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José Agüera Soriano 2011 1

SISTEMAS ABIERTOS

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

VELOCIDAD DEL SONIDO EN UN GAS

PROCESOS DE DERRAME

ESTRANGULACIÓN DE UN FLUJO

TRANSPORTE POR TUBERÍAS

TOBERAS Y DIFUSORES

Ecuación de continuidad

cAcAcAm ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ρρρ 222111&

vcAm ⋅

(régimen permanente)

Ecuación de la cantidad de movimiento

)( 12 ccmF rr&

r−⋅=Σ

GFApApFrrr

+−⋅+⋅=Σ 2211

)( 212211 ccmApApF rr&

r−⋅+⋅+⋅=

Fuerza sobre un conducto

En conductos cortos G es despreciable: 1

VELOCIDAD DEL SONIDO EN UN GAS

ss dvdpvva

⋅−== 2

vpvKvvK

s⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−=

−−−− γγγ γγ 11

vpa ⋅⋅= γ TRa ⋅⋅= γ gas perfecto

v = volumen específicoκs = coeficiente de compresibilidad isoentrópico

La velocidad del sonido es una función de estado, o propiedad.

EJERCICIOCalcular la velocidad del sonido en el aire1) a 0 oC y 2) a 500 oC.Solución

m/s 331 964,28/3,83142734,1 =⋅⋅=⋅⋅= TRa γ

m/s 557 964,28/3,83147734,1 =⋅⋅=⋅⋅= TRa γ

trabajo técnico

ecuación de la energía

Primer principio para sistemas abiertos

tdWdccdhdQ +⋅+=

tWcchhQ +−

+−=2

∫ −⋅−−

2 rt WdpvccW

rt dWdpvdccdW −⋅−⋅−=

RECORDATORIO

PROCESOS DE DERRAME

Cuando entre las secciones en estudio no haymáquina, el trabajo es nulo, y al proceso quetiene lugar se le denomina proceso de derrame.

Derrame adiabático

0=tW Q = 0

tWcchhQ +−

+−= 2

−=−

TOBERA SUPERSÓNICA1

21/c =c

0∼∼2 c >c 2c

DERRAME ADIABÁTICO

haya o no Wr (Wr ≥ 0)

h∆ s∆h

TOBERA

∆hs (isoentrópico) > ∆h (con rozamiento)Ahora bien,

En un derrame adiabático, la energía cinéticaaumenta a costa de una disminución de entalpía,y viceversa, independientemente de que haya ono rozamientos internos (Wr ≥ 0).

ESTRANGULACIÓN DE UN FLUJO

1 p >p1 2

tWcchhQ +−

+−=2

21 hh =

EJERCICIOComparar la energía a 30 m/s, con la entalpíade un flujo de vapor de agua a 480 oC y 60 bar.

Soluciónh = 3375 kJ/kg

kJ/kg 0,45 J/kg 4502

Cantidad despreciable en comparación con la entalpía.

TRANSPORTE POR TUBERÍAS

tWcchhQ +−

+−=2

∫ −⋅−−

2 rt WdpvccW

12 hhQ −=

∫ ⋅−=2

1dpvWr

En tuberías, la variación de energía cinética es despreciableVariación de entalpía

Caída de presión

Indica que una disminución de entalpía se debe a una cesión de calor, y viceversa.

Indica que una caída de presión en tuberías se debe exclusivamente al rozamiento del flujo.

⋅⋅=

cDLfdpvWr ⋅⋅=⋅−= ∫

DmLvfpp&

⋅⋅⋅⋅=−π

Cálculo de la caída de presión en tuberíasEcuación de Darcy-Weissbach

Ecuación de continuidad

Sustituyendo,

8DmdLvfdp&

⋅⋅⋅⋅=−π

Coeficiente de fricción fPara pequeñas longitudes (tuberías de una plantaindustrial), puede tomarse, f = 0,015.

Para mayor precisión, fórmula de Colebrook:

⋅+⋅−=

51,27,3

/log2110

relativarugosidadDk =

µπµν ⋅⋅⋅

vDcDcReD

k = rugosidad absoluta interiorD = diámetro interiorµ = viscosidad dinámicaν = =⋅= vµρµ / viscosidad cinemática

(número de Reynolds)

Flujo isotérmico

DmdLvfdp&

⋅⋅⋅⋅=−π 5

DmdLvpfdpp&

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅−π

16DmLvpfpp&

⋅⋅⋅⋅⋅=−π

16DmLTRfpp&

⋅⋅⋅⋅⋅=−π

gas perfecto

a) Gaseoductos, gas ciudad, aire comprimido,...b) Conducciones calorifugadas: si Q = 0, h1 = h2; si además es gas perfecto, T1 = T2.

