introduccion al analisis matematico
Post on 19-Jul-2015
3.133 Views
Preview:
TRANSCRIPT
�� ������ ��� ������� ���
����������������
������� � �� � ������ �� ��� �� �� �������� � ������� ������� � �������� �� �������� � ��������������� �������������������� ��������������������� ��������������������� � ����� ����� � ������ ����
������� � ��� � ��� ��� � ������� ���� � ����������������� ������� � �������� � ���������������� ���� �� ��
������� � �� � ������ �� ����� �� ��� ������ �
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� �� �������� ��
������ ����������
��� �������� �� ���� ��� ��� ����� ��� ����� ��� �������� ��� ���� ��� �� ������
�������������� !"#$%�&��'&() &*+ $%�,�&��*(-$!�.$!�#"&�#"$!�&��'&�&+$.%�!&�-$��!"*/$#"(�&!�
&��.$!�0/&�#"&+*$!�) $'�"*/-&!�-&1&�-&��-&.�2$.(+�-&�(*+$!�� (+�#"*$+�$.'/�(!�&3&) 1.(!4�
&.�5+&$�-&�/��#/$-+$-(�-&1&�-&�-&�.$�.(�'"*/-�-&�!/�.$-(%�&.�&!1$#"(�+&#(++"-(�1(+�/��
) 62".�&��/��1&+"(-(�-&�*"&) 1(�-&1&�-&�-&�!/�2&.(#"-$-%�&.��7) &+(�-&�2&�*$!�-&�/��
1+(-/#*(�-&1&�-&�-&�!/�1+&#"(8�1&+(�.$�-&�"�"#"6��-&�/�$��/�#"6���(�!"&) 1+&�1(-+5�
�(+) /.$+!&�&��*9+) "�(!�-&�/�$�&:1+&!"6��$�$. *"#$��
��$� �/�#"6�� -&� �7) &+(!� +&$.&!� 2$� $� !&+� #"&+*$� +&'.$� 0/&� $!"'�&� $� #"&+*(!�
�7) &+(!� +&$.&!� #"&+*(!� �7) &+(!� +&$.&!�� � &#&!"*$) (!%� �(� (;!*$�*&%� /�$� -&�"�"#"6��
&�&#*"2$�-&��/�#"6���
�������������� �.$)$)(!� ���������� ������ �� ���� �� ��$�/�$�#(++&!1(�-&�#"$�&�*+&�
!/;#(�3/�*(!�-&��7)&+(!�+&$.&!%�-&��(+)$�0/&�$�#$-$��7)&+(�+&$.�.&�#(++&!1(�-$�/�(�
,�!6.(�/���7)&+(�+&$.��
��� ����� ��� � � �������4� &!� &.� #(�3/�*(� �⊂��� !(;+&� &.� 0/&� !&� $1."#$� .$�
#(++&!1(�-&�#"$��
�� �������� ����������&!�&.�#(�3/�*(�-&�2$.(+&!�$!(#"$-(!�$�.(!�-&�� �)&-"$�*&�
.$�#(++&!1(�-&�#"$��
$+$�-&!"'�$+�/�$��/�#"6��!&�/*"."<$�.$�.&*+$���=!&�1/&-&�&)1.&$+�#/$.0/"&+�(*+$>��
�.� �7)&+(� +&$.� 0/&� �� $!(#"$� $.� 2$.(+� ?:@� !&� .&� -&!"'�$� 1(+� ?�=:>@�� �"#A$� �/�#"6�� !&�
!");(."<$�1(+4��
f D IR IRx y f x
:( )
⊂ →→ =
�$);"9��!&�-"#&�0/&��,B�=:>�&!�/�$���������������������������� �������
�
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ �� ������������������
