lff t g f p f t e ptdt 0kolara/tutorial_laplace.pdf · 2020. 4. 16. · de nice laplaceovy...
Post on 26-Feb-2021
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Definice Laplaceovy transformace
Necht’ je f (t) realna funkce realne promenne. Pokud existujefunkce komplexnı promenne
L{f (t)} = F (p) =
∫ ∞0
f (t) e−ptd t
pak se tato funkce nazyva Laplaceova transformace funkce f (t).
Funkce f (t) se nazyva vzor, nebo predmet.
Funkce F (p) se nazyva obraz funkce f (t).
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Definice Laplaceovy transformace
Necht’ je f (t) realna funkce realne promenne. Pokud existujefunkce komplexnı promenne
L{f (t)} = F (p) =
∫ ∞0
f (t) e−ptd t
pak se tato funkce nazyva Laplaceova transformace funkce f (t).
Funkce f (t) se nazyva vzor, nebo predmet.
Funkce F (p) se nazyva obraz funkce f (t).
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Aby realna funkce f (t) byla vzorem nejake funkce F (p) musısplnovat nasledujıcı podmınky:
1 funkce f (t) je po castech spojita,
2 funkce f (t) = 0 pro t < 0,
3 funkce f (t) je exponencialnıho radu, tzn. existujı konstantyM, s, t0 ∈ R, M, t0 > 0, takove, ze pro vsechna t ≥ t0 platı|f (t)| ≤ Mest .
1. podmınka zarucuje integrovatelnost funkce f (t) e−pt
3. podmınka zarucuje konvergenci nevlastnıho integralu.
Jsou to prirozene podmınky, v podstate platı u vsech funkcı kterepouzıvame.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Aby realna funkce f (t) byla vzorem nejake funkce F (p) musısplnovat nasledujıcı podmınky:
1 funkce f (t) je po castech spojita,
2 funkce f (t) = 0 pro t < 0,
3 funkce f (t) je exponencialnıho radu, tzn. existujı konstantyM, s, t0 ∈ R, M, t0 > 0, takove, ze pro vsechna t ≥ t0 platı|f (t)| ≤ Mest .
1. podmınka zarucuje integrovatelnost funkce f (t) e−pt
3. podmınka zarucuje konvergenci nevlastnıho integralu.
Jsou to prirozene podmınky, v podstate platı u vsech funkcı kterepouzıvame.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
2. podmınku nesplnuje skoro zadna znama funkce. Tato podmınkaje kvuli jednoznacnosti Laplaceovy transformace.
Naprıklad funkce f (t) = t a g(t) = |t| jsou stejne na 〈0,∞), proto
L{f (t)} = L{g(t)}.
Abychom zarucili jednoznacnost Laplaceovy transformace, budemenapr. vyrazem L{t} rozumet obraz funkce
f (t) =
⟨t pro t ≥ 0,
0 pro t < 0.
L{t} = 1p2 - prostudujte si vypocet ze Sbırky uloh, prıklad 7.1.1.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Laplaceova transformace je linearnı
L{a f (t) + b g(t)} = aL{f (t)}+ bL{g(t)}, a, b ∈ C.
Z definice se dajı odvodit Laplaceovy transformace elementarnıchfunkci (slovnık) a take nektere vlastnosti (gramatika), ktere sizapıseme do tabulky.
Jako nepovinne cvicenı si zkuste overit nektere vzorce z tabulky.Velice jednoduche je spocıtat L{1} a L{eat}.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Laplaceova transformace je linearnı
L{a f (t) + b g(t)} = aL{f (t)}+ bL{g(t)}, a, b ∈ C.
Z definice se dajı odvodit Laplaceovy transformace elementarnıchfunkci (slovnık) a take nektere vlastnosti (gramatika), ktere sizapıseme do tabulky.
Jako nepovinne cvicenı si zkuste overit nektere vzorce z tabulky.Velice jednoduche je spocıtat L{1} a L{eat}.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Slovnık Laplaceovy transformace
1. L{c} =c
p
2. L{tn} =n!
pn+1, n ∈ N
3. L{eat}
=1
p − a
4. L{tneat
}=
n!
