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In caso di derivati

Maria Elena De Giuli, Mario Alessandro Maggi,Umberto Magnani, Eduardo Rossi

25 Febbraio 2002 (release der27.tex)

Indice

Prefazione xi

1 Introduzione 11.1 Storia brevissima degli ultimi 30 anni . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Un esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Il modello binomiale 72.1 Il modello mono-periodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Portafogli e arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Derivati e loro valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Un esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Il modello multi-periodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Portafogli e arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Derivati e loro valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Un esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.5 Postilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Calcolo stocastico in pillole 293.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Integrale di Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 La formula di Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 La formula di Itô in forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 La formula di Itô multi-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7.1 Prima variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.2 Seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Eds e Edp 474.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Moto browniano geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iv Indice

4.3 Eds e teorema di Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Derivati a tempo continuo 575.1 Portafogli auto-finanzianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Portafogli relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Derivati e arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Il modello B & S: le basi 656.1 Il modello B & S ’73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Il modello B & S generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 Problemi di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.1 Completezza del mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3.2 Completezza del modello b&s . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 Valutazione neutrale rispetto al rischio . . . . . . . . . . . . . . 736.5 Black e Scholes scendono dal pero . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.5.1 I conti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5.2 La formula pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5.3 Programmi freeware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.5.4 Opzioni e effetto leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7 Il modello B & S: complementi 837.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Principio di linearità delle valutazioni . . . . . . . . . . . . . . 837.3 Volatilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3.1 Volatilità storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.2 Volatilità implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3.3 Superfici di volatilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.4 Volatilità stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.4 I greci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.1 Cosa sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.2 Delta- e gamma-hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.5 Relazione di parità put-call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.6 Copertura statica (buy and hold) e dinamica . . . . . . . . . . 927.7 Critiche ed estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.7.1 Attenti alle scorciatoie! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.7.2 Copertura dinamica e costi di transazione . . . . . . . . 947.7.3 Linearità addio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.7.4 Sono tutti price-taker? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.7.5 Incertezza nei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.7.6 Volatilità incerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.7.7 Copertura statica ottimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.7.8 Un esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.7.9 Wiener non basta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Indice v

7.7.10 Reti neurali artificiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8 Opzioni con dividendi, su valute e su merci 1098.1 Opzioni con dividendi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1 Dividendi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2 Dividendi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Opzioni su valute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3 Opzioni su merci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9 Alla fiera dei derivati 1139.1 Opzioni binarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.2 Opzioni leaps e flex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3 Portafogli di opzioni europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3.1 Portafogli spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3.2 Portafogli straddle e strangle . . . . . . . . . . . . . . . 1169.3.3 Altri animali dello zoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.4 Warrant e bond convertibili (rinvio) . . . . . . . . . . . . . . . 1179.5 Opzioni americane (in pillole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.5.1 Call americana: meglio viva o morta? . . . . . . . . . . 1179.5.2 Quando uccidere una put americana e perché . . . . . . 120

9.6 Opzioni esotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.7 Forward e futures (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.7.1 Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.7.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.7.3 Opzione su un futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10 Derivati su più beni 12910.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.3 Copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11 Mercati incompleti 13511.1 Un’attività sottostante non trattata . . . . . . . . . . . . . . . 13511.2 Più attività sottostanti non trattate . . . . . . . . . . . . . . . 140

12 Applicazioni di interesse aziendale 14312.1 Alcuni derivati sui tassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.1.2 Contratti cap, floor , collar . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.1.3 Mutui a tasso variabile con opzione cap . . . . . . . . . 14612.1.4 Swaption sui tassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14612.1.5 Contratti equity linked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12.2 Applicazioni di Corporate Finance . . . . . . . . . . . . . . . . 154

vi Indice

12.2.1 Avvertenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.2.2 Valutazione di un’impresa . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.2.3 Warrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.2.4 Bond convertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.2.5 Opzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.2.6 Il valore dell’impresa: un rompicapo? . . . . . . . . . . 18012.2.7 Pattinaggio sul ghiaccio sottile . . . . . . . . . . . . . . 183

12.3 Misura e gestione del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.3.1 Il VaR: value at risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.3.2 Il sistema RiskMetricsTM . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.3.3 Il sistema CreditMetricsTM . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.3.4 In caso di crash: la regola di platino . . . . . . . . . . . 18812.3.5 CrashMetricsTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

13 Modelli sui tassi di interesse 19113.1 Notazioni e ipotesi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.2 La struttura a termine dei tassi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.2.2 In un mondo incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

13.3 Modelli sul mercato dei bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19813.4 Modelli sul tasso privo di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.5 Modelli di martingala sul tasso privo di rischio . . . . . . . . . 203

13.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.5.2 Stima dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.5.3 Strutture a termine affini . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.5.4 Alcuni modelli standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

13.6 Modelli sul tasso istantaneo forward . . . . . . . . . . . . . . . 20713.6.1 La struttura di Heath-Jarrow-Morton . . . . . . . . . . 20713.6.2 Le condizioni sul drift nel modello a martingala . . . . . 209

14 Richiami assortiti (strumenti) 21114.1 Richiami di algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

14.1.1 Confronti tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21114.1.2 Teoremi dell’alternativa lineari . . . . . . . . . . . . . . 212

14.2 Richiami di calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21714.2.1 Integrale di Riemann-Stiltjes . . . . . . . . . . . . . . . 21714.2.2 Teorema di derivazione sotto il segno di integrale . . . . 217

14.3 Richiami sulle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . 21814.3.1 EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21814.3.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

14.4 Richiami di Calcolo delle Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . 22114.4.1 Teoria degli insiemi e probabilità . . . . . . . . . . . . . 22114.4.2 Assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Indice vii

14.4.3 Misure equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22414.4.4 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22414.4.5 Indicatori (valore atteso, quantili, momenti) . . . . . . . 22614.4.6 Alcune v.a. notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22814.4.7 Indipendenza stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.4.8 Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.4.9 Probabilità condizionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23114.4.10 Valore atteso condizionato . . . . . . . . . . . . . . . . 23214.4.11 Informazione e valore atteso condizionato . . . . . . . 23314.4.12 Convergenze di successioni di v.a. . . . . . . . . . . . . 23414.4.13 Legge forte dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . 23514.4.14 Processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.4.15 Processi markoviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23714.4.16 Il processo di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23714.4.17 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

15 Richiami assortiti (applicazioni) 23915.1 Free lunch e asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23915.2 Portafogli di super-replica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24615.3 Tassi a termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

15.3.1 Leggi di capitalizzazione ad una variabile . . . . . . . . 24915.3.2 Leggi a più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25115.3.3 Leggi a 2 variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25315.3.4 Leggi a 3 variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25915.3.5 Tassi e intensità forward (a termine) . . . . . . . . . . . 264

15.4 Duration e immunizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27015.4.1 Immunizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27115.4.2 La duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27215.4.3 La convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27415.4.4 Immunizzazione locale e convexity . . . . . . . . . . . . 27515.4.5 Portafoglio di copertura (caso di una uscita) . . . . . . 27715.4.6 Portafoglio di copertura (caso di più uscite) . . . . . . . 28015.4.7 Il caso di struttura dei tassi non piatta . . . . . . . . . . 28115.4.8 Varie ed eventuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

a Fulvio e RiccardoMaria Elena

alla mia nonna MaryMario

a Giugia, Macho e ÑelloUmberto

a MaddalenaEduardo

Prefazione

“Fortunately, we think, there is no contradiction in the field ofinvestments between the pursuit of truth and the pursuit of money.”

(Z. Bodie, A. Kane, A.J. Marcus, Investments, Irwin, 1993, p. v)

Questo volume rielabora alcune dispense preparate per i corsi di Economiadei mercati monetari e finanziari , Matematica Finanziaria, Matematica perl’Economia, Matematica per le decisioni della Finanza Aziendale e Modellimatematici per i mercati finanziari , che abbiamo tenuto negli ultimi anni. Iprincipali testi di riferimento usati nei corsi sono i manuali di Björk [9] e diWilmott [53] (ai quali dobbiamo davvero molto), integrati in alcune parti coitesti [7], [42], [52] e con altro materiale.

Al pari di quella più ampia della Finanza Matematica, l’area dei prodottiderivati ha assunto da tempo le caratteristiche tipiche di un’area vulcanica chesi sta espandendo. Abbiamo fatto del nostro meglio per renderne conto, siapur restando entro dimensioni ragionevoli, ma dobbiamo riconoscere che questovolume presenta parecchie lacune: alcuni argomenti, anche oramai classici, sonotrattati in modo superficiale e sbrigativo, altri addirittura mancano del tutto.

In diversi punti traspare un nostro preconcetto, quello che ci vede convintida un lato che la Matematica sia uno strumento formidabile per fornire unachiave di lettura insostituibile nell’analisi dei derivati, ma dall’altro che soltantol’integrazione con gli altri corsi della Facoltà possa fornire una visione un po’più completa. Il livello della Matematica che qui usiamo è piuttosto bassoe informale, al punto che spesso abbiamo preferito rinunciare a dimostrazionivere e proprie, ripiegando sul cosiddetto approccio euristico, soffice oggetto maidefinito con precisione ma dal nome rassicurante.

Non potendo prevedere, a monte dei corsi indicati, la frequenza ad un corsodi Calcolo delle Probabilità, abbiamo dovuto fare di necessità virtù. In altreparole, ci siamo dati da fare per rendere minimo il ricorso a nozioni non proprioterra-terra di teoria della misura. Il compromesso che ne è uscito è davverodiscutibile, tant’è che ci stiamo già ripensando. I necessari richiami di Calcolodelle Probabilità sono raccolti nel capitolo 14, che è bene leggersi per primoe che contiene pure un paragrafo sui teoremi dell’alternativa lineare e unostringatissimo riferimento alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivateparziali. Agli elementi di Calcolo Stocastico (sia pure “in pillole”) è dedicato ilcapitolo 3. Il capitolo 15 gestisce alcune applicazioni di algebra lineare (teoremafondamentale dell’asset pricing e portafogli di super-replica) e richiama cose

xii Prefazione

standard di Matematica Finanziaria classica (leggi di capitalizzazione a piùvariabili, duration e immunizzazione classica).

Occorre aggiungere qualcosa sulla notazione che abbiamo utilizzato. Pur-troppo la letteratura sui derivati, quasi tutta in inglese, si è scelta molti terminie simboli tutti suoi. Anche se alcuni li giudicano qua e là demenziali e vaga-mente terroristici (una specie di barriera all’entrata, antipatica proprio perchéinutile), allontanarsene in modo radicale avrebbe rischiato di produrre un esitoparadossale: quello di creare poi serie difficoltà allo Studente che − questo è ilnostro augurio− si mette a leggere testi originali. Dunque anche sulla nota-zione e sui termini abbiamo dovuto adottare un compromesso, che comprendepure la non-traduzione in Italiano di alcuni termini standard.

Anche se siamo in quattro, abbiamo preferito mettere sempre i verbi alsingolare: questa forma ci è parsa più immediata, perciò preferibile dal puntodi vista didattico.

Siamo persone moderatamente intelligenti, dunque senz’altro abbiamo in-farcito il nostro prodotto con una infinità numerabile di errori di vario ti-po 1. Pagheremo volentieri da bere a tutti coloro che vorranno segnalarcenequalcuno 2.

Per risparmiare spazio abbiamo usato molte abbreviazioni, soprattuttoquelle riassunte nella tabella che segue.

Pavia, Febbraio 2002 (M.E. De Giuli, M.A. Maggi, U. Magnani, E. Rossi)

Abbreviazioni più comuni

arb.free arbitrage free b&s Black e Scholes

cb coupon bond (titolo con cedole) E valor medio (o atteso)

ed equazione differenziale edo ed ordinaria

edp ed alle derivate parziali eds ed stocastica

paf portafoglio auto-finanziante P probabilità

p.s. processo stocastico v.a. variabile aleatoria

zcb zero coupon bond . , (virgola nei decimali)

1 Il testo è stato composto da noi con Scientific WorkPlace 3.0.2Sono già creditori di una bevuta moltissimi Studenti dei corsi sopra indicati presso le

Facoltà di Economia delle Università di Pavia e dell’Insubria (sede di Varese), nonché diScienze mfn, Corso di laurea in Matematica, Università del Piemonte Orientale (sede diAlessandria).

Capitolo 1

Introduzione

“Unfortunately, as the mathematics of finance reacheshigher levels so the level of common sense seems to drop.”

(P. Wilmott, [54], p. 1)

1.1 Storia brevissima degli ultimi 30 anni

I cosiddetti prodotti derivati sono particolari contratti finanziari i cui effettialla scadenza finale dipendono dal valore, ignoto in partenza, che a quell’istanteavranno altri oggetti (attività finanziarie o beni di altra natura). Il derivatopiù classico è l’opzione call : pagando subito il relativo prezzo di acquisto, essaconferisce il diritto (ma non il dovere) di acquistare ad una certa scadenzafutura un bene, in quantità e qualità ben precise, ad un prezzo prefissato. Iderivati più semplici sono vecchi come il Cucco 1.

Il mercato dei derivati è letteralmente esploso a partire dagli anni ’70, rag-giungendo dimensioni paurose, tant’è che le transazioni nel 2000 del mercatomondiale dei derivati sono state stimate sui 109 500 miliardi di $ usa. Questaesplosione può essere vista anche come effetto dei grossi cambiamenti econo-mici avvenuti proprio in quegli anni. Dal dopoguerra alla fine degli anni ’60gli investitori alla ricerca della sicurezza trovavano nei titoli a reddito fisso unvero e proprio impiego senza rischio: la stabilità dei tassi di interesse non pro-vocava variazioni significative dei corsi di quei titoli. Invece, a partire dalla finedegli anni ’60 e, peggio ancora, nei primi anni ’70, le cose cambiarono. Senzaperderci in dettagli, quegli anni furono caratterizzati da un aumento enormedell’incertezza sul futuro, anche a causa della delicata situazione politica in-ternazionale. Il maggior rischio presente sui mercati, combinato con l’aumento

1Forse il caso più antico risale al 1700 circa a.c.. Nella Genesi si racconta di comeGiacobbe acquistò un’opzione che gli dava il diritto, ma non il dovere, di sposare Rachele,figlia di Labano. Gli costò l’equivalente di circa 7 anni di lavoro. Ma le cose andarono stortee Giacobbe fu obbligato da Labano a sposare Lia, sorella maggiore di Rachele. Non contento,più tardi acquistò, allo stesso prezzo, un’altra opzione (ma forse era un contratto forward),che gli consentì di sposare finalmente Rachele. Così si ritrovò con: due mogli, qualche tensionein famiglia, e 12 figli, che diventarono i patriarchi delle 12 tribù di Israele. Queste notizieescono da un saggio di Chance ([14]) sulla storia dei derivati.

2 Capitolo 1. Introduzione

del ricorso di molti Stati al debito pubblico e con l’inflazione galoppante 2, han-no prodotto, oltre che l’aumento dei tassi di interesse, una grande instabilitàgenerale. Le quotazioni dei titoli sono divenute estremamente volatili ed anchei titoli a reddito fisso hanno visto fluttuare i loro corsi, diventando anch’essiinvestimenti in qualche modo rischiosi. Poiché gli investitori che odiano il ri-schio non erano invece scomparsi, si è generata una forte domanda sul mercatodi strumenti in grado di eliminare o di meglio gestire il rischio dei portafogli,cioè i prodotti derivati. Proprio per questo sono nati e cresciuti veri e proprimercati di copertura organizzati e regolamentati.

La prima Borsa specializzata in derivati fu aperta a Chicago nel ’73 (lacboe: Chicago Board Options Exchange). Quest’anno vide anche la pubbli-cazione del più noto saggio sui derivati. Si tratta di un articolo di F. Blacke M. Scholes [11] apparso, con almeno 4 anni di ritardo e dopo vari rifiuti daparte di riviste specializzate, sul Journal of Political Economy, rivista di grossoprestigio ma forse un po’ eccentrica rispetto a quelle cose.

Non molto meglio andò al saggio di R.C. Merton [36], anch’esso di quell’an-no. I due saggi ponevano finalmente su basi razionali il problema della correttavalutazione del prezzo di un’opzione assumendo, tra l’altro, l’ipotesi che nonesistessero possibilità di arbitraggio, cioè in grado di garantire un profitto sen-za esporsi a qualche rischio. In particolare, il contributo di Black e Scholes,che è il più noto, definiva una precisa strategia per replicare l’opzione, cioè percostruire un portafoglio che in ogni caso riproduceva perfettamente gli effettidell’opzione, quindi identificava il prezzo del derivato semplicemente nel costonecessario per formare questo portafoglio. Il problema veniva poi ricondottoalla soluzione di una edp (equazione alle derivate parziali), soluzione riassuntain una formula esplicita, di interesse pratico immediato perché di facile calcolo.Quei due saggi ebbero vita dura anche dopo la loro pubblicazione, poiché le re-gole pratiche di valutazione che essi proponevano erano in grave contrasto conla prassi corrente e con le credenze più popolari presso gli operatori. Tuttaviala portata di quei contributi fu poi riconosciuta e dalla metà degli anni ’70, inparallelo con l’esplosione del mercato dei derivati, è iniziata una vera e pro-pria fioritura di studi matematici specializzati per la valutazione dei derivatie per il loro impiego nella copertura di rischi finanziari. Nel ’97 fu conferitoil premio Nobel a Scholes (Black era deceduto due anni prima) ed a Merton.Oggi quest’area di studi ha persino nomi propri (Finanza Matematica, Inge-gneria Finanziaria, ecc.) e da parecchi anni i suoi risultati fondamentali sonoormai diventati standard nella didattica di base di molte Facoltà di Economiae similari.

Negli anni ’80, mentre da un lato si è cercato di adattare il modello ori-ginale di Black, Scholes e Merton all’analisi dei derivati non standard (come

2I corsi di Economia Politica e di Politica Economica forniscono un’analisi accurata diquesti fattori, tra loro intimamente legati.

