introduccion al analisis matematico

24

Upload: junior22x

Post on 19-Jul-2015

3.132 views

Category:

Business


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: Introduccion al analisis matematico

�� ������ ��� ������� ���

����������������

������� � �� � ������ �� ��� �� �� �������� � ������� ������� � �������� �� �������� � ��������������� �������������������� ��������������������� ��������������������� � ����� ����� � ������ ����

������� � ��� � ��� ��� � ������� ���� � ����������������� ������� � �������� � ���������������� ���� �� ��

������� � �� � ������ �� ����� �� ��� ������ �

Page 2: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� �� �������� ��

������ ����������

��� �������� �� ���� ��� ��� ����� ��� ����� ��� �������� ��� ���� ��� �� ������

�������������� !"#$%�&��'&() &*+ $%�,�&��*(-$!�.$!�#"&�#"$!�&��'&�&+$.%�!&�-$��!"*/$#"(�&!�

&��.$!�0/&�#"&+*$!�) $'�"*/-&!�-&1&�-&��-&.�2$.(+�-&�(*+$!�� (+�#"*$+�$.'/�(!�&3&) 1.(!4�

&.�5+&$�-&�/��#/$-+$-(�-&1&�-&�-&�.$�.(�'"*/-�-&�!/�.$-(%�&.�&!1$#"(�+&#(++"-(�1(+�/��

) 62".�&��/��1&+"(-(�-&�*"&) 1(�-&1&�-&�-&�!/�2&.(#"-$-%�&.��7) &+(�-&�2&�*$!�-&�/��

1+(-/#*(�-&1&�-&�-&�!/�1+&#"(8�1&+(�.$�-&�"�"#"6��-&�/�$��/�#"6���(�!"&) 1+&�1(-+5�

�(+) /.$+!&�&��*9+) "�(!�-&�/�$�&:1+&!"6��$�$. *"#$��

��$� �/�#"6�� -&� �7) &+(!� +&$.&!� 2$� $� !&+� #"&+*$� +&'.$� 0/&� $!"'�&� $� #"&+*(!�

�7) &+(!� +&$.&!� #"&+*(!� �7) &+(!� +&$.&!�� � &#&!"*$) (!%� �(� (;!*$�*&%� /�$� -&�"�"#"6��

&�&#*"2$�-&��/�#"6���

�������������� �.$)$)(!� ���������� ������ �� ���� �� ��$�/�$�#(++&!1(�-&�#"$�&�*+&�

!/;#(�3/�*(!�-&��7)&+(!�+&$.&!%�-&��(+)$�0/&�$�#$-$��7)&+(�+&$.�.&�#(++&!1(�-$�/�(�

,�!6.(�/���7)&+(�+&$.��

��� ����� ��� � � �������4� &!� &.� #(�3/�*(� �⊂��� !(;+&� &.� 0/&� !&� $1."#$� .$�

#(++&!1(�-&�#"$��

�� �������� ����������&!�&.�#(�3/�*(�-&�2$.(+&!�$!(#"$-(!�$�.(!�-&�� �)&-"$�*&�

.$�#(++&!1(�-&�#"$��

$+$�-&!"'�$+�/�$��/�#"6��!&�/*"."<$�.$�.&*+$���=!&�1/&-&�&)1.&$+�#/$.0/"&+�(*+$>��

�.� �7)&+(� +&$.� 0/&� �� $!(#"$� $.� 2$.(+� ?:@� !&� .&� -&!"'�$� 1(+� ?�=:>@�� �"#A$� �/�#"6�� !&�

!");(."<$�1(+4��

f D IR IRx y f x

:( )

⊂ →→ =

�$);"9��!&�-"#&�0/&��,B�=:>�&!�/�$���������������������������� �������

Page 3: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ �� ������������������

�$� 2"!/$."<$#"6�� '+5�"#$� -&� /�$� �/�#"6�� &!� -&� '+$�� ") 1(+*$�#"$� &�� -"2&+!$!�

#/&!*"(�&!%� &�*+&� (*+$!%� #() (� $,/-$� 1$+$� &��(#$+� ) &3(+� #"&+*(!� 1+(;.&) $!�

+&.$#"(�$-(!�#(��.$�-&*&+) "�$#"6��-&4�5+&$!%�2(.7) &�&!%�1/�*(!�&:*+&) (!%�&*#���

C(,�- $�!&�-"!1(�&�-&�(+-&�$-(+&!�,�-&�$1."#$#"(�&!�0/&��(!�&2"*$��&.�*&-"(!(�

*+$;$3(� -&� #(�!&'/"+� .$� 2"!/$."<$#"6�� -&� /�$� �/�#"6�%� !(;+&� *(-(� !"� 1+&*&�-&) (!�

&�&#*/$+.$�&��!/!�-") &�!"(�&!�&:$#*$!��

$+$�.$�+&1+&!&�*$#"6��'+5�"#$�-&�/�$��/�#"6��&:1. #"*$�/*"."<$+&) (!�/��!"!*&) $�

-&� &3&!� #((+-&�$-(!� +&#*$�'/.$+&!� ;"-") &�!"(�$.� � D��� �$� +&1+&!&�*$#"6�� -&� .(!�

1/�*(!�=:%�=:>>�#(�!*"*/,&�.$��������-&�.$��/�#"6������

x

y

�x,f�x��

Figura 1.1. Gráfica de una función explícita

� ������� ������ � � !�"� � #$�� � % & � '(��!�� !� �� ��� )*"' � )$� %$ &! &�� �)� $' �

+$'%*,'�%$-��&��*'*���)����%�'�$'.��&��.�&�)���)�'(��!�)�!� ��)�-�%$- �*� "�'�

)�'���)�'(��!�)�!� ��)���)*.*/�)���

�"��&);$+'(�.$�.&,�-&�"�"-$�1(+4�

f IR IRx y y x

: +→ =

→ t.q. 2 �

��������������1(+0/&�.$�")$'&��-&�#$-$�?:@��(�&!�7�"#$���&'7��&!$�.&,�.$!�")5'&�&!�

-&�:B��!&+ $��,B��&�,BE����

Page 4: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ �������� �� ��� ��������� �� ������������ �������������

� ������������� ���

�$!�")5'&�&!�-&�/�$��/�#"6���(�*"&�&��1(+0/9�2&�"+�-$-$!�$�*+$29!�-&�/�$�.&,�

)$*&)5*"#$�#(�#+&*$���! %�1(+�&3&)1.(%�.$�!"'/"&�*&�*$;.$%�(;*&�"-$�-&��������������%�

0/&�+&1+&!&�*$�.$!�) &-"#"(�&!�-&�*&) 1&+$*/+$�-&�/��-&16!"*(�&��-"�&+&�*&!�"�!*$�*&!�

-&�*"&) 1(%�&!�/�$��/�#"6��+&$.�-&�2$+"$;.&�+&$.��

tiempo Temperatura

1 272 303 294 28

Tabla 1.1. Función definida de forma empírica

2 3 4tiempo

27

28

29

30

31Temperatura

Figura 1.2. Gráfica de la poligonal que une dichos puntos

� ��������������� � ����������

�$) ;"9��.$�.&,�-&�"�"-$�1$+$�*(-(!�.(!��7) &+(!�+&$.&!�1(+4�

f x

x x

x x

x x

( ) =− ≤

<

��

��

1 01

1

2

2

si si 0 <

si

&!� /�$� �/�#"6�� 1/&!*(� 0/&� $� #$-$� �7) &+(� +&$.� .&� A$#&� #(++&!1(�-&+� /�(� ,� !6.(� /��

�7) &+(�+&$.��

Page 5: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�2 �1 1 2

�3

�2

�1

1

2

3

4

y 1�1�x2y 2� x

y 3� x2

Figura 1.3. Gráfica de una función definida a trozos

� ����������� ���� �����

�$��/�#"6��-&�"�"-$�1(+4�

22 1 0( ) ....n

nP x a x a x a x a= + + + +

&!� /�$� �������� ��������� � -&� '+$-(� ��� ��$� �/�#"6�� +$#"(�$.� &!� /�$� �/�#"6���

( )( ) ( )P xf x Q x= �-(�-&� ( ) y Q( )P x x !(��1(."�() "(!��

� � �����������������

�$�+&#*$�-&�&#/$#"6�����,�B�#�:�F�;���&!�/��1(."�() "(�-&�'+$-(����

� /$�-(�#BG%�.$�+&#*$�&!�A(+"<(�*$.�=,B;>��/$�-(�#B�%�.$�+&#*$�&!�2&+*"#$.�=:B$>��

�3 �2 �1 1 2 3x

�1

1

2

3y

y� b

x � a

Figura 1.4. Gráfica de rectas horizontales y verticales

Page 6: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� /$�-(�;BG%�.$!�+&#*$!�(;."#/$!�1$!$��1(+�&.�1/�*(�=G%G>��

�3 �2 �1 1 2 3x

�3

�2

�1

1

2

3

y

c�1#���

� # �� �

� # �� 1

Figura 1.5. Gráfica de las rectas y=c x

� /$�-(�;HG%�.(!�1/�*(!�-&�#(+*&�#(��.(!�&3&!��!&+5���=G%;>�,�=E;I#%G>���"�&.�2$.(+�-&�#�

&!� &.� ) "!) (%� .$!� +&#*$!� !(�� 1$+$.&.$!� =#/$�-(� &!� (1/&!*(� !(�� 1&+1&�-"#/.$+&!>��

�4 �2 2 4x

�2

2

4

6

8

10

12y

c�2

c��2

b�1

b�10

Figura 1.6. Gráfica de rectas oblicuas con la misma pendiente

Page 7: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �"�&.�2$.(+�-&�;�&!�&.�) "!) (%�.$!�+&#*$!�(;."#/$!�!&�#(+*$��&��&.�&3&�� ���

�4 �2 2 4x

�4

�2

2

4

6y

c � 0

c � 0

b�2

Figura 1.7. Gráfica de rectas oblicuas, con el mismo punto de corte

� ����������

� (��29+*"#&�&��&.�(+"'&��,�!") 9*+"#$!�+&!1&#*(�-&.�&3&�� ��4�,B$�:��

x

y

�1�a �0

a��1

a�1

0� a �1

a �1

a��1

Figura 1.8. Gráfica de las parábolas y =a x2

Page 8: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� (��29+*"#&�&��&.�(+"'&��,�!") 9*+"#$!�+&!1&#*(�-&.�&3&�� D�4�:B$�,��

�4 �2 2 4x

�3

�2

�1

1

2

3

y

�1� a �0

a��1 a�1

0� a� 1

a �1a ��1

Figura 1.9. Gráfica de las parábolas x =a y2

�2 �1 1 2x

�2

�1

1

2

y

y�a x2y��a x2

x��a y2 x�a y2

Figura 1.10. Gráfica de las parábolas con vértice en el origen

Page 9: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ��������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �&!1.$<$-$!�-&.�(+"'&�4�,B$�:���F�1��6���:B$�,

��F�1�

�4 �2 0 2 4�4

�2

0

2

4y � a � x2

�4 �2 0 2 4�4

�2

0

2

4y � a � x2

�4 �2 0 2 4�4

�2

0

2

4x � a� y 2

�4 �2 0 2 4�4

�2

0

2

4x � a� y 2

Figura 1.11. Gráfica de parábolas desplazadas del origen.

�4 �2 2 4x

�4

�2

2

4

y

Figura 1.12. Vista conjunta de las parábolas desplazadas del origen.