Para un flujo isotérmico es mejor utilizar estas fórmulas.

EJERCICIOSe transporta gas ciudad por una tubería de acero:

m& = 1,5 kg/s L = 60 km D = 300 mm

1p = 7 bar t1 = t2 = ta = 12 oC k = 0,5 mm µ = 1,28⋅10−5 kg/m s M = 11,739 kg/kmol

Calcúlese la presión final.

SoluciónRugosidad relativa

0017,0300

Número de Reynolds

10528,13,0

105,144⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

πµπ DmReD&

fo = 0,015f1 = 0,0228f2 = 0,0227 (definitivo)

⋅+⋅−=

51,27,3

/log2 1

Coeficiente de fricción

Presión final p2

16DmLTRfpp&

⋅⋅⋅⋅⋅=−π

21 bar 27,41

3,05,160000285

739,113,83140227,016

=⋅⋅⋅⋅⋅=−π

bar 78,2)27,417()27,41( 2/122/1212 =−=−= pp

TRANSPORTE POR TUBERÍASExergía destruida

∫∫⋅−

⋅=⋅=2

1 TdpvT

TdWTe a

gases a baja presión, c = 3 ÷ 10 m/sgases a alta presión, c = 5 ÷ 15 m/saire comprimido, c = 3 ÷ 10 m/svapor en centrales térmicas, c = 20 ÷ 60 m/s

Para una determinada T, cuanto mayor sea la presiónmenor volumen: más pequeña la exergía destruidaCon mayores presiones nos estarán permitidas mayoresvelocidades; por ejemplo, el vapor del sobrecalentador ala turbina de alta tiene una presión de unos 165 bar.

1lnppTRe ad ⋅⋅=

Gas perfecto (v/T = R/p)

∫∫ ⋅⋅=⋅−

⋅=12

dpvTe aad

La presión del aire en una tubería baja de 5 bar a 4,5 bar.Si la presión inicial fuera de 120 bar, calcular la caída depresión que destruya la misma exergía.

EJERCICIO

Solución

1lnppTRe ad ⋅⋅=

120ln5,4

TRTR aa ⋅⋅=⋅⋅

bar 108 ;1205,4

bar 1221 =− pp

tWcchhQ +−

+−= 2

−=−

TOBERA SUPERSÓNICA1

21/c =c

0∼∼2 c >c 2c

haya o no Wr (Wr ≥ 0)

TOBERAS Y DIFUSORESUna tobera es un dispositivo diseñadopara transformar entalpía en energíacinética. Por el contrario, un difusortransforma energía cinética en entalpía.

ACDB área )( 12 =−⋅=⋅= ssTsTe agad

A32B área 2/)( 3222

23 =−=− hhcc

-( 23c )2c 2 2/

A12B área =rW

2/)( 22

23 cc −

Rendimiento adiabático de la tobera

∆∆

=−−

Rendimiento adiabático del difusor

hhhh s

∆∆

=−−

Eficiencia

1pp∆h =s

DIFUSOR

EJERCICIOTobera para vapor de agua,p1 = 60 bar y t1 = 480 oC; p2 = 0,04 bar.Calcúlese la velocidad de salida,

a) isoentrópico,b) real (rendimiento adiabático 0,9).c) exergía destruida y eficiencia

Solución 32

=1s 2ss3 s

0,04 b

h1 = 3375,0 kJ/kgs1= 6,8199 kJ/kg K = s3

h’2 = 121,4 kJ/kgh”2 = 2554,5 kJ/kgs’2 = 0,4225 kJ/kg Ks”2 = 8,4755 kJ/kg K

60 bar; 480 ºC

Título de vapor x3s3 = s’2 + x3⋅(s”2 – s’2)6,8199 = 0,4225 + x3⋅(8,4755 − 0,4225)

x3 = 0,7944

Entalpía final teórica h3

h3 = h’2 + x3⋅(h”2 – h’2)121,4 + 0,7944⋅(2554,5 − 121,4) =

= 2054,3 kJ/kg 32

=1s 2ss3 s

0,04 b

60 bar; 480 ºC

Entalpía final real h2

2054,3337533750,90 ; 2

−−

hhhhη

kJ/kg 4,2186 2 =h

Título de vapor x2

h2 = h’2 + x2⋅(h”2 – h’2)2186,4 = 121,4 + x2⋅(2554,5 – 121,4)

x2 = 0,848732

=1s 2ss3 s

0,04 b

60 bar; 480 ºC

Entropía final real s2

s2 = s’2 + x2⋅(s”2 – s’2) =0,4225 + 0,8487·(8,4755 – 0,4225)