1.2. Un esercizio 3

quelli sui tassi di interesse), dall’altro è emerso pian piano uno sforzo di se-ria revisione critica delle diverse ipotesi del modello. Negli anni ’90 (è ovvioche questa temporizzazione è soltanto di comodo), accanto ad un crescente li-vello di sofisticazione nella modellistica, questo sforzo è diventato sistematicoed ha condotto a una revisione dei fondamenti stessi della disciplina. Sonoinfatti emerse alcune nuove proposte per gestire in modo più realistico l’incer-tezza, specialmente quella che emerge nei periodi anomali di crollo dei mercati,mediante una modellistica più povera nelle ipotesi ma più realistica nelle rac-comandazioni operative. A questo richiamo verso il realismo hanno contribuitoanche alcune esperienze concrete di veri e propri crolli di Società per la gestio-ne di derivati condotte con incredibile leggerezza: l’ultimo grosso esempio è ilcrollo della americana ltcm (Long-Term Capital Management) nel Settembre’98. Si è anche fatto strada il sospetto che molti tra coloro che acquistano,vendono e gestiscono derivati non sappiano bene che cosa hanno in mano epreferiscano fidarsi di modelli elaborati che non capiscono: un esempio quasiperfetto di abuso e misuso della Matematica, della Statistica e del Calcolo delleProbabilità. Oggi come oggi, il futuro dei mercati finanziari è davvero incerto epieno di pericoli e il ruolo di quelle discipline diventerà sempre più delicato. Èbene associarsi all’augurio di P. Wilmott ([54], p. 11): “Il buon senso comuneritornerà, sostituendo la fiducia cieca nei modelli matematici”.

1.2 Un esercizio

Prima di introdurre qualche apparato teorico è utile mettere subito le maniin un problema che illustra l’uso di strumenti derivati. Costruisco quindi unesempio, simile ad un altro proposto in [9]. Sono un’impresa che all’epocafutura T = 3 mesi da oggi dovrà pagare ad un fornitore estero 100 000 $ usa,da comprare spendendo C (Euro), correndo così un rischio di cambio. Oggi ilcambio è 0.90 $ per 1 C. Ho queste 3 strade:

• Compro oggi 100 000 $ spendendo 100000/0.9 ' 111 111 C, poi lascioquesti $ in un conto bancario fruttifero. Vantaggi: via il dente, via ildolore. Svantaggi: congelo un sacco di soldi, di cui oggi magari nondispongo; inoltre rischio di mangiarmi le mani tra 3 mesi se il cambiosalirà sopra la quotazione odierma 0.90.

• Firmo un contratto forward per l’acquisto di 100 000 $ tra 3 mesi: èun contratto con consegna e pagamento differiti, col quale mi garantiscooggi di comprare tra 3 mesi quanto mi serve, a un prezzo pattuito find’ora (prezzo forward). Vantaggi: metto le mani avanti senza avere oggialcun esborso di denaro, né per acquistare valuta, né per sottoscrivere ilforward, che infatti oggi non mi costa nulla. Svantaggi: è vero che non

pago nulla oggi, però mi vincolo troppo e magari domani mi mangio lemani se il $ scende.

• Pagando oggi il relativo prezzo, detto premio, divento detentore (holder ,titolare) di una opzione call : è un contratto nel quale si fissa oggi unprezzo K (prezzo di esercizio, strike price3) al quale acquisterò dallamia controparte 100 000 $ tra T = 3 mesi (data di esercizio, expirationdate, maturity), ma solo se mi converrà, cioè solo se a T la quotazionedel $ sarà sopra K, mentre in caso contrario acquisterò quanto mi servedirettamente sul mercato e pagando a T il cosiddetto prezzo spot (prezzoa pronti) che in quel momento troverò. Vantaggi: la call mi conferiscediritti ma non doveri (eserciterò l’opzione se mi converrà, altrimenti laabbandonerò) e soprattutto mi assicura contro una quotazione futura del$ superiore a K; se sono sfortunato, la mia perdita si limita al premioche oggi pago, mentre il mio profitto futuro è potenzialmente illimitato.Svantaggi: come tutte le cose utili, l’opzione oggi mi costa, tanto piùquanto più basso è K.

La mia controparte nell’opzione call che detengo è detta writer o sotto-scrittore (difatti la firma, come fosse una cambiale). Esiste anche l’opzionesimmetrica alla call: è l’opzione put , che conferisce il diritto, ma non il dovere,di vendere a T una prefissata quantità di un ben preciso bene ad un prezzo diesercizio K prefissato.

Le opzioni call e put di cui parlo sono dette opzioni europee, perché sipossono esercitare solo alla scadenza T , quelle americane invece si possonoesercitare anche prima di T . Non è vero che le europee/americane si trattanosolo in Europa/usa.

Il bene (il dollaro usa nel mio esempio) al quale si riferisce l’opzione call èdetto bene sottostante (o principale, o sul quale è scritta l’opzione). L’opzio-ne è un prodotto finanziario derivato, in breve: è un derivato, perché derivail proprio valore, perciò il proprio prezzo, da quello del bene sottostante; inparticolare, alla scadenza finale T il flusso di cassa T 0 (pay-off ) prodotto dalderivato dipende dal prezzo di mercato a T del sottostante 4. In questo sensosi suole dire che il detentore di un’opzione è titolare di un diritto futuro di tipoaleatorio (stochastic claim, contingent claim).

Sui mercati sono trattate opzioni sui beni più vari ($ usa come nell’esem-pio, ma anche fieno, petrolio, quarti di manzo, metalli, bottiglie di Brunellodi Montalcino, azioni ibm, ecc.: ce n’è per tutti i gusti), con diverse date diesercizio T e con diversi prezzi di esercizio K. Naturalmente occorre che il beneabbia qualità tipizzate in modo ben preciso e ampio mercato. In più, le quan-tità, i prezzi di esercizio e le date di esercizio sono piuttosto standardizzate (la

3Alcuni lo chiamano prezzo del contratto, ma questo termine è fuorviante.4 Il grafico del pay-off finale al variare del prezzo finale ST del sottostante sta a pag. 14.

1.2. Un esercizio 5

cosiddetta serie delle date ne comprende poche e fisse, di solito 3, 6 e 9 mesi),soprattutto per favorire la compravendita delle opzioni, a prezzi che vengonogiornalmente quotati nelle Borse specializzate. Presso ognuna di queste esisteanche una stanza di compensazione (clearing house) per registrare i contratti esveltirne la gestione. In particolare esso gestisce il deposito fruttifero (margine)che chi lavora con certi derivati (ad esempio i futures) deve versare a garan-zia dei propri obblighi futuri, margine che va tenuto aggiornato sorvegliandogiornalmente l’andamento del prezzo del sottostante 5.

Ovviamente, il detentore di un’opzione call spera in cuor suo che il sotto-stante registri un rialzo di prezzo (si dice che è un toro ovvero bull), mentre ilsottoscrittore spera in un ribasso (è un orso, ovvero bear). Visto che il gua-dagno o la perdita su una opzione sono legati non tanto al prezzo corrente delsottostante, quanto invece alle sue variazioni future, emerge una sorta di effettoleva di tutto rispetto.

Esistono molti altri tipi di derivati oltre alle opzioni e per alcuni beni ilmercato del derivato assume dimensioni addirittura più ampie di quello delsottostante e/o il derivato è più liquido del sottostante. Sono tutti prodot-ti di ingegneria finanziaria, all’inizio usati a scopo assicurativo (nell’esempio,coprirsi contro il rischio di cambio; questo scopo spiega l’uso del termine pre-mio, tipico dei contratti di assicurazione), poi sempre più spesso trattati ascopo speculativo vero e proprio. Nei mercati finanziari esistono infatti diversianimali:

• uno di questi è lo hedger , che si muove per coprire un rischio di qualchetipo (di cambio, nell’esempio);

• un altro è lo speculatore, che si muove nella speranza di vincere unascommessa che egli fa sul futuro comportamento di qualche prezzo;

• un altro ancora è l’arbitraggista (in inglese e francese arbitrageur : sitratta di un operatore astuto e ben informato), che cerca di entrare in piùtransazioni simultanee che gli garantiscano un profitto certo immediato.

Ciascuno di questi personaggi svolge un ruolo essenziale per il corretto fun-zionamento di questa specie di ecosistema (come la gazzella, il leone e la ienain una savana): lo hedger desidera cedere un rischio e trova nello speculatore lasua controparte che lo assume, mentre l’arbitraggista concorre per ottenere unmercato più liquido e più efficiente. Devo anche sottolineare che molti, lascian-dosi ingannare dalle apparenze, sbagliano nel giudicare il mercato dei derivati

5 In Italia il mercato ufficiale dei derivati (idem: Italian Derivatives Market) funziona dalNovembre 1994, è gestito dalla Borsa Italiana SpA e tratta soprattutto derivati sull’indicemib30 e sui principali titoli azionari. Il documento Covered Warrant , preparato dalla Consob(www.consob.it), è semplice e ben fatto, perciò la sua lettura è davvero raccomandabile,specialmente per i non-esperti.

alla stregua di un colossale gioco a somma zero, nel quale i profitti di qualcu-no sono le perdite degli altri. In realtà, per usare una frase presa da uno deimigliori manuali di Finanza Matematica ([34], pag. x), si può tranquillamenteaffermare che la proliferazione degli strumenti finanziari derivati è stata ed ètuttora un fattore davvero importante per migliorare l’efficienza di un interosistema economico.

L’opzione è anche, per così dire, uno dei mattoni fondamentali coi qualicostruire altri prodotti derivati più complessi. Per fissare le idee mi occuperòanzi tutto di determinare in modo razionale il prezzo di una call europea.

Il concetto di opzione, intesa non come contratto di Borsa, ma come pos-sibilità che si ha il diritto (ma non l’obbligo) di sfruttare in futuro, è rilevanteanche in varie discipline, ad esempio nella Teoria delle Decisioni e nella Finanzaed Economia Aziendale. Per avere un esempio, basta pensare alla possibilitàdi decidere subito la costruzione di uno stabile su un’area fabbricabile di cui sidispone, oppure di venderla, oppure di tenerla ancora libera: si tratta di deci-sioni che vanno prese (anche) in rapporto all’andamento dei prezzi correnti efuturi delle aree e dei fabbricati; oppure alla possibilità di attivare un impiantoaddizionale per soddisfare la domanda in periodi di punta, salvo poi disatti-varlo. Situazioni di questo tipo sono modellizzabili proprio come particolariopzioni (dette opzioni reali), dove il sottostante è, ad esempio, il valore di unprogetto economico-finanziario. Ancora: i semplici schemi per la valutazionedi opzioni classiche si prestano per valutare le stesse componenti del capitale diun’impresa, nonché titoli convertibili, warrant ed un’ampia varietà di strumen-ti e contratti finanziari (mutui a tasso variabile, assicurazioni, swap sui tassidi interesse, contratti cap e floor , ecc.): ne parlerò nel cap. 12.

Capitolo 2

Il modello binomiale

“Non c’è niente di più pratico di una buona teoria.”

(frase, assai amata dagli autori, attribuita a L. Boltzmann)

Lo scopo di questo capitolo è: introdurre, all’interno di un modellino moltosemplice, i princìpi fondamentali per la valutazione di derivati. Tra i modelliper valutare derivati, quello binomiale è il più semplice, perciò ha un buon in-teresse didattico. Comincio con una sua versione mignon nel par. 2.1, mentrela versione più completa la vedo nel par. 2.2. Quest’ultima viene talvolta usataanche nella pratica, almeno in alcune varianti che comprendono riformulazionied affinamenti sulla strada di un maggior realismo. In entrambi i casi il princi-pio fondamentale del modello binomiale, così come di tutti i cosiddetti modellidi arbitraggio, sta tutto nella seguente

Brillante pensata: costruisco un portafoglio a) privo dirischio e che b) in ogni caso produrrà gli stessi effetti futuridel derivato; poi sfrutto l’ipotesi di assenza di arbitraggioe impongo che il prezzo del derivato eguagli il costo diquesto portafoglio che ne riproduce gli effetti.

2.1 Il modello mono-periodale

2.1.1 Il modello

Ho 2 scadenze:

t = 0 (oggi), t = T = 1 (tra un anno, diciamo “domani”),

e 2 beni:

• un bond (titolo di puro sconto, cioè bot, certificato di credito, buono oaltro zcb; l’importante è che il titolo abbia un tasso di interesse prefissatoe che sia default-free, cioè che non ci siano rischi di insolvenza);

• una azione (in inglese: stock),

8 Capitolo 2. Il modello binomiale

i cui prezzi indico così:

Bt = prezzo a t di un bond,

St = prezzo a t di un’azione,

1. I prezzi dei 2 beni sono descritti da 2 distinti processi di prezzo. Quello delbond è deterministico: (

B0 = 1,

B1 = 1 + r, con r > 0.

B0 = 1 vuol dire che mi riferisco a una lira investita a 0 nel bond. Potreiscegliere diversamente B0 (per esempio, B0 = 1 milione), ma non cambierebbegranché. r > 0 è il tasso di interesse periodale (per esempio, annuo), fisso edeterministico, perché il bond è privo di rischio.

Il processo di prezzo dell’azione è invece stocastico, cioè aleatorio:S0 > 0 (che conosco a t = 0),

(S0u, con P = pu > 0,

S0d, conP = pd > 0,con pu + pd = 1, 0 < d < u,

essendo u (dall’inglese up = su) e d (da down = giù) i fattori di rialzo e diribasso nel valore dell’azione 2. Posso anche scrivere

S1 = S0Z, con Z =

(u, con P = pu,

d, con P = pd,(2.1.1)

e indicare con P = (pu, pd) la distribuzione della v.a. Z. pu e pd sono detteprobabilità effettive, (vere, reali , oggettive), cioè che davvero competono allaZ; perciò P è detta misura di probabilità effettiva (vera, reale, oggettiva). Siparla di modello binomiale perché Z è v.a. a 2 soli valori.

Riassumo:

bond: 1 → 1 + r azione: S0%&

1Se Bt sta per il prezzo del bond (buono), buon senso vorrebbe che il prezzo dell’azione siindicasse con At, visto che “azione” comincia con la a . Seguendo una convenzione alla qualeè vano opporsi, scrivo invece St: in inglese azione si dice stock , parola che inizia con la letteras e dappertutto così si scrive.

2Attenzione: (i) questo u non va confuso col binomio di capitalizzazione u = (1 + i) coni tasso unitario di interesse; (ii) questo d non va confuso col tasso unitario di sconto, né colsimbolo di differenziale.

2.1. Il modello mono-periodale 9

2.1.2 Portafogli e arbitraggio

Un portafoglio è descritto da un vettore di R2, cioè da una coppia ordinata diquantità (b, s) di bond e di azioni: b unità di bond assieme ad s azioni:

Pportafoglio

n◦ di bond, sn◦ di azioni

(b, s) non ha vincoli di segno, sicché (b, s) = (3,−2) vuol dire che all’epoca0 acquisto 3 bond (si dice che sto lungo sui bond) e vendo 2 azioni (sto cortosulle azioni 3). Se non ho azioni da vendere, le vendo allo scoperto: incassosubito il ricavo della vendita e garantisco di consegnare in futuro, cioè a T ,ciò che vendo a 0. Le vendite allo scoperto (short sales) sono un’operazione diprovvista di fondi.

Ora preciso le ipotesi (piuttosto delicate) che assumo.

Ipotesi . Assumo le seguenti ipotesi:

(a) ogni soggetto è razionale, perciò verifica l’ipotesi more is better (postulatodi non sazietà, utilità marginale del denaro positiva), cioè tra 2 incassicerti preferisce sempre il maggiore;

(b) il mercato è un mercato perfetto.

Questa ipotesi vuol dire, all’incirca, quanto segue:

• il mercato è privo di frizioni , cioè non ci sono: costi di transazione, impo-ste, scarti tra prezzo di acquisto e di vendita (bid-ask spread), restrizioni allevendite allo scoperto, vincoli sulle quantità acquistate e vendute (le attivitàfinanziarie sono perfettamente divisibili e va bene ogni (b, s) ∈ R2), rischi diinsolvenza dei debitori, garanzie da prestare o altri vincoli nel procurarsi fondi(per procurarseli basta vendere allo scoperto), costi addizionali di provvista odi impiego, ritardi o limitazioni nelle informazioni;

• il mercato è un mercato efficiente, nel senso che il prezzo odierno di ogniattività finanziaria riflette già tutta la storia della medesima ed incorpora im-mediatamente ogni nuova informazione (pubblica e privata) che la riguardi;dunque il suo prezzo futuro dipende soltanto dal prezzo corrente e non an-che dalla precedente storia che il prezzo ha descritto (i Probabilisti vedono inquesto meccanismo che genera il prezzo un processo markoviano);

• chiunque può entrare in contratti a pronti e/o a termine, sia per investiredenaro che per farne provvista, in qualunque momento, per qualsiasi quantitàe senza costi addizionali;

3Si dice che il detentore (acquirente, holder) di un’opzione, acquisendo i relativi diritti,assume una posizione lunga , ovvero che sta lungo. Simmetricamente, il sottoscrittore (ven-ditore, writer) di un’opzione, assumendo obblighi, assume una posizione corta , ovvero stacorto. Gli stessi termini riguardano, rispettivamente, chi acquista e chi vende titoli o altreattività finanziarie.

• il mercato è un mercato competitivo, dunque ogni partecipante è price taker ;• il mercato è un mercato completamente liquido: ogni ordine di acquisto o divendita trova sempre contropartita immediata al prezzo corrente.

Più avanti completerò le ipotesi aggiungendone un’altra essenziale: l’assen-za di possibilità di arbitraggi.

Ora considero il portafoglio (b, s) e ne calcolo il valore V (b,s)0 all’epoca 0, che

è deterministico, e il valore V (b,s)1 all’epoca 1, che è invece aleatorio. Il processodel valore all’epoca t del portafoglio (b, s), cioè la regola per calcolarne il valore,è ovvio (è la “regola della serva”: prezzi × quantità):

V(b,s)t = bBt + sSt, t ∈ {0, 1} , (2.1.2)

ovvero(V(b,s)0 = bB0 + sS0 = b+ sS0 ← (è un valore deterministico),

V(b,s)1 = bB1 + sS1 = b (1 + r) + sS0Z ← (è un valore aleatorio).

Introduco ora una nozione centrale per tutta la teoria, quella di portafogliodi arbitraggio (sinonimi: Terra della Cuccagna, free lunch, money pump, mo-ney machine, something for nothing , oh come sarebbe bello se, sogno diventatorealtà, ecc.): un portafoglio di arbitraggio (a rigore, dovrei dire di arbitrag-gio non rischioso) è un portafoglio (b, s) dotato delle proprietà qui di seguitoindicate e commentate:

V(b,s)0 = 0 ← oggi non spendo nulla,

PhV(b,s)1 ≥ 0

i= 1 ← domani non pago nulla,

PhV(b,s)1 > 0

i> 0 ← e magari ne tiro a casa.