Page 10: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � � �� �� �� � ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� � �������������������

� �$��/�#"6�� (*&�#"$.�#(��&:1(�&�*&�1(!"*"2(��&!�-&�.$��(+) $� ny x= �

x

y

y�x

y�x3y�x9

y�x2

y�x6y�x10

n par

n impar

Figura 1.13. Gráfica Función Potencial con exponente positivo

� �$��/�#"6�� (*&�#"$.�#(��&:1(�&�*&�1(!"*"2(��&!�-&�.$��(+) $� 1( - )nyx a

= �

y�1

�x� a�y�1

�x�a�9

y�1

�x� a�2

y�1

�x� a�10n par

n impar

x�a

y�0

Figura 1.14. Gráfica Función Potencial con exponente negativo�

Page 11: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� ���������������� ��������������� ����� ��

� � ����������������������������

� �$��/�#"6��&:1(�&�#"$.�� xy a= &!�!"&) 1+&�1(!"*"2$�

�2 �1 0 1 2

1

2

31

4

x1

2

x

1x

2x4x

Figura 1.15. Gráfica de Funciones exponenciales:

� � ���������������������������

� �$��/�#"6��.('$+ *) "#$ logay x= ���(�&:"!*&�1$+$�.(!��7) &+(!�+&$.&!��&'$*"2(!

a�1

a�1y�loga x

1 2 3 4

�4

�2

2

4

Figura 1.15. Gráfica de funciones logarítmicas

Page 12: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� � ����������������������������� ���� ( )f xy e= ��

� �/�#"(�&!�&:1(�&�#"$.&!�-&�"�"-$!�&�� 0x = �

y��x y���x

y���x2

x�0

Figura 1.16. Gráfica de algunas funciones exponenciales

� �/�#"(�&!�&:1(�&�#"$.&!��(�-&�"�"-$!�&�� 0x = �

y���1x y��

1x

y�1

�10 �5 5 10

2

4

6

8

10

Figura 1.17. Gráfica de algunas funciones exponenciales

Page 13: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� ����������������� ���

� � ����������������������������������

2�

3 �

22 �

5 �

23 �

�1

�0.5

0.5

1������� ��� �

������� � �

Figura 1.18. Gráficas de las funciones Sin x y Cos x

�� ��

20 �

2�

3 �

22 �

�4

�3

�2

�1

1

2

3

4

������� � � � ������� � �

Figura 1.19. Gráficas de la función tangente y de la cotangente

Page 14: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� ������������������������������������ ������������������������

� �&!1.$<$)"&�*(!�!(;+&�&.�&3&��D4�#/$�-(�$.�5�'/.(�!&�.&�!/)$�/�$�#(�!*$�*&���

Sin x

Sin����

2�

�2 � �� � 2 �

�1.0

�0.5

0.5

1.0

Figura 1.20. Gráfica de funciones: sen(x+a)

� �&!1.$<$)"&�*(!�!(;+&�&.�&3&���4�#/$�-(�$�.$��/�#"6��!&�.&�!/)$�/�$�#(�!*$�*&�

�2 � �3 �

2�� �

2�

2�

3 �

22 �

�2

�1

1

2

cos x

a �cos x

�a �cos x

Figura 1.21. Gráfica de funciones cos y a x= +

Page 15: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �"�)/.*"1."#$)(!�.$��/�#"6��1(+�/�$�#(�!*$�*&�$J��.$�.(�'"*/-�-&�(�-$�!&�$)1."�"#$�

=#/$�-(� $K�%� .$� .(�'"*/-� -&� (�-$� !&� +&-/#&>%� 1&+(� .$� �+&#/&�#"$� 1&+)$�&#&�

"�2$+"$�*&��

Cosx

2 Cos�

Cos�

2��

2�

2�

3 �

22 �

�2

�1

1

2

Figura 1.22. Gráfica de funciones cosa x

� �"� )/.*"1."#$)(!� &.� 5�'/.(� 1(+� /�$� #(�!*$�*&� .$� �+&#/&�#"$� ="�&�� &.� 1&+"(-(>� !&�

)/.*"1."#$�1(+�.$�#(�!*$�*&%�1&+(�.$�.(�'"*/-�-&�(�-$�&!�.$�)"!)$��

Sin x

Sin 2x

Sin 3x

�� ��

2�

2�

�1.0

�0.5

0.5

1.0

Figura 1.23. Gráfica de funciones sen ax

Page 16: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ � ����������������������

����������� ��� �&$�� : f A ⊂ →� � ,� : g B ⊂ →� � � -(!� �/�#"(�&!� +&$.&!� -&�

2$+"$;.&�+&$.���&�1/&-&��-&�"�"+�.$!�!"'/"&�*&!��/�#"(�&!4�

����������� �-&�"�"-$�1(+�=�F'>=:>B�=:>F'=:>8��() =�F'>B�∩��

������������ �-&�"�"-$�1(+�=�E'>=:>B�=:>E'=:>8��() =�E'>B�∩��

�����������������-&�"�"-$�1(+�=��'>=:>B�=:>�'=:>8��() =��'>B�∩��

�����������������-&�"�"-$�1(+�=�I'>=:>B�=:>I'=:>8��() =�I'>B�∩�EL:∈��*�0��'=:>≠GM�

��� ��������������������-&�"�"-$�1(+�='(�>=:>B'N�=:>]8��() ='(�>�BL:∈��*�0���=:>∈�M��

�$!�#/$*+(�1+") &+$!�(1&+$#"(�&!�!(��.$!�-&�() "�$-$!�(1&+$#"(�&!�$.'&;+$"#$!�

,� *"&�&�� .$!� ) "!) $!� 1+(1"&-$-&!� 0/&� .$� !/) $� ,� &.� 1+(-/#*(� -&� �7) &+(!� +&$.&!�

=$!(#"$*"2$%�#(�) /*$*"2$%�-"!*+";/*"2$�-&�/�$�+&!1&#*(�-&�.$�(*+$%�&*#�>���$�#() 1(!"#"6��

-&��/�#"(�&!��(�'(<$�-&�$.'/�$!�-&�&!*$!�1+(1"&-$-&!8�1(+�&3&) 1.(�.$�#(�) /*$*"2$��

���� ��� ��� � ��� �� ��

������ ����������������

��$��/�#"6��1/&-&�*() $+�&.�) "!) (�2$.(+�&��-"�&+&�*&!�1/�*(!�-&�!/�-() "�"(��

�$!� �/�#"(�&!� 1$+$� .$!� 0/&� 2$.(+&!� -"�&+&�*&!� �(� 1/&-&�� *&�&+� .$� ) "!) $� ") $'&�� !&�

..$) $��"�,&#*"2$!��

����������� ����$��/�#"6�� : f D ⊂ →� � &!���!����� �

�⇔ ≠ � ≠x x f x f x1 2 1 2( ) ( ) �=⇔ = � =f x f x x x( ) ( )1 2 1 2 >�

� ��������������$��/�#"6���=:>B:�%�*() $�&.�) "!) (�2$.(+�*$�*(�&��:B#�#() (�&���:BE#%�

1(+�*$�*(���������!����� ��

�.'(�1$+&#"-(�1$!$�#(��.$��/�#"6�4�

Page 17: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

( ) ( -3)( -5) f x x x=

*() $�&.�2$.(+�G��(�!6.(�1$+$�:B��!"�(�*$) ;"9��&��:BO���

�$��/�#"6��,B�=:>B:������ ��������!*5�#.$+(�0/&�&!�7�"#(�&.��7) &+(�#/,(�#/;(�&!�

P8�!"��&) ;$+'(��(�&!�7�"#(�&.��7) &+(�#/,(�#/$-+$-(�!&$�Q��

�!*(� �(!� "�-/#&� $� 1+&'/�*$+�(!� !"%� #(�(#"-$� .$� ") $'&�� -&� .$� �/�#"6��

:f A B⊂ → ⊂� � %�&!�1(!";.&�&�#(�*+$+�/�$��/�#"6�� :g B A⊂ → ⊂� � �,�-&�"�"-$�

!(;+&�.$�") $'&��-&���,�*�0���� ���� ���� ���&!�-&#"+�g f x x x A( ( )) = ,∀ ∈ ��

�$�+&!1/&!*$�&!�#.$+$�-&!1/9!�-&�2&+�.(!�&3&) 1.(!�$�*&+"(+&!8�'�!&+5��/�#"6��!""�

.$��/�#"6����&!�"�,&#*"2$%�!6.(�$! �!&�'$+$�*"<$�0/&�.$�") $'&��-&�,�) &-"$�*&�'�!&$�7�"#$��

������ �������������������������

"����� � �� �"� :f A B⊂ → ⊂� � &!� "�,&#*"2$� &�*(�#&!� &:"!*&� /�$� �/�#"6��

g B IR A IR: ⊂ → ⊂ *�0��g f x x x A( ( )) = ,∀ ∈ ���

�� .$� �/�#"6�� '� !&� .$�-&�() "�$� �������� ������� ��� �� � ,� !&� -&�(*$� 1(+� -1f �� �$�

�/�#"6��"�2&+!$�2&+"�"#$4�

-1 -1( ( ) ( )( ) f f x f f x x= =�

�$� '+5�"#$� -&� /�$� �/�#"6�� ,� .$� -&� !/� "�2&+!$� !(�� !") 9*+"#$!� +&!1&#*(� -&� .$�

;"!&#*+"<�,B:��

x

y

f�x�y�x

f �1�x�

Figura 1.24. Gráfica de una función y su inversa

Page 18: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ ���� ����

� ��������������$� �/�#"6�� xy e= � &!� "�,&#*"2$%�,$�0/&�&!*5�-&�"�"-$�1$+$� #/$.0/"&+�

�7) &+(� +&$.� ,� 0/&� !6.(� *() $� 2$.(+&!� 1(!"*"2(!%� 1(+� *$�*(� *"&�&� "�2&+!$� lny x= %�

0/&� !(.(� &:"!*&� 1$+$� .(!� +&$.&!� 1(!"*"2(!� ,� *"&�&� #() (� ") $'&�� #/$.0/"&+� �7) &+(�

+&$.��

1 �x

1

y

y��xy�x

y�Lnx

Figura 1.25. Función Exponencial y su inversa

� ���������0����$��/�#"6��,B�=:>B:���(�*"&�&�"�2&+!$�1+(1"$) &�*&�-"#A$��

� 2 �1 1 2

� 2

�1

1

2y�x2

y�x

y� x

y�� x

Figura 1.26. Gráfica de la función 2y x= y sus inversas

Page 19: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�"� +&!*+"�'") (!� &.� -() "�"(� -&� �� $� .(!� +&$.&!� 1(!"*"2(!� .$� �/�#"6�� y x1 = � � &!� .$�

"�2&+!$�-&��8�1(+�(*+$�1$+*&�!"�+&!*+"�'") (!�&.�-() "�"(�-&���$�.(!�+&$.&!��&'$*"2(!�

&�*(�#&!�.$��/�#"6�� y x2 = − �&!�*$) ;"9��"�2&+!$�-&�������&!*&�#$!(%�$�.$�"�2&+!$�-&�

�%� 0/&� �(� &:"!*&� &�� &.� !&�*"-(� &!*+"#*(%� &!� -&#"+� y x1 = � &� y x2 = − � !(���

�����������-&����

� ���������1��� �$!� �/�#"(�&!� 1&+"6-"#$!� !(�� &3&) 1.(!� -&� �/�#"(�&!� #/,$!� "�2&+!$!�

!(���/�#"(�&!�0/&�1/&-&��*&�&+�) 5!�-&�/�$��������������

�"� (;!&+2$) (!� .$� '+5�"#$� -&� .$� �/�#"6� cosy x= %� =�"'/+$� ���R>� !$#$) (!� .$!�

!"'/"&�*&!�#(�#./!"(�&!4�

�2 � �3 �

2�� �

2�

2�

3 �

22 �

�1

�0.5

0.5

1

y�cosx

Figura 1.27. Gráfica de la función coseno

� ��$�") $'&��-&� cosy x= �&!*5�&��&.�"�*&+2$.(�NE�%�S�0/&�!&+5�&.�-() "�"(�-&�.$��/�#"6��

"�2&+!$��

� �$��/�#"6���(�&!�"�,&#*"2$%�1(+�*$�*(%��(�&:"!*&�"�2&+!$�1+(1"$) &�*&�-"#A$����.�7�"#(�

"�*&+2$.(�&��&.�0/&��(�!&�+&1"*&��.$!�") 5'&�&!�&!�&��NG%��S%��0/&�!&+5�.$�")$'&��-&�.$�

�/�#"6��� arccos y x= ��

� � (-+ $�A$;&+�)5!�-&�/�$�"�2&+!$�1/&!*(�0/&� cos cos(- )x x= ��

� ?� ��C�� ����@� �(!� &�2 $� /�� )&�!$3&� #/$�-(� !&� /*"."<$�� �/�#"(�&!� "�2&+!$!�

$2"!$�-(�-&�0/&�!&�1(-+ $��1&+-&+�!(./#"(�&!���"�0/&+&)(!�!$;&+�TU /9�2$.(+&!�-&.�

5�'/.(�&��NE��%��S�*"&�&��1(+�#(!&�(�V %�.$�+&!1/&!*$�!&+ $�

Page 20: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�(.2&N�N:SBB�I�%:S�

Solve ::ifun � : �Inverse functions are being used by Solve , so some

solutions may not be found ; use Reduce for complete solution information . More… �

���x� �

3�, �x�

3��

)"&�*+$!�0/&�&��.$�'+5�"#$�!&�(;!&+2$��#/$*+(�1(!";.&!�2$.(+&!����

�� �1��

2�

21 �

��

��

2

�1

1

2

y � cosx y � cos x

y � x

y � arccos x

y � � arccos x

Figura 1.28. Gráfica de la función y = cos x y sus inversas

Page 21: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� ��� ������2����"� (;!&+2$)(!� .$� �"'/+$� ���Q%� 2&+&)(!� 0/&� .$� �/�#"6� seny x= � � &!�

"�,&#*"2$�&��&.�"�*&+2$.(�[- / 2, / 2]π π %�0/&�!&+5�-(�-&�&:"!*&�!/�"�2&+!$��

��

2�1 �

4�0.5 0.5 �

41 �

2

��

2

�1

��

4

�0.5

0.5

4

1

2

y � sen x

y � x

y � arcsen x

Figura 1.29. Gráfica de la función y=sen x y su inversa y = arcsen x

� �"� (;!&+2$)(!� .$� �"'/+$� ���G%� .$� �/�#"6�� ,� B*'� :� � &!� "�,&#*"2$� &�� &.� "�*&+2$.(�

[- / 2, / 2]π π %�0/&�!&+5�-(�-&�&:"!*$�!/�"�2&+!$%�

x

y

y � tg x y � x

y � arctg x

��

2

2

��

2

2

Figura 1.30. Gráfica de la función y=tg x y su inversa y = arctg x

Page 22: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� �� ��� ������ ��

�:"!*&�� 2$+"$!� �$) "."$!� -&� #/+2$!%� 0/&� $1$+&#&�� �+&#/&�*&) &�*&� &�� .$!�

$1."#$#"(�&!�-&.�5.#/.(%�0/&��(� !&�#(++&!1(�-&��&:$#*$) &�*&�#(��.$�'+5�"#$�-&�/�$�

�/�#"6��-&�/�$�2$+"$;.&�1&+(�0/&%�;$3(�#"&+*$!�#(�-"#"(�&!%�!"�1/&-&��!&+�#(�!"-&+$-$!�

#() (�*$.&!��

(+�&3&) 1.(%�.$�&#/$#"6�� x y2 2 1+ = %�0/&�&!�.$�&#/$#"6��-&�.$�#"+#/��&+&�#"$�-&�

#&�*+(�=G%G>�,�+$-"(��%��(�!&�#(++&!1(�-&%�&:$#*$) &�*&�#(��.$�'+5�"#$�-&�/�$��/�#"6��-&�

/�$�2$+"$;.&�� &+(�!"��(!�.") "*$) (!�$�.$�+&'"6�� y > 0 %�$0/ �!"�0/&�!&�#/) 1.&�0/&�1$+$�

#$-$�?:@�A$,�/��7�"#(�?,@�*$.�0/&�&.�1$+�=:%,>�&!�!(./#"6��-&�-"#A$�&#/$#"6����!�-&#"+%�&��

&.� #(�3/�*(� { }D x y IR y= ∈ >( , ) 2 0 t.q. � .$� &#/$#"6�� x y2 2 1+ = � -&�"�&� $� ?!3� #()(�

�/�#"6��")1. #"*$�-&�#$%8�&!�-&#"+%�1$+$�#$-$�$�A$,�/��7�"#(�!�0/&�!$*"!�$#&�.$�&#/$#"6���

� ��� ������������

� �$� &#/$#"6�� -&� /�$� #"+#/��&+&�#"$� -&� #&�*+(� =$%;>� ,� +$-"(� +� 2"&�&� -$-$� 1(+�

2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = �� � �$� �(+)$� )5!� '&�&+$.� -&� &!#+";"+� .$� &#/$#"6�� -&� /�$�

#"+#/��&+&�#"$�!&+ $� 2 2 0ax ay bx cy d+ + + + = ��

�3 �2 �1 1 2 3

�3

�2

�1

1

2

3

Figura 1.31. Familia de circunferencias concéntricas.

Page 23: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � ������������Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

y

Figura 1.32. Familia de circunferencias con el mismo radio.

� ���������

� �$�&#/$#"6��-&�/�$�&."1!&�#&�*+$-$�&��&.�(+"'&��,�-&�!&) "&3&!�$�,�;�2"&�&�-$-$�1(+�

2 2

2 2 1x y

a b+ = �� � �(!� 1/�*(!� -&� #(+*&� #(�� .(!� &3&!� � D� ,� � �� !&+5�� =$%G>� ,� =G%;>%�

+&!1&#*"2$) &�*&��/$�-(�$B;�.$�&."1!&�!&�#(�2"&+*&�&��/�$�#"+#/��&+&�#"$�

�4 �2 2 4x

�4

�2

2

4

y

a�b

a�b

a�b

Figura 1.33. Familia de elipses.

Page 24: Introduccion al analisis matematico

������������ ���������� ����� � �������� ����Cálculo Diferencial con “Mathemática”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �����������

� ��$�A"19+;(.$�*"&�&�1(+�&#/$#"6�� 2 2 2y b x c− = ���&+5�!") 9*+"#$�+&!1&#*(�-&�$) ;(!�

&3&!� ,� #(�� $! �*(*$!� y b x= ± �� �� .$!� A"19+;(.$!� -&� &#/$#"6�� x y b= %� !&� .$!�

-&�() "�$�A"19+;(.$!�&0/".5*&+$!�,�*"&�&��1(+�$! �*(*$!� 0 e 0x y= = ����

�4 �2 2 4x

�4

�2

2

4

y

y2�x2

�1

x2�y2

�1

xy��1xy�1

Figura 1.34. Gráfica de algunas hipérbolas