Exergías entálpicase1 = h1 − 293,15⋅s1 + 2,86 = 1378,6 kJ/kg

e2 = h2 − 293,15⋅s2 + 2,86 = 61,8kJ/kg

s2 = 7,2571 kJ/kg K

Diseño de toberas y difusores

Derrame isoentrópico (Wr = 0)

rtrt dWdpvdccdWWdpvccW −⋅−⋅−=−⋅−−

= ∫ 2

dvdvdpv

s )()(

)( 222 ⋅=⋅

⋅−=⋅

sssss dv

dpdvvdccdpvdcc

⋅⋅−==⋅+⋅ )().( 0)()(

Ma ss )()(2 =⋅

cdcMa ss )()(2 =⋅

AcvmvAcm lnlnlnln ; +=+

⋅= &&

AdA ss )()1()( 2 ⋅−=

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

dA ss )()1(

)( 2 ⋅−=

Toberas (dc > 0)Si Ma < 1, dA negativo. Tobera convergente

Si Ma > 1, dA positivo. Tobera divergente

c2 < a2

toberasubsónica

tobera de cohete

difusorsupersónico

difusor supersónico-subsónico

difusorsubsónico

c1 > a1

111122

c2 > a2 c1 < a1 c2 < a2

c1 > a1 c = ac2 < a2

dA ss )()1(

)( 2 ⋅−=

Difusores (dc < 0)

Turborreactor

Wt (compresor) = Wt (turbina)

tobera

Turborreactor de doble flujodifusor primer compresor

compresor aire de combustión

tobera de aire tobera de gases

turbina

Hasta aquí, más bien cuestiones de comprobación. Para cuestiones de diseño, ábrase “toberas y difusores”.

Funcionamiento de tobera en condiciones de diseñopp11

pp2 2 = = pp’’

pp’’

tobera supersónica

pp11 cc22 >> aa22

En condiciones fuera de diseño

tobera supersónica

pp22pp3 3

pp11 contrapresión p’menor que lap2 de diseño

p2 y c2 no varíanmismo caudal

libre expansiónde p2 a p3

pp’ ’ = p= p3 3 < p< p22

En condiciones fuera de diseñopp11

p’ = p5 p6 p7 p8mismo caudal

p p22 5 44

contrapresión p’mayor que lap2 de diseño

c2 subsónica

difusor subsónicotobera supersónica

onda de choque

(p’= p6)

pp’’

(p’= p7)

(p’= p8) (p’= p9)

p’ = p9menor caudal(tubo Venturi)

En esta sección, el flujo pasa de supersónico a subsónico.

2 (p’= p4)

SISTEMAS ABIERTOSSISTEMAS ABIERTOS

En condiciones fuera de diseñopp11

contrapresión p’ entrep2 de diseño y p5

(p’= p4) 2

pp’’ >> p p22

Onda de choque oblicua

En condiciones fuera de diseñopp11 misma p’ y menor

sección de salida

mismo caudal,mayor p2 (p2 > p´)menor c2que las de diseñopp22

pp’’

pp’’ libre expansiónde p2 a p’’

pp’’

En condiciones fuera de diseño

difusortobera

misma p’ y mayorsección de salidamismo caudalp2 > p’menor c2

onda de choque

pp’’