(2.1.3)

L’esistenza di un portafoglio di arbitraggio è un caso molto serio di incapa-cità del mercato di formulare prezzi coerenti. In più, modellizzare un mercatocon possibilità di arbitraggio è un po’ come insegnare le buone maniere a ungatto inferocito: ogni arbitraggista sfrutterebbe quelle possibilità senza limiti,estraendo profitti sicuri in quantità illimitata dal mercato, il quale dunque nonpuò trovare un equilibrio. Vedo ora di capire quando il mercato è arbitrage free(sigla: nel séguito arb.free), cioè privo di possibilità (opportunità, strategie) diarbitraggio:

Teorema 2.1.1 . Il modello sopra descritto, con

0 < d < u,

è arb.free se e solo se risulta

d < (1 + r) < u. (2.1.4)

Dimostrazione. a) Sia d < u ≤ (1 + r), cioè l’azione non renda mai piùdel bond. Posso scegliere, come strategia di arbitraggio, (b, s) = (S0,−1), cioèvendere allo scoperto un’azione incassando S0, importo che investo in bond erecupero domani con gli interessi. Ecco i miei flussi di cassa:

t = 0 t = 1

vendo 1 azione allo scoperto S0 −S1investo S0 in bond −S0 (1 + r)S0

saldi V(b,s)0 = 0 V

(b,s)1 = (1 + r)S0 − S1

ed ecco che ho realizzato un arbitraggio del tipo (2.1.3), perchéV(b,s)0 = 0,

V(b,s)1 = (1 + r)S0 − S1 =

(S0 [(1 + r)− d] > 0, se Z = d,S0 [(1 + r)− u] ≥ 0, se Z = u.

b) Se invece fosse (1 + r) ≤ d < u, cioè se il bond non rendesse mai più del-l’azione, potrei scegliere (b, s) = (−S0, 1), cioè comprerei un’azione spendendoS0, importo che mi procuro vendendo allo scoperto bond:

t = 0 t = 1

vendo S0 bond allo scoperto S0 − (1 + r)S0investo S0 in azioni −S0 S1

saldi V(b,s)0 = 0 V

(b,s)1 = S1 − (1 + r)S0

realizzando così un arbitraggio, perchéV(b,s)0 = 0,

V(b,s)1 = S1 − (1 + r)S0 =

(S0 [d− (1 + r)] ≥ 0, se Z = d,S0 [u− (1 + r)] > 0, se Z = u,

e dunque vale ancora la (2.1.3).c) Valga la (2.1.4) ma (b, s) consenta, per assurdo, un arbitraggio, cioè

valgano le (2.1.3). Allora V (b,s)0 = 0, cioè b+sS0 = 0, ovvero sS0 = −b, pertantoV(b,s)1 = b (1 + r) + sS0Z = b [(1 + r)− Z]. Con s = 0 ho (b, s) = (0, 0), perciòV(b,s)1 = 0 e la 3a delle (2.1.3) salta. Lo stesso accade alla 2a delle (2.1.3) se

s > 0, perché con Z = d dalla (2.1.4) scende V (b,s)1 < 0, come pure nel casos < 0 con Z = u. Insomma, in nessun caso posso avere arbitraggio.

È facile interpretare la (2.1.4) in termini geometrici: sulla retta reale leggo,andando verso destra, le ascisse d, (1 + r) e u:

d• (1 + r)•

u• (2.1.5)

e siccome (1 + r) è interno al segmento [d, u], vuol dire che esistono pesi qd equ tali che

qd > 0, qu > 0, qd + qu = 1, (2.1.6)

(1 + r) = dqd + uqu. (2.1.7)

Anzi, qu e qd sono proprio le frazioni della lunghezza (u− d) che competonoalla distanza tra d e (1 + r) e a quella tra (1 + r) e u:

qu =(1 + r)− du− d , qd =

u− (1 + r)u− d . (2.1.8)

Questi 2 numeri qu e qd li posso interpretare come probabilità da associarealla v.a. Z, già introdotta con la (2.1.1) però con le vecchie probabilità pu e pd:

(u, con P = qu (non più pu),

d, con P = qd (non più pd).

Avverto che questa è soltanto una interpretazione comoda e possibile, perniente obbligatoria. Alcuni chiamano qu e qd probabilità artificiali , implicite,di riferimento, pseudo-probabilità, quasi-probabilità, ecc.4.

Avendo indicato con P = (pu, pd) la vecchia distribuzione (o misura) diprobabilità, indico allora con Q la nuova e con EQ il valor medio calcolato conqueste nuove probabilità, cioè il cosiddetto valor medio sotto Q o valor mediorispetto a Q. Calcolo ora il valore attuale aleatorio sotto Q della quotazionefutura e ottengo, grazie alla (2.1.7),

1 + rS1

¸=EQ [S1]1 + r

=S0 (uqu + dqd)

1 + r=S0 (1 + r)

1 + r= S0, (2.1.9)

1 + rS1

¸= S0. (2.1.10)

La (2.1.10) descrive quella che si chiama una valutazione neutrale rispettoal rischio. In essa S0 è il valore attuale aleatorio (valore attuariale) del prezzo

4Altri battezzano 11+r

qu e 11+r

qd come prezzi di sostegno (o state contingent claim pricesdi Debreu).

futuro S1, calcolato però non sotto P (cioè con la distribuzione effettiva P ),

bensì sotto Q. Sotto P avrei invece EPh11+rS1

1+rEP [S1], in generale

diverso da S0. Come vedrò, la portata di questo risultato, che rende non banalel’interpretazione di qu e qd introdotta sopra in termini geometrici, è molto piùgenerale di quanto per ora appaia, perché la ritroverò anche in modelli piùelaborati per la valutazione di derivati.

È importante notare che nella valutazione (2.1.10) non si assume che lagente (o il mercato) sia davvero neutrale rispetto al rischio, cioè ritenga i variricavi futuri ed il loro valore attuale medio equivalenti in termini di utilità. No,semplicemente accade che la valutazione odierna S0 che il mercato dà all’azionecoincide con quella che un individuo neutrale rispetto al rischio darebbe usandola distribuzione Q: tutto qua (per un discorso più completo si veda il par. 15.1).Una misura di probabilità che conduce a questo risultato si chiama misuraneutrale rispetto al rischio, o misura di riferimento, o misura aggiustata peril rischio 5). Il termine più appropriato per Q è forse quello di misura dimartingala, che deriva dalla seguente definizione : una misura di probabilitàQ è detta misura di martingala (equivalente: vedi nel par. 14.4.3) se vale la(2.1.10), cioè se risulta

S0 = EQ·1

1 + rS1

¸, ovvero : S0 =

1 + rEQ [S1] .

Ora traduco la condizione di assenza di arbitraggio in questo modo:

Teorema 2.1.2 . Con 0 < d < u il modello è arb.free se e solo se esiste unamisura di martingala Q = (qu, qd). Calcolarla è facile:

qu =(1 + r)− du− d , (2.1.11)

qd =u− (1 + r)u− d . (2.1.12)

Dimostrazione. Per il teorema 2.1.1 il modello è arb.free se e solo se valela (2.1.4). Ciò equivale all’esistenza di un α ∈ (0, 1) tale che sia αd+(1− α)u =

(1 + r). A conti fatti trovo α = u−(1+r)u−d , (1− α) = (1+r)−d

u−d , oggetti positivi ea somma 1, che ho già battezzato con qd e qu. Essi definiscono una misura dimartingala: basta controllare che verificano la (2.1.9), perciò la (2.1.10).

5Quest’ultimo termine è familiare agli Studenti del corso di Economia dei mercati monetarie finanziari , perché nei modelli di equilibrio di mercato à la Arrow-Debreu si ponderano leprobabilità con le utilità marginali, proprio per ospitare nel discorso l’avversione al rischiodei soggetti. Ma lascio perdere, perché questa storia mi porta troppo lontano.

2.1.3 Derivati e loro valutazione

Suppongo che il mercato sia arb.free. Adottando un punto di vista tra ilmaniacale e il riduttivo, posso dire che un derivato (meglio: il suo pay-off finale)è una v.a. X del tipo X = Φ (Z), nella quale Z è la variabile aleatoria che allafine governa il prezzo dell’azione. La funzione Φ (Z), nota e deterministica,è detta funzione di contratto (diciamo che trasforma Z, posso anche dire “lasorte”, in un flusso di cassa):

Z(sorte)

−→Φ

X = Φ (Z) .(flusso di cassa)

Una call europea con K ≥ S0u non ha senso, perché non converrà maiesercitarla. Il caso K ≤ S0d è altrettanto stupido, perché l’opzione verràsempre esercitata e il contratto perde la natura di opzione e acquista quella diforward, che è un altro paio di maniche. Dunque il buon senso impone che sia

S0d < K < S0u.

Nella call europea trovo uno degli esempi più semplici di funzione di con-tratto:

S1 = S0u ← incasso Φ (Z) = Φ (u) = S0u−K > 0,

S1 = S0d ← incasso Φ (Z) = Φ (d) = 0,

dunque

X = Φ (Z) =

Φ (u) = S1

(incasso)− K

(pago)= S0u−K, se Z = u,

(esercito l’opzione)

Φ (d) = 0, se Z = d.(abbandono l’opzione)

Funzione di contratto per un’opzione call

Posso anche scrivere

X = Φ (Z) = max (S1 −K, 0) ,oppure usare il simboloΦ (Z) = (S1 −K)+ (si legge: parte positiva di (S1 −K)).Il grafico di poche righe sopra mostra come si vede Φ con gli occhiali deldetentore e con quelli del sottoscrittore.

Indico ora con

F (t,X) il prezzo a t del derivato X = Φ (Z) .

È facile capire che dev’essere

F (1,X) = X, (2.1.13)

cioè che il valore finale del derivato deve coincidere con X, proprio perchéal detentore del derivato matura all’epoca finale 1 l’incasso di X = Φ (Z).Più difficile, e più interessante, è calcolare F (0,X), cioè il valore iniziale delderivato, che è il premio del contratto. Per arrivarci devo prima introdurrenuove definizioni :

• un derivato X è replicabile (raggiungibile, duplicabile) se esiste un portafoglio(b, s) che alla fine replica X esattamente (cioè qualunque cosa succeda), cioètale che sia 6

V(b,s)1 = X;

• in tale caso dico che (b, s) è un portafoglio di copertura (di replica, di hedging ,di sintesi) per X o di X;• addirittura, se qualunque derivato X è replicabile, allora dico che il mercatoè un mercato completo.

Se un portafoglio (b, s) replica il derivato X, allora avere in mano quelportafoglio oppure il derivato X produce in ogni caso gli stessi effetti. Valedunque la regola di valutazione del seguente, assai importante,

Teorema 2.1.3 (regola di valutazione del modello mono-periodale) .Se esiste un portafoglio (b, s) che replica il derivato X, allora l’ipotesi di as-senza di arbitraggi impone che, ad ogni istante t ∈ {0, 1}, il valore V (b,s)t delportafoglio di replica (b, s) e il valore F (t,X) del derivato X coincidano:

F (t,X) = V(b,s)t , ∀t ∈ {0, 1} ,

ovvero risulti, per la (2.1.2),

F (t,X) = V(b,s)t = bBt + sSt, ∀t ∈ {0, 1}. (2.1.14)

6Attenzione: la relazione che segue riguarda variabili aleatorie, dunque va intesa, comeper i casi analoghi che incontrerò nel séguito, con probabilità = 1.

Dimostrazione. Ho già visto nella (2.1.13) che F (1,X) = X, quindi pert = 1 non c’è problema. Vedo ora per t = 0. Se il portafoglio (b, s) replicail derivato X, possedere quel portafoglio o X è la stessa cosa, cioè mi dà glistessi effetti, sia nel bene (Z = u) che nel male (Z = d), quindi le 2 cose(portafoglio e derivato) devono avere lo stesso valore (gli Economisti invocanola cosiddetta legge del prezzo unico). Se avessero valori diversi, potrei realizzareun arbitraggio acquistando la meno cara e vendendo la più cara.

Il ruolo della completezza è messo a fuoco nel

Teorema 2.1.4 . Se il mercato è arb.free, allora il modello mono-periodaleè anche completo e l’unico portafoglio che replica il derivato X = Φ (Z), conΦ (Z) che ha le possibili determinazioni Φ (u) e Φ (d), è

uΦ (d)− dΦ (u)u− d ,

Φ (u)−Φ (d)u− d .

(2.1.15)

Dimostrazione. Fisso in modo arbitrario il derivato X = Φ (Z) e cercoun portafoglio (b, s) che replichi esattamente X, cioè tale che sia

V(b,s)1 =

(Φ (u) , se Z = u,

Φ (d) , se Z = d,cioè:

((1 + r) b+ (S0u) s = Φ (u) ,

(1 + r) b+ (S0d) s = Φ (d) .

Ho un sistemino lineare 2× 2 in (b, s), la cui matrice ha rango pieno:¯(1 + r) S0u(1 + r) S0d

¯= (1 + r)S0 (d− u) 6= 0

(ricordo che è (1 + r) > 1, S0 > 0 e d < u), quindi ammette unica soluzionecomunque scelgo Φ (u) e Φ (d). Fissato Φ, essa è proprio la (2.1.15), come èfacile controllare. Approfitto dell’occasione per sottolineare che l’implicazione

il modello è arb.free ⇒ il modello è completo,

è verificata nel caso in esame, ma in generale non regge.

Ora infilo la (2.1.15) nella (2.1.14) per t = 0 e vedo cosa succede:

F (0,X) = V(b,s)0 = b+ S0s =

uΦ (d)− dΦ (u)u− d + S0

Φ (u)− Φ (d)u− d =

uΦ (d)− dΦ (u)u− d +

Φ (u)− Φ (d)u− d (1 + r)

raccolgo a fattore comune Φ(u) e Φ(d)

·(1 + r)− du− d Φ (u) +

u− (1 + r)u− d Φ (d)

dunque, grazie alle (2.1.11)-(2.1.12),

F (0,X) = V(b,s)0 =

1 + r[Φ (u) qu +Φ (d) qd] = EQ

1 + rX

¸. (2.1.16)

Adesso tiro le somme dei risultati fin qui raggiunti:

Teorema 2.1.5 . Se il modello binomiale è arb.free, allora:

• il prezzo iniziale del derivato X è

F (0,X) = EQ·1

1 + rX

1 + r[Φ (u) qu +Φ (d) qd] ; (2.1.17)

• la misura di martingala Q è l’unica per cui risulta

S0 = EQ·1

1 + rS1

• qu e qd sono fornite dalle (2.1.11) e (2.1.12), cioè

qu =(1 + r)− du− d , qd =

u− (1 + r)u− d ; (2.1.18)

• l’unico portafoglio (b, s) che replica X è fornito dalla (2.1.15), cioèb =

uΦ (d)− dΦ (u)u− d ,

Φ (u)− Φ (d)u− d .

(2.1.19)

Qualche commento si impone. Come già anticipato dopo la (2.1.10), se ilmercato è arb.free, allora:

• la (2.1.16), ovvero (2.1.17), presenta una valutazione neutrale rispetto alrischio, nel senso che quando calcolo il prezzo arb.free di un derivato micomporto come se vivessi in un mondo neutrale rispetto al rischio (ilpar. 15.1 la racconta meglio); attenzione: ciò non vuol dire che il mondoin cui vivo sia davvero neutrale rispetto al rischio;

• perciò la formula di valutazione (2.1.17) è detta formula di valutazionearbitrage free (o preference free): difatti essa vale per tutti gli investitori,quale che sia la loro avversione al rischio, basta che valgano le ipotesiindicate nel par. 2.1.2 (more is better, mercato perfetto e arb.free);

• infine, le probabilità effettive pu e pd non svolgono alcun ruolo nellavalutazione; ciò sottolinea che, a parte casi fortuiti (può anche essere P =Q), il valore iniziale del derivato non coincide col valore attuale aleatoriosotto P dei pagamenti futuri che esso prevede per il sottoscrittore.

2.1.4 Un esercizio

S0 = 100,

(u = 1.3,

d = 0.8,

(pu = 0.6,

pd = 0.4,r = 0.05.

Il mercato è arb.free, perché vale la (2.1.4):

0.8 = d < (1 + r) = 1.05 < u = 1.3.

Una call europea con K = 109 è un derivato X che produce i risultati

(130− 109 = 21 = Φ (u) , se S1 = 130,0 = Φ (d) , se S1 = 80.

Calcolo le probabilità di martingala (2.1.18), F (0,X) con la (2.1.17) e ilportafoglio di copertura (2.1.19):

qu =(1.05)−0.81.3−0.8 = 0.5, qd =

1.3−(1.05)1.3−0.8 = 0.5

F (0,X) = 11.05 (21× 0.5 + 0× 0.5) = 10

b = 11.05

1.3×0−0.8×211.3−0.8 = −32, s = 1

10021−01.3−0.8 = 0.42.

Con questo portafoglio mi faccio prestare (vendendo allo scoperto bond)32, che uso per comprare 0.42 azioni. A t = 0 esso vale

V(−32,0.42)0 = −32× 1 + 0.42× 100 = 10,

cioè quanto F (0,X), e a 1 vale

V(−32,0.42)1 =

(−32 (1 + 0.05) + 0.42× 130 = 21, se S1 = 130,−32 (1 + 0.05) + 0.42× 80 = 0, se S1 = 80,

sicché il mio portafoglio replica esattamente il derivato.Il valore attuale aleatorio sotto Q di S1, cioè EQ

h11+rS1

iè proprio S0:

1 + rS1

1+rEQ [S1] =

quS0u+ qdS0d

=0.5× 130 + 0.5× 80

1.05= 100 = S0,

mentre se lo avessi calcolato sotto P avrei invece trovato

1 + rS1

¸= 130×0.6+80×0.4

1.05 = 1101.05 ' 104.76 6= EQ

1 + rS1

¸= 100.

2.2. Il modello multi-periodale 19

Chi vende l’opzione a più di 10, può investire 10 nel portafoglio di replica,che all’epoca 1 soddisfa le richieste del compratore, e gli resta in mano unprofitto di arbitraggio. Chi acquista l’opzione a meno di 10, può realizzareun profitto di arbitraggio vendendo allo scoperto il portafoglio. Morale: ogniprezzo diverso da EQ [X] = 10 consente un arbitraggio.

Col mercato completo, il derivato ha dunque un prezzo unico, che è proprioil valore del portafoglio che lo replica, cioè del portafoglio che, paradossalmen-te, lo rende inutile. Questo portafoglio viene infatti detto opzione sintetica.Questa idea, della serie “uovo di Colombo”, ha una portata più generale diquanto sembri e la ritroverò anche in modelli più elaborati.

2.2 Il modello multi-periodale

2.2.1 Il modello

Il modello multi-periodale (o a più stadi) è un modello ancora discreto, ma nelquale l’indice temporale t percorre tutti gli interi da t = 0 a t = T , con T > 1orizzonte fissato:

t ∈ {0, 1, , . . . , T} , T > 1.

