(t, x)− i(t, x+∆x) =
(
u(t, x)− i(t, x)R
2∆x− ∂i(t, x)
∂t
L
2∆x
)
G∆x+
∂
∂t
(
u(t, x)− i(t, x)R
2∆x− ∂i(t, x)
∂t
L
2∆x
)
C∆x.
Gauname
−∂u∂x
= iR+ ∂i∂tL
− ∂i∂x
= uG+ ∂u∂tC
(3.9)
Diferencijuojame abi lygtis pagal t ir x ir taikome lygybesutx = uxt, itx = ixt:
−ixx = −RCit +Gux − CLitt.
30 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.9 pav.: Induktyvumas
Taikydami pirmąją (3.9) lygtį gauname
itt −1
CLixx +
RC + LG
CLit +
RG
CLi = 0.
3.1 pratimas. Užrašykite lygtį funkcijai u(t, x) rasti.
3.5.2 Membranos svyravimų lygtis
Membrana – įtempta plona absoliučiai lanksti plevelė;t – laikas, x, y – membranos taškų koordinatės;u(t, x, y) – membranos taškų nukrypimai aplikačių (u) ašies kryptimi;ρ – membranos tankis (apskaičiuotas ploto vienetui);T – įtempimo jėga (apskaičiuota kontūro vienetui);F (t, x, y) – įšorinės (skersinės) jėgos tankis;Homogeninės ir vienodai įtemptos (ρ, T – const) membranos mažų skersiniųsvyravimų lygtis – dvimatė bangavimo lygtis
∂2u
∂t2= a2
(
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
+ f(t, x, y), (3.10)
čia a =
√
T
ρ, f(t, x, y) =
F (t, x, y)
ρ.
3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 31
3.10 pav.: Ilgoji linija
3.11 pav.: Telegrafo lygčių išvedimas
3.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys
~U(t, x, y, z) = (u, v, w) – dujų srovės greičio vektorius;ρ(t, x, y, z) – dujų tankis;p(t, x, y, z) – dujų slėgis;Vektorinio lauko ~U divergencija vadinamas reiškinys
div~U =∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z.
Dujų dinamikos lygtys:tolydumo lygtis
∂ρ
∂t+ div
(
ρ~U)
= 0. (3.11)
Pastebėkime, kad (3.11) lygtį galima perrašyti taip:
∂ρ
∂t+ (~U, gradρ) + ρdiv~U = 0,
32 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
čia
gradρ =~i∂ρ
∂x+~j
∂ρ
∂y+ ~k
∂ρ
∂z.
Prisiminkime, kad divergenciją ir gradijentą patogu išreikši nabla operato-riumi
∇ ≡(
∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)
:
div~U = (∇, ~U), gradρ = ∇ρ.Oilerio lygtys vektoriniu pavidalu užrašomos taip:
ρ∂~U
∂t+ ρ(~U∇)~U +∇p = 0, (3.12)
arba koordinatėmis
ρ∂u
∂t+ ρ
(
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z
)
+∂p
∂x= 0,
ρ∂v
∂t+ ρ
(
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z
)
+∂p
∂y= 0,
ρ∂w
∂t+ ρ
(
u∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z
)
+∂p
∂z= 0.
Būsenos lygtis neturi standartinio pavidalo ir bendruoju atveju užrašomataip
f(p, ρ, T ) = 0, (3.13)
čia T – dujų (skysčio) temperatūra.Lygčių sistema (3.11), (3.12), (3.13) vadinam hidrodinamikos lygtimis.
Trimatė bangavimo lygtis
Dujų svyravimams (3.13) lygtis dažnai pakeičiama Puasono dėsniu:
p
p0=
(
ρ
ρ0
)γ
.
Tada mažos amplitudės bangoms p ≈ p0(1 + γp̃) galioja tiesinės akustikos
artinys slėgiui∂2p̃
∂t2= a2
(
∂2p̃
∂x2+∂2p̃
∂y2+∂2p̃
∂z2
)
,
čia a =
√
γp0ρ0
– garso greitis.
skyrius 4
Šilumos laidumo ir difuzijoslygtys
4.1 Difuzijos matematinis modelis
Dėl medžiagos (pavyzdžiui, druskos; 4.1 pav.) molekulių chaotinių judėsiųkinta jos koncentracija (molekulių kiekis) kitoje medžiagoje (pavyzdžiui,vandenyje). Difuzuojančių medžiagų sąveikos procesas paprastai vyksta du-
4.1 pav.: Difuzijos proceso modelis
jose ir skysčiuose ir vadinamas difuzija. Per laiko intervalą ∆t ≪ 1 pervamzdžio pjūvį (S – pjūvio plotas) praeina difuzuojančios medžiagos kiekis,kurio masė yra m. Šis kiekis priklauso nuo medžiagos (pavyzdžio atveju– druskos) koncentracijos C(t, x) ir nuo difuzijos koeficiento λ. Masė mišreiškiama Fiko (A.Fick) dėsniu:
m = −λ ∂C∂x
S∆t. (4.1)
33
34 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Pastebėkime, kad iš (4.1) išplaukia
∆xm = m(t, x+∆x)−m(t, x) = −λ(
∂C(t, x+∆x)
∂x− ∂C(t, x)
∂x
)
S∆t.
Kita vertus, per laiko intervalą ∆t ≪ 1 medžiagos (druskos) koncentracijaindo dalyje tarp x ir x+∆x pasikeis taip:
−∆xm = (C(t+∆t, x̃)− C(t, x̃)) ∆V.
Čia ∆V – indo dalies tarp taškų x ir x + ∆x tūris, x̃ ∈ (x, x + ∆x). KaiS–const, ∆V = S∆x. Taigi gauname
C(t+∆t, x̃)− C(t, x̃)
∆tS = λS
∂
∂x
(
C(t, x+∆x)− C(t, x)
∆x
)
.
Perėję prie ribos, kai ∆t→ 0 ir ∆x→ 0, gauname difuzijos lygtį
∂C
∂t= a2
∂2C
∂x2, (4.2)
čia a =√λ.