c2 subsónica

Toberas de geometría variable

Toberas de geometría variable y orientables

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

0)()( =⋅+⋅ ss dpvdcc

∫⋅⋅

==⋅M

22)( cccc

svpadcc γ

1)( 11M

1 −⋅−⋅

⋅=⋅− ∫ γγ cc

svpvpdpv

∫ ∫ ⋅−=⋅M

1)()( ss dpvdcc

subíndice c =valores críticos

Valores críticos, o reversibles en el cuello

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

1111 −⋅⋅

−⋅−⋅

ccccvpvpvpvpvp γ

⋅⋅

γvpvp cc

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

⋅⋅

γvpvp cc

γγγ

γppc 1

γρρc

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

⋅⋅

γvpvp cc

Gases perfectos

γTTc 1

2 −+

⋅=γγ

γρρc

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores críticos orientativos

γppc 1

γρρc

gas γ pc ρc Tc

monoatómicos 1,66 0,488⋅p1 0,649⋅ρ1 0,752⋅T1

biatómicos 1,40 0,528⋅p1 0,634⋅ρ1 0,833⋅T1

triatómicos 1,33 0,540⋅p1 0,629⋅ρ1 0,858⋅T1

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores críticos orientativosgas γ pc ρc Tc

monoatómicos 1,66 0,488⋅p1 0,649⋅ρ1 0,752⋅T1

biatómicos 1,40 0,528⋅p1 0,634⋅ρ1 0,833⋅T1

triatómicos 1,33 0,540⋅p1 0,629⋅ρ1 0,858⋅T1

• si ,ppc ′≤ tobera convergente• si ,ppc ′> tobera convergente-divergente

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Velocidad críticavpa ⋅⋅= γ

⋅⋅

γvpvp cc

1112 vpvpac cccc ⋅⋅+

⋅=⋅⋅==γ

1112 vpac cc ⋅⋅

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Relación mAm&

⋅=⋅⋅

== γγ

2 −+

⋅=γγ

⋅=−+

Kvp n =⋅

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores reales en el cuello de la tobera

)1(1)1(1

−⋅−+−⋅++

=γηγγηγn

Kvp n =⋅

Entre 1 y M, η = 0,95

Exponente politrópico entre 1 y M1

h pp 1

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores reales en el cuello de la toberaTemperatura, presión y volumen específico

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores reales en el cuello de la toberaVelocidad en función del estado inicial

11m 11

12 vpnn

c ⋅⋅−−

⋅+⋅

−−

⋅+⋅

11m vpKc ⋅⋅=

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores reales en el cuello de la toberaÁrea

⋅−−

−−

γγ n

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Valores reales en el cuello de la tobera

γ = exponente adiabático medio entre T1 y Tm

n = exponente politrópico, para η = 0,95pm/p1= relación de presionesK = coeficiente de la ec. 5.43C = coeficiente de la ec. 5.46

Tabla 15

EJERCICIOCalcúlese presión, temperatura y velocidad reales,y el área de la sección mínima:

m& = 0,5 kg/s T1 = 1130 K p1 = 40 bar p’ = 1 bar

Solución (tabla 15) γ = 1,333 n = 1,314

pm/p1 = 0,543 K = 1,042 C = 0,655

'=1 barp

21,72 bar

21,12 bar

40 bar

Presión en el cuello (pc= 21,12 bar)

pm = 0,543⋅p1 = 0,543⋅40 = 21,72 bar

Temperatura en el cuello Tm/T1 = 2/(n + 1)

Tm = 1130⋅2/2,314 = 977 K

(Tc= 941 K)

Velocidad en el cuello

964,2811303,8314042,11m

⋅⋅=⋅⋅= TRKc

m/s) 615( =ccm/s 593m =c'=1 bar

21,72 bar

21,12 bar

40 bar

Sección del cuello

m TRpC

⋅⋅=

964,28/11303,83141040655,05,0 5

m ⋅⋅

Am = 1,09 cm2

(Ams = 1,04 cm2)

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

p’cc = ac

Cálculo de una tobera Datos: estado inicial p1, T1 caudal másico m&

contrapresión p’= p2

Tobera supersónica (p’ < pc)1. Área Am del cuello

2. Entropía y entalpía iniciales, s1 y h1. 3. Entalpía h3: p3 (p3 = p’), s3 (s3 = s1).

4. Entalpía h2

−−

=η (η entre 0,95 y 0,90)

h pp 1

5. Velocidad de salida c2 )02/( 21 ≈c

)(2 ; 2 21221

22 hhchh

cc−⋅=−=

6. Volumen específico v2

7. Área A2 final

8. Longitud l de la parte divergente Fijar ángulo α de divergencia

Tobera sónica (p’ = pc ; A2 = Am)

Tobera subsónica (p’ > pc)Mismo procedimiento que para la supersónica:

• el paso 1 lógicamente no procede• en el paso 4, η = 0,95 para Ma2 = 1, η = 1 para Ma2.muy pequeños

EJERCICIO Datos:

m& = 0,5 kg/s (aire) T1 = 1130 K p1 = 40 bar p’ = 1 barTómese η = 90% y α = 10º.