Molte delle cose già dette per il modello mono-periodale (cioè con T = 1) leripeterò qui, con qualche adattamento. Ho ancora 2 beni sottostanti: il bonde l’azione, coi rispettivi processi di prezzo:

(B0 = 1,

Bt+1 = (1 + r)Bt,∀t ∈ {0, 1, . . . , T − 1} ,

azione:

(S0 > 0 (noto a t = 0),

St+1 = StZt,∀t ∈ {0, 1, . . . , T − 1} ,

con Z0, Z1, . . . , ZT−1 v.a. stocasticamente indipendenti (par. 14.4.7) e iden-ticamente distribuite, nel senso che, come la Z della (2.1.1), ognuna di esseassume i valori u e d con le solite probabilità effettive pu e pd, cioè:

(u, con P = pu,

d, con P = pd,∀t ∈ {0, 1, . . . , T − 1} .

Posso rappresentare il processo di prezzo del bond con lo schema:

→ (1 + r)

→ (1 + r)2

→ (1 + r)3

→ · · · ,

mentre per quello dell’azione mi serve uno schema ad albero (ovvero, per darmidelle arie, un modello lattice o reticolare), anzi, ad albero ricombinante:

S0u2 %&

S0ud%&

S0d2 %&

. . . . . .

Ricombinante vuol dire che un rialzo seguìto da un ribasso produce lo stessorisultato di uno ribasso seguìto da un rialzo.

2.2.2 Portafogli e arbitraggio

Ora devo aggiornare al caso in esame alcune vecchie definizioni .

• Un portafoglio (o strategia di portafoglio) è un processo stocastico (sigla: p.s.)vettoriale

x = [x1, x2, . . . , xT ] = [(b1, s1) , (b2, s2) , . . . , (bT , sT )] .

Attenzione! bt e st sono le quantità di bond e di azioni con le quali arrivoall’istante t, dunque le decido all’istante (t− 1) e me le tengo in portafogliofino a t, cioè in tutto l’intervallo [t− 1, t). Dunque, ad esempio, x1 lo devodecidere a t = 0. Quando a (t− 1) fisso xt = (bt, st), tengo conto di tuttele informazioni sui prezzi fino a (t− 1) compreso, cioè di (S0, S1, . . . , St−1),ancora senza conoscere St.

• Ad x associo il suo processo di valore {V xt }, che descrive il valore di mercatoall’istante t di xt = (bt, st) ed è definito da

V xtvalore a t

= btquantità a tdecisa a (t−1)

× Btquotazione a t

+ stquantità a tdecisa a (t−1)

× Stquotazione a t

• Un portafoglio x è detto portafoglio (o strategia) auto-finanziante (sigla: paf)se risulta

btBt + stSt| {z }ricavo vendita a t delvecchio portafoglio

= bt+1Bt + st+1St| {z }spesa acquisto a t delnuovo portafoglio

, ∀t ∈ {1, 2, . . . , T − 1} ,

cioè: (bt+1 − bt)Bt + (st+1 − st)St = 0, ∀t ∈ {1, 2, . . . , T − 1} . (2.2.1)

Questa equazione mi dice che mentre il tempo passa posso ribilanciare,adeguare il mio portafoglio, però sempre rispettando il vincolo di bilancio: adogni istante t il valore di mercato del vecchio portafoglio xt = (bt, st), deciso a(t− 1) e tenuto fino a t, finanzia giusto giusto la spesa per acquistare il nuovoportafoglio xt+1 = (bt+1, st+1) che devo decidere a t e tenere fino a (t+ 1);insomma, dopo l’eventuale spesa iniziale a t = 0, non posso iniettare soldinuovi, né estrarne.

• Una possibilità (opportunità) di arbitraggio è un paf x per il quale risultaV x0 = 0, ← a t = 0 non spendo nulla,

P [V xT ≥ 0] = 1, ← a T non spendo nulla,

P [V xT > 0] > 0. ← a T magari incasso.

Ora passo al

Teorema 2.2.1 . Se il modello è arb.free, allora dev’essere

d < (1 + r) < u. (2.2.2)

Dimostrazione. Rinviata a quella del teorema 2.2.6.Ora assumo che questa relazione valga, e cioè:

Ipotesi : Risulti d < u e valga la (2.2.2), cioè sia d < (1 + r) < u.Introduco le probabilità di martingala e le calcolo:

• Le probabilità di martingala qu e qd sono quelle per cui risulta

1 + rSt+1 | St

¸= St, ∀t. (2.2.3)

Nota: EQ [St+1 | St] indica il valor medio della quotazione St+1 che l’azioneavrà a (t+ 1) (domani), valor medio calcolato a t (oggi) sottoQ e tenendo contodell’informazione (si dice: subordinatamente all’informazione) sulla quotazioneSt che l’azione ha a t (oggi).

Teorema 2.2.2 . Le probabilità di martingala qu e qd sono ancora le (2.1.11)e (2.1.12).

Dimostrazione. Se St = α, allora St+1 può assumere i valori St+1 =Stu = αu e St+1 = Std = αd, dunque la (2.2.3) vuol dire

α = 11+rE

Q [St+1 | St = α] = 11+r (αuqu + αdqd) =

11+rα (quu+ qdd) ,

ovvero : quu+ qdd = 1 + r,

cioè la vecchia (2.1.7). Ora devo aggiungere qu + qd = 1, cioè la (2.1.6). Mail sistemino (2.1.7)-(2.1.6) l’ho già risolto quando ho trovato proprio le (2.1.8),ovvero le (2.1.11) e (2.1.12). Anche qui torna utile l’osservazione che sta allafine della dimostrazione del teorema 2.1.4.

2.2.3 Derivati e loro valutazione

Aggiorno alcune definizioni al caso multi-periodale.

• Un derivato semplice (meglio: il suo pay-off finale) è descritto da una v.a. Xdel tipo

X = Φ (ST ) ,

essendo la funzione di contratto Φ una funzione a valori reali assegnata (laleggo nel contratto) della quotazione finale ST del sottostante. Sto parlandodi un derivato semplice, ovvero di un T -derivato, nel senso che Φ dipende solodal valore finale ST dell’azione. Vi sono però anche i derivati (per esempioopzioni) path dependent , dove Φ dipende invece da tutta la storia che Stdescrive tra t = 0 e t = T . Ma sono più complicati, ad esempio l’albero non èpiù ricombinante.

Attenzione : nel séguito, salvo avviso contrario, mi occuperò soltanto diT -derivati.

• X è un derivato replicabile (raggiungibile, duplicabile) se esiste un paf x taleche sia

V xT = X, cioè VxT = Φ (ST ) ,

nel qual caso dico che x replica (raggiunge, duplica, copre) X, o che x è unportafoglio di replica, di copertura (di sintesi , hedging portfolio). Al solito, essorende paradossalmente inutile il derivato.

• Il mercato completo è quello ove ogni derivato X è replicabile.

Tanto ovvia quanto importante è la seguente regola di valutazione, che è lasorella maggiore della (2.1.14):

Teorema 2.2.3 (regola di valutazione del modello multi-periodale) .Se esiste un paf x che replica il derivato X, allora l’ipotesi di assenza di arbi-traggi impone che, ad ogni istante t ∈ {0, 1, . . . , T}, il valore V xt del portafoglio

di replica x coincida col valore F (t,X) del derivato X:

F (t,X) = V xt , ∀t ∈ {0, 1, . . . , T} . (2.2.4)

Dimostrazione. Se X è replicabile mediante il paf x, allora vuol direche ad ogni istante t posso investire il capitale V xt per acquistare il portafoglioxt+1 = (bt+1, st+1), che posso poi ribilanciare ad ogni istante successivo, senzacacciare o estrarre altri soldi, fino ad avere a T un portafoglio che vale V xT , cioèproprio X, perché è sempre V xT = X. Quindi possedere il derivato X o il pafx che lo replica è la stessa cosa, dà gli stessi effetti, quindi le 2 cose devonoavere lo stesso valore. Difatti, se avessero valori diversi, potrei realizzare unarbitraggio acquistando la meno cara e vendendo la più cara.

Grazie all’ipotesi che il mercato sia arb.free, il modello binomiale è comple-to, cioè ogni derivato è replicabile da qualche paf. Vale infatti il

Teorema 2.2.4 . Nel modello binomiale, se il mercato è arb.free, allora èanche completo.

Dimostrazione. (rinvio): quella formale è piuttosto noiosa, perciò ripiegosul seguente esercizio (ripreso da [9]), che serve per mangiare la foglia e ancheper fare ginnastica.

2.2.4 Un esercizio

Considero un’opzione call europea con:

T = 3, S0 = 80, u = 1.5, d = 0.5, r = 0, K = 80,

dunque X = max (ST − 80, 0) , qu =(1+0)−0.51.5−0.5 = 0.5, qd =

1.5−(1+0)1.5−0.5 = 0.5.

Ho scelto r = 0 solo per semplificare i conti, ma con un r > 0 nulla di seriocambierebbe. Costruisco l’albero binomiale che segue. Per prima cosa calcolo,∀t, i vari possibili prezzi St dell’azione (li riquadro) e di Φ, che inserisco sottoa St.

Con molta (tanta) pazienza, ora lavorerò all’indietro, da t = T = 3 finoa t = 0. Per prima cosa devo calcolare prima il portafoglio di replica xt+1 =(bt+1, st+1) che devo decidere a t, poi il suo valore F (t) = F (t,X) a t. Mibasta adattare al mio caso le (2.1.19) e (2.1.16), che erano state prodotte per ilperiodo [0, 1]. Indicando con F+t+1 e F

−t+1 i 2 possibili valori che a (t+ 1) sono

assunti da F (t+ 1) a seconda che risulti St+1 = Stu o St+1 = Std, si tratta di

queste formule

uF−t+1 − dF+t+1u− d , t ∈ {0, 1, . . . , n− 1} ,

St−1F+t+1 − F−t+1u− d , t ∈ {0, 1, . . . , n− 1} ,

Ft = Vt =1

¡F+t+1qu + F

−t+1qd

¢, t ∈ {0, 1, . . . , n− 1} .

(2.2.5)

In realtà, una volta calcolato a t il portafoglio di replica che devo deciderea t, posso calcolare per via breve F (t), cioè il valore a t del derivato: grazieal principio di valutazione (2.2.4), mi basta usare i prezzi delle 2 attività perottenere direttamente il valore a t del portafoglio, cioè del derivato. Procedocompletando l’albero un po’ alla volta:

x1=(−22.5,5/8)80

F (0)=27.5

x2=(−42.5, 95120)120Φ=40

F (1)=52.5

x2=(−2.5, 18)40Φ=0

F (1)=2.5

x3=(−80,1)180Φ=100F (2)=100

x3=(−5, 16)60Φ=0F (2)=5

x3=(0,0)

20Φ=0F (2)=0

270Φ=F (3)=190

90Φ=F (3)=10

30Φ=F (3)=0

10Φ=F (3)=0

• Mi metto a t = 3. Ho già imposto Φ = F (3) = X, cioè

F (3) = X = max (S3 −K, 0) =(S3 − 80, se S3 > 80,0, se S3 ≤ 80,

e ho già ricopiato sotto alle diverse quotazioni (270, 90, 30 e 10) i rispettivivalori di F (3) = X, cioè 190, 10, 0 e 0.

• Mi metto ora a t = 2 con S2 = 180. Uso le (2.2.5) per calcolare il portafogliox3 = (b3, s3), da comporre a t = 2, che replica il derivato che a t = 3 varràF+3 = F (3) = Φ = 190 o F

−3 = F (3) = Φ = 10 a seconda che sarà S3 = 270 o

S3 = 90:

S2 = 180 :

F−3 u− F+3 du− d =

10× 1.5− 190× 0.51.5− 0.5 = −80,

F+3 − F−3u− d =

190− 101.5− 0.5 = 1,

F (2) = V(−80, 1)2 = −80× 1 + 1× S2 = −80 + 180 = 100.

Ricopio i risultati nell’albero mettendo x3 sopra a S2 = 180 e F (2) sotto.In modo simile ora rifaccio i conti sempre a t = 2 supponendo prima S2 = 60,poi S2 = 20:

S2 = 60 :

F−3 u− F+3 du− d =

0× 1.5− 10× 0.51.5− 0.5 = −5,

F+3 − F−3u− d =

10− 01.5− 0.5 =

F (2) = V(−5, 1/6)2 = −5× 1 + 1

6× S2 = −5 + 1

6× 60 = 5.

S2 = 20 :

F−3 u− F+3 du− d =

0× 1.5− 0× 0.51.5− 0.5 = 0,

F+3 − F−3u− d =

0− 01.5− 0.5 = 0,

F (2) = V(0,0)2 = 0.

• Ora faccio i conti a t = 1, prima con S1 = 120, poi con S1 = 40:

S1 = 120 :

F−2 u− F+2 du− d =

5× 1.5− 100× 0.51.5− 0.5 = −42.5,

F+2 − F−2u− d =

100− 51.5− 0.5 =

F (1) = V(−42.5, 95/120)1 = −42.5× 1 + 95

120× S1 =

= −42.5 + 95

120× 120 = 52.5.

S1 = 40 :

F−2 u− F+2 du− d =

0× 1.5− 5× 0.51.5− 0.5 = −2.5,

F+2 − F−2u− d =

5− 01.5− 0.5 =

F (1) = V(−2.5, 1/8)1 = −2.5× 1 + 1

8× S1 = −2.5 + 1

8× 40 = 2.5.

• Infine mi metto a t = 0:

S0 = 80 :

F−1 u− F+1 du− d =

2.5× 1.5− 52.5× 0.51.5− 0.5 = −22.5,

F+2 − F−2u− d =

52.5− 2.51.5− 0.5 =

F (0) = V(−22.5, 5/8)0 = −22.5× 1 + 5

8× S0 =

= −22.5× 1 + 58× 80 = 27.5.

• Riassunto: il costo iniziale per replicare l’opzione è F (0) = F (0,X) =

³−22.5,58

´0 = 27.5. Inoltre, man mano che il tempo passa (stavolta in avanti)e il corso dell’azione sale o scende, ad ogni nodo che St visita so anche comeregolarmi, cioè come ribilanciare il mio portafoglio. L’esercizio è finito.

Il modello fin qui presentato è discreto. Se ne può ottenere una versionecontinua, che formalmente coincide col modello di b&s del cap. 6: basta fartendere u e d ad 1 e T a +∞ e ridefinire in modo opportuno il tasso periodaler. Ma è meglio tirare le somme col

Teorema 2.2.5 . Il prezzo arb.free a t = 0 del derivato X = Φ (ST ) è

F (0,X) = EQ"

(1 + r)TX

#, cioè : F (0,X) =

(1 + r)TEQ [X] , (2.2.6)

con Q misura di martingala; più esplicitamente:

F (0,X) =1

(1 + r)TPTk=0 (qu)

k (qd)T−k Φ

kdT−k´. (2.2.7)

Dimostrazione. La (2.2.6) esce dall’algoritmo che ho utilizzato. La (2.2.7)segue invece dal fatto che il numero k dei rialzi di prezzo ha una distribuzionebinomiale (par. 14.4.6).

Teorema 2.2.6 . La condizione d < (1 + r) < u occorre e basta per l’assenzadi arbitraggio.

Dimostrazione. Che sia necessaria segue da quanto già detto per il mo-dello mono-periodale nel teorema 2.1.1: mi basta adattare i punti (a) e (b)della sua dimostrazione scegliendo a t = 0 il portafoglio là indicato e poi nontoccarlo più. Devo ora mostrare che la condizione esclude possibilità di arbi-traggio. Immagino, per assurdo, che esista un paf x di arbitraggio, cioè per ilquale sia:

V x0 = 0, P [V xT ≥ 0] = 1, P [V xT > 0] > 0.

Con queste probabilità è certo EQ [V xT ] > 0, dunque

(1 + r)TEQ [V xT ] > 0;

La (2.2.6) mi dice che questo è proprio F (0,X):

F (0,X) =1

(1 + r)TEQ [V xT ] > 0;

ma per la regola di valutazione (2.2.4) è F (t,X) = V xt ,∀t, dunque anche

V x0 =1

(1 + r)TEQ [X] > 0,

risultato assurdo, perché ho assunto V x0 = 0.

2.2.5 Postilla

Quando si usano alberi binomiali per valutare derivati, in realtà si preferiscemodificare un po’ la tecnica usata nell’esercizio appena finito. Intanto si scegliet = 0 e si divide la durata T in anni (o frazioni di anno) del derivato in tanti“passi” di ampiezza (∆t), ad esempio si divide la durata di 1 mese = 1

12 dianno in 10 passi di ampiezza (∆t) = 1

120 di anno, cioè 3 giorni (del cosiddettoanno commerciale di 360 giorni e 12 mesi). Poi si lavora come segue:

• Il tasso r che si usa è un tasso istantaneo annuo privo di rischio. Dunquer = 0.05 = 5% sarà il tasso che trasforma 100 C non in 105 C dopo 1anno, ma in 100

¡e0.05

¢C ' 105.13 C. Questa convenzione semplifica

la vita: il fattore di montante dopo (∆t) anni è semplicemente er(∆t) (siveda il par. 15.3.1).

• Per le costanti fattore di rialzo e di ribasso annui u e d, volatilità σ eprobabilità (di martingala) di rialzo si sceglie

u = eσ, d = 1u = e

−σ, qu =er − du− d

perciò per i corrispondenti valori riferiti al passo di ampiezza (∆t) si ha

u = eσ√∆t, d = 1

u = e−σ√∆t, qu =

er(∆t) − du− d

Queste scelte vengono giustificate con la seguente procedura (codificata in[17]):

a) impongo che il valor medio di St+(∆t) eguagli la media della va-riabile casuale (Stu, Std) calcolata con le probabilità di martingala(qu, qd) = (qu, 1− qu);b) impongo che la varianza di St+(∆t) sia σ2 (St)

2 (∆t);

c) impongo d = 1/u;

d) risolvo il sistemaEt£St+(∆t)

¤= e−r(∆t) [quStu+ (1− qu)Std] ,

var£St+(∆t)

¤= σ2 (St)

2 (∆t) ,

d = 1/u

usando l’approssimazione lineare del tipo ex ' 1 + x.

Questa procedura viene usata in quasi tutti i programmini che valutanoderivati standard, come quelli freeware indicati nella nota di pag. 113. C’èsolo da aggiungere che, quando si vogliono ottenere risultanti accettabili, ilnumero dei passi da prevedere dev’essere abbastanza alto, ad esempio almeno30 (perciò ∆t ≤ T

30) per una call o put di breve durata (≤ 3 mesi). Maggioridettagli sull’uso pratico di alberi binomiali si trovano, ad esempio, nei cap. 9 e16 del manuale [32]. Nel par. 9.5 riprenderò l’esercizio del par. 2.2.4 per usarela stessa tecnica nella valutazione di un derivato americano.