�$� 2"!/$."<$#"6�� '+5�"#$� -&� /�$� �/�#"6�� &!� -&� '+$�� ") 1(+*$�#"$� &�� -"2&+!$!�
#/&!*"(�&!%� &�*+&� (*+$!%� #() (� $,/-$� 1$+$� &��(#$+� ) &3(+� #"&+*(!� 1+(;.&) $!�
+&.$#"(�$-(!�#(��.$�-&*&+) "�$#"6��-&4�5+&$!%�2(.7) &�&!%�1/�*(!�&:*+&) (!%�&*#���
C(,�- $�!&�-"!1(�&�-&�(+-&�$-(+&!�,�-&�$1."#$#"(�&!�0/&��(!�&2"*$��&.�*&-"(!(�
*+$;$3(� -&� #(�!&'/"+� .$� 2"!/$."<$#"6�� -&� /�$� �/�#"6�%� !(;+&� *(-(� !"� 1+&*&�-&) (!�
&�&#*/$+.$�&��!/!�-") &�!"(�&!�&:$#*$!��
$+$�.$�+&1+&!&�*$#"6��'+5�"#$�-&�/�$��/�#"6��&:1. #"*$�/*"."<$+&) (!�/��!"!*&) $�
-&� &3&!� #((+-&�$-(!� +&#*$�'/.$+&!� ;"-") &�!"(�$.� � D��� �$� +&1+&!&�*$#"6�� -&� .(!�
1/�*(!�=:%�=:>>�#(�!*"*/,&�.$��������-&�.$��/�#"6������
x
y
�x,f�x��
�
Figura 1.1. Gráfica de una función explícita
� ������� ������ � � !�"� � #$�� � % & � '(��!�� !� �� ��� )*"' � )$� %$ &! &�� �)� $' �
+$'%*,'�%$-��&��*'*���)����%�'�$'.��&��.�&�)���)�'(��!�)�!� ��)�-�%$- �*� "�'�
)�'���)�'(��!�)�!� ��)���)*.*/�)���
�"��&);$+'(�.$�.&,�-&�"�"-$�1(+4�
f IR IRx y y x
: +→ =
→ t.q. 2 �
��������������1(+0/&�.$�")$'&��-&�#$-$�?:@��(�&!�7�"#$���&'7��&!$�.&,�.$!�")5'&�&!�
-&�:B��!&+ $��,B��&�,BE����
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ �������� �� ��� ��������� �� ������������ �������������
� ������������� ���
�$!�")5'&�&!�-&�/�$��/�#"6���(�*"&�&��1(+0/9�2&�"+�-$-$!�$�*+$29!�-&�/�$�.&,�
)$*&)5*"#$�#(�#+&*$���! %�1(+�&3&)1.(%�.$�!"'/"&�*&�*$;.$%�(;*&�"-$�-&��������������%�
0/&�+&1+&!&�*$�.$!�) &-"#"(�&!�-&�*&) 1&+$*/+$�-&�/��-&16!"*(�&��-"�&+&�*&!�"�!*$�*&!�
-&�*"&) 1(%�&!�/�$��/�#"6��+&$.�-&�2$+"$;.&�+&$.��
tiempo Temperatura
1 272 303 294 28
Tabla 1.1. Función definida de forma empírica
2 3 4tiempo
27
28
29
30
31Temperatura
Figura 1.2. Gráfica de la poligonal que une dichos puntos
� ��������������� � ����������
�$) ;"9��.$�.&,�-&�"�"-$�1$+$�*(-(!�.(!��7) &+(!�+&$.&!�1(+4�
f x
x x
x x
x x
( ) =− ≤
<
≥
�
��
��
1 01
1
2
2
si si 0 <
si
�
&!� /�$� �/�#"6�� 1/&!*(� 0/&� $� #$-$� �7) &+(� +&$.� .&� A$#&� #(++&!1(�-&+� /�(� ,� !6.(� /��
�7) &+(�+&$.��
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
�2 �1 1 2
�3
�2
�1
1
2
3
4
y 1�1�x2y 2� x
y 3� x2
�
Figura 1.3. Gráfica de una función definida a trozos