(p − a)n+1, n ∈ N
5. L{cosωt} =p
p2 + ω2
6. L{sinωt} =ω
p2 + ω2
7. L{eat cosωt
}=
p − a
(p − a)2 + ω2
8. L{eat sinωt
}=
ω
(p − a)2 + ω2
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Gramatika Laplaceovy transformace
Pokud L{f (t)} = F (p) =
∫ ∞0
f (t)e−ptd t, potom:
9. L{f ′(t)
}= pF (p)− f (0)
10. L{f ′′(t)
}= p2F (p)− pf (0)− f ′(0)
11. L{f ′′′(t)
}= p3F (p)− p2f (0)− pf ′(0)− f ′′(0)
12. L{f (n)(t)
}= pnF (p)−pn−1f (0)−pn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)
13. L{∫ t
0f (u)d u
}=
F (p)
p
14. L{f (t − a)} = e−apF (p)
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Laplaceova transformace se pouzıva k hledanı partikularnıho resenı(linearnıch) diferencialnıch rovnic. Nejdrıv kazdy clen rovniceprevedeme pomocı tabulky, vyuzijeme linearitu a sestavıme rovniciv novem prostoru, nakonec tu rovnici vyresıme. Vsimnete si, zederivace se transformuje na soucin, integral na podıl. Proto potransformaci dostaneme algebraickou rovnici namısto diferencialnıev. integro-diferencialnı rovnice. A nakonec to resenıpretransformujeme zpatky.
Cely postup ukazeme na jednoduche rovnici, kterou umıme snadnoresit i jako linearnı rovnici druheho radu se specialnı pravoustranou.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Vyreste rovnici x ′′(t) + x(t) = t, x(0) = 0, x ′(0) = 1.
Oznacme si L{x(t)} = X (p), potom podle tabulky mame
L{x ′′(t)
}= p2X (p)− p · 0− 1 = p2X (p)− 1.
Jeste si pretransformujeme pravou stranu: L{t} =1
p2.
Po dosazenı do diferencialnı rovnice dostaneme algebraickourovnici:
p2X (p)− 1 + X (p) =1
p2kterou snadno vyresıme:
p2X (p)+X (p) =1
p2+1 ⇒ X (p)(p2+1) =
p2 + 1
p2⇒ X (p) =
1
p2.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Vyreste rovnici x ′′(t) + x(t) = t, x(0) = 0, x ′(0) = 1.
Oznacme si L{x(t)} = X (p), potom podle tabulky mame
L{x ′′(t)
}= p2X (p)− p · 0− 1 = p2X (p)− 1.
Jeste si pretransformujeme pravou stranu: L{t} =1
p2.
Po dosazenı do diferencialnı rovnice dostaneme algebraickourovnici:
p2X (p)− 1 + X (p) =1
p2kterou snadno vyresıme:
p2X (p)+X (p) =1
p2+1 ⇒ X (p)(p2+1) =
p2 + 1
p2⇒ X (p) =
1
p2.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Mame vyresenou rovnici v novem prostoru, ted’ uz zbyva jenom
najıt vzor funkce X (p) =1
p2. To je funkce x(t) = t, proto resenı
nası diferencialnı rovnice je x(t) = t.
Jeste si to overıme:
x(t) = t, x ′(t) = 1, x ′′(t) = 0⇒ x ′′(t) + x(t) = 0 + t = t
platı i pocatecnı podmınky: x(0) = 0, x ′(0) = 1.
Ilustrovali jsme cely postup na jednoduche rovnici. Vidıme, zetransformovat rovnici do noveho prostoru je pomocı tabulkytrivialnı, vyresit algebraickou rovnici umıme uz od zakladnı skoly.Nejtezsı na teto metode bude zrejme poslednı krok, tj. zpetnatransformace.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Zpetna Laplaceova transformace
Zpetna Laplaceova transformace je hledanı vzoru f (t) k danefunkci F (p). Znacıme
L−1{F (p)}.
Pri hledanı vzoru k dane funkci F (p) muzeme vyuzit tabulku:
Prıklad
L−1
{1
p2 + 4p + 3
}= rozlozıme zlomek na parcialnı zlomky
= L−1
{12
p + 1
}+ L−1
{−1
2
p + 3
}=
1
2e−t − 1
2e−3t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Zpetna Laplaceova transformace
Zpetna Laplaceova transformace je hledanı vzoru f (t) k danefunkci F (p). Znacıme
L−1{F (p)}.