Capitolo 3

Calcolo stocastico in pillole

“Brownian motion has a universal character,and is ubiquitous both in theory and in applied modelling.”

(N.H. Bingham, R. Kiesel, [8] p. 140)

Fin qui ho sposato l’idea che il tempo t potesse assumere soltanto valori inun insieme discreto. Si tratta di una scorciatoia che è il momento di abbando-nare, riconoscendo che il tempo t scorre con continuità a partire da un certoistante iniziale. Nell’analisi dei derivati con tempo continuo sorge però la ne-cessità di ridefinire oggetti del Calcolo infinitesimale classico, come l’integrale,il differenziale e la regola della catena, che rispettivamente diventano l’integraledi Itô (o integrale stocastico), il differenziale stocastico e la cosiddetta formuladi Itô. Questo capitolo presenta, molto molto alla buona, questi nuovi oggetti,che sono elementi fondamentali del cosiddetto Calcolo Stocastico.

3.1 Introduzione

Il modello più elegante per studiare la valutazione di derivati in tempo continuousa un p.s. detto processo di diffusione (vedi par. 14.4.14) nel quale intervieneuno speciale p.s. markoviano detto processo di Wiener W = {W (t)}t≥0, piùbrevemente W =W (t). Si tratta di un p.s. con parametro temporale continuot e con queste proprietà 1:

1. W (0) = 0, cioè il processo parte (è una convenzione) dal valore nullo;1Piccola nota di sano nozionismo. Anziché processo di Wiener si dice anche moto brow-

niano, e in corrispondenza si usa il simbolo B (t) al posto di W (t): questione di gusti. Giàdalla metà del 1600 (e, chissà, anche prima) si era notato che piccole particelle (di solitoerano granuli di polline) sospese in un liquido caldo ricevevano continuamente urti rapidi edirregolari, in tutte le direzioni. Il fenomeno, che è osservabile anche in un flusso di gas edappare più evidente al microscopio, fu studiato in modo sistematico dal botanico scozzeseRobert Brown, al quale dunque fu attribuita la scoperta nel 1827. Nel 1900 L. Bachelier [6]propose di modellizzare le quotazioni di mercato di un titolo con un moto browniano (ne parlonel par. 4.2). Einstein nel 1905 studiò il moto browniano per stimare il cosiddetto numerodi Avogadro. Nel 1923 Norbert Wiener formalizzò il fenomeno in modo rigoroso e definitivo.Alla luce del modo puerile col quale qui introduco il processo di Wiener, acquista toni dicomicità involontaria il seguente teorema, di dimostrazione per nulla banale: Teorema (N.Wiener): Il moto browniano esiste.

30 Capitolo 3. Calcolo stocastico in pillole

2. W (t) ha incrementi stocasticamente indipendenti, cioè

t0 < t1 ≤ t2 < t3 ⇒ [W (t1)−W (t0)] e [W (t3)−W (t2)]

sono v.a. stocasticamente indipendenti(in simboli: [W (t1)−W (t0)] ⊥⊥ [W (t3)−W (t2)] )

3. l’incremento [W (z)−W (t)], con t < z, è una v.a. gaussiana (cioè nor-male) N

¡0,√z − t¢, cioè con media 0 e scarto quadratico medio √z − t

(ovvero varianza (z − t): vedi par. 14.4.6), perciò con funzione di densità

f (x) =1p

2π (z − t) expµ−12

(z − t)¶;

4. W (t) ha traiettorie continue 2, nel senso che risulta, con k · k normaeuclidea,

lim∆t→0

P [kW (t+∆t)−W (t)k > ε] = 0,∀ε > 0.

Detto questo, il p.s. di diffusione che descrive la dinamica di X (t) rispettoal tempo t parte dall’equazione

X (t+∆t)−X (t) = µ (t,X (t)) ∆t| {z }deriva

+ σ (t,X (t)) ∆W (t)| {z }diffusione

, (3.1.1)

nella quale, per raccontarla alla buona:

• µ (t,X (t)) è una funzione deterministica, detta coefficiente di deriva3 (didrift , di trend), che misura la velocità media locale (cioè all’istante t) conla quale X (t) cresce;

• σ (t,X (t)) è una funzione deterministica detta coefficiente di diffusione(o di dispersione) che amplifica il termine di disturbo (o di innovazione)∆W (t), cioè l’incremento [W (t+∆t)−W (t)] nel p.s. W (t), 4.

Se non ci fosse nulla di aleatorio che provoca effetti sul comportamento diX (t), cioè se fosse σ (t,X (t)) = 0,∀t, questo sarebbe descritto dalla sempliceequazione alle differenze

X (t+∆t)−X (t) = µ (t,X (t))∆t,2dovrei dire: traiettorie quasi certamente continue (par. 14.4.2).3 In origine deriva indica il fenomeno (i marinai e i velisti lo chiamano scarroccio) nel quale

un’imbarcazione viene sospinta di lato da vento, corrente e moto ondoso.4Alcuni chiamano ∆W (t) rumore bianco (white noise), termine che viene dalla Fisica.

Altri riservano questo nome a σ (t,X (t))×∆W (t).

3.1. Introduzione 31

che è l’anticamera dell’edo (equazione differenziale ordinaria: par. 14.3.1)

dX (t)

dt= µ (t,X (t)) ,

equazione che, con µ (t,X (t)) continua e X (0) valore iniziale noto, potreitrasformare nella corrispondente equazione integrale:

X (t) = X (0) +R t0 µ (z,X (z)) dz.

In questo ordine di idee, l’addendo σ (t,X (t))∆W (t) della (3.1.1) cercaproprio di descrivere gli effetti complessivi provocati da tutte le componentialeatorie che alterano la legge di evoluzione deterministica di X (t). La bontàcon cui quell’addendo approssima quegli effetti richiede che queste componentisiano abbastanza numerose, tra loro stocasticamente indipendenti e con lastessa distribuzione (è la legge dei grandi numeri del par. 14.4.13).

Ognuna delle traiettorie di un p.s. di Wiener (cioè delle sue possibilirealizzazioni) è continua, eccone un esempio:

Tuttavia le traiettorie di W (t) descrivono curve nelle quali, preso un t > 0qualsiasi, vale 1 sia la probabilità che il punto (t,W (t)) sia angoloso (cioè chelìW (t) non sia derivabile), sia quella che la traiettoria raggiunga presto o tardiqualunque valore si fissi in modo arbitrario: come dire che le variazioni localisono illimitate: sup k∆W (t)k = +∞. Noto anche che tutto ciò non dipende daquanto fine sia la scala con la quale il processo viene rappresentato (si dice cheW (t) ha natura frattale). Le traiettorie di X (t) ereditano quella continuitànon appena µ (t,X (t)) e σ (t,X (t)) sono continue (basta anche meno), comedi solito si assume. In più, fuori dal caso in cui σ (t,X (t)) è sempre nullo, letraiettorie di X (t) ereditano anche le altre 2 strane proprietà ora indicate perle traiettorie diW (t) (W (t) non è derivabile ed ha variazioni locali illimitate).

Come vedo subito, queste strane proprietà mi impediscono di dare all’e-quazione (3.1.1) significati eguali o simili a quelli standard. Per cominciare,fallisce subito l’idea ovvia di dividere i 2 membri della (3.1.1) per ∆t e passareai lim

∆t→0per ottenere

dX (t)

dt= µ (t,X (t)) + σ (t,X (t))

dW (t)

espressione priva di senso perché, ahimè, con P = 1 le traiettorie diW (t) sonofatte interamente di punti angolosi, perciò addio derivata dW (t) /dt. Falliscedunque anche la strada di giocare coi differenziali, cioè di scrivere la relazione

dX (t) = µ (t,X (t)) dt+ σ (t,X (t)) dW (t) , (3.1.2)

per ottenere quella che si chiama equazione differenziale stocastica (sigla: eds),ovvero il differenziale stocastico di X (t). Difatti, visto che la derivata di W (t)è un pio desiderio, è evidente che questa relazione è ancora priva di senso.

Per salvare qualcosa dal naufragio, nasce allora l’idea di intendere l’eds(3.1.2) come stenografia della corrispondente equazione integrale (vedi par.14.3.1)

X (t) = X (0) +R t0 µ (τ ,X (τ)) dτ +

R t0 σ (τ ,X (τ)) dW (τ) . (3.1.3)

Normalmente si preferisce scrivere l’eds nella forma differenziale (3.1.2) an-ziché in quella integrale (3.1.3), perché più comoda, dato che la prima esprimela dinamica di X (t) in forma istantanea, che è più intuitiva: l’incremento in-finitesimale X (t) è la somma tra un termine deterministico ed uno stocasticodi disturbo.

In ogni caso i guai non sono ancora finiti, perché adesso devo dare significatiai 2 integrali, supponendo pure µ (t,X (t)) e σ (t,X (t)) continue. Il 1◦ loposso leggere come un integrale di Riemann standard, mentre il 2◦ lo potreileggere come un integrale di Riemann-Stiltjes (par. 14.2.1) per ogni assegnatatraiettoria di W (t). Ma anche qui casca l’asino, perché, come già so, W (t)ha variazioni locali illimitate. Devo dunque cercare di dare un qualche altrosignificato sensato agli integrali del tipoR t

0 g (z) dW (z) , con

(g (z) processo stocastico,

W (z) processo di Wiener.(3.1.4)

Lo farò nel par. 3.3, introducendo il cosiddetto integrale di Itô (o integralestocastico), strumento essenziale, assieme a nuove regole di calcolo differenziale,per gestire le eds del tipo (3.1.2), ovvero le corrispondenti equazioni integrali(3.1.3).

3.2 Informazione

Cerco di formalizzare, sia pure in modo ingenuo, la nozione di informazionegenerata da un processo stocastico X = X (t) man mano che il tempo passa.

Col simbolo FXt indico l’informazione generata da X nell’intervallo [0, t],cioè (par. 14.4.11) la conoscenza di tutto ciò che è successo ad X in [0, t], inaltre parole l’intera traiettoria descritta da X su tutto [0, t], cioè l’insieme

FXt = {X (τ) ; 0 ≤ τ ≤ t} .

3.3. Integrale di Itô 33

Ora considero, di volta in volta, un evento aleatorio A, una v.a. Z, un p.s.Y = Y (t). Con le scritture

A(evento)

∈ FXt , Z(v.a.)

∈ FXt , Y(p.s.)

∈ FXt ,

indico che conoscere FXt , 5, mi basta per conoscere, rispettivamente, se l’eventoA si è verificato oppure no, quale determinazione ha assunto la v.a. Z, qualecomportamento ha mostrato il p.s. Y = Y (t). In questo caso rispettivamentedico che A, o Z o Y è adattato alla filtrazione FXt , ovvero che è FXt -misurabileo FXt -adattato. Ecco qualche esempio:

A = {X (t) ≤ 2,∀t ≤ 6} ⇒ A ∈ FX6 , A /∈ FX5 ,Z = max

1≤t≤10[X (t)] ⇒ Z ∈ FX10, Z ∈ FX14, Z /∈ FX5 ,

X (t) = supτ≤t

W (τ) , con W (t) p.s. di Wiener ⇒ Y (t) ∈ FXt = FWt .

3.3 Integrale di Itô

Ritorno al problema nel quale devo dare un significato ragionevole all’integraledel tipo (3.1.4). Considero un p.s. di Wiener W = W (t) e un altro p.s. g (t),anch’esso definito per t ≥ 0. Preso un intervallo [a, b] in [0,+∞), dico che g (t)appartiene alla classe L2 [a, b] se è non solo quadrato-sommabile (o quadrato-integrabile: vedi il par. 14.4.14), ma anche FWt -adattato, in breve:

g (t) ∈ L2 [a, b] ⇔( R b

a E£g2 (t)

¤dt < +∞,

g (t) ∈ FWt ,∀t ∈ [a, b] ,e se poi è g (t) ∈ L2 [0, t] ,∀t ≥ 0, allora dico brevemente che g (t) ∈ L2.

Ora prendo:

• un p.s. di Wiener W =W (t) e

• un p.s. g (t) ∈ L2 [a, b],e cerco di definire il cosiddetto integrale di Itô (o integrale stocastico)

I =R ba g (t) dW (t) . (3.3.1)

5FXt si indica anche con uno dei simboli

©FXτ , τ ∈ [0, t]

ª,©FX

ªτ∈[0,t], FX

τ∈[0,t]. Moltipreferiscono parlare di informazione Itk , con k ∈ {0, 1, . . . }, quando si lavora su fenomeni contempo discreto, riservando il termine di filtrazione al caso in cui l’informazione si aggiorna concontinuità. In ogni caso si assume che al crescere di t l’informazione non diminuisca, cioè nondimentichi mai il passato, dunque It0 ⊆ It1 ⊆ It2 . . . , ovvero FX

t ⊆ FXz se t < z. Effettuare

previsioni di una v.c. utilizzando Itk o FXt vuol dire calcolare valori medi condizionati : si

veda il par. 14.4.11.

Comincio col caso più semplice, cioè quello in cui g (t) è un p.s. semplice,nel senso che esistono istanti deterministici t0, t1, . . . , tn, con

a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b,

tali che g è funzione a scalini, cioè costante a tratti su ogni intervallo [tk, tk+1).In questo caso non ho problemi nel definire il numero

I =Pn−1k=0 g (tk) [W (tk+1)−W (tk)]

↑differenza in avanti !!!

, (3.3.2)

oggetto ben definito: devo solo stare attento che, mentre valuto g (t) all’estremosinistro tk di [tk, tk+1), l’incremento [W (tk+1)−W (tk)] in W (t) lo calcolo apartire da tale estremo, cioè tra tk e tk+1, e non all’indietro, come invecesarebbe se scrivessi, come di solito si scrive, [W (tk)−W (tk−1)], 6.

Se invece g (t) non è un p.s. semplice, allora (mettendola giù un po’ allabuona) procedo così:

• costruisco (e si dimostra che lo si può sempre fare) una successione dip.s. tutti semplici, g1 (t), g2 (t), . . . , che convergono in media quadraticaa g (t), nel senso che risulta (vedi par. 14.4.12)

limj→+∞

R ba Eh{gj (t)− g (t)}2

idt = 0; (3.3.3)

• poi per ciascun gj (t) calcolo l’integrale

Ij =R ba gj (t) dW (t) ,

che è ben definito, perché gj (t) è semplice e l’integrale lo calcolo secondola (3.3.2), che devo soltanto riscrivere con gj (tk) al posto di g (tk);

• infine definisco

I = limj→+∞

Ij , cioè:R ba g (t) dW (t) = lim

j→+∞R ba gj (t) dW (t) .

E così sono riuscito a definire l’integrale di Itô (3.3.1), dunque a dare unsignificato sensato alle equazioni (3.1.2) e (3.1.3).

Un’osservazione da non prendere sotto gamba è questa: in tutte le relazioniche coinvolgono integrali stocastici, il segno di eguaglianza (=) non va letto nelsenso ordinario di “è uguale a”, bensì sempre nel senso di “converge in mediaquadratica a”, come nella (3.3.3).

Ora segnàlo una prima proprietà dell’integrale di Itô:

6Molti commentano la scelta (3.3.2) dicendo che “l’integrazione non è anticipatoria”.

3.4. Martingale 35

Teorema 3.3.1 . Sia:

• W =W (t) un p.s. di Wiener;

• g (t) un p.s. di classe L2 [a, b], cioè :( R b

a E£g2 (t)

¤dt <∞,

g (t) ∈ FWt .

Allora risulta

a g (t) dW (t)i= 0 , (3.3.4)

Dimostrazione. (parziale). Mi limito al caso di g (t) semplice. Uso la(3.3.2) per calcolare

a g (t) dW (t)i= E

hPn−1k=0 g (tk) {W (tk+1)−W (tk)}

=Pn−1k=0 E [g (tk) {W (tk+1)−W (tk)}] .

Essendo g (t) ∈ FWt , g (tk) dipende solo da quello che W (t) ha fatto su [0, tk].E poiché W (t) ha incrementi stocasticamente indipendenti, W (tk+1)−W (tk)non dipende da g (tk), quindi

a g (t) dW (t)i=Pn−1k=0 {E [g (tk)]× E [W (tk+1)−W (tk)]} ,

e anche

a g (t) dW (t)i=Pn−1k=0 {E [g (tk)]× 0} = 0,

perché ogni [W (tk+1)−W (tk)] è v.a. con media 0.

3.4 Martingale

La definizione di integrale di Itô ha forti parentele con la teoria delle martin-gale 7, che è anche il fondamento principale della teoria moderna dei derivati.Ne parlo qui, molto alla buona (vedi il par. 14.4.17).

Considero la solita filtrazione Ft = FXt come informazione generata da unp.s. X nell’intervallo [0, t], compreso l’istante t in cui mi colloco. Prendo unav.a. Y e indico con

E [Y |Ft]7Per 999 Italiani su 1.000 la martingala è quel pezzo di cintura che sta dietro nel soprabito.

Il 1.000◦ è un Probabilista che, se lo facciamo bere, ci racconta i vari significati del termine,compreso quello che tra poche righe vedrò.

il valor medio di Y calcolato supponendo di conoscere tutte le informazionidisponibili a t. Fissato t, E [Y |Ft] è esso stesso una v.a., perché dipende datutti i valori assunti da X, cioè da {X (τ) ; 0 ≤ τ ≤ t}. Mi torneranno utili leseguenti 2 regole di calcolo (vedi par. 14.4.11 e 14.4.17):

• Siano Y e Z due v.a., e sia Z ∈ FYt . Allora:

E£ZY |FYt

¤= ZE

£Y |FYt

¤(ovvio: essendo Z ∈ FYt , a t il valore di Z lo conosco già).

• Se Y è una v.a., allora, grazie al fatto che Ft ⊆ Fz se t ≤ z, vale larelazione

t < z ⇒ E [E [Y |Fz] |Ft] = E [Y |Ft] ,(è la legge delle medie iterate, o legge della torre, ed è una versionespeciale della legge delle probabilità totali).

