laboratorio del 29/09/05 processi ar
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Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
Esercizio proposto:
Processo reale AR(1) con autocorrelazione
Rappresentazione di una possibile realizzazione, grafico del coefficiente di autocorrelazione e della densità spettrale di potenza al variare di
Uso delle istruzioni: randn, filter, plot e stem
2( ) mx xR m
Generazione di rumore Gaussiano bianco
w=sigmaw*randn(1,N);
Generazione sequenziale di dati correlati tramite l’istruzione filter
a(1)=1;a(2)=-ro;b(1)=1;x=filter(b,a,w);
Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
Realizzazione
Processo passa-alto
Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
Coefficiente di
correlazione
Processo passa-alto
Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
PSD
Processo passa-alto
Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
Esercizio proposto:
Sia dato un processo AR(2) che soddisfa all’equazione alle differenze
Detti i poli del sistema, calcolare la relazione tra tali poli ed i
coefficienti dell’eq. alle differenze. Verificare tale relazione tramite
l’istruzione matlab poly per
continua........
1 2p p
2,1 2,2( ) ( 1) ( 2) ( )x n a x n a x n w n
3
41 0.98
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
• Rappresentare una possibile realizzazione del processo al variare del
modulo e della fase dei poli, supponendo che w(n) sia rumore
Gaussiano bianco con varianza unitaria. Utilizzare l’istruzione filter;
• Calcolare l’espressione della densità spettrale di potenza (DSP) del
processo, verificarne l’esattezza tramite le istruzione matlab poly e
polyval;
• Fare il grafico della DSP al variare del modulo e della fase dei poli.
continua........
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
• Calcolare in forma chiusa l’espressione della correlazione del
processo;
• Verificare il risultato tramite IFFT della DSP del processo;
• Fare il grafico della funzione di autocorrelazione al variare del
modulo e della fase dei poli.
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
Realizzazione
Processo passa-banda
3
41 0.98
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
PSD
Processo passa-banda
3
41 0.98
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
Funzione di correlazione
Processo passa-banda
3
41 0.98
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
Realizzazione
41 0.58
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
PSD
41 0.58
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
Funzione di correlazione
41 0.58
jp e
Laboratorio del 6/10/05 Processi AR
Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria
Esercizio proposto:
•Stima del valor medio di un processo Gaussiano a valor medio
•Calcolo dell’RMSE al variare del numero di campioni N, istogramma
della ddp della stima
•Uso dell’istruzione: hist
L’RMSE diminuisce all’aumentare di N
1
0
1ˆ ( )
N
n
x nN
Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria
Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria
N=1024
N=8
Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
Esercizio proposto:
•Stima congiunta del valor medio e della varianza di un processo
Gaussiano a valor medio e varianza unitaria
•Calcolo della polarizzazione e dell’RMSE al variare del numero di
campioni N
Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
RMSE dello stimatore ML
del valor medio
1
0
1ˆ ( )
N
n
x nN
Polarizzazione dello stimatore ML del valor
medio
Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
1
0
1ˆ ( )
N
n
x nN
RMSE dello stimatore ML della varianza
Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
1
22
0
1ˆ ˆ( )
N
ML MLn
x nN
Polarizzazione dello stimatore
ML della varianza
Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
1
22
0
1ˆ ˆ( )
N
ML MLn
x nN
Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP
Esercizio proposto:
•Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del numero di campioni N per SNR=-4 dB; •Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del rapporto segnale-rumore SNR per N=4;•Grafici di confronto.