Pri hledanı vzoru k dane funkci F (p) muzeme vyuzit tabulku:
Prıklad
L−1
{1
p2 + 4p + 3
}= rozlozıme zlomek na parcialnı zlomky
= L−1
{12
p + 1
}+ L−1
{−1
2
p + 3
}=
1
2e−t − 1
2e−3t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
a) L−1
{p − 3
p2 + 25
}= L−1
{p
p2 + 25
}− 3
5L−1
{5
p2 + 25
}=
= cos 5t − 3
5sin 5t.
b) L−1
{p
p2 + 4p + 13
}= jmenovatel je nerozlozitelny polynom,
proto zlomek je uz parcialnı zlomek. Doplnıme kvadraticky clen nauplny ctverec a upravıme na vzorce 7. a 8. z nasi tabulky.
= L−1
{p
(p + 2)2 + 9
}= L−1
{p + 2− 2
(p + 2)2 + 9
}=
= L−1
{p + 2
(p + 2)2 + 9
}− 2
3L−1
{3
(p + 2)2 + 9
}=
= e−2t cos 3t − 2
3e−2t sin 3t.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Spocıtejte si prıklady 7.2.1 a 7.2.2. ze Sbırky uloh.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Pri hledanı vzoru k dane racionalnı lomene funkci F (p) muzemepouzit i Heavisideovu vetu o rozkladu:
Heavisideova veta
Necht’ je funkce F (p) =M(p)
N(p)ryze racionalnı lomena funkce, kde
M(p) a N(p) jsou polynomy a stupen polynomu M(p) je mensınez stupen polynomu N(p).
Oznacme pk poly funkce F (p) =M(p)
N(p). Potom
f (t) = L−1{F (p)} =∑pk
resp=pk
[F (p) ept
], t > 0.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =p − 2
p3 − 4p2 − 5p
Rozlozıme jmenovatel na soucin a tak najdeme vsechny poly:
p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).
⇒ p1 = 0, p2 = 5 a p3 = −1 jsou poly prvnıho radu.
⇒ f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
= resp=0
F (p) ept + resp=5
F (p) ept + resp=−1
F (p) ept
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =p − 2
p3 − 4p2 − 5p
Rozlozıme jmenovatel na soucin a tak najdeme vsechny poly:
p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).
⇒ p1 = 0, p2 = 5 a p3 = −1 jsou poly prvnıho radu.
⇒ f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
= resp=0
F (p) ept + resp=5
F (p) ept + resp=−1
F (p) ept
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =p − 2
p3 − 4p2 − 5p
Rozlozıme jmenovatel na soucin a tak najdeme vsechny poly:
p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).
⇒ p1 = 0, p2 = 5 a p3 = −1 jsou poly prvnıho radu.
⇒ f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
= resp=0
F (p) ept + resp=5
F (p) ept + resp=−1
F (p) ept
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= limp→0
(p
(p − 2)ept
p(p2 − 4p − 5)
)+ lim
p→5
((p − 5)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)+
+ limp→−1
((p + 1)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)=
Vykratıme postupne p, p − 5 ev. p + 1 a do kazde limity dosadıme.Dostaneme:
f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
2
5+
1
10e5t − 1
2e−t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= limp→0
(p
(p − 2)ept
p(p2 − 4p − 5)
)+ lim
p→5
((p − 5)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)+
+ limp→−1
((p + 1)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)=
Vykratıme postupne p, p − 5 ev. p + 1 a do kazde limity dosadıme.Dostaneme:
f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
2
5+
1
10e5t − 1
2e−t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= limp→0
(p
(p − 2)ept
p(p2 − 4p − 5)
)+ lim
p→5
((p − 5)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)+
+ limp→−1
((p + 1)
(p − 2)ept
p(p − 5)(p + 1)
)=
Vykratıme postupne p, p − 5 ev. p + 1 a do kazde limity dosadıme.Dostaneme:
f (t) = L−1
{p − 2
p3 − 4p2 − 5p
}=
2
5+
1
10e5t − 1
2e−t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =1
(p − 4)3.
Funkce F (p) ma pouze jeden pol 3.ho radu, a to p1 = 4. Proto
f (t) = L−1
{1
(p − 4)3
}= res
p=4F (p) ept =
=1
2limp→4
[(p − 4)3 ept
(p − 4)3
]′′=
1
2limp→4
(ept)′′ =
=1
2limp→4
(tept)′ =1
2limp→4
t2ept =1
2t2e4t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =1
(p − 4)3.