4.2 Šilumos laidumas strype
4.2.1 Modeliavimo prielaidos
• strypas yra tiek plonas, kad kiekvieno skersinio pjūvio taškuose tem-pertūra laikoma vienoda;
• u(t, x) – strypo skersmenyje, kurio koordinatė yra x temperatūra laikomomentu t;
• S(x) > 0 – strypo skerspjūvio plotas;
• p(x) > 0 – skerspjūvio perimetras;
• ρ(x) > 0 – tankis;
• C(x) > 0 – specifinė šiluma (šilumos kiekis strypo elemente x, x+∆xlygus CρS∆xu);
• k(x) > 0 – šilumos laidumo koeficientas;
• κ(x) > 0 – spinduliavimo (aušimo) koeficientas;
• f(t, x) – oro temperatūra strypo aplinkoje.
4.2. ŠILUMOS LAIDUMAS STRYPE 35
4.2.2 Diferencialinė lygtis
C(x) ρ(x) S(x)∂u
∂t=
∂
∂x
(
k(x)S(x)∂u
∂x
)
− κ(x)p(x) (u− f(t, x)) .
Kai visi modelio parametrai yra konstantos (vienalytė medžiaga ir vienodasskerspjūvis),
∂u
∂t= a2
∂2u
∂x2− b(u− f(t, x)),
a =
√
k
Cρ, b =
κp
CρS.
Jei strypas yra izoliuotas (κ = 0), gauname homogeninę lygtį
∂u
∂t= a2
∂2u
∂x2.
Šilumos sklidimas esant šilumos šaltiniui
Kai strypas yra izoliuotas ir veikia šilumos šaltinis, tai strypo temeratūraigalioja nehomogeninė lygtis
∂u
∂t= a2
∂2u
∂x2+ h(t, x). (4.3)
4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje
Tarkime, kad ρ(x, y, z) – kūno tankis, C(x, y, z) – specifinė šiluma, k(x, y, x)– šilumos laidumo koeficientas. Kūno temperantūrai u(t, x, y, z) galioja šilu-
mos laidumo lygtis
Cρ∂u
∂t= div (k grad u) . (4.4)
Kai parametrai ρ, C, k yra konstantos (homogeninis kūnas) gauname lygtį
ut = a2∆u,
čia a =
√
k
ρC, ∆ ≡ ∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2– Laplaso operatorius.
36 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 Koši uždavinio sprendimas
Begalinio strypo aušinimasSpręsime uždavinį
∂u
∂t= a2
∂2u
∂x2, u (t, x)|t=0 = ϕ(x), (4.5)
kai −∞ < x < +∞, t > 0.
4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas
Ieškosime netrivialių (nenulinių) (4.5) lygties spendinių tokiu pavidalu
u(t, x) = T (t)X(x).
Tada ut = T ′(t)X(x), uxx = T (t)X ′′(x) ir įrašę šiuos reiškinius į (4.5) lygtį,gauname
T ′(t)T (t)
= a2X ′′(x)X(x)
= const.
Nagrinėsime atvejį const < 0 (priešingas atvejis neturi fizikinės prasmės) irpažymėkime const = −a2 · λ2. Tada
T (t) = C e−λ2 a2 t, X(x) = A cos λx+B sinλx.
Taigi pastebėję, kad λ yra bet kuris neneigiamas realusis skaičius, gaunamebe galo daug lygties sprendinių
u(t, x) = e−λ2 a2 t (A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) .
4.3.2 Furjė metodas
Tiesioginiu patikrinimu įrodome, kad integralas
u(t, x) =
+∞∫
−∞
e−λ2 a2 t (A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) dλ (4.6)
irgi yra (4.5) lygties sprendinys.Iš pradinės sąlygos gauname:
u(0, x) =
+∞∫
−∞
(A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) dλ = ϕ(x).
4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 37
Tarkime, kad funkciją ϕ(c) galima išreikšti Furjė integralu. Tada
A(λ) =1
2π
+∞∫
−∞
ϕ(ξ) cos λξ dξ,
B(λ) =1
2π
+∞∫
−∞
ϕ(ξ) sin λξ dξ.
Iš čia, taikydami formulę cosλx cos λξ+sinλx sinλξ = cos λ(ξ−x), gauname
u(t, x) =1
2π
+∞∫
−∞
e−λ2 a2 t
cos λx
+∞∫
−∞
ϕ(ξ) cos λξ dξ + sinλx
+∞∫
−∞
ϕ(ξ) sin λξ dξ
dλ =
1
π
+∞∫
0
+∞∫
−∞
e−λ2 a2 t ϕ(ξ) cos λ(ξ − x) dξ
dλ.
Pakeitę integravimo tvarką, gausime
u(t, x) =1
π
+∞∫
−∞
ϕ(ξ) I(ξ) dξ,
čia
I(ξ) =
+∞∫
0
e−λ2 a2 t cos λ(ξ − x) dλ.
Raskime funkcijos I(ξ) išvestinę
I ′(ξ) = −+∞∫
0
e−λ2 a2 tλ sinλ(ξ − x) dλ =
1
2a2t
+∞∫
0
sinλ(ξ − x) d e−λ2 a2 t
Diferencijavimu dalimis gauname diferencialinę lygtį
I ′(ξ) = −ξ − x
2a2tI(ξ).
38 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Iš čia ir iš funkcijos I(ξ) reiškimo integralu, kai ξ = x:
∞∫
0
e−z2 dz =
√π
2
išplaukia, kad
I(ξ)|ξ=x =1
2a
√
π
t,
I(ξ) =1
2a
√
π
te−
(ξ−x)2
4a2t .
Taigi galime užrašyti (4.5) uždavinio sprendinį
u(t, x) =
12a
√πt
+∞∫
−∞ϕ(ξ)e−
(ξ−x)2
4a2t dξ, t > 0
ϕ(x), t = 0
(4.7)
4.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė
Tarkime, kad funkcija ϕ(ξ) (4.7) formulėje yra tokia
ϕ(ξ) =
0, kai ξ < x0 − δ,ϕ0, kai x0 − δ 6 ξ 6 x0 + δ,0, kai ξ > x0 + δ,
čia δ – mažas teigiamas skaičius.Paimkime,
ϕ0 =Q0
2δSρC,
S – strypo skerspjūvio plotas,ρ – strypo medžiagos tankis,C – specifinė šiluma,Q0 – šilumos kiekis, sukoncentruotas strypo atkarpoje [x0 − δ, x0 + δ].
Įrašę ϕ0 į (4.7) formulę, gausime
u(t, x) =Q0
SρC· 1
2a√πt
· 1
2δ
x0+δ∫
x0−δ
e−(ξ−x)2
4a2t dξ
ir kai δ → 0 gauname:
Q0
SρC· 1
2a√πte−
(x0−x)2
4a2t .