Ora introduco la nozione di martingala:

• Il p.s. X = X (t) è una (Ft)-martingala se gode di queste 3 proprietà:

a) X (t) è adattato alla filtrazione Ft;b) X (t) è integrabile (sommabile), cioè ammette valore atteso finito, nelsenso che risulta

E [ kX (t)k ] < +∞, ∀t;

c) risulta, con P = 1,

t ≤ z ⇒ E [X (z) |Ft] = X (t) . (3.4.1)

I valori medi E [ · ] sono calcolati con riferimento ad una assegnata distri-buzione di probabilità, la chiamo Q, e quando devo sottolineare questo fattoriscrivo E [ · ] come EQ [ · ] e dico che questo valor medio è calcolato sotto Q. Laproprietà (3.4.1) è forse la più importante (tant’è che la si chiama proprietà dimartingala) e, per quanto già detto nel par. 3.1, mi dice che una martingalaha una deriva nulla, dunque le sue traiettorie non mostrano alcun trend ditipo sistematico. Di conseguenza, quando è nota la storia del processo fino a tcompreso, è nullo il valor medio all’istante t dell’incremento di una martingalatra t e qualunque istante successivo z > t:

EQ [X (z)−X (t) |Ft] = EQ [X (z) |Ft]− EQ [X (t) |Ft] == X (t)−X (t) = 0.

3.4. Martingale 37

Si suole commentare questo risultato dicendo che una martingala model-lizza un gioco equo, oppure che, con una martingala, la miglior previsionedell’incremento futuro è 0, ovvero che la direzione di cambiamento è completa-mente non prevedibile. C’è solo da notare che un p.s. X = X (t) può perdere,oppure acquistare, la proprietà di essere una Ft-martingala in rapporto allafiltrazione Ft e/o alla distribuzione di probabilità che viene usata nel calcolareil suo valor medio.

Il seguente teorema generalizza la proprietà (3.3.4):

Teorema 3.4.1 . Se g ∈ L2 e W = W (t) è un p.s. di Wiener (o, più ingenerale, una martingala), allora

t < z ⇒ E£R zt g (τ) dW (τ) |FWτ

¤= 0.

Da questo teorema esce il seguente

Corollario 3.4.2 . Se g ∈ L2 e W =W (t) è un p.s. di Wiener, allora il p.s.

X (t) =R t0 g (τ) dW (τ) (3.4.2)

è una¡FWt ¢-martingala. Perciò ogni integrale di Itô è una martingala.

Dimostrazione. Scelgo t e z, con 0 < t < z. Calcolo

E£X (z) |FWt

£R z0 g (τ) dW (τ) |FWt

R t0 g (τ) dW (τ) |FWt

∈FWt , dunque =R t0g(τ) dW (τ)

+ E£R zt g (τ) dW (τ) |FWt

¤=0, per la (3.3.4)

=R t0 g (τ) dW (τ)

=X(t), per la (3.4.2)

= X (t) .

C’è anche il seguente risultato, più forte:

Teorema 3.4.3 . Nelle ipotesi di cui sopra, se assumo le necessarie condizionidi integrabilità, un p.s. X = X (t) che ha il differenziale stocastico

dX (t) = µ (t,X (t)) dt+ σ (t,X (t)) dW (t) ,

come nella (3.1.2), è una martingala se (e lo sapevo già) e solo se (e ancoranon lo sapevo) il suo differenziale stocastico non ha il termine in (dt), cioè see solo se ha deriva nulla, in altre parole se e solo se è del tipo

dX (t) = g (t) dW (t) .

Nelle applicazioni finanziarie è normale aver a che fare con processi chenon sono martingale. Ad esempio, se nella (3.1.2) la variabile X (t) descrivela quotazione di un’azione al tempo t, c’è da aspettarsi che, nel caso ovvioin cui è µ (t,X (t)) > 0, l’incremento nell’intervallo [t, t+ τ ] nella quotazioneabbia valor medio EP [X (t+ τ)−X (t)] > 0, quando calcolato con la sua di-stribuzione di probabilità effettiva P , sicché X (t) mostra un trend in salita.Ciò scende dal fatto che chi impiega denaro acquistando un’azione si aspettache il valore di questa cresca col tempo, almeno finché non vengono distribui-ti dividendi. Sorge dunque la necessità di convertire il p.s. X (t) in un altrop.s. che sia una martingala. In questa operazione si passa da X (t) al suovalore attuale X (t), calcolato al tasso di interesse (istantaneo) r privo di ri-schio, poi si cerca una nuova misura di probabilità, la chiamo Q, tale che siaEQ£X (t+ τ)− X (t)¤ = 0, nel qual caso Q viene detta misura di martinga-

la equivalente (vedi par. 14.4.3). Le 2 distribuzioni P e Q devono essere traloro equivalenti , cioè Q deve assumere valore positivo là dove e solo là doveP assume valore positivo. Questo trucco è già stato applicato, nei processi atempo discreto del par. 2.2, per arrivare alla definizione (2.2.3) delle probabilitàdi martingala qu e qd.

3.5 La formula di Itô

Sia X = X (t) un p.s. e W = W (t) un p.s. di Wiener. Suppongo esistano 2p.s. µ = µ (t,X (t)) e σ = σ (t,X (t)), entrambi FWt -adattati, e tali che X (t)verifichi, ∀t ≥ 0, l’equazione

X (t) = X0 +R t0 µ (τ ,X (τ))

∈FWtdτ +

R t0 σ (τ ,X (τ))

∈FWtdW (τ) , (3.5.1)

che stenografo scrivendo l’eds di X (t) e, già che ci sono, la condizione inizialedX (t) = µ (τ ,X (τ))

∈FWtdt+ σ (τ ,X (τ))

∈FWtdW (t) ,

X (0) = X0,

restando sottinteso, come sempre per il séguito, che µ e σ sono p.s. FWt -adattatie notando ancora una volta che questa eds ha senso soltanto come stenografiadella corrispondente equazione integrale (3.5.1).

Prendo ora una funzione di classe C2

F = F (t,X (t)) , con: t ≥ 0,X (t) ∈ R,F ∈ R,che trasforma il p.s. X = X (t) in un altro p.s., che chiamo

F = F (t,X (t)) .

3.5. La formula di Itô 39

Mi chiedo come sarà il differenziale stocastico di F , domanda per nullabanale se F non è lineare in X (t). Per scendere dal pero, nelle applicazionifinanziarie X (t) è la quotazione di un’azione e voglio cercare di capire com’èfatta la legge che esprime il prezzo F = F (t,X (t)) di un derivato scrittosull’azione.

Devo togliermi subito dalla testa l’idea di sfruttare le tecniche standardbuone per le funzioni deterministiche (per esempio, la derivata prima rispettoa t di F = F (t,X (t)) me la scordo, perché ∂X (t) /∂t non esiste) e procedoallora coi piedi di piombo, cercando prima di mettere a fuoco alcune proprietàdel p.s. di Wiener W (t) che mi saranno utili. Definisco, con 0 ≤ t < z,:

∆t = z − t,∆W =W (z)−W (t) ,

e noto che risulta (var sta per varianza)

E [∆W ] = 0, Eh(∆W )2

i= ∆t,

var [∆W ] = ∆t, varh(∆W )2

i= 2 (∆t)2 .

(3.5.2)

Che sia E [∆W ] = 0 scende dalla proprietà che l’incremento di un p.s. Wdi Wiener è una v.a. gaussiana con media 0. So anche che ∆W ha varianza(z − t) = ∆t, perciò

Eh(∆W )2

h(∆W )2

i− (E [∆W ])

2 = var [∆W ] = ∆t.

Per calcolare varh(∆W )2

iutilizzo la regola sulla varianza del prodot-

to (par. 14.4.8) esprimendo la covarianza (cov) per mezzo del coefficiente dicorrelazione ρ = ρ(∆W,∆W ):

varh(∆W )2

i= var [(∆W ) (∆W )] =

= var [∆W ]× var [∆W ] + cov [∆W,∆W ] == var [∆W ]× var [∆W ] + ρ var [∆W ]× var [∆W ] ;

ma ρ vale 1, perché ∆W e ∆W sono perfettamente correlati, ed essendovar [∆W ] = ∆t ho

varh(∆W )2

i= 2 (var [∆W ])2 = 2 (∆t)2 .

Dunque, quando∆t→ 0, (∆W )2 ha media e varianza entrambe infinitesimicon ∆t, però la sua varianza 2 (∆t)2 è infinitesimo di ordine superiore al 1◦

rispetto alla media ∆t. Ciò mi suggerisce la pensata

(dW )2 = dt, (3.5.3)

che ora cerco di giustificare. Fisso t > 0 e affetto (partiziono) [0, t] negli nsub-intervalli tn [0, 1],

tn [1, 2], . . . ,

tn [(n− 1) , n], ciascuno di ampiezza t

n . Dellavariazione quadratica Qn di W , cioè di

Qn =Pnk=1

nW¡ktn

¢−W ³(k−1)tn

calcolo il valor medio

E [Qn] =Pnk=1 E

·nW¡ktn

¢−W ³(k−1)tn

´o2¸=

=Pnk=1 E

£©tn

ª¤perché E[(∆W )2]=∆t

Poiché gli incrementi di p.s. di Wiener sono stocasticamente indipendenti,ho anche

var [Qn] = var

·Pnk=1

nW¡ktn

¢−W ³(k−1)tn

´o2¸=

=Pnk=1 var

·nW¡ktn

¢−W ³(k−1)tn

´o2¸=

Pnk=1 2

perché var[(∆W )2]=2(∆t)2

Dunque, mentre

limn→+∞ var [Qn] = 0, cioè var [Qn]→ 0,

limn→+∞E [Qn] = t, cioè E [Qn]→ t,

perciò E [Qn] ha un limite deterministico t. Il risultato che ho ottenuto parti-zionando [0, t] in n sub-intervalli e facendo un po’ di conti è lo stesso che miserve a calcolare l’integrale tra 0 e t di (dW ), sicché posso scrivereR t

0 (dW )2 = t, dunque (dW )2 = dt,

come avevo scommesso scrivendo la (3.5.3).

Queste proprietà sono l’antipasto della formula di Itô (talvolta detta lemmadi Itô o teorema fondamentale del calcolo stocastico), che qui, per alleggerirela notazione, presento stenografando un po’.

Teorema 3.5.1 (Formula di Itô) . Il p.s. X = X (t) abbia il differenzialestocastico

dX (t) = µdt+ σ dW (t) , (3.5.4)

3.5. La formula di Itô 41

con i p.s.

µ = µ (t,X (t)) , σ = σ (t,X (t))

entrambi FWt -adattati. Definisco il nuovo p.s.F = F (t,X (t)) ,

con F = F (t,X (t)) funzione di classe C2, le cui derivate parziali indico così:

Ft =∂F

∂t, FX =

∂X, FXX =

∂X2.

Allora F ha il differenziale stocastico

dF =£Ft + µFX +

12σ2FXX

¤| {z } dtcoefficiente di deriva

+ [σFX ]| {z } dW (t)

coeff. di diffusione

,(3.5.5)

o anche dF = Ft dt+ FX dX +

12FXX (dX)

con le regole:

((dt)2 = (dt) (dW ) = 0,

(dW )2 = dt.

(3.5.6)

Nella (3.5.6) la parola “regole” va intesa nel senso di “regole del pollice”,nel senso che funzionano senza essere rigorose. Molti distinguono tra la formuladi Itô (3.5.6) e il lemma di Itô (3.5.5), ma non è il caso di andare per il sottile.Delle 2 forme si può usare quella che di volta in volta conviene, citandolasempre come formula (o lemma) di Itô 8.

La (3.5.6) è quella più facile da ottenere. Una dimostrazione poco rigorosaparte sviluppando dF con la formula di Taylor sino ai termini del 2◦ ordine esfruttando poi le proprietà (3.5.2) e (3.5.3). Dalla (3.5.6) si trae facilmente la(3.5.5): sostituisco a (dX)2 il quadrato di dX (t) fornito dalla (3.5.4):

[dX]2 = [µ (dt) + σ (dW )]2 = µ2(dt)2| {z }0

+ σ2(dW )2| {z }dt

+ 2µσ(dt) (dW )| {z }0

= σ2 dt

8 In realtà pare che la vera formula (o lemma) di Itô dicesse anche altre cose e soprattuttoavesse un altro scopo più ampio. È vero, ma sull’altare della Didattica lo scopo giustifica imezzi, cioè si gode di una speciale licenza di mentire, sicché si possono commettere falsi storiciper raccontarla come conviene, facendola franca. Tra parentesi, segnalo che non occorre cheFt sia di classe C1, basta che sia continua.

ed ottengo, ancora usando la (3.5.4), la (3.5.5):

dF = Ftdt+ FX [dX] +12FXX [dX]

= Ft (dt) + FX [µ (dt) + σ (dW )] + 12FXXσ

=¡Ft + µFX +

12σ2FXX

¢dt+ σFX (dW ) .

Al contrario, una dimostrazione rigorosa sarebbe un barboso e crudele cilicioutilizzabile per martirizzare gli Studenti, perciò la lascio stare.

Osservazione lapalissiana: se le variabili in gioco fossero tutte deterministi-che (cioè se fosse dX (t) = µdt), allora il differenziale di F (t,X (t)) sarebbel’usuale differenziale di Newton-Leibniz, cioè nient’altro che

dF = Ft dt+ FX dX,

ottenuto, visto che F è funzione di 2 variabili, con la cosiddetta regola dellacatena. Anche la (3.5.6), ottenuta con lo sviluppo in serie di Taylor e propo-sta da Itô proprio per variabili non deterministiche bensì stocastiche, ricordatanto la regola della catena per le funzioni deterministiche di 2 variabili, con ladifferenza però che il termine 12FXX (dX)

2, là assente, stavolta ha invece pienodiritto di cittadinanza semplicemente perché (dX)2 non è un infinitesimo con(dt) “trascurabile”, cioè di ordine superiore al 1◦ rispetto a (dt). Una ovviaconseguenza è che se F è lineare (dunque se FXX è sempre nulla), il differenzia-le standard e quello di Itô coincidono. Purtroppo, quando F misura il valore diun derivato scritto su un sottostante di valore X (t), F non è per nulla lineare.

3.6 La formula di Itô in forma integrale

Esiste anche una versione in forma integrale della formula di Itô. Riparto dalla(3.5.4):

dX (t) = µ (t) dt+ σ (t) dW (t) ,

con i p.s.

µ (t) = µ (t,X (t)) , σ (t) = σ (t,X (t))

entrambi FWt -adattati, e dalla funzione F = F (t,X (t)), governata dall’eds(3.5.5):

dF =£Ft + FXµ (t) +

12FXXσ

2 (t)¤dt+ [FXσ (t)] dW (t) .

Ora sfrutto l’eguaglianza

F (t,X (t)) = F (0,X0) +R t0 dFτ

3.7. La formula di Itô multi-dimensionale 43

per ottenere

F (t,X (t)) = F (0,X0) +R t0 dF (τ ,X (τ)) =

= F (0,X0) +R t0

©£Fτ +

12FXXσ

2 (τ)¤dτ + FXµ (τ) dτ + FXσ (τ) dW (τ)

ª= F (0,X0) +

£Fτ + 12FXXσ

2 (τ)¤dτ + FX [µ (τ) dτ + σ (τ) dW (τ)]| {z }

dX(τ)

= F (0,X0) +

©£Fτ +

12FXXσ

2 (τ)¤dτ + FX dX (τ)

dunque

F (t,X (t)) = F (0,X0) +R t0

£Fτ +

12FXXσ

2 (τ)¤dτ +

R t0 FX dX (τ) ,

o ancheR t0 FX dX (τ) = [F (t,X (t))− F (0,X0)]−

£Fτ +

12FXXσ

2 (τ)¤dτ ,

espressione nella quale l’integrale al 2◦ membro è rispetto al tempo.

3.7 La formula di Itô multi-dimensionale

Della solita eds, che qui riscrivo con una variante tipografica (a e b al posto diµ e σ)

dX (t) = a (t) dt+ b (t) dW (t) ,

esistono alcune varianti multi-dimensionali. Qui ne vedo un paio.

3.7.1 Prima variante

Nella prima variante definisco il sistema di n eds

dXi (t) = ai dt+ bi dWi (t) , i ∈ {1, 2, . . . , n} , (3.7.1)

con Xi = Xi (t) p.s. che dipende dal p.s. di Wiener Wi (t), essendo ρij ilcoefficiente di correlazione tra (dWi) e (dWj):

E [(dWi) (dWj)] = ρij dt.

In pratica il calcolo di ρij lo faccio registrando i valori che ogni Xi assumesull’arco di m osservazioni giornaliere sul totale di N giorni dell’intero anno(con rilevazioni trimestrali, di solito si prende m = 63 giorni lavorativi su

N = 252). Indico con Xit l’osservazione di Xi all’istante t. Calcolo la mediaXi di Xi:

Xi =1m

Pmt=1Xit

e la covarianza

cov [Xi,Xj ] =N

m (m− 1)Pmt=1

¡Xit − Xi

¢ ¡Xjt − Xj

nonché nel caso i = j la varianza e lo scarto quadratico medio di Xi:

var [Xi] = cov [Xi,Xi] =N

m (m− 1)Pmt=1

¡Xit − Xi

σi = σi [Xi] =pvar [Xi] =

m (m− 1)Pmt=1

¡Xit − Xi

¢2Raccolgo i coefficienti di correlazione ρij nella matrice

ρ =£ρij¤d×d =

·cov [Xi,Xj ]

σiσj

che è simmetrica (ρ = ρ0), 9 e con elementi diagonali unitari.Definisco anche un p.s. (scalare)

F = F (t,X (t)) , con: t ≥ 0,X (t) ∈ Rn, F ∈ R,F ∈ C2,

e i simboli

Ft =∂F

∂t, Fi =

∂Xi, Fij =

∂Xi ∂Xj.

A questo punto la formula di Itô multi-dimensionale ha questa faccia:

dF =³Ft +

Pni=1 aiFi +

Pnj=1 ρijbibjFij

Pni=1 biFi dWi (t) .

(3.7.2)

Se i processi di Wiener da W1 a Wn sono tra loro stocasticamente indipen-denti, allora ogni σij con i 6= j è nullo e la matrice ρ coincide con la matriceidentica, nel qual caso la formula (3.7.2) si alleggerisce in:

dF =hFt +

Pni=1 aiFi +

Pni=1 (bi)

Pni=1 biFidWi (t) , (3.7.3)

9Qui e nel séguito uso l’apice per indicare la trasposizione di vettori e matrici e laderivazione di funzioni.

3.7. La formula di Itô multi-dimensionale 45

3.7.2 Seconda

Nel sistema (3.7.1) ogni p.s. Xi (t) dipende dal solo p.s. di WienerWi (t). Nullavieta di far dipendere Xi (t) da un intero vettore colonna di Rd

W (t) = [W1 (t) , W2 (t) , . . . , Wd (t)]0

di p.s. di Wiener, che per semplicità qui considero non correlati. L’eds (3.7.1)va allora riscritta nella forma

dXi (t) = ai dt+ [ci1 dW1 (t) + · · ·+ cid dWd (t)] , i ∈ {1, 2, . . . , n} . (3.7.4)

Ora introduco un po’ di notazioni nuove per compattare la scrittura. Indicoanzi tutto con

Ci = [ci1, ci2, . . . , cid]

la i-esima riga della matrice di diffusione (o di volatilità)

C = [cij ]n×d(matrice di volatilità)

C1...Cn

con Ci dW (t) il solito prodotto scalare tra Ci e dW (t):

Ci dW (t) =Pdj=1 cij dWj (t) ,

poi i vettori

X (t) = [X1 (t) , X2 (t) , . . . , Xn (t)]0 , dX (t) = [dX1 (t) , dX2 (t) , . . . , dXn (t)]0 ,

a = [a1, a2, . . . , an]0 , (∇F )

(gradiente di F )= [F1, F2, . . . , Fn] .