� ����������� ���� �����
�$��/�#"6��-&�"�"-$�1(+4�
22 1 0( ) ....n
nP x a x a x a x a= + + + +
&!� /�$� �������� ��������� � -&� '+$-(� ��� ��$� �/�#"6�� +$#"(�$.� &!� /�$� �/�#"6���
( )( ) ( )P xf x Q x= �-(�-&� ( ) y Q( )P x x !(��1(."�() "(!��
� � �����������������
�$�+&#*$�-&�&#/$#"6�����,�B�#�:�F�;���&!�/��1(."�() "(�-&�'+$-(����
� /$�-(�#BG%�.$�+&#*$�&!�A(+"<(�*$.�=,B;>��/$�-(�#B�%�.$�+&#*$�&!�2&+*"#$.�=:B$>��
�3 �2 �1 1 2 3x
�1
1
2
3y
y� b
x � a
Figura 1.4. Gráfica de rectas horizontales y verticales
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� /$�-(�;BG%�.$!�+&#*$!�(;."#/$!�1$!$��1(+�&.�1/�*(�=G%G>��
�3 �2 �1 1 2 3x
�3
�2
�1
1
2
3
y
c�1#���
� # �� �
� # �� 1
Figura 1.5. Gráfica de las rectas y=c x
� /$�-(�;HG%�.(!�1/�*(!�-&�#(+*&�#(��.(!�&3&!��!&+5���=G%;>�,�=E;I#%G>���"�&.�2$.(+�-&�#�
&!� &.� ) "!) (%� .$!� +&#*$!� !(�� 1$+$.&.$!� =#/$�-(� &!� (1/&!*(� !(�� 1&+1&�-"#/.$+&!>��
�4 �2 2 4x
�2
2
4
6
8
10
12y
c�2
c��2
b�1
b�10
�
Figura 1.6. Gráfica de rectas oblicuas con la misma pendiente
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �"�&.�2$.(+�-&�;�&!�&.�) "!) (%�.$!�+&#*$!�(;."#/$!�!&�#(+*$��&��&.�&3&�� ���
�4 �2 2 4x
�4
�2
2
4
6y
c � 0
c � 0
b�2
Figura 1.7. Gráfica de rectas oblicuas, con el mismo punto de corte
� ����������
� (��29+*"#&�&��&.�(+"'&��,�!") 9*+"#$!�+&!1&#*(�-&.�&3&�� ��4�,B$�:��
x
y
�1�a �0
a��1
a�1
0� a �1
a �1
a��1
Figura 1.8. Gráfica de las parábolas y =a x2
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� (��29+*"#&�&��&.�(+"'&��,�!") 9*+"#$!�+&!1&#*(�-&.�&3&�� D�4�:B$�,��
�4 �2 2 4x
�3
�2
�1
1
2
3
y
�1� a �0
a��1 a�1
0� a� 1
a �1a ��1
Figura 1.9. Gráfica de las parábolas x =a y2
�2 �1 1 2x
�2
�1
1
2
y
y�a x2y��a x2
x��a y2 x�a y2
Figura 1.10. Gráfica de las parábolas con vértice en el origen
������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �&!1.$<$-$!�-&.�(+"'&�4�,B$�:���F�1��6���:B$�,
��F�1�
�4 �2 0 2 4�4
�2
0
2
4y � a � x2
�4 �2 0 2 4�4
�2
0
2
4y � a � x2
�4 �2 0 2 4�4
�2
0
2
4x � a� y 2
�4 �2 0 2 4�4
�2
0
2
4x � a� y 2
Figura 1.11. Gráfica de parábolas desplazadas del origen.
�4 �2 2 4x
�4
�2
2
4
y
Figura 1.12. Vista conjunta de las parábolas desplazadas del origen.
������������ ���������� ����� � � �� �� �� � ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� � �������������������
� �$��/�#"6�� (*&�#"$.�#(��&:1(�&�*&�1(!"*"2(��&!�-&�.$��(+) $� ny x= �
x
y
y�x
y�x3y�x9
y�x2
y�x6y�x10
n par
n impar
Figura 1.13. Gráfica Función Potencial con exponente positivo
� �$��/�#"6�� (*&�#"$.�#(��&:1(�&�*&�1(!"*"2(��&!�-&�.$��(+) $� 1( - )nyx a
= �
y�1
�x� a�y�1
�x�a�9
y�1
�x� a�2
y�1
�x� a�10n par
n impar
x�a
y�0
Figura 1.14. Gráfica Función Potencial con exponente negativo�
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� ���������������� ��������������� ����� ��
� � ����������������������������
� �$��/�#"6��&:1(�&�#"$.�� xy a= &!�!"&) 1+&�1(!"*"2$�
�2 �1 0 1 2
1
2
31
4
x1
2
x
1x
2x4x
Figura 1.15. Gráfica de Funciones exponenciales:
� � ���������������������������
� �$��/�#"6��.('$+ *) "#$ logay x= ���(�&:"!*&�1$+$�.(!��7) &+(!�+&$.&!��&'$*"2(!
a�1
a�1y�loga x
1 2 3 4
�4
�2
2
4
Figura 1.15. Gráfica de funciones logarítmicas
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� � ����������������������������� ���� ( )f xy e= ��
� �/�#"(�&!�&:1(�&�#"$.&!�-&�"�"-$!�&�� 0x = �
y��x y���x
y���x2
x�0
Figura 1.16. Gráfica de algunas funciones exponenciales
� �/�#"(�&!�&:1(�&�#"$.&!��(�-&�"�"-$!�&�� 0x = �
y���1x y��
1x
y�1
�10 �5 5 10
2
4
6
8
10
Figura 1.17. Gráfica de algunas funciones exponenciales
������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� ����������������� ���
� � ����������������������������������
�
2�
3 �
22 �
5 �
23 �
�1
�0.5
0.5
1������� ��� �
������� � �
Figura 1.18. Gráficas de las funciones Sin x y Cos x
�� ��
20 �
2�
3 �
22 �
�4
�3
�2
�1
1
2
3
4
������� � � � ������� � �
Figura 1.19. Gráficas de la función tangente y de la cotangente
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� ������������������������������������ ������������������������
� �&!1.$<$)"&�*(!�!(;+&�&.�&3&��D4�#/$�-(�$.�5�'/.(�!&�.&�!/)$�/�$�#(�!*$�*&���
Sin x
Sin����
2�
�2 � �� � 2 �
�1.0
�0.5
0.5
1.0
Figura 1.20. Gráfica de funciones: sen(x+a)
� �&!1.$<$)"&�*(!�!(;+&�&.�&3&���4�#/$�-(�$�.$��/�#"6��!&�.&�!/)$�/�$�#(�!*$�*&�
�2 � �3 �
2�� �
�
2�
2�
3 �
22 �
�2
�1
1
2
cos x