Funkce F (p) ma pouze jeden pol 3.ho radu, a to p1 = 4. Proto
f (t) = L−1
{1
(p − 4)3
}= res
p=4F (p) ept =
=1
2limp→4
[(p − 4)3 ept
(p − 4)3
]′′=
1
2limp→4
(ept)′′ =
=1
2limp→4
(tept)′ =1
2limp→4
t2ept =1
2t2e4t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =1
(p − 4)3.
Funkce F (p) ma pouze jeden pol 3.ho radu, a to p1 = 4. Proto
f (t) = L−1
{1
(p − 4)3
}= res
p=4F (p) ept =
=1
2limp→4
[(p − 4)3 ept
(p − 4)3
]′′=
1
2limp→4
(ept)′′ =
=1
2limp→4
(tept)′ =1
2limp→4
t2ept =1
2t2e4t .
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Spocıtejte si samostatne prıklady 7.2.3 a), b), c) a 7.2.4.a) d) zeSbırky uloh.
Pokud funkce ma pouze realne poly, k inverznı Laplaceovytransformace doporucuji pouzit Heavisideovu vetu. Pokud mafunkce komplexnı poly, pouzijte radeji tabulku, protoze pocıtanı skomplexnımi cısly je zdlouhave a narocne.
Pokud ma funkce pol p1 = α + jβ, potom ma i pol p2 = α− jβ.V takovem prıpade muzeme vyuzıt nasledujıcı vztah:
Jestlize F (p) = M(p)N(p) ma komplexnı poly p1,2 = α± jβ, potom:
resp=α+ jβ
F (p) ept + resp=α− jβ
F (p) ept = 2Re resp=α+ jβ
F (p) ept
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Spocıtejte si samostatne prıklady 7.2.3 a), b), c) a 7.2.4.a) d) zeSbırky uloh.
Pokud funkce ma pouze realne poly, k inverznı Laplaceovytransformace doporucuji pouzit Heavisideovu vetu. Pokud mafunkce komplexnı poly, pouzijte radeji tabulku, protoze pocıtanı skomplexnımi cısly je zdlouhave a narocne.
Pokud ma funkce pol p1 = α + jβ, potom ma i pol p2 = α− jβ.V takovem prıpade muzeme vyuzıt nasledujıcı vztah:
Jestlize F (p) = M(p)N(p) ma komplexnı poly p1,2 = α± jβ, potom:
resp=α+ jβ
F (p) ept + resp=α− jβ
F (p) ept = 2Re resp=α+ jβ
F (p) ept
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =2p − 1
p2 + 9.
Funkce F (p) ma dva komplexnı poly 1. radu, a to p1,2 = ±3 j.
f (t) = L−1
{2p − 1
p2 + 9
}= res
p=3 jF (p) ept + res
p=−3 jF (p) ept =
= 2Re resp=3 j
F (p) ept = 2Re limp→3 j
(p − 3 j)2p − 1
(p − 3 j)(p + 3 j)ept =
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Prıklad
Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce
F (p) =2p − 1
p2 + 9.
Funkce F (p) ma dva komplexnı poly 1. radu, a to p1,2 = ±3 j.
f (t) = L−1
{2p − 1
p2 + 9
}= res
p=3 jF (p) ept + res
p=−3 jF (p) ept =
= 2Re resp=3 j
F (p) ept = 2Re limp→3 j
(p − 3 j)2p − 1
(p − 3 j)(p + 3 j)ept =
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= 2Re 2 · 3 j− 1
6 je3 jt = Re 6 j− 1
3 j· jje3 jt =
= Re −6− j
−3e3 jt =
1
3Re (6 + j) e3 jt =
=1
3Re (6 + j) (cos 3t + j sin 3t) = 2 cos 3t − 1
3sin 3t
Stejny prıklad pomocı tabulky
f (t) = L−1
{2p − 1
p2 + 9
}= L−1
{2p
p2 + 9
}− L−1
{1
p2 + 9
}=
= 2L−1
{p
p2 + 9
}− 1
3L−1
{3
p2 + 9
}= 2 cos 3t − 1
3sin 3t
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= 2Re 2 · 3 j− 1
6 je3 jt = Re 6 j− 1
3 j· jje3 jt =
= Re −6− j
−3e3 jt =
1
3Re (6 + j) e3 jt =
=1
3Re (6 + j) (cos 3t + j sin 3t) = 2 cos 3t − 1
3sin 3t
Stejny prıklad pomocı tabulky
f (t) = L−1
{2p − 1
p2 + 9
}= L−1
{2p
p2 + 9
}− L−1
{1
p2 + 9
}=
= 2L−1
{p
p2 + 9
}− 1
3L−1
{3
p2 + 9
}= 2 cos 3t − 1
3sin 3t
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Pomocı Laplaceovy transformace resıme diferencialnı aintegro-diferencialnı rovnice. Postup je jednoduchy. Kazdy clenrovnice, vcetne prave strany, pretransformujeme do novehoprostoru pomocı tabulky. Novou rovnici vyresıme a najdeme vzortohoto resenı.