4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 39
Paimkime šilumos kiekį Q0 taip, kad jis galėtų pakelti vienetinio ilgio strypoatkarpos temperatūrą vienu laipsniu: Q0 = 1 · SρC · 1. Funkciją
v(t, x) =1
2a√πte−
(x0−x)2
4a2t (4.8)
vadiname fundamentiniu sprendiniu. Ši funkcija turi šaltinio prasmę,kai taške x = x0 pradine akimirka patalpintas šilumos kiekis (toks, kadpakelti temperatūrą taip, kaip buvo nurodyta), o kituose strypo taškuose jotemperatūra lygi nuliui.
Funkcijos v(t, x) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms t1 < t2 < t3 < t4parodytas 4.2 paveiksle.
4.2 pav.: Funkcijos (4.8) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms
4.1 pratimas. Raskite laiko momentą tx, kai taške x 6= x0 strypotemperatūra v (tx, x) yra maksimali ir raskite šią temperatūrą.
Temperatūros formulė plokštumoje ir erdvėje
u(t, x, y) =1
4πa2t
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
ϕ(ξ, η) e−(ξ−x)2+(η−y)2
4a2t dξ dη.
40 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
u(t, x, y, z) =1
(
2a√πt)3
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
ϕ(ξ, η, ζ) e−(ξ−x)2+(η−y)2+(ζ−z)2
4a2t dξ dη dζ.
4.3.4 Kraštinės sąlygos
Baigtinio strypo galuose x = 0 ir x = l palaikoma kintanti temperatūra α(t)ir β(t) – pirmosios rūšies kraštinės sąlygos:
u(t, x)|x=0 = α(t), u(t, x)|x=l = β(t).
Strypo galuose yra žinoma šilumos srovė (ji proporcinga temperatūros gradi-jentui) – antrosios rūšies kraštinės sąlygos:
∂u(t, x)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
= γ(t),∂u(t, x)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=l
= δ(t).
Trečiosios rūšies kraštinės sąlygos – strypo galuose vyksta šiluminisspinduliavimas į aplinką:
∂u(t, x)
∂x− h0(u(t, x)− f0(t))
∣
∣
∣
∣
x=0
= 0,
∂u(t, x)
∂x+ hl(u(t, x)− fl(t))
∣
∣
∣
∣
x=l
= 0.
4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu
Baigtinio izoliuoto strypo aušinimas
ut = a2 uxx, 0 < x < l, t > 0,
u(0, x) = ϕ(x),
u′x(t, 0) = 0, u′x(t, l) = 0.
Taikome kintamųjų atskyrimo metodą (4.3.1, 36 p.):
T ′(t)T (t)
= −a2λ2, X ′′(x) + λ2X(x) = 0.
Iš čia gauname
T (t) = Ce−a2λ2t, X(x) = A cos λx+B sinλx.
4.4. MAKSIMUMO PRINCIPAS 41
Iš kraštinių sąlygų gauname, kad nenuliniai sprendiniai egzistuoja, kai
B = 0, λ =nπ
l, n = 1, 2, . . .
Todėl (atskirai išnagrinėkite atvejį, kai λ = 0)
u(t, x) =1
2A0 +
∞∑
n=1
An e−n2π2a2t
l2 cosnπx
l
Iš pradinės sąlygos turime
u(0, x) =1
2A0 +
∞∑
n=1
An cosnπx
l= ϕ(x).
Taigi apskaičiuojame Furjė eilutės koeficientus
An =2
l
l∫
0
ϕ(ξ) cosnπξ
ldξ, n = 0, 1, . . .
4.4 Maksimumo principas
Pažymėkime stačiakampio G = {0 6 t 6 T, 0 6 x 6 l} kontūrą Γ ={t = 0, x = 0, x = l} (4.3 pav.) Tarkime, kad MΓ = max
Γu(t, x) funkcijos
u maksimumas kontūro Γ taškuose, MG = maxG
u(t, x) – jos maksimumas
srities G taškuose. Kadangi Γ ⊂ G, galioja nelygybė MΓ 6 MG. Tačiaušilumos laidumo lygties sprendiniui galioja lygybė MΓ =MG.
4.1 teorema. Tarkime, kad funkcija u(t, x) – lygties ut = a2uxx –spendinys yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja toks kontūro Γ taškas(t0, x0), kad
u (t0, x0) =MG = maxG
u(t, x).
Įrodymas. Tarkime, kad (t1, x1) ∈ G \ Γ yra vidinis srities G taškas iru(t1, x1) = MΓ + ε, ε > 0. Sudarome pagalbinę funkciją (ji nėra šilumoslaidumo lygties sprendinys)
U(t, x) = u(t, x) +ε
2t1(t1 − t).
42 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 pav.: Maksimumo principas
Jei padaryta prielaida yra teisinga, funkcijos U maksimumas srities G tašku-ose lygus MΓ + ε, o kontūro Γ taškuose
U(t, x)|Γ 6MΓ +ε
2t1t1 =MΓ +
ε
2.
Taigi funkcija U(t, x) įgyja maksimalią reikšmę kažkuriame vidiniame (atski-rai reikia nagrinėti atvejį t2 = T ) srities taške (t2, x2). Maksimumo taške turibūti Uxx (t2, x2) 6 0 ir iš funkcijos U apibrėžimo išplaukia, kad uxx (t2, x2) 6
0. Kita vertus, ekstremumo taške gausime įvertį ut (t2, x2) >ε
2t2(lygybė
galima tik, kai t2 = T ). Tada funkcija u(t, x) nėra lygties ut = a2uxxsprendinys, o tai prieštarauja teoremos sąlygai.
4.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą
Spręsime uždavinį, kai žinoma vidutinė ilgametė temperatūra žemės pavirši-uje
f(t) = Re+∞∑
n=−∞fn e
2πntT ,
4.5. UŽDAVINYS APIE ŽEMĖS TEMPERATŪRĄ 43
čia T – metų ilgis (pavyzdžiui, T = 365).Žymėsime x = 0 – žemės paviršius, x = −∞ – didelis gylis.Sprendinio ieškosime Furjė eilutės pavidalu
u(t, x) =+∞∑
n=−∞fnun(x) e
2πntT .
Funkcija u(t, x) yra šilumos laidumo lygties sprendinys. Todėl
2πin
Tun (x) = a2 u′′n (x) .