Am = 1,09 cm2

pm = 21,72 bar

Tm = 977 K

m/s 593m =c

Solución

=1 bar

1 40 bar

21,72 bar

Resultados de PROGASESPROPIEDADES DE ESTADOS INTRODUCIDOSGAS: Aire (M = 28,964 kg/kmol)Exergías referidas a ta = 20 °C y pa = 1 bar————————————————————————————est. presión temp. energía entalpía entropía exergía volumen n° absoluta absoluta interna específica específ. entálpica específico p T u h s e v bar K kJ/kmol kJ/kmol kJ/kmolK kJ/kmol m³/kmol———————————————————————————— 1 40,00 1130,00 25360,6 34755,7 208,225 23071,0 2,3488 2 1,00 499,62 10456,8 14610,8 213,048 1512,3 41,5402 3 1,00 424,29 8844,8 12372,5 208,225 687,8 35,2772

p T u h s e v———————————————————————————— 1 40,00 1130,00 25360,6 34755,7 208,225 23071,0 2,3488 2 1,00 499,62 10456,8 14610,8 213,048 1512,3 41,5402Velocidad de salida

m/s 1179964,28/10)4,146181,34757(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= hhc

Sección final

4353,11179

5,0 ; 2

22 ⋅=

cAm& cm 78,2 ;cm 09,6 2

22 == DA

Longitud l

2/)( 2

ββ tgDD

tgbl m−

cm 14,952

18,178,2o

tobera supersónica

c2 > a2cc = ac

Potencia cinética de salida

CV) (472,5kW 347,5 W 105,3472

11795,02

2 =⋅=⋅=⋅=c

agua de vapor kg/s 15=m&

EJERCICIO

Calcúlese tobera y su eficiencia

t1 = 540 oC p1 = 160 bar p’ = 40 bar

(tómese η = 92% y α = 10º):

γ = 1,277 n = 1,261 pm/p1 = 0,553 K = 1,032 C = 0,645

Presión en el cuello

bar 48,88160553,0m =⋅=p

Velocidad en el cuello

m/s 59710928,2010160032,1 3511m =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −vpKc

Sección del cuello

m 10928,2010160 645,015 ;

−⋅⋅

⋅=⋅=Av

cm 27,3 ;cm 411,8 m2

m == DA

=88,48 bar

40 bar

=1160 bar

tabla 15

Resultados de PROPAGUAAgua (líquido y/o vapor): Propiedades de estados introducidos————————————————————————————est. título presión tempe- entalpía entropía volumen exergía absoluta ratura específica específica específico entálpica x p t h s v e bar °C kJ/kg kJ/kg K dm³/kg kJ/kg ———————————————————————————— 1 V 160,000 540,00 3410,30 6,44810 20,9280 1522,90 2 V 40,000 329,55 3042,81 6,50162 63,4448 1139,72 3 V 40,000 317,54 3010,85 6,44810 61,616 1123,45

x p t h s v e bar °C kJ/kg kJ/kg K dm³/kg kJ/kg———————————————————————————— 1 V 160,000 540,00 3410,30 6,44810 20,9280 1522,90 2 V 40,000 329,55 3042,81 6,50162 63,4448 1139,72

Velocidad final

m/s 2,85710)9,30423,3410(2)(2 3212 =⋅−⋅=−⋅= hhc

1045,632,85715 ; −⋅

Sección final

cm 76,3 ;cm 10,11 22

2 == DA

Longitud l

cm 80,25

2/)27,376,3()2/(

2/)()2/( o

m2 =−

==tgtg

blαα

x p t h s v e bar °C kJ/kg kJ/kg K dm³/kg kJ/kg———————————————————————————— 1 V 160,000 540,00 3410,30 6,44810 20,9280 1522,90 2 V 40,000 329,55 3042,81 6,50162 63,4448 1139,72

Exergía destruida

Eficiencia, o rendimiento exergético

Exergías del flujo

kJ/kg 9,152211 == ee f

kJ/kg 2,1507)8,30423,3410(7,1139)(2/ 2122222 =−+=−+=+= hhecee f

kJ/kg 7,152,15079,152221 =−=−= ffd eee

990,09,15222,1507

2 ===f

ψ (η = 920%)

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