logika matematis

LOGIKA MATEMATISLOGIKA MATEMATIS

Program Studi Teknik InformatikaProgram Studi Teknik InformatikaFakultas Teknologi IndustriFakultas Teknologi Industri

Universitas Atma Jaya YogyakartaUniversitas Atma Jaya Yogyakarta20122012

TEORI HIMPUNAN

DEFINISI HIMPUNANDEFINISI HIMPUNAN

kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas ((well definedwell defined). ).

kumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu kumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. dan jelas.

kumpulan objek yang berbeda. kumpulan objek yang berbeda. Contoh : Contoh :

1. Himpunan bilangan 1, 3, 5, 7, 9.1. Himpunan bilangan 1, 3, 5, 7, 9.

2. Jawaban-jawaban untuk persamaan2. Jawaban-jawaban untuk persamaan

x2 + 2x + 1 = 0.x2 + 2x + 1 = 0.

NOTASI HIMPUNANNOTASI HIMPUNAN

Biasanya suatu himpunan dinyatakan Biasanya suatu himpunan dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, X, Y, Z, … dengan huruf besar A, B, C, X, Y, Z, …

Elemen sebuah himpunan dinyatakan Elemen sebuah himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, z, …dengan huruf kecil a, b, c, x, y, z, …

PENDEFINISIAN HIMPUNANPENDEFINISIAN HIMPUNAN

Cara mendefinisikan suatu himpunan :Cara mendefinisikan suatu himpunan :

1. dengan mendaftar seluruh anggotanya di 1. dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan tutup antara kurung kurawal buka dan tutup ((tabular formtabular form))

Contoh :Contoh :

A = {1, 2, 3, 4, 5}.A = {1, 2, 3, 4, 5}.

V = {a, e, i}.V = {a, e, i}.

P = {Asahan, Musi, Batanghari}.P = {Asahan, Musi, Batanghari}.

PENDEFINISIAN HIMPUNAN (2)PENDEFINISIAN HIMPUNAN (2)

2. dengan menyatakan sifat-sifat anggotanya2. dengan menyatakan sifat-sifat anggotanyaContoh :Contoh :

A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6.daripada 6.

V = himpunan 3 vokal pertama abjad Latin.V = himpunan 3 vokal pertama abjad Latin.

P = himpunan sungai besar di pulau Sumatera.P = himpunan sungai besar di pulau Sumatera.

PENDEFINISIAN HIMPUNAN (3)PENDEFINISIAN HIMPUNAN (3)

3. dengan menggunakan notasi pembentuk 3. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (himpunan (set builder formset builder form))

Contoh :Contoh :

A = {x | x adalah bilangan asli yang lebih kecil A = {x | x adalah bilangan asli yang lebih kecil daripada 6}.daripada 6}.

V = {x | x adalah 3 vokal pertama abjad Latin }.V = {x | x adalah 3 vokal pertama abjad Latin }.

P = {x | x sungai besar di pulau Sumatera }.P = {x | x sungai besar di pulau Sumatera }.

PENDEFINISIAN HIMPUNAN (4)PENDEFINISIAN HIMPUNAN (4)

4. Dengan notasi baku4. Dengan notasi baku

contoh :contoh :

R = himpunan bilangan realR = himpunan bilangan real

Z = himpunan bilangan bulatZ = himpunan bilangan bulat

HIMPUNAN KOSONGHIMPUNAN KOSONG

Sebuah himpunan dikatakan sebagai Sebuah himpunan dikatakan sebagai himpunan kosong bila himpunan tersebut himpunan kosong bila himpunan tersebut tidak memiliki anggota. tidak memiliki anggota.

Himpunan kosong biasanya dilambangkan Himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan dengan { }{ } atau atau ..

Contoh :Contoh :P = himpunan bilangan prima kelipatan empatP = himpunan bilangan prima kelipatan empat

HIMPUNAN SEMESTAHIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta adalah himpunan yang Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua objek yang dibicarakan mempunyai anggota semua objek yang dibicarakan

Himpunan semesta biasanya diberi lambang Himpunan semesta biasanya diberi lambang UU ((universeuniverse) atau ) atau SS (semesta). (semesta).