Prıklad
Vyreste integro-diferencialnı rovnici
x ′(t)− 4
∫ t
0x(s)d s = 4t2, x(0) = 0.
L{x(t)} = X (p) ⇒ L{x ′(t)
}= pX (p),
L{∫ t
0x(s)d s
}=
1
pX (p) a L
{t2}
=2
p3. Dosadıme do rovnice:
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Pomocı Laplaceovy transformace resıme diferencialnı aintegro-diferencialnı rovnice. Postup je jednoduchy. Kazdy clenrovnice, vcetne prave strany, pretransformujeme do novehoprostoru pomocı tabulky. Novou rovnici vyresıme a najdeme vzortohoto resenı.
Prıklad
Vyreste integro-diferencialnı rovnici
x ′(t)− 4
∫ t
0x(s)d s = 4t2, x(0) = 0.
L{x(t)} = X (p) ⇒ L{x ′(t)
}= pX (p),
L{∫ t
0x(s)d s
}=
1
pX (p) a L
{t2}
=2
p3. Dosadıme do rovnice:
Edita Kolarova Laplaceova transformace
pX (p)− 4
pX (p) = 4
2
p3⇒ p2X (p)− 4X (p) =
8
p2
Z toho
X (p) =8
p2(p2 − 4)=
8
p2(p − 2)(p + 2).
Mame vyresenou rovnici v novem prostoru. Ted’ uz zbyva jenomnajıt vzor teto funkce. Funkce X (p) ma pouze realne poly, protomuzeme pouzıt na hledanı vzoru Heavisideovu vetu.
p1 = 0 je pol 2. radu, p2,3 = ±2 jsou poly 1. radu.
x(t) = L−1
{8
p2(p2 − 4)
}=
= resp=0
X (p) ept + resp=2
X (p) ept + resp=−2
X (p) ept =
Edita Kolarova Laplaceova transformace
pX (p)− 4
pX (p) = 4
2
p3⇒ p2X (p)− 4X (p) =
8
p2
Z toho
X (p) =8
p2(p2 − 4)=
8
p2(p − 2)(p + 2).
Mame vyresenou rovnici v novem prostoru. Ted’ uz zbyva jenomnajıt vzor teto funkce. Funkce X (p) ma pouze realne poly, protomuzeme pouzıt na hledanı vzoru Heavisideovu vetu.
p1 = 0 je pol 2. radu, p2,3 = ±2 jsou poly 1. radu.
x(t) = L−1
{8
p2(p2 − 4)
}=
= resp=0
X (p) ept + resp=2
X (p) ept + resp=−2
X (p) ept =
Edita Kolarova Laplaceova transformace
= limp→0
[p2 8ept
p2(p2 − 4)
]′+ lim
p→2(p − 2)
8ept
p2(p − 2)(p + 2)+
+ limp→−2
(p + 2)8ept
p2(p − 2)(p + 2)=
= limp→0
[ 8ept
p2 − 4
]′+
8e2t
16− 8e−2t
16=
= limp→0
8tept(p2 − 4)− 8ept2p
(p2 − 4)2+
e2t
2− e−2t
2=
=8t(−4)− 8 · 0
(−4)2+
e2t
2− e−2t
2= −2t +
e2t
2− e−2t
2.
Resenı integro-diferencialnı rovnice je funkce
x(t) =1
2
(e2t − e−2t − 4t
).
Edita Kolarova Laplaceova transformace
Spocıtejte si priklady 7.3.1 a), b), c), e), f) a 7.3.2 ze Sbırky uloh.
Edita Kolarova Laplaceova transformace
top related