kinematics دکتر سعید شیری قیداری فصل 2و3 کتاب introduction to robotics...

Kinematics

قیداری شیری سعید دکتر

کتاب 3و2فصلIntroduction to robotics mechanics and control

Amirkabir University of TechnologyComputer Engineering & Information Technology Department

سینماتیک

Kinematics

درس استاندارد شروع نقطه سینماتیک مطالعه معموال .است روباتیک

نظیر علوم سایر در روباتیک بر عالوه سینماتیک .دارد کاربرد نیز انیمیشن و گرافیک

:سینماتیکروبات حرکت هندسه تحلیلی مطالعه از است عبارت :

ثابت مختصات محور یک به نسبتحرکت باعث که گشتاوری یا و ها نیرو به نسبت

میشوند

سینماتیک

روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی

مستقیم سینماتیک بحث در ارائه روشی صنعتی روباتهای

ها لینک جهت و موقعیت که میشود از تابعی بصورت را روبات ابزار و

به نسبت ها مفصل متغیرهای.میکند محاسبه مرجع محور

به مختصاتی فریمهای اینکار برای وصل روبات مکانیزم از بخش هر

این بین ارتباط سپس و شده.میشود بیان محورها

A 3-DOF Manipulator Arm

Manipulators

از صنعتی روبات یا و روباتیک بازویصلب اتصال تشکیل (link)تعدادی

مفاصل توسط هم (joints)میشودکه به. میشوند متصل

یا و چرخشی است ممکن ها مفصلبر و رفت

. باشند گشتی سیستم یا و موتور از روبات حرکت برای

. میشود استفاده هیدرولیک میگیرد قرار ابزار یک روبات انتهای در

نصب روبات مچ در ای صفحه روی بر کهمیشود.

روباتهای متداول های طرحصنعتی

Cartesian

ArticulatedCylindrical

Spherical

SCARA

Manipulators

Robot Configuration:

Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP

SCARA: RRP

)Selective Compliance Assembly Robot Arm(

Articulated: RRR

Hand coordinate:

n: normal vector; s: sliding vector;

a: approach vector, normal to the

tool mounting plate

Manipulators : میشود شناخته زیر مشخصات با صنعتی روبات

محورها تعداد اصلی موقعیت : 3-1محورهای تعیین برای که

میروند بکار بازو فرعی به : 6-4محورهای دادن جهت برای که

. میروند بکار ابزار اضافی از : n-7محورهای پرهیز برای که

. میروند بکار نامطلوب های موقعیت

: آزادی )Degree of Freedom )DOFدرجه : کاری Workspaceفضای : بار )Payload )load capacityظرفیت : تکرارپذیری و .Precision v.sدقت

Repeatability

Forward kinematics

Given joint variables

End-effector position and orientation, -Formula?

),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq

),,,,,( TAOzyxY x

y

z

روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی

Given a desired position )P( & orientation )R( of the end-effector

Find the joint variables which can bring the robot the desired configuration

),,( 21 nqqqq

x

y

z

برای معکوس سینماتیک بحثصنعتی روباتهای

Inverse Kinematics

(1 … n) (x,y,z,x,y,z)

K-1

مثال

0x

0y

1x1y

)/(cos

kinematics Inverse

sin

cos

kinematics Forward

01

0

0

lx

ly

lx

l

سخت معکوس سینماتیک از تر بحث:زیرا است مستقیم سینماتیک

و بوده خطی غیر حاصله معادالت حل راه همیشه اینرو از

آنها حل برای سیستماتیکی.ندارد وجود closed form بصورت

نیست بفرد منحصر حل راه.مشخصات به بستگی حل راه

!solutions 2دارد روبات

برای معکوس سینماتیک بحثصنعتی روباتهای

Forward and Inverse Kinematics

xw

Joint 1

Joint 2

Joint 3

Link 1z1

World )Base( Coordinate Frame

Tool Coordinate Frame

Joint 1

Joint 2

Joint 3

Link 1z1

World )Base( Coordinate Frame

Tool Coordinate Frame

1

2

zw

yt

zt

Link Space

n variables (1 … n)

Tool Space

6 variables (x,y,z,x,y,z)

Forward K

Inverse K

متحرک روباتهای سینماتیک

زمینه دو در متحرک روباتهای سینماتیک مطالعه :است الزم

نظر مورد عمل انجام برای روبات مناسب طراحیشده ساخته روبات کنترلی افزار نرم نوشتن

صنعتی روبات و متحرک روبات بین مهم اختالف یک در صنعتی روبات .است موقعیت گیری اندازه در نسبت آنرا موقعیت میتوان لذا است ثابت نقطه یک.گرفت اندازه ثابت نقطه این به

روبات یک موقعیت کنترل

موارد تا است الزم روبات یک موقعیت کنترل برای :بدانیم را زیرروبات دینامیکی/ سینماتیکی مدلزمین و چرخ بین تعامل مدلنیاز مورد حرکت از تعریفی:

موقعیت کنترل- سرعت کنترلمیکند برآورده را الزم نیازمندیهای که کنترلی قانون.