)()( nwAnx
2
1) deterministico incognito
2) (0, )A
A
A N
2( ) (0, )w n N
2 2ASNR
2 2SNR A
SNR=-4 dB
1
0
1ˆ ( )N
MLn
A x nN
2 1
2 20
ˆ ( )N
AMAP
nA
A x nN
Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP
N= 4
2 2SNR A
2 2ASNR
Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP
Conclusioni
•All’aumentare di N lo stimatore MAP tende allo stimatore ML (informazioni a posteriori dominanti)
•All’aumentare di SNR lo stimatore MAP tende allo stimatore ML (informazioni a posteriori dominanti)
Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP
Stima ML dei parametri di una cosinusoide immersa in rumore termico
)()2cos()( 0 nwnTfAnx c
Laboratorio del 3/11/05 Stima ML
212
00
1ˆ arg max ( ) c
Nj fT n
MLf n
f x n eN
0
1ˆ2
0
2ˆ ( ) ML c
Nj f T n
MLn
A x n eN
1
001
00
ˆ( )sen(2 )ˆ arctg
ˆ( )cos(2 )
N
ML cn
ML N
ML cn
x n f T n
x n f T n
Laboratorio del 3/11/05 Stima ML
Limiti di Cramér-Rao
)1(
)12(2)(
)1()2(
12)(
2)(
220
2
NN
NCRLB
NNfCRLB
NACRLB
2
2
2 Adove
Esercizio proposto:
•implementazione della stima ML•calcolo degli RMSE al variare di N•confronto con i CRLB
istruzioni: fft, angle, max
Laboratorio del 3/11/05 Stima ML
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Modello del segnale e dell’osservato
( ) ( 1) ( )s n s n w n
( ) ( ) ( )x n s n v n
2( ) (0, 1)ww n N
2( ) (0, )vv n N
w(n) rumore di generazione
v(n) rumore di osservazione indipendente dal s(n)
IIR causale: Si può dimostrare che
( ) 1 ( )nh n u n
2 2(1 ) (1 ) 1
2 2(1 ) (1 ) 1
1 10
2
dove
1 10
2
se
se
2 2
2 2
1
1s
v
2
2s
v
SNR
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
FIR a 3 prese
ˆ( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2)s n h x n h x n h x n
x xsR h r
E’ necessario risolvere questo sistema
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro di Wiener IIR causale•implementazione del filtro FIR a tre prese•confronto tra le risposte impulsive e in frequenza dei due filtri•confronto fra le uscite dei due filtri
istruzioni: filter, inv
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=10 dB
=-0.9
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=10 dB
=-0.9
SNR=10 dB
=-0.9
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=10 dB
=0.99
SNR=10 dB
=0.99
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=10 dB
=0.99
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=0 dB
=0.99
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=0 dB
=0.99
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
SNR=0 dB
=0.99
Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Conclusioni:
diminuisce all’aumentare di SNR•Per SNR - (dB) =, h(n)=0 e cioè pari al suo valor medio•All’aumentare di SNR si allontana da e tende a 0. La banda aumenta e il guadagno del filtro IIR aumenta. Se SNR il polo si sposta nell’origine, =0 e il filtro di Wiener diventa passa-tutto.
ˆ( ) 0s n
)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)()(ˆ nSncanXnKnSnanS
2
)()(
v
e ncPnK
12222
2
])1()([)(
wev
ve
nPnacnP
Stimatore:
Guadagno del filtro:
MSE della stima al passo n:
0)1(ˆ SInizializzazione:
1,,1,0 Nn
2)1(ˆseP
Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro di Kalman scalare per processi stazionari e c=1
•grafico del segnale generato, della stima e dell’errore di stima al variare di SNR e di a
Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
SNR=0 dB
a=0.99
Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
SNR=-10 dB
a=0.99
Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
SNR=0 dB
a=0.99
Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP
)()(:
)(2
)(:
0
1
cc
cc
c
nTwnTxH
nTwT
TnTrectAnTxH
wx
wsx
:
:
0
1
H
AHin notazione vettoriale:
1,,1,0 Nn cT
TN dove:
Segnalazione on-off )()( 10 HPHP
Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP
Esercizio proposto:
•implementazione del filtro adattato
•grafico del segnale all’ingresso e all’uscita del filtro adattato al variare del tempo in presenza di rumore bianco
•calcolo della probabilità d’errore teorica e confronto con quella ottenuta tramite simulazione Monte Carlo in funzione del rapporto segnale-rumore
•istruzioni: conv, erfc )2(*5.0)( xerfcxQ
Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP
Filtro adattato
N=8
SNR=10 dB
Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP
Probabilità d’errore
N=8
Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
[ ]d n rumore Gaussiano bianco a varianza unitaria
Sequenza dei dati utili di lunghezza N
Esercizio proposto:
•Calcolo del periodogramma dei dati al variare di N. Considerazioni sulla non consistenza dello stimatore
•istruzioni: periodogram
N=64
Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
N=1024
1 0 2 0[ ] sin(2 ) sin(2 ) [ ]y n A f n A f N n d n
[ ]d n rumore Gaussiano bianco a varianza =10-3
0 0.2f
Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
Sequenza dei dati utili
dove
Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
Esercizio proposto:
•Risoluzione: si supponga A1=A2=1 e N=64. Calcolare il periodogramma della sequenza di dati per =0.1, 0.9 e 2 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.
•Leakage: si supponga A1=1 e N=64 e si vari il valore di A2, per es. A2=0.5, 0.1, 0.01. Calcolare il periodogramma per =4 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali.
•In entrambi i casi disegnare il periodogramma in scala semilogaritmica
•istruzioni: periodogram
Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
=0.1
=2
Risoluzione
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