a �cos x
�a �cos x
Figura 1.21. Gráfica de funciones cos y a x= +
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �"�)/.*"1."#$)(!�.$��/�#"6��1(+�/�$�#(�!*$�*&�$J��.$�.(�'"*/-�-&�(�-$�!&�$)1."�"#$�
=#/$�-(� $K�%� .$� .(�'"*/-� -&� (�-$� !&� +&-/#&>%� 1&+(� .$� �+&#/&�#"$� 1&+)$�&#&�
"�2$+"$�*&��
Cosx
2 Cos�
Cos�
2��
2�
2�
3 �
22 �
�2
�1
1
2
Figura 1.22. Gráfica de funciones cosa x
� �"� )/.*"1."#$)(!� &.� 5�'/.(� 1(+� /�$� #(�!*$�*&� .$� �+&#/&�#"$� ="�&�� &.� 1&+"(-(>� !&�
)/.*"1."#$�1(+�.$�#(�!*$�*&%�1&+(�.$�.(�'"*/-�-&�(�-$�&!�.$�)"!)$��
Sin x
Sin 2x
Sin 3x
�� ��
2�
2�
�1.0
�0.5
0.5
1.0
Figura 1.23. Gráfica de funciones sen ax
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ � ����������������������
����������� ��� �&$�� : f A ⊂ →� � ,� : g B ⊂ →� � � -(!� �/�#"(�&!� +&$.&!� -&�
2$+"$;.&�+&$.���&�1/&-&��-&�"�"+�.$!�!"'/"&�*&!��/�#"(�&!4�
����������� �-&�"�"-$�1(+�=�F'>=:>B�=:>F'=:>8��() =�F'>B�∩��
������������ �-&�"�"-$�1(+�=�E'>=:>B�=:>E'=:>8��() =�E'>B�∩��
�����������������-&�"�"-$�1(+�=��'>=:>B�=:>�'=:>8��() =��'>B�∩��
�����������������-&�"�"-$�1(+�=�I'>=:>B�=:>I'=:>8��() =�I'>B�∩�EL:∈��*�0��'=:>≠GM�
��� ��������������������-&�"�"-$�1(+�='(�>=:>B'N�=:>]8��() ='(�>�BL:∈��*�0���=:>∈�M��
�$!�#/$*+(�1+") &+$!�(1&+$#"(�&!�!(��.$!�-&�() "�$-$!�(1&+$#"(�&!�$.'&;+$"#$!�
,� *"&�&�� .$!� ) "!) $!� 1+(1"&-$-&!� 0/&� .$� !/) $� ,� &.� 1+(-/#*(� -&� �7) &+(!� +&$.&!�
=$!(#"$*"2$%�#(�) /*$*"2$%�-"!*+";/*"2$�-&�/�$�+&!1&#*(�-&�.$�(*+$%�&*#�>���$�#() 1(!"#"6��
-&��/�#"(�&!��(�'(<$�-&�$.'/�$!�-&�&!*$!�1+(1"&-$-&!8�1(+�&3&) 1.(�.$�#(�) /*$*"2$��
���� ��� ��� � ��� �� ��
������ ����������������
��$��/�#"6��1/&-&�*() $+�&.�) "!) (�2$.(+�&��-"�&+&�*&!�1/�*(!�-&�!/�-() "�"(��
�$!� �/�#"(�&!� 1$+$� .$!� 0/&� 2$.(+&!� -"�&+&�*&!� �(� 1/&-&�� *&�&+� .$� ) "!) $� ") $'&�� !&�
..$) $��"�,&#*"2$!��
����������� ����$��/�#"6�� : f D ⊂ →� � &!���!����� �
�⇔ ≠ � ≠x x f x f x1 2 1 2( ) ( ) �=⇔ = � =f x f x x x( ) ( )1 2 1 2 >�
� ��������������$��/�#"6���=:>B:�%�*() $�&.�) "!) (�2$.(+�*$�*(�&��:B#�#() (�&���:BE#%�
1(+�*$�*(���������!����� ��
�.'(�1$+&#"-(�1$!$�#(��.$��/�#"6�4�
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
