la clase virtual
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LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS COMPLEJOS
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales.
loge(-2) no es un número real.
Tampoco es un número real (-2)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe
a=Re( El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
bIm(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto C=R2 de los números complejos y el conjunto E2 de puntos del plano, habiendo fijado un sistema de referencia cartesiano.
De modo que el complejo (a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El complejo (0,1) se representa mediante la letra i y es la unidad imaginaria.
Los números reales son los números complejos de la forma (a,0), donde a es el número real que se identifica con el complejo (a,0). Los números imaginarios son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales forman el conjunto R al que le corresponde el eje de abscisas. Los números imaginarios puros se corresponden con los puntos del eje de ordenadas.
El módulo del complejo (a,b) viene dado por y el argumento por el valor de tal que . Nótese que si es un argumento también lo es k
22 ba a/btg
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El argumento se llama principal si La representación módulo argumental del
complejo (a,b) viene dada por
La identidad entre los complejos (a,b) y (c,d) equivale a: a=c y b=d
La identidad entre los complejos y equivale a: y + k
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El paso del par ordenado a la forma módulo argumental se logra del siguiente modo:
)b(signo)(signo
)a/b(arctgba
sinb
cosa
)b,a(
22
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La aritmética compleja viene dada por:
Se demuestra fácilmente que:
)bcad,bdac()d,c)(b,a(
)db,ca()d,c()b,a(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b) El inverso de =(a,b), distinto de cero (0,0),
es
También se tiene que para distinto de cero
)ba
b,
ba
a(
22221
)()( 11
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma binómica del complejo (a,b) se escribe a+ib, ya que
La forma trigonométrica del complejo viene dada por (cos+isin), puesto que
iba)b,a(
)0,b(*)1,0()0,a()b,0()0,a()b,a(
)sini(cos
)sin(i)cos(iba)b,a(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma exponencial del complejo viene dada por
ei
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eicosi sin
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i. De otra parte: Además, si n es un número natural se tiene:
(Fórmula de De Moivre)
etc. ,ii ,1i ,ii 543
)nsin(i)ncos()sini(cos
))nsin(i)n(cos()())sini(cos(
)()(
n
nn
)n(nn
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Las expresiones anteriores son válidas para n negativo.
Además:
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
mn/1n/m )(
n/1n/m
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La expresión en realidad corresponde a n números complejos diferentes dados por
Los afijos de son los vértices de un polígono regular de n lados, centrado en el origen de coordenadas.
n/1
1-n0,1,2,...,k
,)(n
k2n/1
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se justifica lo anterior como sigue:
Para los demás valores de k se repiten las soluciones cíclicamente
n/)k2( ,
k2n ,
)(
n/1
n
n
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La exponencial compleja se define muy fácilmente: Sea =(a,b), entonces
Nótese que:
)bsinib(cose)e(eee aibaiba
1e
eee0
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El logaritmo de un número complejo en realidad son infinitos complejos. En concreto:
,...3,2,1,0k
),k2(iln)ln(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La justificación de lo anterior es como sigue:
)k2(ilnivu)ln(
:definitivaen ,k2v
y lnu bien, o ,e
luego ),sini(cos
)vsiniv(coseeeee
: tienese ivu Si
)ln(e
)sini(cos Sea
u
uivuivu
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, con
Nótese que: Se define mediante
iln)(Ln
)ln(e
lne
LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:– 1) loge(-2)
– 2) (-2)
i2ln)2(Ln)k21(i2ln
)k2(i2ln)2ln()2(loge
))k21sin(i)k21(cos(eee
ee)2()2(222ln)k21(i2ln
))k21(i2(ln)2ln(
2
LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 3) ii3.7974 i - 7.9662-
)sini(cose)2( 222ln
)k22/())k22/(i1(lni
)1ln(iilnii
ee
eei 2/
LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo doble.
2079.0ei 2/i
LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:– Se tiene que
cossin22sin
sincos2cos
)2sini2(cos)sini(cos22
2
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