Posso ora compattare la (3.7.4) nella forma

dXi (t) = ai dt+Ci dW (t) , i ∈ {1, 2, . . . , n} , (3.7.5)

ovvero

dX (t) = adt+CdW (t) . (3.7.6)

A questo punto la formula di Itô per il p.s. F = F (t,X (t)) definito comesopra è:

Ft + Pni=1 aiFi| {z }(∇F )a

Pnj=1mijFij

+Pni=1 Fi [Ci (dW)] , conM = [mij ] = CC

(3.7.7)

Naturalmente, esiste anche un’analoga formula per p.s. di Wiener correlati.

Capitolo 4

Eds e Edp

“ . . . the final test of a model is not how reasonable the assumptionsbehind it appear but how well the model describes reality”

(E.J. Elton, M.J. Gruber, [22], p. 294)

4.1 Introduzione

Rinvio al par. 14.3.2 per la nozione di edp (equazione alle derivate parziali).La soluzione di una eds è legata a doppio filo a quella di una particolare edpe questo capitolo vuole proprio cogliere questa parentela. La prima cosa chemi chiedo riguarda un problema di esistenza. Parto dal sistema(

dX (t) = µ (t,X (t)) dt+ σ (t,X (t)) dW (t) ,

X (0) = x◦,(4.1.1)

nel quale, al solito, considero l’eds come stenografia di

X (t) = x◦ +R t0 µ (τ ,X (τ)) dτ +

R t0 σ (τ ,X (τ)) dW (τ) , (4.1.2)

e mi chiedo se, una volta assegnati il p.s. di Wiener W (t), le funzioni scalarireali µ (t,X (t)) e σ (t,X (t)) definite per t ≥ 0 e FWt -adattate, nonché il numerox◦ ∈ R, esiste un p.s. X (t) ∈ R che risolve il sistema. Per soddisfare questacuriosità c’è il seguente

Teorema 4.1.1 . Se le funzioni µ (t, x) e σ (t, x) sono di classe C1, allora ilproblema (4.1.1) ammette unica soluzione X (t) (una sola per ogni traiettoriadi W (t)). Inoltre:

1. X (t) è FWt -adattata e ogni traiettoria del p.s. di Wiener W (t) vienetrasformata in una corrispondente traiettoria di X (t) (risolvere l’edsvuole infatti dire descrivere quella trasformazione);

2. X (t) ha traiettorie continue;

3. X (t) è un p.s. markoviano.

48 Capitolo 4. Eds e Edp

Questo risultato 1 si estende, con varianti ovvie, al caso in cui intervienel’una e/o l’altra di queste generalizzazioni:

• al posto di W (t) e dW (t) ho i vettori

W (t) = [W1 (t) , . . . ,Wd (t)]0

di p.s. di Wiener e

dW (t) = [dW1 (t) , . . . ,dWd (t)]0 ;

di conseguenza, al posto della funzione σ (t,X (t)) ∈ R c’è una funzionevettoriale

σ (t,X (t)) = [σ1 (t,X (t)) , . . . ,σd (t,X (t))] ,

con ogni σi = σi (t,X (t)) definita per t ≥ 0 e X (t) ∈ R, nel qual casoσ (t,X (t)) dW (t) indica il prodotto scalare

σ (t,X (t)) dW (t) =Pdi=1 σi (t,X (t)) dWi (t) ;

• al posto del p.s. X (t) ∈ R e di x◦ ∈ R ho i vettori colonna

X (t) = [X1 (t) , . . . ,Xn (t)]0 ,

x◦ = [x◦1, . . . , x◦n]0 ,

µ (t,X (t)) = [µ1 (t,X (t)) , . . . , µn (t,X (t))]0 ;

di conseguenza, sostituisco il vettore σ (t,X (t)) con una matrice σ (t,X (t))di ordine (n, d) e leggo la (4.1.1) come sistema di eds.

4.2 Moto browniano geometrico

Il cosiddetto moto browniano geometrico (o esponenziale, o economico) è quellodescritto da una particolare eds , che nel caso più semplice ha questa faccia:

dXt = αXt dt+ σXt dWt,

X0 = x◦,

con : x◦ noto, α e σ costanti.(4.2.1)

Avvertenza : d’ora in poi userò spesso notazioni come Xt, St, Wt, Bt,µt e σt come stenografie di X (t), S (t), W (t), B (t), µ (t) e σ (t), mentre Ft

1Esso ne richiama uno analogo per il problema di Cauchy riferito ad una edo (par. 14.3.1).Qui come là, lo posso riformulare supponendo µ (t, x) e σ (t, x) funzioni continue lipschitziane.

4.2. Moto browniano geometrico 49

continuerà ad indicare ∂F/∂t. Aggiungo anche che mi concedo la licenza diusare il simbolo σ per indicare talvolta una funzione, talaltra una costante.Analogo discorso vale per µ e α.

Nella (4.2.1) Xt e Wt sono scalari, al pari delle costanti α e σ. Noto subitola caratteristica principale di questa eds: i suoi coefficienti di deriva (αXt) edi diffusione (σXt) sono proporzionali a Xt. In altre parole si tratta di un casoun po’ speciale della consueta eds (3.1.2), nel senso di questa tabellina:

coefficiente ↓ nell’eds (3.1.2)dXt=µ(t,Xt) dt+σ(t,Xt) dWt

nella (4.2.1)dXt=αXt dt+σXt dWt

di deriva µ (t,Xt) αXt (con α costante)

di diffusione σ (t,Xt) σXt (con σ costante)

(4.2.2)

Mi può tornare utile pensare che la (4.2.1) esca aggiungendo il terminedi disturbo (σXt) dWt al 2◦ membro della semplice edo dXt = αXt dt, allaquale compete la soluzione Xt = x◦eαt, ad esempio tipica del montante Xt delcapitale X0 = x◦ in capitalizzazione composta al tasso istantaneo di interesseα dopo la durata di impiego t. Nel grafico che segue sono disegnate 2 curve Xt:una regolare, che è la soluzione Xt = x◦eαt dell’equazione (4.2.1) con σ = 0 edun’altra irregolare che è un possibile esempio di traiettoria del p.s. Xt con uncerto σ > 0. La prima ha tutta l’aria di essere E [Xt] e, come vedrò tra breve,lo è davvero.

Mi conviene pensare a (dXt) come al rendimento di un’azione nell’intervallo[t, t+ dt], rendimento che scompongo in due componenti: una deterministica,detta sistematica (o prevedibile), αXt dt, con α tasso istantaneo di rendimento,ed una casuale (o di disturbo, o non prevedibile) σXt dWt. Ad alti valori diσ > 0 corrispondono variazioni casuali più frequenti e più ampie nel prezzodell’azione, così che questo è, come suol dirsi, molto volatile: ecco perchéil parametro σ viene detto volatilità del prezzo dell’azione (qualcuno riservaquesto nome a σ2, pazienza!). Il modello (4.2.1) è anche il punto di partenzadel modello di Black e Scholes (sigla b&s), che vedrò nel cap. 6.

Osservazione curiosa: Banche, Finanziarie e operatori di Borsa sono colle-gati ad Agenzie (le più famose sono Reuters e Bloomberg) che consentono di

leggere su un monitor le informazioni in tempo (quasi) reale sulle quotazionidi Borsa dei vari titoli. Dato che i tempi di aggiornamento sono brevissimi, laparte di gran lunga più importante degli incrementi ∆Xt nelle quotazioni Xtdi un’azione va addebitata all’addendo che esprime la volatilità del prezzo, cioèa σXt dWt, sicché le relative variazioni percentuali nelle quotazioni di 2 istantisuccessivi valutano proprio σ (dWt). Lo stesso Louis Bachelier, che è “il non-no“ della teoria dei derivati, nel 1900 [6] osservò che i grafici delle quotazionidi Borsa di azioni con ampio mercato avevano un aspetto sorprendentementesimile a quelli di possibili realizzazioni di un p.s. Xt descritto da un’eds deltipo (3.1.2). Dunque propose proprio di adottare quello schema per descriverela dinamica di quelle quotazioni. Giudicata con gli occhi di oggi (classico erroredi prospettiva!), la proposta era un po’ ingenua, perché nei suoi sviluppi nonprevedeva l’attualizzazione di capitali futuri, ma soprattutto per la scelta infe-lice dell’eds, che descriveva gli incrementi assoluti nel valore del titolo anzichéquelli relativi. Al contrario, in una eds del tipo (4.2.1) deriva e volatilità sonoinvece proporzionali alla quotazione Xt, come il buon senso impone (fermo ilresto, incrementi attesi e volatilità sono proporzionali alla quotazione!). In più,una eds del tipo (3.1.2) ammette anche traiettorie con St ≤ 0 per qualche t(assurdo!). Tuttavia la proposta di Bachelier ha fatto davvero parecchia stra-da. Ad essa seguirono infatti altri contributi in quel campo, fino al modello dib&s, che faceva perno su un’ipotesi molto più semplice e convincente (l’assenzadi possibilità di arbitraggio) di quelle adottate in precedenza.

Presento ora una riflessione a ruota libera (cioè che il mio prossimo nonè obbligato a condividere). Tra gli sport meno costosi, quello di produrremodelli basati su ipotesi ingenue è uno dei più pericolosi. Sarà bene allora cherifletta un attimo per chiedermi “cosa ci sta sotto” all’ipotesi che la quotazionedi mercato Xt di un’azione sia governata dall’eds (4.2.1). Probabilmente ciòsignifica immaginare quanto segue:

• La componente sistematica (αXt dt) è una caratteristica autonoma deltitolo; essa dovrebbe riflettere le aspettative che il mercato si fa sui redditiche il titolo potrà produrre in futuro e sui rischi connessi.

• La componente casuale (σXt dWt) è invece generata dal Caso, come seesistesse un’entità superiore (chiamiamola pure il Caso, se ci fa comodo,oppure la legge dei grandi numeri che ho già invocato nel par. 3.1) che diistante in istante produce numeri casuali con una distribuzione gaussianae li spara sul mercato.

• Di istante in istante, le 2 componenti si sommano ed aggiornano la quota-zione; domanda e offerta ne prendono nota e immediatamente reagisconodi conseguenza; tuttavia (attenzione!) non è il gioco della domanda edell’offerta a generare cambiamenti nei prezzi, bensì sono questi rialzi

4.2. Moto browniano geometrico 51

e ribassi casuali di quotazione che provocano reazioni nella domanda enell’offerta. Qui il consueto paradigma che ho in mente da quando avevoi calzoni corti (domanda e/o offerta si muovono ⇒ il prezzo si muove) èdunque capovolto.

Se queste sono le ipotesi nascoste sotto al meccanismo (4.2.1) (e non sapreia cos’altro pensare) è bene saperlo, senza coltivare illusioni. In altre parole, seanche è vero (e in larga misura lo è) che il moto browniano geometrico è bra-vissimo a scimmiottare le traiettorie che le quotazioni di un titolo descrivono,è bene che non mi faccia prendere da facili entusiasmi, perché accanto ad unacapacità descrittiva confortante ne trovo una interpretativa un po’ povera. Citornerò su nel par. 7.7.10.

Il teorema 4.1.1 mi assicura che l’eds (4.2.1), cioè(dXt = αXt dt+ σXt dWt,

X0 = x◦,

ammette soluzione unica Xt (una per ogni traiettoria di Wt). Scommettendoche essa si mantenga in ogni caso > 0,∀t, considero la trasformazione

F = F (t,Xt) = lnXt

e cerco di costruire l’eds che governa F . Dopo aver calcolato

Ft = 0, FX =1

Xt, FXX =

−1(Xt)

uso la formula di Itô (3.5.5). Come già so, a partire dall’eds

dXt = µdt+ σ dWt,

essa mi propone, per F = F (t,Xt), l’eds

dF =£Ft + FXµ+

12FXXσ

2¤dt+ [FXσ] dWt.

Qui devo solo stare attento a una trappola: come già chiarito nella tabella(4.2.2), nella mia eds (4.2.1) i coefficienti di deriva µ e di volatilità σ sonostavolta (αXt) e (σXt). Ottengo dunque

Xt(αXt) +

µ −1(Xt)

¶(σXt)

Xt(σXt)

¸dWt,

cioè l’equazione

dF =³α− σ2

´dt+ σ dWt,

che subito integro sfruttando la condizione iniziale F (0,X0) = lnX0 = lnx◦:

F = lnx◦ +³α− σ2

´t+ σ

R t0 dWτ =

= lnx◦ +³α− σ2

´t+ σ

µWt −W0

ottenendo alla fin della fiera

Xt = x◦ exp

©¡α− 1

2σ2¢t+ σWt

ª. (4.2.3)

Questa relazione è spesso usata sia in questa versione, sia nella forma

ST = St exp©¡α− 1

2σ2¢(T − t) + σ (WT −Wt)

ª, (4.2.4)

alla quale arrivo sostituendo Xt con St e partendo dalla condizione iniziale(t, St) anziché (0, x◦) e dunque integrando in [t, T ] anziché in [0, t].

Con questa faticata sono davvero riuscito a risolvere l’eds (4.2.1), perchéla (4.2.3) descrive in modo esplicito (si dice in forma chiusa) il modo col qualeuna qualunque traiettoria del p.s. di Wiener Wt viene trasformata in una cor-rispondente traiettoria di Xt. Devo dire che questo è uno dei rarissimi casi incui il gioco riesce 2. Lo sfrutterò a man bassa più avanti nel par. 6.5. La (4.2.3)mostra anche che la scommessa iniziale sulla positività della soluzione Xt della(4.2.1) era vincente.

Se il p.s. Xt descrive un moto browniano geometrico, cioè del tipo (4.2.1),allora si dice che Xt ha una distribuzione log-normale (vedi par. 14.4.6), sem-plicemente perché, pur non avendo Xt una distribuzione normale, ce l’ha inveceil suo logaritmo naturale

lnXt = lnx◦ +

³α− σ2

´t+ σWt,

che infatti ha distribuzione N³lnx◦ +

³α− σ2

´t,σ√t´.

Ho già anticipato che risulta E [Xt] = x◦eαt. Ora lo dimostro. Parto da Xtgovernato dall’eds (4.2.1), cioè da

dXt = αXt dt+ σXt dWt, X0 = x◦.

2Nel fortunato caso in esame sono riuscito a trovare addirittura la cosiddetta soluzione for-te dell’eds, cioè una legge deterministica che trasforma i dati (X0, µ,σ, t,Wt) in una funzioneXt che risolve l’equazione. Quando non sono così fortunato (cioè praticamente sempre) midevo invece accontentare di qualcosa di meno, cioè di cercare la cosiddetta soluzione debole .Si tratta di un p.s. FW

t -adattato Xt che verifica l’eds, la verifica essendo intesa non nel sensoche derivando Xt ottengo l’eds di partenza (non posso derivare un p.s.!), bensì nel senso che,calcolandone il differenziale stocastico (mediante la formula di Itô) mi ritrovo l’eds, ovverola corrispondente equazione integrale.

4.3. Eds e teorema di Feynman-Kac 53

Definisco la trasformazione

F = F (t,Xt) = Xte−αt,

e mi calcolo subito

Ft = −αXte−αt, FX = e−αt, FXX = 0,

per applicare il lemma di Itô (3.5.5):

dF =£(Ft) + (FX)αXt +

12 (FXX)σ

¤dt+ σXtFX dWt =

=£¡−αXte−αt¢+ ¡e−αt¢αXt + (0)¤ dt+ σXt

¡e−αt

¢dWt,

dF = σXte−αt dWt.

Integro tra 0 e t e sostituisco F con Xte−αt e X0 con x◦:

F (t,Xt)− F (0,X0) = σtR0

e−ατXτ dWτ ,

Xte−αt = X0e−α0 + σ

e−ατXτ dWτ = x◦ + σ

e−ατXτ dWτ ,

Xt = x◦eαt + eαtσ

e−ατXτ dWτ ;

infine passo ai valori medi:

E [Xt] = E£x◦eαt

·σtR0

eα(t−τ)Xτ dWτ

= x◦eαt + E·σtR0

eα(t−τ)Xτ dWτ

¸| {z }

=0, per la (3.3.4)

= x◦eαt.

4.3 Eds e teorema di Feynman-Kac

Ci sono legami molto stretti tra le eds e certe edp dette paraboliche. Infatti,sotto opportune condizioni (che in pratica sono sempre verificate), è possibileesprimere la soluzione di un problema di valori al contorno per una edp diquesto genere in termini di una particolare soluzione di una eds che si as-socia in modo naturale al problema. Il tutto sta nella cosiddetta formula dirappresentazione stocastica di Feynman-Kac che esce dal seguente

Teorema 4.3.1 (Feynman-Kac) . Uso la consueta notazione abbreviata

X = X (t) = Xt, F = F (t,Xt) ,

Ft = ∂F/∂t, FX = ∂F/∂X, FXX = ∂2F/∂X2,

e suppongo che:

• il p.s. Xt sia l’unica soluzione, con t ∈ [0, T ], del problemadXt = µdt+ σ dWt, 0 ≤ t ≤ T, (4.3.1)

con X0 noto, e con

µ = µ (t,Xt) , σ = σ (t,Xt) ,

p.s. entrambi di classe L2 [0, T ];• la funzione F = F (t,Xt) ∈ C2 sia l’unica soluzione, con t ∈ [0, T ], delproblema (

Ft + µFX +12σ2FXX − rF = 0, 0 ≤ t ≤ T,

F (T,XT ) = Φ (XT ) ; ← (condizione al contorno)(4.3.2)

• il p.s. σ (t,Xt)FX (t,Xt) sia di classe L2 [0, T ].Allora F (t,Xt) ammette la rappresentazione

F (t,Xt) = Ehe−r(T−t)Φ (XT ) |Ft

i, (4.3.3)

F (t,Xt) = e−r(T−t)E [Φ (XT ) |Ft] . (4.3.4)

Dimostrazione. Considero il p.s. Xt (per ipotesi unico) che risolve l’eds(4.3.1) e applico la formula di Itô (3.5.5) al p.s.