Bendrasis lygties sprendinys
un(x) = Ane(1±i)qnx +Bne
−(1±i)qnx, qn =
√
|n|πa2T
bus aprėžtas tik, kai An = 0.Iš pradinių sąlygų gauname, kad un(0) = 1. Pastebėkime, kad fn =
f−n = |fn| e−iγn . Todėl
u(t, x) = f0 + 2∞∑
n=1
|fn| e−qnx cos
(
2πnt
T+ γn − qnx
)
.
Furjė eilutės koeficientas f0 turi ilgametės vidutinės temperatūros pras-mę. Pavyzdžiui, šiaurės kraštuose f0 < 0 ir tai reiškia amžinąjį įšalą.
44 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
skyrius 5
Elipsinės lygtys
5.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi
5.1.1 Bendrosios sąvokos
Šilumos lygties utt = a2∆u stacionarus (nepriklausantis nuo laiko t) sprendinystenkina Laplaso lygtį
∆u = 0. (5.1)
Kai yra šilumos šaltinių, užrašoma Puasono lygtis
∆u = −f. (5.2)
Tarkime, kad T yra tam tikra aprėžta sritis erdvėje x, y, z ir paviršius Σ –jos siena. (5.1) arba (5.2) lygtys papildomos kraštinėmis sąlygomis.
Pirmasis kraštinis uždavinys (Dirichlė uždavinys)
(u = ϕ)|(x,y,z)∈Σ
Antrasis kraštinis uždavinys (Noimano uždavinys)(
∂u
∂~n= ϕ
)∣
∣
∣
∣
(x,y,z)∈Σ
Trečiasis kraštinis uždavinys(
∂u
∂~n+ h(u− ϕ)
)∣
∣
∣
∣
(x,y,z)∈Σ
45
46 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
5.1 pav.: Sritis T ir jos siena Σ
Čia ~n – paviršiaus Σ išorinės normalės vektorius.Pastebėkime, kad gali būti sprendžiami ir vidiniai, ir išoriniai kraštiniai
uždaviniai.
5.1.2 Normalioji išvestinė
∂u(x, y, z)
∂~n= lim
h→0
u(x+ hnx, y + hny, z + hnz)− u(x, y, z)
h=
nx∂u(x, y, z)
∂x+ ny
∂u(x, y, z)
∂y+ nz
∂u(x, y, z)
∂z= (~n, grad u),
~n = (nx, ny, nz), |~n| = 1.
5.1.3 Adamaro pavyzdys
Parodykime, kad Koši uždavinys
∆u = 0, u(0, y) = ϕ(y),∂u(0, y)
∂x= ψ(y)
yra nekorektiškas.
5.2. HARMONINĖS FUNKCIJOS 47
Paimkime, ϕ(y) = 0, ψ(y) =1
rsin(ry). Kai r → ∞ gauname u(x, y) ≡
0. Tačiau, kai r yra baigtinis skaičius uždavinio sprendinys yra
u(x, y) =shrxr2
sin ry =erx − e−rx
2r2sin ry.
Matome, kad funkcija yra neaprėžta, kai x 6= 0, y 6= 0 ir r → ∞.
5.2 Harmoninės funkcijos
Nagrinėsime dvimatį atvejį ∆ ≡ ∂2
∂x2+
∂2
∂y2. Tarkime, kad
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
yra kompleksinio kintamojo z = x+iy funkcija. Priminkime, kad jei funkcijaw yra analizinė, ji turi išvestinę
dw
dz= lim
∆z→0
∆w
∆z= lim
∆z→0
f(z +∆z)− f(z)
∆z,
kuri nepriklauso nuo reiškino ∆z = ∆x+ i∆y artėjimo į 0 būdo.Kad funkciją w = f(z) būtų analizinė, yra būtinos ir pakankamos Koši
ir Rymano sąlygos:{
ux = vy,uy = −vx.
(5.3)
Iš (5.3) lygybių gauname, kad analizinės funkcijos realioji ir menamoji dalisyra harmoninės funkcijos:
∆u = 0, ∆v = 0.
Harmoninėmis funkcijomis trimačiu atveju vadiname Laplaso lygties spren-dinius:
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2= 0.
5.2.1 Maksimumo principas
5.1 teorema. Tarkime, kad u(x, y, z) yra harmoninė uždaroje aprėž-toje srityje T ∪ Σ. Tada jos reikšmė bet kuriame vidiniame taške(x0, y0, z0) yra ne didesnė už max
(x,y,z)∈Γu(x, y, z) – funkcijos maksimumą
48 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
sienos taškuose.Įrodymas. Pažymėkime
m = max(x,y,z)∈Γ
u(x, y, z), M = max(x,y,z)∈T\Γ
u(x, y, z).
Tarkime, kad (x0, y0, z0) yra toks vidinis taškas, kad u (x0, y0, z0) =M . Darome prieladą, kad M > m ir sudarome pagalbinę funkciją
v = u(x, y, z) +M −m
2d2
(
(x− x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2)
.
Čia
d = max(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈T∪Σ
‖(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)‖
yra srities T skersmuo.Visiems taškams (x, y, z) ∈ T ∪ Σ galioja nelygybė
(x− x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)26 d2.
Todėl bet kuriame srities sienos taške (x, y, z) ∈ Γ:
v(x, y, z) 6 m+M −m
2d2d2 =
M +m
2< M.
Antra vertus, vidiniame taške (x0, y0, z0):
v (x0, y0, z0) = u (x0, y0, z0) =M.
Taigi funkcija v įgyja maksimumą tam tikrame vidiniame taške (x0, y0, z0).Bet kuriame maksimumo taške visada galioja:
∂v
∂x=∂v
∂y=∂v
∂z= 0,
∂2v
∂x26 0,
∂2v
∂y26 0,
∂2v
∂z26 0.
Iš čia gauname, kad
∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z26 0.
Tačiau∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2=∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+
∂2u
∂z2+M −m
2d2
(
∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
)
(x− x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 =
0 +M −m
2d2(2 + 2 + 2) > 0.
Taigi gavome prieštaravimą, kad M > m.