Contoh :Contoh :Yang dapat menjadi semesta pembicaraan dari Yang dapat menjadi semesta pembicaraan dari A = {1, 2, 3, 4, 5} adalah :A = {1, 2, 3, 4, 5} adalah :S = {1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan asli, atau S = {1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan asli, atau S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan cacah,S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan cacah,S = {…, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan S = {…, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}= himpunan bilangan bulat.bulat.

Himpunan Berhingga dan Himpunan Berhingga dan Tak BerhinggaTak Berhingga

Himpunan berhingga : himpunan yang Himpunan berhingga : himpunan yang mempunyai sejumlah berhingga elemen.mempunyai sejumlah berhingga elemen.

Himpunan tak berhingga : himpunan yang Himpunan tak berhingga : himpunan yang mempunyai jumlah elemen tak berhingga mempunyai jumlah elemen tak berhingga banyaknya.banyaknya.

RELASI ANTARA HIMPUNANRELASI ANTARA HIMPUNAN

Himpunan bagian / subset (Himpunan bagian / subset ( ) ) Himpunan yang sama (=)Himpunan yang sama (=) Himpunan yang berpotongan Himpunan yang berpotongan Himpunan saling lepas (||)Himpunan saling lepas (||) Himpunan ekuivalen (Himpunan ekuivalen (∞)∞)

OPERASI HIMPUNANOPERASI HIMPUNAN

Gabungan / Union (Gabungan / Union ()) Irisan / Intersection (Irisan / Intersection ()) Komplemen (‘ / Komplemen (‘ / cc)) Selisih dua himpunan / difference (-)Selisih dua himpunan / difference (-) Jumlah dua himpunan / symetric Jumlah dua himpunan / symetric

difference (+)difference (+) Perkalian / cross product (x)Perkalian / cross product (x)

KELUARGA HIMPUNAN KELUARGA HIMPUNAN

suatu himpunan yang semua objeknya suatu himpunan yang semua objeknya adalah himpunanadalah himpunan

contoh : contoh : AA = { {4}, {5,7}, {6} } = { {4}, {5,7}, {6} }

BB = { = { , {a,b,c}, {a} }, {a,b,c}, {a} }

HIMPUNAN KUASAHIMPUNAN KUASA

Keluarga himpunan yang beranggotakan Keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari suatu himpunan.semua subset dari suatu himpunan.

Himpunan kuasa dari A (ditulis 2Himpunan kuasa dari A (ditulis 2AA) adalah ) adalah sebuah keluarga himpunan yang beranggota sebuah keluarga himpunan yang beranggota semua subset dari himpunan A.semua subset dari himpunan A.

Contoh :Contoh :A= {1,2}A= {1,2}maka 2maka 2AA = { = {, {1}, {2}, {1,2} }, {1}, {2}, {1,2} }

Jika #(A) = n, maka #(2Jika #(A) = n, maka #(2AA) = 2) = 2nn. .

LATIHAN 1LATIHAN 1 Diketahui himpunanDiketahui himpunan

S = {0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F}S = {0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F}A = {0,1}A = {0,1}B = {0,1,2,…,9}B = {0,1,2,…,9}C = {A,B,C,D,E,F}C = {A,B,C,D,E,F}

Tentukan :Tentukan :a. A a. A BB b. A b. A CC c. A c. A BBd. B d. B C C e. Ae. Acc f. A – Bf. A – Bg. B – Ag. B – A h. C – Bh. C – B i. A + Bi. A + Bj . B + Cj . B + C k. A x Ck. A x C l. 2l. 2AA

LATIHAN 2LATIHAN 2

Diketahui himpunanDiketahui himpunanA = {A = {,, 1,2,{1,2}} 1,2,{1,2}}

B = {{1},2,3, B = {{1},2,3, }}

Tentukan : Tentukan :

a. A a. A BB b. A b. A BB

c. A – Bc. A – B

d. A + Bd. A + B