مختصات تبدیل

عالقمند معموال روبات یک موقعیت بررسی هنگام محور یک به نسبت آنرا موقعیت که هستیم

. بسنجیم مرجع مختصاتچرخها، نظیر روبات یک اجزای حرکت حالیکه در

بدنه به نسبت غیره و سنسورها، گرفتن قرار محل .میشوند گیری اندازه روبات

اهداف ویا روبات موقعیت تا است الزم اینرو از گیری اندازه روبات موقعیت به نسبت که را دیگر

.نمود بیان مرجع مختصات محور به نسبت میشوندبود خواهد مختصات تبدیل به نیاز اینکار برای

مختصات مرجع محورهای

World frameJoint frameTool frame

x

yz

x

z

y

W R

PT

Let and be arbitrary vectors in and be the angle from to , then

Where is the angle between the vectors and is the norm.

X.Y=0 if X is perpendicular to Y.

3R

cosyxyx

x yx y

x

y

x

داخلی ضرب

Mutually perpendicular

Unit vectors

Properties of orthonormal coordinate frame

0

0

0

jk

ki

ji

1||

1||

1||

k

j

i

i

jk

O

داخلی ضرب

Point represented in OXYZ:

zyx kji zyxxyz pppP

Tzyxxyz pppP ],,[

Vector represented in OXYZ:

x

y

z

P

O, O’i

jk

بردار و نقطه نمایش

Reference coordinate frame OXYZ

Body-attached frame O’uvw

wvu kji wvuuvw pppP

x

y

z

P

u

vw

O, O’

zwyvxu pppppp

Point represented in O’uvw:

Two frames coincide ==>

مختصات تبدیل

باشیم داشته دوران فقط که حالتی

wvu kji wvuuvw pppP

x

y

zP

zyx kji zyxxyz pppP

uvwxyz RPP u

vw

مختصات تبدیل

داد؟ ربط هم به را مختصات محور ایندو نقاط مختصات میتوان چگونه

Px , Py , and Pz represent the projections of P onto OX, OY, OZ axes, respectively

Since

wvux pppPp wxvxuxx kijiiii

wvuy pppPp wyvyuyy kjjjijj

wvuz pppPp wzvzuzz kkjkikk

wvu kji wvu pppP

ساده دوران حالت

پایه دوران ماتریس

Rotation about x-axis with

w

v

u

z

y

x

p

p

p

p

p

p

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

x

z

y

v

wP

u

CS

SCxRot

0

0

001

),(

پایه دوران ماتریس

Rotation about x axis with

cossin

sincos

cossin0

sincos0

001

wvz

wvy

ux

w

v

u

z

y

x

ppp

ppp

pp

p

p

p

p

p

p

x

z

y

v

wP

u

پایه دوران های ماتریسRotation about x-axis with

Rotation about y-axis with

Rotation about z-axis with

uvwxyz RPP

CS

SCxRot

0

0

001

),(

0

010

0

),(

CS

SC

yRot

100

0

0

),(

CS

SC

zRot

پایه دوران ماتریس

Obtain the coordinate of from the coordinate of

uvwxyz RPP

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

R

xyzuvw QPP

TRRQ 1

31 IRRRRQR T

uvwPxyzP

<== 3X3 identity matrix

z

y

x

w

v

u

p

p

p

p

p

p

zwywxw

zvyvxv

zuyuxu

kkjkik

kjjjij

kijiii

Dot products are commutative!

مثال A point is attached to a rotating

frame, the frame rotates 60 degree about the OZ axis of the reference frame. Find the coordinates of the point relative to the reference frame after the rotation.

)2,3,4(uvwa

2

964.4

598.0

2

3

4

100

05.0866.0

0866.05.0

)60,( uvwxyz azRota

مثال

A point is the coordinate w.r.t. the reference coordinate system, find the corresponding point w.r.t. the rotated OU-V-W coordinate system if it has been rotated 60 degree about OZ axis.

)2,3,4(xyza

uvwa

2

964.1

598.4

2

3

4

100

05.0866.0

0866.05.0

)60,( xyzT

uvw azRota

ترکیبی دوران ماتریس

دارای دوران های ماتریس از محدود ای دنباله . از مواقعی چنین در نیستند جابجائی خاصیت

: میشود استفاده زیر قوانین

If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous )resultant( rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

If rotating coordinate OUVW is rotating about its own principal axes, then post-multiply the previous )resultant( rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

مثال عملیات دوران : ماتریس بیابید را زیر

Post-multiply if rotate about the OUVW axes

Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes

...

axis OUabout Rotation

axisOW about Rotation

axis OYabout Rotation

Answer

SSSCCSCCSSCS

SCCCS

CSSSCCSCSSCC

CS

SCCS

SC

uRotwRotIyRotR

0

0

001

100

0

0

C0S-

010

S0C

),(),(),( 3

مختصات تبدیل• position vector of P in {B} is transformed to position vector of P in {A}