5.3. PUASONO FORMULĖ 49
5.3 Puasono formulė
Tarkime, kad harmoninės funkcijos u(x, y) reikšmės apskritimo x = R cos θ,y = R sin θ taškuose apibrėžtos funkcija ϕ(θ), 0 6 θ < 2π. Tada funkcija uišreiškiama Puasono integralu:
u(x, y) =1
2π
2π∫
0
R2 − x2 − y2
R2 − 2R(x cos θ + y sin θ) + x2 + y2ϕ(θ) dθ. (5.4)
Pateiksime kitą (5.4) formulės pavidalą:
u(ρ cos ω, ρ sinω) =1
2π
2π∫
0
R2 − ρ2
R2 − 2Rρ cos(θ − ω) + ρ2ϕ(θ) dθ. (5.5)
5.3.1 Temperatūros pasiskirstymas apvalioje plokštelėje
Darome prielaidą, kad plokštelė yra plona ir jos kraštuose (apskritime)palaikoma temperatūra ϕ(x, y). Tarkime, kad sprendžiamas Dirichlė už-
5.2 pav.: Temperatūros pasiskirstymas
50 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
davinys ∆u = 0, u|Σ = ϕ|Σ ir
ϕ(x, y) =
{
1, kai y > 00, kai y < 0, x2 + y2 = R2.
Taikome Puasono formulę (5.5):
u(ρ cos ω, ρ sinω) =1
2π
π∫
0
R2 − ρ2
R2 − 2Rρ cos(θ − ω) + ρ2ϕ(θ) dθ.
Kai 0 < ω < π turime viršutinę pusplokštumę ir keičiame kintamąjį
tanθ − ω
2= t, cos(θ − ω) =
1− t2
1 + t2, dθ =
2dt
1 + t2:
u(ρ, ω) =1
π
cot ω2
∫
− tan ω2
R2 − ρ2
(R− ρ)2 + (R+ ρ)2t2dt =
1
πarctan
(
R+ ρ
R− ρt
)∣
∣
∣
∣
cot ω2
− tan ω2
=
1
π
(
arctan
(
R+ ρ
R− ρcot
ω
2
)
+ arctan
(
R+ ρ
R− ρtan
ω
2
))
.
Pertvarkome reiškinį taip
tan uπ =
R+ρR−ρ
cot ω2 + R+ρ
R−ρtan ω
2
1−(
R+ρR−ρ
)2 =
R2 − ρ2
−4Rρ
(
cotω
2+ tan
ω
2
)
= − R2 − ρ2
2Rρ sinω.
Kadangi reiškinys dešinėje pusėje yra neigiamas, turime1
2< u < 1 (5.2 pav).
Pastebėję, kad
tan(π − uπ) =R2 − ρ2
2Rρ sinω,
gauname
u = 1− 1
πarctan
R2 − ρ2
2Rρ sinω, 0 < ω < π.
Kai π < ω < 2π keičiame kintamąjį cot θ−ω2 = t.
5.1 pratimas. Įrodykite formulę
u = − 1
πarctan
R2 − ρ2
2Rρ sinω, π < ω < 2π.
5.4. GRINO FUNKCIJŲ METODAS 51
5.4 Grino funkcijų metodas
Tarkime, kad M0 (x0, y0, z0) yra fiksuotas srities T taškas. Pažymėkime šiotaško atstumą nuo bet kurio srities T taško M(x, y, z):
r =
√
(x− x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2
Patikrinkime, kad funkcija w(x, y, z) =1
ryra harmoninė, t. y. Laplaso
lygties ∆w = 0 sprendinys.
∂r
∂x=x− x0r
,
∂w
∂x= −x− x0
r3,
∂2w
∂x2=
2 (x− x0)2 − (y − y0)
2 − (z − z0)2
r5,
Pažymėkime w̃ harmoninę funkciją esant kraštinėms sąlygoms:
w̃|Σ = w|Σ .
Grino G funkcija vadinamas funkcijų w̃ ir w skirtumas:
G (x, y, z;x0, x0, x0) = w̃ − 1
r.
Pastebėkime, kad G|Σ = 0.
5.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui
Tarkime, kad žinoma Grino funkcija ir ϕ(x, y, z) harmoninės funkcijos u(x, y, z)reikšmės srities T sienos Σ taškuose. Tada srities vidiniuose taškuose funkci-jos u reikšmės lygios
u (x0, y0, z0) =1
4π
∮ ∮
Σ
ϕ(x, y, z)∂G
∂~ndσ
Plokštumoje Grino formulė užrašoma taip
u (x0, y0) =1
2π
∮
Σ
ϕ(x, y)∂G
∂~ndσ
52 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
skyrius 6
Kintamųjų atskyrimometodas
6.1 Hiperbolinių lygčių sprendimas kintamųjų atsky-rimo metodu
Spręsime kraštinį uždavinį
utt = a2uxx, u(0, x) = ϕ(x), ut(0, x) = ψ(x), u(t, 0) = u(t, l) = 0. (6.1)
Ieškome atskirų sprendinių tokiu pavidalu:
u(t, x) = T (t)X(x). (6.2)
Iš (6.1), (6.2) gauname
T ′′(t)a2T (t)
≡ X ′′(x)X(x)
= λ.
Matome, kad funkcijos X(x) turi būti šio uždavinio nenuliniai sprendiniai
X ′′ = λX, X(0) = X(l) = 0.
Atitinkamos λ reikšmės vadinamos uždavinio tikrinėmis reikšmėmis, oatitinkamos funkcijos X(x) – tikrinėmis funkcijomis.
Kai λ > 0 tikrinių funkcijų nėra. Neigiamas konstantas pažymėkime(−λ2). Tada tikrinės reikšmės ir tikrinės funkcijos yra:
λ =nπ
l, Xn(x) = sin
nπx
l, n = 1, 2, 3, . . . . (6.3)
53
54 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS
Iš čia gauname
Tn(t) = An cosnπat
l+Bn sin
nπat
l.
Taigi
u(t, x) =
∞∑
n=1
(
An cosnπat
l+Bn sin
nπat
l
)
sinnπx
l,
u(0, x) =
∞∑
n=1
An sinnπx
l= ϕ(x),
ut(0, x) =∞∑
n=1
nπa
lBn sin
nπx
l= ψ(x).
6.1 pavyzdys. Spręsime kraštinį uždavinį
utt + 2ut = uxx − u, 0 < x < π, t > 0,u(t, 0) = u(t, π) = 0,u(0, x) = πx− x2,ut (0, x) = 0.
Ieškome atskirų sprendinių u(t, x) = T (t)X(x):
T ′′ + 2T ′ + T
T=X ′′
X= const = −λ2.