( ) ( -3)( -5) f x x x=
*() $�&.�2$.(+�G��(�!6.(�1$+$�:B��!"�(�*$) ;"9��&��:BO���
�$��/�#"6��,B�=:>B:������ ��������!*5�#.$+(�0/&�&!�7�"#(�&.��7) &+(�#/,(�#/;(�&!�
P8�!"��&) ;$+'(��(�&!�7�"#(�&.��7) &+(�#/,(�#/$-+$-(�!&$�Q��
�!*(� �(!� "�-/#&� $� 1+&'/�*$+�(!� !"%� #(�(#"-$� .$� ") $'&�� -&� .$� �/�#"6��
:f A B⊂ → ⊂� � %�&!�1(!";.&�&�#(�*+$+�/�$��/�#"6�� :g B A⊂ → ⊂� � �,�-&�"�"-$�
!(;+&�.$�") $'&��-&���,�*�0���� ���� ���� ���&!�-&#"+�g f x x x A( ( )) = ,∀ ∈ ��
�$�+&!1/&!*$�&!�#.$+$�-&!1/9!�-&�2&+�.(!�&3&) 1.(!�$�*&+"(+&!8�'�!&+5��/�#"6��!""�
.$��/�#"6����&!�"�,&#*"2$%�!6.(�$! �!&�'$+$�*"<$�0/&�.$�") $'&��-&�,�) &-"$�*&�'�!&$�7�"#$��
������ �������������������������
"����� � �� �"� :f A B⊂ → ⊂� � &!� "�,&#*"2$� &�*(�#&!� &:"!*&� /�$� �/�#"6��
g B IR A IR: ⊂ → ⊂ *�0��g f x x x A( ( )) = ,∀ ∈ ���
�� .$� �/�#"6�� '� !&� .$�-&�() "�$� �������� ������� ��� �� � ,� !&� -&�(*$� 1(+� -1f �� �$�
�/�#"6��"�2&+!$�2&+"�"#$4�
-1 -1( ( ) ( )( ) f f x f f x x= =�
�$� '+5�"#$� -&� /�$� �/�#"6�� ,� .$� -&� !/� "�2&+!$� !(�� !") 9*+"#$!� +&!1&#*(� -&� .$�
;"!&#*+"<�,B:��
x
y
f�x�y�x
f �1�x�
�
Figura 1.24. Gráfica de una función y su inversa
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ ���� ����
� ��������������$� �/�#"6�� xy e= � &!� "�,&#*"2$%�,$�0/&�&!*5�-&�"�"-$�1$+$� #/$.0/"&+�
�7) &+(� +&$.� ,� 0/&� !6.(� *() $� 2$.(+&!� 1(!"*"2(!%� 1(+� *$�*(� *"&�&� "�2&+!$� lny x= %�
0/&� !(.(� &:"!*&� 1$+$� .(!� +&$.&!� 1(!"*"2(!� ,� *"&�&� #() (� ") $'&�� #/$.0/"&+� �7) &+(�
+&$.��
1 �x
1
�
y
y��xy�x
y�Lnx
Figura 1.25. Función Exponencial y su inversa
� ���������0����$��/�#"6��,B�=:>B:���(�*"&�&�"�2&+!$�1+(1"$) &�*&�-"#A$��
� 2 �1 1 2
� 2
�1
1
2y�x2
y�x
y� x
y�� x
Figura 1.26. Gráfica de la función 2y x= y sus inversas
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
�"� +&!*+"�'") (!� &.� -() "�"(� -&� �� $� .(!� +&$.&!� 1(!"*"2(!� .$� �/�#"6�� y x1 = � � &!� .$�
"�2&+!$�-&��8�1(+�(*+$�1$+*&�!"�+&!*+"�'") (!�&.�-() "�"(�-&���$�.(!�+&$.&!��&'$*"2(!�
&�*(�#&!�.$��/�#"6�� y x2 = − �&!�*$) ;"9��"�2&+!$�-&�������&!*&�#$!(%�$�.$�"�2&+!$�-&�
�%� 0/&� �(� &:"!*&� &�� &.� !&�*"-(� &!*+"#*(%� &!� -&#"+� y x1 = � &� y x2 = − � !(���
�����������-&����
� ���������1��� �$!� �/�#"(�&!� 1&+"6-"#$!� !(�� &3&) 1.(!� -&� �/�#"(�&!� #/,$!� "�2&+!$!�
!(���/�#"(�&!�0/&�1/&-&��*&�&+�) 5!�-&�/�$��������������
�"� (;!&+2$) (!� .$� '+5�"#$� -&� .$� �/�#"6� cosy x= %� =�"'/+$� ���R>� !$#$) (!� .$!�
!"'/"&�*&!�#(�#./!"(�&!4�
�2 � �3 �
2�� �
�
2�
2�
3 �
22 �
�1
�0.5
0.5
1
y�cosx
Figura 1.27. Gráfica de la función coseno
� ��$�") $'&��-&� cosy x= �&!*5�&��&.�"�*&+2$.(�NE�%�S�0/&�!&+5�&.�-() "�"(�-&�.$��/�#"6��
"�2&+!$��
� �$��/�#"6���(�&!�"�,&#*"2$%�1(+�*$�*(%��(�&:"!*&�"�2&+!$�1+(1"$) &�*&�-"#A$����.�7�"#(�
"�*&+2$.(�&��&.�0/&��(�!&�+&1"*&��.$!�") 5'&�&!�&!�&��NG%��S%��0/&�!&+5�.$�")$'&��-&�.$�
�/�#"6��� arccos y x= ��
� � (-+ $�A$;&+�)5!�-&�/�$�"�2&+!$�1/&!*(�0/&� cos cos(- )x x= ��
� ?� ��C�� ����@� �(!� &�2 $� /�� )&�!$3&� #/$�-(� !&� /*"."<$�� �/�#"(�&!� "�2&+!$!�
$2"!$�-(�-&�0/&�!&�1(-+ $��1&+-&+�!(./#"(�&!���"�0/&+&)(!�!$;&+�TU /9�2$.(+&!�-&.�
5�'/.(�&��NE��%��S�*"&�&��1(+�#(!&�(�V %�.$�+&!1/&!*$�!&+ $�
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
�(.2&N�N:SBB�I�%:S�
�
Solve ::ifun � : �Inverse functions are being used by Solve , so some
solutions may not be found ; use Reduce for complete solution information . More… �
���x� �
�
3�, �x�
�
3��
�
)"&�*+$!�0/&�&��.$�'+5�"#$�!&�(;!&+2$��#/$*+(�1(!";.&!�2$.(+&!����
�� �1��
2�
21 �
��
��
2
�1
1
�
2
�
y � cosx y � cos x
y � x
y � arccos x
y � � arccos x
�
Figura 1.28. Gráfica de la función y = cos x y sus inversas
������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� ��� ������2����"� (;!&+2$)(!� .$� �"'/+$� ���Q%� 2&+&)(!� 0/&� .$� �/�#"6� seny x= � � &!�
"�,&#*"2$�&��&.�"�*&+2$.(�[- / 2, / 2]π π %�0/&�!&+5�-(�-&�&:"!*&�!/�"�2&+!$��
��
2�1 �
�
4�0.5 0.5 �
41 �
2
��
2
�1
��
4
�0.5
0.5
�
4
1
�
2
y � sen x
y � x
y � arcsen x
�
Figura 1.29. Gráfica de la función y=sen x y su inversa y = arcsen x
� �"� (;!&+2$)(!� .$� �"'/+$� ���G%� .$� �/�#"6�� ,� B*'� :� � &!� "�,&#*"2$� &�� &.� "�*&+2$.(�
[- / 2, / 2]π π %�0/&�!&+5�-(�-&�&:"!*$�!/�"�2&+!$%�
x
y
y � tg x y � x
y � arctg x
��
2
�
2
��
2
�
2
�
Figura 1.30. Gráfica de la función y=tg x y su inversa y = arctg x