• description of {B} as seen from an observer in {A}

Rotation of {B} with respect to {A}

Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A}

مختصات تبدیل Two special cases

1. Translation only

Axes of {B} and {A} are parallel

2. Rotation only

Origins of {B} and {A} are coincident

1BAR

'oAPBB

APA rrRr

0' oAr

Homogeneous Representation• Coordinate transformation from {B} to {A}

• Homogeneous transformation matrix

'oAPBB

APA rrRr

1101 31

' PBoAB

APA rrRr

10101333

31

' PRrRT

oAB

A

BA

Position vector

Rotation matrix

Scaling

Homogeneous Transformation

خاص حاالت1 .Translation

2 .Rotation

10

0

31

13BA

BA RT

10 31

'33

oA

BA rIT

مثال Translation along z-axis with h:

1000

100

0010

0001

),(h

hzTrans

111000

100

0010

0001

1

hp

p

p

p

p

p

hz

y

x

w

v

u

w

v

u

x

y

z P

u

vw

O, O’

hx

y

z

P

u

vw

O, O’

مثال Rotation about the x-axis by

1000

00

00

0001

),(

CS

SCxRot

x

z

y

v

wP

u

11000

00

00

0001

1w

v

u

p

p

p

CS

SC

z

y

x

Homogeneous Transformation

Composite Homogeneous Transformation Matrix

Rules: Transformation )rotation/translation( w.r.t )X,Y,Z(

)OLD FRAME(, using pre-multiplication Transformation )rotation/translation( w.r.t )U,V,W(

)NEW FRAME(, using post-multiplication

مثال Find the homogeneous transformation matrix )T(

for the following operation:

:

axis OZabout ofRotation

axis OZ along ofn Translatio

axis OX along ofn Translatio

axis OXabout Rotation

Answer

d

a

44,,,, ITTTTT xaxdzz

1000

00

00

0001

1000

0100

0010

001

1000

100

0010

0001

1000

0100

00

00

CS

SC

a

d

CS

SC

Homogeneous Representation

A frame in space )geometric interpretation(

x

y

z

n

sa

1000zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

F

),,( zyx pppP

101333 PR

F

Principal axis n w.r.t. the reference coordinate system

Homogeneous Transformation

Translation

y

z

n

sa n

sa

1000

10001000

100

010

001

zzzzz

yyyyy

xxxxx

zzzz

yyyy

xxxx

z

y

x

new

dpasn

dpasn

dpasn

pasn

pasn

pasn

d

d

d

F

oldzyxnew FdddTransF ),,(

Homogeneous Transformation

21

10

20 AAA

Composite Homogeneous Transformation Matrix

0x

0z

0y

10 A

21A

1x

1z

1y 2x

2z2y

?i

i A1 Transformation matrix for adjacent coordinate frames

Chain product of successive coordinate transformation matrices

مثال For the figure shown below, find the 4x4 homogeneous transformation

matrices and for i=1, 2, 3, 4, 5

1000zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

F

ii A1

iA0

0x 0y

0z

a

b

c

d

e

1x

1y

1z

2z2x

2y

3y3x

3z

4z

4y4x

5x5y

5z

1000

010

100

0001

10

da

ceA

1000

0100

001

010

20 ce

b

A

1000

0001

100

010

21 da

b

A

Can you find the answer by observation based on the geometric interpretation of homogeneous transformation matrix?

Orientation Representation

Rotation matrix representation needs 9 elements to completely describe the orientation of a rotating rigid body.

Any easy way?

101333 PR

F

Euler Angles Representation

Orientation Representation Euler Angles Representation ) , , (

Many different types Description of Euler angle representations

Euler Angle I Euler Angle II Roll-Pitch-Yaw

Sequence about OZ axis about OZ axis about OX axis

of about OU axis about OV axis about OY axis

Rotations about OW axis about OW axis about OZ axis

x

y

z

u'

v'

v "

w"

w'=

=u"

v'"

u'"

w'"=

Euler Angle I

Orientation Representation Euler Angle I

100

0cossin

0sincos

,

cossin0

sincos0

001

,

100

0cossin

0sincos

''

'

w

uz

R

RR

Euler Angle I

cossincossinsin

sincos

coscoscos

sinsin

cossincos

cossin

sinsincoscossin

sincos

cossinsin

coscos

''' wuz RRRR

Resultant eulerian rotation matrix:

Euler Angle II

x

y

z

u'

v'

=v"

w"

w'=

u"

v"'

u"'

w"'=

Note the opposite (clockwise) sense of the third rotation, .

Orientation Representation Matrix with Euler Angle II

cossinsinsincos

sinsin

coscossin

coscos

coscossin

sincos

sincoscoscossin

cossin

coscoscos

sinsin

Orientation Representation Description of Roll Pitch Yaw

X

Y

Z