Iš kraštinių sąlygų u(t, 0) = u(t, π) = 0 gauname, kad const = −λ2 irλ = n ∈ N . Taigi X(x) = sinnx ir spendžiame lygtį
T ′′ + 2T ′ +(
1 + n2)
T = 0.
Jos benrasis sprendinys
Tn (t) = e−t (An cosnt+Bn sinnt) .
Užrašome funkciją
u(t, x) = e−t∞∑
n=1
(An cosnt+Bn sinnt) sinnx.
Iš pirmosios pradinės sąlygos gauname, kad
u(0, x) =∞∑
n=1
An sinnx = πx− x2, 0 < x < π.
6.2. ELIPSINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 55
Apskaičiuojame Furjė koeficientus
An =2
π
π∫
0
(
πx− x2)
sinnx dx =
− 2
π
(−2− cosnπ
n3
)
=
{
8πn3 , kai n = 1, 3, . . . ,0, kai n = 2, 4, . . . .
Užrašome sąlygą funkcijos u(t, x) išvestinei:
ut (0, x) =∞∑
n=1
(−An + nBn) sinnx = 0.
Taigi Bn =An
nir
u(t, x) =8e−t
π
∞∑
k=1
1
(2k − 1)3
(
cos(2k − 1)t+1
(2k − 1)sin(2k − 1)t
)
sin(2k−1)x.
Užrašykime apytikslę formulę
u(t, x) ≈ 8e−t
π
(
(cos t+ sin t) sinx+1
9
(
cos 3t+1
3sin 3t
)
sin 3x
)
.
6.2 Elipsinių lygčių sprendimas
6.2.1 Laplaso lygties sprendimas apskritime
Tarkime, kad γ yra apskritimas, kurio centras yra taške O(0, 0) ir spindulyslygus a. Spręsime uždavinį
∆u = 0, u|(x,y)∈γ = f(x, y).
Perrašome Laplaso operatorių polinėse koordinatėse (žr. 1.1, 8 p.):
∂2u
∂ρ2+
1
ρ
∂u
∂ρ+
1
ρ2∂2u
∂ϕ2= 0, u (ρ, ϕ)|ρ=a = F (ϕ). (6.4)
(6.4) lygties sprendinio ieškome pavidalu
u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).
56 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS
Tadauρρ = R′′Φ, uρ = R′Φ, uϕϕ = RΦ′′.
Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname(
R′′ +1
ρR′)
Φ+R
ρ2Φ′′ = 0.
Atskiriame kintamuosius:
1
R(ρ)
(
ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ))
= −Φ′′ (ϕ)Φ(ϕ)
.
Ieškome periodinių sprendinių:
Φ′′ (ϕ) = −αΦ(ϕ).
Tada α = λ2 > 0 ir turime
Φ(ϕ) = A cos λϕ+B sinλϕ.
Iš antrosios lygybės išplaukia Oilerio tipo lygtis
ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ)− λ2R(ρ) = 0.
Lygtis turi atskirus sprendinius R(ρ) = ρs. Gauname s = λ, s = −λ.Aprėžtą skritulyje ρ 6 a sprendinį gauname, kai s = λ > 0. Periodinį superiodu 2π sprendinį gausime, kai
cos(λϕ+ λ2π) = cos λϕ, sin(λϕ+ λ2π) = sinλϕ.
Todėl λ = 0, 1, 2, . . .. Taigi gauname uždavinio sprendinį
u(ρ, ϕ) =∞∑
n=0
(An cos nϕ+Bn sin nϕ) ρn.
Koeficientus An, Bn pasirinkime taip, kad patenkinti pradines sąlygas
∞∑
n=0
(An cos nϕ+Bn sin nϕ) an = F (ϕ).
Skleidžiame funkciją F (ϕ) Furjė eilute:
F (ϕ) =1
2f c0 +
∞∑
n=0
(f cn cos nϕ+ f sn sin nϕ) ,
6.2. ELIPSINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 57
f cn =1
π
2π∫
0
f(a cosϕ, a sinϕ) cosnϕdϕ,
f sn =1
π
∫ 2π
0f(a cosϕ, a sinϕ) sinnϕdϕ.
Gauname An = 1anf cn, Bn = 1
anf sn ir todėl
u(ρ, ϕ) =1
2π
2π∫
0
f(a cosϕ, a sinϕ) dϕ+
1
π
∞∑
n=1
(ρ
a
)n
cos nϕ
2π∫
0
f(a cosϕ, a sinϕ) cosnϕdϕ+
sin nϕ
2π∫
0
f(a cosϕ, a sinϕ) sinnϕdϕ
.
58 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS
skyrius 7
Šturmo ir Liuvilio uždavinys
7.1 Bendroji kintamųjų atskyrimo metodo schema
7.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius
Pažymėkime
Lu ≡(
A(t)∂2
∂t2−B(x)
∂2
∂x2+C(t)
∂
∂t+D(x)
∂
∂x+ (E(t) + F (x))
)
u,
(7.1)čia A(t) > A0 > 0, B(x) > B0 > 0.
Homogeninės lygties
Lu = 0, t ∈ [0,+∞] , x ∈ [a, b] (7.2)
netrivialių (nenulinių) spendinių ieškosime pavidalu
u(t, x) = T (t)X(x). (7.3)
Nagrinėsime (7.1), (7.2) lygtį esant kraštinėms sąlygoms:
(
αu(t, x) + βu′x(t, x))∣
∣
x=a= 0,
(
δu(t, x) + γu′x(t, x))∣
∣
x=b= 0. (7.4)
Gauname diferencialines lygtis funkcijoms T ir X rasti:
A(t)T ′′(t) + C(t)T ′(t) + E(t)T (t)
T (t)= (7.5)
B(x)X ′′(x)−D(x)X ′(x)− F (x)X(x)
X(x)= const
59
60 SKYRIUS 7. ŠTURMO IR LIUVILIO UŽDAVINYS
ir kraštines sąlygas:
αX(a) + βX ′(a) = 0, δX(b) + γX ′(b) = 0. (7.6)
Pažymėkime (7.5) lygčių konstanta (−λ) ir užrašome diferencialinę lygtįfunkcijai X:
−B(x)X ′′ +D(x)X ′ + F (x)X = λX.