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� �� ��� ������ ��
�:"!*&�� 2$+"$!� �$) "."$!� -&� #/+2$!%� 0/&� $1$+&#&�� �+&#/&�*&) &�*&� &�� .$!�
$1."#$#"(�&!�-&.�5.#/.(%�0/&��(� !&�#(++&!1(�-&��&:$#*$) &�*&�#(��.$�'+5�"#$�-&�/�$�
�/�#"6��-&�/�$�2$+"$;.&�1&+(�0/&%�;$3(�#"&+*$!�#(�-"#"(�&!%�!"�1/&-&��!&+�#(�!"-&+$-$!�
#() (�*$.&!��
(+�&3&) 1.(%�.$�&#/$#"6�� x y2 2 1+ = %�0/&�&!�.$�&#/$#"6��-&�.$�#"+#/��&+&�#"$�-&�
#&�*+(�=G%G>�,�+$-"(��%��(�!&�#(++&!1(�-&%�&:$#*$) &�*&�#(��.$�'+5�"#$�-&�/�$��/�#"6��-&�
/�$�2$+"$;.&�� &+(�!"��(!�.") "*$) (!�$�.$�+&'"6�� y > 0 %�$0/ �!"�0/&�!&�#/) 1.&�0/&�1$+$�
#$-$�?:@�A$,�/��7�"#(�?,@�*$.�0/&�&.�1$+�=:%,>�&!�!(./#"6��-&�-"#A$�&#/$#"6����!�-&#"+%�&��
&.� #(�3/�*(� { }D x y IR y= ∈ >( , ) 2 0 t.q. � .$� &#/$#"6�� x y2 2 1+ = � -&�"�&� $� ?!3� #()(�
�/�#"6��")1. #"*$�-&�#$%8�&!�-&#"+%�1$+$�#$-$�$�A$,�/��7�"#(�!�0/&�!$*"!�$#&�.$�&#/$#"6���
� ��� ������������
� �$� &#/$#"6�� -&� /�$� #"+#/��&+&�#"$� -&� #&�*+(� =$%;>� ,� +$-"(� +� 2"&�&� -$-$� 1(+�
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = �� � �$� �(+)$� )5!� '&�&+$.� -&� &!#+";"+� .$� &#/$#"6�� -&� /�$�
#"+#/��&+&�#"$�!&+ $� 2 2 0ax ay bx cy d+ + + + = ��
�3 �2 �1 1 2 3
�3
�2
�1
1
2
3
Figura 1.31. Familia de circunferencias concéntricas.
������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
y
Figura 1.32. Familia de circunferencias con el mismo radio.
� ���������
� �$�&#/$#"6��-&�/�$�&."1!&�#&�*+$-$�&��&.�(+"'&��,�-&�!&) "&3&!�$�,�;�2"&�&�-$-$�1(+�
2 2
2 2 1x y
a b+ = �� � �(!� 1/�*(!� -&� #(+*&� #(�� .(!� &3&!� � D� ,� � �� !&+5�� =$%G>� ,� =G%;>%�
+&!1&#*"2$) &�*&��/$�-(�$B;�.$�&."1!&�!&�#(�2"&+*&�&��/�$�#"+#/��&+&�#"$�
�4 �2 2 4x
�4
�2
2
4
y
a�b
a�b
a�b
Figura 1.33. Familia de elipses.
������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �����������
� ��$�A"19+;(.$�*"&�&�1(+�&#/$#"6�� 2 2 2y b x c− = ���&+5�!") 9*+"#$�+&!1&#*(�-&�$) ;(!�
&3&!� ,� #(�� $! �*(*$!� y b x= ± �� �� .$!� A"19+;(.$!� -&� &#/$#"6�� x y b= %� !&� .$!�
-&�() "�$�A"19+;(.$!�&0/".5*&+$!�,�*"&�&��1(+�$! �*(*$!� 0 e 0x y= = ����
�4 �2 2 4x
�4
�2
2
4
y
y2�x2
�1
x2�y2
�1
xy��1xy�1
Figura 1.34. Gráfica de algunas hipérbolas
top related