Padauginę abi lygybės puses iš1
B(x)e−
∫DB
dx ir pažymėję
p(x) = e−∫
DB
dx, q(x) =F (x)
B(x)e−
∫DB
dx, r(x) =1
B(x)e−
∫DB
dx,
gauname diferencialinę lygtį, priklausančią nuo parametro λ:
L[X] ≡ d
dx
(
p(x)dX
dx
)
− q(x)X = −λr(x)X. (7.7)
Pastebėkime, kadp(x) > 0, q(x) > 0, r(x) > 0.
7.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys
(7.7), (7.6) uždavinį, kai α2 + β2 6= 0 ir δ2 + γ2 6= 0 vadiname Šturmoir Liuvilio uždaviniu. Reikia rasti tokias parametro λ reikšmes (jos vadi-namos tikrinėmis), kad uždavinys turėtų netrivialių (nenulinių) sprendinių- tikrinių funkcijų.
skyrius 8
Apibendrintosios funkcijos
8.1 Pagrindinės ir apibendrintosios funkcijos
8.1.1 Bendrosios sąvokos
Tarkime, kad mažo spindulio ε rutulyje yra materialus taškas, kurio masėlygi 1. Užrašykime masės tankio funkciją
fε(x) =
{
34πε3
, kai |x| 6 ε,0, kai |x| > ε.
Pastebėkime, kad∫∫∫
|x|6ε
fε(x1, x2, x3) dx1dx2dx3 = 1.
Kai ε→ 0, gauname
δ(x) = limε→0
fε(x) =
{
+∞, kai x = 0,0, kai x 6= 0.
(8.1)
Tačiau taip apibrėžta funkcija δ(x) netenkina reikalavimo masės tankiui:
∫
V
δ(x)dx =
{
1, kai 0 ∈ V,0, kai 0 /∈ V.
Paimkime bet kurią tolydžiąją funkciją ϕ(x) ir apskaičiuokime silpnąjąribą
limε→0
∫
fε(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).
Įrodykime šią lygybę. Paimkime bet kurį ν > 0. Kadangi ϕ(x) yra tolydžioji
61
62 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS
funkcija, egzistuoja toks εν > 0, kad ∀|x| 6 εν : |ϕ(x) − ϕ(0)| < ν. Taigi∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
|x|6ε
fεϕ(x)dx− ϕ(0)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
4πε3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
|x|6ε
(ϕ(x)− ϕ(0)) dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6
ν3
4πε3
∫
|x|6ε
dx = ν.
Matome, kad silpnoji riba yra funkcionalas: kiekvieną tolydžiąją funkcijąϕ(x) atitinka jos reikšmė ϕ(0). Šis funcionalas žymimas δ ir vadinamasDirako δ-funkcija. Žymėsime
limε→0
∫
fε(x)ϕ(x) dx = (δ, ϕ).
Jei taške x = 0 sukoncentruota masė m, tai tankį galima išreikšti taip:mδ(x). Bendruoju atveju, kai taškuose x1, x2, . . ., xN sukoncentruotosmasės m1, m2, . . ., mN , tankio funkcija užrašome taip:
N∑
j=1
mjδ(x − xj).
8.1.2 Apibendrintų funkcijų erdvė D′
Žymėsime D = D (Rn) visų finitinių (turinčių baigtinę atramą – supp) begalo daug kartų diferencijuojamų funkcijų aibę (žymime C∞). Šias funkcijasvadiname pagrindinėmis.
Tarkime, kad UR = {~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : ‖~x‖ 6 R},
Dαu(x) =∂|α|u(x)
∂xα11 ∂xα2
2 · · · ∂xαnn, α = (α1, . . . , αn) , αj > 0, |α| = α1+· · ·+αn.
Apibrėžkime konvergavimą pagrindinių funkcijų aibėje D. Tarkime, kad1) ϕ1, ϕ2, . . . ∈ D;2) ∃R > 0 (∀k ∈ N) suppϕk ⊂ UR;3) ∀ε > 0 ∃kε ∈ N : ∀α, k > kε
maxx∈UR
|Dαϕk (x)−Dαϕ (x)| < ε.
Rašysime limk→+∞
ϕk = ϕ arba ϕk → ϕ, k → +∞.
8.1. PAGRINDINĖS IR APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS 63
8.1 apibrėžimas. Apibendrintąja funkcija f vadinsime bet kurįtiesinį tolydųjį funkcionalą f : D → C. Čia C – kompleksinių skaičiųaibė.
Funkcionalo f reikšmes žymėsime (f, ϕ). Šios reikšmės yra (kompleksiniai)skaičiai. Apibendintoji funkcija yra tiesinis funkcionalas:
(f, λ1ϕ1 + λ2ϕ2) = λ1 (f, ϕ1) + λ2 (f, ϕ2) .
Apibendrintoji funkcija yra tolydusis funkcionalas:
limk→+∞
ϕk = ϕ ⇒ limk→+∞
(f, ϕk) = (f, ϕ) .
Apibendrintųjų funkcijų aibė yra tiesinė: jei f ir g yra tiesiniai tolydiejifunkcionalai D → C, tai (∀λ, µ ∈ C) λf + µg irgi yra tiesinis tolygusisfunkcionalas.
Apibrėžkime silpnąjį konvergavimą apibendintojų funkcijų aibėje. Sakysime,kad apibendrintoji funkcija f yra apibendrintojų funkcijų f1, f2, · · · sekosriba, jei (∀ϕ ∈ D) lim
k→+∞(fk, ϕ) = (f, ϕ).
8.2 apibrėžimas. Visų apibendrintųjų funkcijų aibę su apibrėžtu silp-nuoju konvergavimu žymėsime D′.
8.1 teorema. Aibė D′ yra pilnoji erdvė: jei seka fn ∈ D′ silpnaikonveguoja fn → f , tai f ∈ D′.
PratimaiĮrodykite, kad (ε→ +0)
1.1
2√πε
e−x2
4ε → δ(x);
2.1
πxsin
x
ε→ δ(x);
3.1
π
ε
x2 + ε2→ δ(x).
8.1.3 Apibendrintųjų funkcijų diferencijavimas
Tarkime, kad f(x) ∈ C1 [a, b], ϕ ∈ D [a, b]. Tada
(f ′, ϕ) =∫ b
a
f ′(x)ϕ(x) dx =
∫ b
a
ϕ(x) df(x) = f(x)ϕ(x)
∣
∣
∣
∣
b
a
−∫ b
a
f(x)ϕ′(x) dx.
64 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS
Kadangi ϕ(a) = ϕ(b) = 0, gauname
(f ′, ϕ) = −(f, ϕ′).
Taigi galime apibrėžti apibendintosios funkcijos išvestinę
(Dαf, ϕ) = (−1)|α| (f,Dαϕ) .
Pastebėkime, kad differencijuojamai funkcijai f ∈ Cn gauname, kad
(Dαf, ϕ) =
∫
Rn
Dα (f(x)) ϕ(x) dx.
8.1 pavyzdys. Hevisaido funkcijosH(x) =
{
0, kai x 6 0,1, kai x > 0.
išvestinė
H ′(x) = δ(x).
Delta funkcijos δ(x) pirmykštė funkcija yra H(x) + C, čia C – bet kurikonstanta.
skyrius 9
Fundamentalieji sprendiniai
9.1 Apibendrintieji sprendiniai
9.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius
Nagrinėsime tiesinę diferencialinę lygtįm∑
|α|=0
aα(x)Dαu = f(x), f ∈ D′, (9.1)
čia aα ∈ C∞ (Rn).Pažymėkime diferencialinį operatorių
L(x,D) ≡m∑
|α|=0
aα(x)Dα
ir perrašykime (9.1) lygtį taip:
L(x,D)u = f(x) (9.2)
(9.2) lygties apibendrintuoju sprendiniu vadiname funkciją u ∈ D′:
∀ϕ ∈ D (L(x,D)u, ϕ) = (f, ϕ).
9.1 apibrėžimas. Jungtiniu operatoriui L(x,D) operatorimi vadi-name reiškinį
L∗(x,D)ϕ =
m∑
|α|=0
(−1)|α|Dα(aαϕ).
Pastebėkime, kad
(L(u,D)u, ϕ) = (u,L∗(x,D)ϕ).
65
66 SKYRIUS 9. FUNDAMENTALIEJI SPRENDINIAI
9.1.2 Fundamentalusis sprendinys
9.2 apibrėžimas. Diferencialinio operatoriaus L(x,D) fundamen-taliuoju sprendiniu (įtakos funkcija) vadinama tokia apibendrintojifunkcija E ∈ D′, kad
L(x,D)E = δ(x).
9.1 pastaba. Jei E yra fundamentalusis sprendinys ir E0 – tiesinėshomogeninės lygties L(x,D)E0 = 0 sprendinys, tai E + E0 irgi yrafundamentalusis sprendinys.
Pažymėkime F [ϕ] pagrindinės funkcijos ϕ ∈ D Furjė transformaciją:
F [ϕ](ξ) =
∫
ϕ(x)ei(ξ,x) dx.
Apibendrintosios funkcijos f ∈ D′ Furjė F [f ] transformaciją apibrėžkimetaip:
(F [f ], ϕ) = (f, F [ϕ]) .
9.1 pavyzdys.
F [δ (x− x0)] = ei(ξ,x0).
Iš čia gauname F [δ] = 1 ir
δ = F−1 [1] =1
(2π)nF [1].
Taigi F [1] = (2π)nδ(ξ).
9.1 teorema. Apibendrintoji funkcija E ∈ D′ yra operatoriaus L(x,D)fundamentalusis sprendinys tada ir tik tada, kai jos Furjė transforma-cija F [E ] yra lygties
L(ξ)F [E ] = 1
sprendinys. Čia L(ξ) =m∑
|α|=0
aαξα.
9.2. FUNDAMENTALIŲJŲ SPENDINIŲ PAVYZDŽIAI 67
9.1.3 Nehomogeninė lygtis
Nagrinėsime diferencialinę lygtį, turinčią dešinę pusę
L(x,D)u = f(x), f ∈ D′. (9.3)
9.3 apibrėžimas. Funkcijų f ir g sąsūka1 (žymime f ∗ g) vadinamefunkciją
(f ∗ g)(x) =∫
f(y)g(x− y) dy =
∫
g(y)f(x− y) dy = (g ∗ f)(x).
Apibendrintųjų funkcijų sąsūką apibrėžiame kaip tiesinį funkcionalą
(f ∗ g) = (f(x) · g(y), ϕ(x + y)).
9.2 pavyzdys. Jei f yra bet kuri apibendintoji funkcija, tai jos sąsū-ka su δ funkcija:
f ∗ δ = δ ∗ f = f.
9.2 teorema. Jei 9.3 lygties funkcija turi sąsūką su fundamentaliuojusprendiniu u = E ∗ f ∈ D′, tai funkcija u yra vienintelis šios lygtiessprendinys.
9.2 Fundamentaliųjų spendinių pavyzdžiai
9.2.1 Tiesinis diferencialinis operatorius su paprastosiomisišvestinėmis
LE ≡(
dn
dxn+ · · · + an−1
dn
dxn+ a1
d
dx+ an
)
E = δ(x).
Kai n = 1 turime L ≡ d
dt+ a ir E(t) = H(t)e−at, čia H(t) – Hevisaido
funkcija.
Antrosios eilės operatoriausd2
dt2+a2 fundamentalusis sprendinysH(t)
sin at
a.
9.2.2 Šilumos operatoriaus lygties fundamentalusis sprendinys
∂E∂t
− a2∆E = δ(t, x).
E(t, x) = H(t)
(2a√πt)n
e−|x|2
4a2t .
1convolution – angl.; sviortka – rus.
68 SKYRIUS 9. FUNDAMENTALIEJI SPRENDINIAI
9.2.3 Banginio operatoriaus fundamentalusis sprendinys
∂2E∂t2
− a2∆E = δ(t, x).
E1(t, x) =1
2aH(at− |x|).
E2(t, x) =at− |x|
2πa√
a2t2 − |x|2.
E3(t, x) =H(t)
2πaδ(
a2t2 − |x|2)
.
9.2 pastaba. Jei En+1 (x, xn+1) yra operatoriaus L(x, xn+1,D) fun-damentalusis sprendinys, tai operatoriaus L(x,D) fundamentalusis
sprendinys (nusileidimo metodas) En(x) =+∞∫
−∞En+1 (t, x, xn+1) dxn+1.
Pavyzdžiui,
E1(t, x) =+∞∫
−∞
E2 (t, x, x2) dx2.
9.2.4 Laplaso operatoriaus fundamentalusis sprendinys
∆En = δ(x).
E2(x) =1
2πln |x|, E3(x) = − 1
4π|x| .
top related