Z = Z (t,Xt) = e−rtF (t,Xt) .

Calcolo (stenografo Z (t,Xt) con Z, ∂Z/∂t con Zt, ecc.)

Zt = −re−rtF + e−rtFt, ZX = e−rtFX , ZXX = e

−rtFXX

ed ottengo

dZ =¡Zt + µZX +

12σ2ZXX

¢dt+ (σZX) dWt =

=¡−re−rtF + e−rtFt + µe−rtFX + 1

2σ2e−rtFXX

¡σe−rtFX

¢dWt =

= e−rt¡Ft + µFX +

12σ2FXX − rF

¢=0, per la (4.3.2)

dt+¡e−rtFXσ

¢dWt,

dZ = σ¡e−rtFX

¢dWt,

4.3. Eds e teorema di Feynman-Kac 55

in definitiva

dZ (t,Xt) = σZX (t,Xt) dWt.

L’ipotesi su σFX = σertZX mi consente sia di integrare tra t e T :R Tt dZ (τ ,Xτ ) =

R Tt σ (τ ,Xτ )ZX (τ ,Xτ ) dWτ ,

ottenendo

Z (T,XT )− Z (t,Xt) =R Tt σ (τ ,Xτ )ZX (τ ,Xτ ) dWτ ,

sia di passare ai valori medi condizionati a Ft:

E [Z (T,XT ) |Ft] = E [Z (t,Xt) |Ft] + EhR T

t σ (τ ,Xτ )ZX (τ ,Xτ ) dWτ |Fti,

E [Z (T,XT ) |Ft] = Z (t,Xt)(t e Xt sono noti)

+ EhR T

t σ (τ ,Xτ )ZX (τ ,Xτ ) dWτ |Fti

0, per il teorema 3.4.1

= Z (t,Xt) ,

ottenendo così, per la definizione di Z,

E£e−rTF (T,XT ) |Ft

¤= e−rtF (t,Xt) ,

e−rTE [F (T,XT ) |Ft] = e−rtF (t,Xt)cioè : F (t,Xt) = e−r(T−t)E [F (T,XT ) |Ft] .

Grazie alla condizione al contorno F (T,XT ) = Φ (XT ), riscrivo come

F (t,Xt) = e−r(T−t)E [Φ (XT ) |Ft]

e ottengo così la (4.3.4).

Questo teorema merita alcuneOsservazioni:

• Nella (4.3.4) la scrittura E [Φ (XT ) |Ft] indica che il valor medio è calcola-to tenendo conto dell’informazione disponibile all’istante t nel problema(4.3.1). Posso dire la stessa cosa scrivendo Et,Xt [Φ (XT )], come farò nelséguito per brevità, dunque scrivo:

F (t,Xt) = e−r(T−t)Et,Xt [Φ (XT )] . (4.3.5)

• Il teorema 4.3.1 è un falso storico: il vero teorema di Feynman-Kac è unaltro, che da quello si ottiene ponendo r = 0; la variante che più interessale applicazioni finanziarie è quella con r > 0, essendo r il tasso istantaneodi interesse privo di rischio, costante con t.

• Il teorema vale anche con r non costante, bensì descritto da un p.s.r (t,Xt) adattato; in tale caso nella (4.3.3) il fattore di attualizzazione

e−r(T−t) è sostituito da exp³− R Tt r (z,Xz) dz´.

• Nell’eds (4.3.1) la funzione µ = µ (t,Xt), che misura la velocità (media)di accrescimento di Xt, è la stessa che compare nell’edp (4.3.2), tuttavianella formula di rappresentazione (4.3.5) questa µ non compare per nulla.

• Del teorema esiste anche una versione vettoriale. Mi limito a quellacoi Wi (t) non correlati. Usando le notazioni del par. 3.7.2 e lasciandosottintesa la dipendenza dalla coppia (t,x) in a, C,mij (elemento diM =[mij ] = CC0), F e le sue derivate, ottengo quella versione sostituendol’edp nella (4.3.2) con

Ft +Pni=1 aiFi +

Pnj=1mijFij − rF = 0,

e l’eds nella (4.3.1) con la (3.7.6):

dXt = adt+CdWt. (4.3.6)

Capitolo 5

Derivati a tempo continuo

“Always take a pragmatic view in applied mathematics:the proof of the pudding is in the eating.”

(N.H. Bingham, R. Kiesel, [8], p. viii)

Ora mi occupo di valutazione di un T -derivato in un modello a tempocontinuo. Molte delle definizioni, notazioni e idee già raccontate per i modellidiscreti le ritroverò qui. Avverto che d’ora in poi r indicherà sempre il tassoistantaneo di interesse del bond privo di rischio.

5.1 Portafogli auto-finanzianti

Lavoro su un mercato con più attività finanziarie, diciamo pure n azioni (mapotrebbe esserci di tutto). All’istante t ≥ 0 il mio portafoglio è descritto dalvettore riga

x (t) = [x1 (t) , . . . , xn (t)] ,

con xi (t) quantità (T 0) della i-esima azione nel mio portafoglio, 1. Indico conS (t) = [S1 (t) , . . . , Sn (t)]

0 il vettore colonna dei prezzi delle n azioni all’istantet, sicché

V x (t) = x (t)S (t) =Pni=1 xi (t)Si (t)

è il valore a t del portafoglio x (t). V x (0) è l’investimento iniziale, detto anchedotazione. Non sono distribuiti dividendi (più tardi nel par. 8.1 ci ripenso).

Per calcolare la variazione nel valore V x (t) del portafoglio x (t) devo cal-

1Nei par. 2.1 e 2.2 ho già introdotto, per il modello binomiale mono- e multi-periodale,il vettore x ∈ RT , la cui componente xt = (bt, st) indicava il portafoglio, composto da btbond e st azioni, deciso a (t− 1) e detenuto in tutto [t− 1, t), con t ∈ {1, 2, . . . , T}. Orainvece x = x (t) sta in Rn e la sua componente xi (t) indica la quantità dell’azione i-esimache all’istante t ho in portafoglio. Proseguo a scrivere in grassetto vettori e matrici.

58 Capitolo 5. Derivati a tempo continuo

colare il differenziale di V (t), cioè 2

dV x (t) = [dx (t)]S (t) + x (t) [dS (t)] + [dx (t)] [dS (t)] =

=Pni=1 xi (t) dSi (t)| {z }effetto prezzo

+Pni=1 dxi (t) [Si (t) + dSi (t)]| {z }

effetto quantità

Il 1◦ addendo lo chiamo effetto prezzo perché indica la variazione in V x (t)che deriva dalle sole variazioni dSi (t) nei prezzi mentre le quantità xi (t) stannoferme. Il 2◦ lo chiamo effetto quantità perché misura il resto, cioè l’effetto suV x (t) provocato dalle variazioni dxi (t) nelle quantità mentre i prezzi Si (t)si muovono. Se l’effetto quantità fosse > 0 (< 0), allora vorrebbe dire che levariazioni nel portafoglio x (t) mi generano (mi assorbono) fondi. Bene, dicoche x (t) è un paf se e solo se l’effetto quantità è nullo, un po’ come nell’analogovincolo di bilancio (2.2.1) dello schema discreto. Ciò vuol dire che, pur potendomodificare il paf x (t)man mano che il tempo passa e S (t) cambia, devo evitareulteriori iniezioni o prelievi di fondi oltre a quelli iniziali (V x (0)). Se voglioche x (t) sia davvero un paf, devo dunque garantire che l’effetto quantità, cioèdx (t) {S (t) + dS (t)}, si azzeri:

x (t) è un paf ⇔ Pni=1 [dxi (t)] [Si (t) + dSi (t)] = 0,∀t,

nel qual caso i cambiamenti nel valore del portafoglio sono dovuti soltanto acambiamenti nei prezzi e la condizione che descrive il processo di valore delpaf x (t) è dunque

x (t) è un paf ⇔ dV x (t) = x (t) dS (t) =Pni=1 xi (t) dSi (t) ,∀t. (5.1.1)

Considero ora il p.s. vettoriale S (t), con t ≥ 0, degli n prezzi e suppongoche il p.s. vettoriale descritto dal mio portafoglio x (t) sia FSt -adattato. x (t)viene detto portafoglio markoviano se x (t) dipende solo da t e da S (t), cioèse ad ogni istante t lo aggiorno sorvegliando, oltre a t, i soli prezzi S (t), noninvece l’intera loro storia {S (τ) ; τ ≤ t}.

Il T -derivato X può essere replicato (è replicabile, raggiungibile, hedgeable)se esiste un paf x (t) tale che

V x (T ) = X,

nel qual caso dico che x è una copertura (hedge) contro X (o di X). Al solito,se ad ogni X posso associare un paf x (t) che lo replica, dico che il mercato ècompleto.

2Attenzione: essendo in ambito stocastico, devo usare la regola d (xS) = (dx)S+x (dS)+(dx) (dS), senza trascurare l’ultimo addendo: potrei farlo se x = xt ed S = St fosserograndezze entrambe deterministiche, mentre qui x ed S sono entrambe stocastiche.

5.2. Portafogli relativi 59

5.2 Portafogli relativi

Al portafoglio x (t), che chiamo portafoglio assoluto, posso associare, con V x (t) 6=0, il corrispondente portafoglio relativo y (t) dato da

y (t) =1

V x (t)[x1 (t)S1 (t) , . . . , xn (t)Sn (t)] ,

cioè un vettore (riga) che descrive le quote con le quali i vari titoli si spartisconoil valore complessivo V x (t) del portafoglio. Come è ovvio, la somma dellecomponenti di y (t) vale 1. Una volta riscritto x (t) dS (t) nella forma

x (t) dS (t) =Pni=1 xi (t) dSi (t) = V

x (t)Pni=1

V x (t)xi (t)Si (t)

¶dSi (t)

Si (t)=

= V x (t)Pni=1 yi (t)

dSi (t)

Si (t),

posso definire x (t) come paf semplicemente riscrivendo la (5.1.1) in termini diportafoglio relativo y (t):

x (t) è un paf ⇔ dV x (t) = V x (t)Pni=1 yi (t)

dSi (t)

Si (t),∀t. (5.2.1)

Il teorema che segue serve a riconoscere se un p.s. che sembra il processodi valore di un paf lo è poi davvero.

Teorema 5.2.1 . Esista un p.s. scalare V = V (t) ed un p.s. vettoriale y (t)tali che sia, ∀t, dV (t) = V (t)

Pni=1 yi (t)

dSi (t)

Si (t),∀t,Pn

i=1 yi (t) = 1,∀t.(5.2.2)

Definito il portafoglio x (t) ∈ Rn con componenti

xi (t) = V (t)yi (t)

Si (t),∀i,∀t,

allora:

• il processo di valore di x (t) è proprio dato da V x (t) = V (t);• x (t) è un paf;• il corrispondente portafoglio relativo è proprio y (t) = y (t).

Dimostrazione. Calcolo il valore V x (t) = x (t)S (t) del portafoglio x (t):

V x (t) = x (t)S (t) =Pni=1 xi (t)Si (t) =

Pni=1 V (t)

yi (t)

Si (t)Si (t) =

= V (t)Pni=1 yi (t)| {z }=1

= V (t) ,

sicché risulta V x (t) = V (t). Infilo questo risultato nella definizione di xi (t)ed ottengo yi (t) = xi (t)Si (t) /V

x (t), il che qualifica y (t) come portafogliorelativo associato a x (t). Riscrivo con V x (t) e y (t) al posto di V (t) e y (t)l’eds in Z (t), ottenendo

dV x (t) = V x (t)Pni=1 yi (t)

dSi (t)

Si (t),

cioè la (5.2.1), che qualifica x come paf.

Ora mi metto in un caso particolare, quello in cui il mio portafoglio contiene2 attività finanziarie: un bond privo di rischio, quotato B (t), ed un’azionequotata S (t), coi relativi processi di prezzo

dB (t) = rB (t) dt,

dS (t) = α (t, S (t))S (t) dt+ σ (t, S (t))S (t) dW (t) .

Indico col vettore u (t) = [uB, uS] = [uB (t) , uS (t)], ovviamente con uB +uS = 1, un portafoglio relativo. Per estrarre tutte le virtù di u (t) posso usareil seguente Corollario del teorema 5.2.1:

Corollario 5.2.2 . Esistano i processi, entrambi adattati, V (t) e u (t) =[uB, uS ] = [uB (t) , uS (t)]. In più sia, ∀t,

dV (t) = V (t) (uBr + uSα) dt+ V (t)uSσ dW (t) ,

uB + uS = 1,

V (T ) = Φ (S (T )) ,

con : α = α (t, S (t)) , σ = σ (t, S (t)) .

(5.2.3)

Allora:

• il portafoglio relativo [uB, uS ] replica il derivato X = Φ (S (T ));

• V (t) è il corrispondente processo di valore;• il paf assoluto x (t) = [bt, st] è dato da

bt = uB (t)V (t)

B (t), st = uS (t)

S (t),

perciò risulta

btB (t) = uB (t)V (t) , stS (t) = uS (t)V (t) .

5.3. Derivati e arbitraggio 61

Dimostrazione. Riscrivo la (5.2.2) con n = 2 e con B (t), S (t), uB e uSal posto di S1 (t), S2 (t), y1 e y2. Al posto di dS1 (t) e dS2 (t) scrivo i processidi prezzo sopra indicati e, con semplificazioni da poppante, ottengo proprio leprime 2 relazioni del sistema (5.2.3), però con V (t) in luogo di V (t). Mi bastaora usare il teorema 5.2.1 per ottenere quanto mi serve, salvo la proprietà direplica, che leggo subito nell’ipotesi V (T ) = Φ (S (T )).

5.3 Derivati e arbitraggio

Molte delle cose (definizioni, notazioni e idee) già dette per i modelli discretile richiamo qui per un modello continuo, con ovvii adattamenti. Ad esempio,un T -derivato X = Φ (ST ) è una v.a. X ∈ FSt , con St prezzo a t del benesottostante.

Funzione di contratto per un’opzione call

Nel caso di un’opzione call europea con K prezzo di esercizio e T data diesercizio, la sua funzione di contratto Φ, vista con gli occhiali del detentore(holder), è la solita:

Φ (ST ) = max (ST −K, 0) ,

come nella parte sinistra del grafico sopra; sulla destra è descritta la stessa cosavista con gli occhiali del sottoscrittore (writer) 3.

Noto che il guadagno dello holder di una call, al pari della perdita del writer,è illimitato 4. Al contrario, la funzione di contratto Φ di una put europea,

3 (ST −K) è detto valore intrinseco della call, o valore della call quando esercitata , peril detentore. Ovviamente, il flusso di cassa [−max (ST −K, 0)] per il writer equivale amin (K − ST , 0).

4Qualche avvertenza un po’ sul lapalissiano: i) il guadagno Φ (ST ) è ≥ 0 per il detentore

vista dallo holder e dal writer, appare in quest’altro grafico, nel quale vedo cheguadagno e perdita sono limitate.

Funzione di contratto per un’opzione put

Ritorno alla call europea. Il problema è il solito: determinare il prezzocorretto del T -derivato X, prezzo che indicherò con F = F (t,X), magariabbreviato come F = F (t).

È facile trovare il prezzo a T :

F (T ) = max (ST −K, 0) ,così come in generale è, per qualunque derivato X,

F (T,X) = X, (F (T,X) = Φ (ST ) se X è semplice).

Come vedrò nel cap. 6, calcolare invece F (t,X) per t < T è possibile, ma apatto di assumere, oltre alle consuete proprietà indicate all’inizio del par. 2.1.2(i soggetti sono razionali e il mercato è perfetto), le seguenti 3 Ipotesi :

• il mercato non ammette possibilità (opportunità, strategie, portafogli) diarbitraggio; in altre parole, non esiste alcun paf x tale che sia(

V x (0) = 0,

P [V x (T ) > 0] = 1;

(holder), è invece ≤ 0, dunque si concreta in una perdita, per il sottoscrittore (writer); ii) ilguadagno T 0 riguarda i soli flussi di cassa che emergono a T , cioè taglia fuori quelli con datat (premio dell’opzione pagato dal detentore e incassato dal sottoscrittore); iii) se voglio tenerconto anche di questi, li devo sottrarre dal guadagno Φ (ST ) del sottoscrittore e sommare aquello del detentore; trattandosi però di flussi di cassa che nascono a t, per non fare pasticcidevo prima calcolarne il montante a T .

5.3. Derivati e arbitraggio 63

• esiste un mercato sul quale posso sempre comprare e vendere il derivato;• il processo di prezzo F (t, St) del derivato è markoviano, cioè dipende solodalla coppia (t, St).

Nonostante il suo aspetto sempliciotto, ci tornerà utile il seguente

Teorema 5.3.1 . Esista un paf x = x (t) tale che la dinamica del suo pro-cesso di valore V x (t) sia priva del termine di diffusione, cioè sia del tipo

dV x (t) = α (t)V x (t) dt, (5.3.1)

con α (t) p.s. adattato. Allora l’assenza di abitraggi impone che sia α (t) = r (t),con r (t) tasso istantaneo di interesse privo di rischio all’istante t.

Dimostrazione. Per assurdo, esista un intervallo I = [t1, t2] tale chesia α (t) ≥ r (t) ,∀t ∈ I, senza però che α (t) e r (t) ivi coincidano. Alloraa t1 mi indebito per l’importo V1 = V x (t1), col quale acquisto x = x (t1),che mi tengo fino a t2 senza cacciare nulla (x (t) è un paf!), momento in cui

vendo x (t2) incassando V2 = V1 exp³R t2

t1α (τ) dτ

´. Saldo il mio debito, che

è diventato V1 exp³R t2

t1r (τ) dτ

´< V2 e mi tengo in tasca la differenza come

profitto di arbitraggio. Se invece fosse α (t) ≤ r (t) ,∀t ∈ I, senza però cheα (t) e r (t) coincidano, realizzo analogo profitto così: a t1 vendo allo scopertox (t1) e impiego il ricavato V1 nell’impiego privo di rischio, che a t2 mi dà

V1 exp³R t2

t1r (τ) dτ

´, importo che supera quello (V1 exp

³R t2t1α (τ) dτ

´) che

devo spendere a t2 per acquistare x (t2) e consegnarlo alla mia controparte.

Capitolo 6

Il modello B & S: le basi

“Black, Scholes and Merton were the Newtons of derivatives.”

(E. Derman, The future of modelling , Risk, 1997.

Questo capitolo racconta il modello di b&s, prima nella sua versione ori-ginale, detta modello b&s ’73, poi in una sua estensione. Parlo anche dellaformula pratica per la valutazione di opzioni call e put europee 1. Il modello faperno su questa idea, che perfeziona la “brillante pensata” descritta all’iniziodel cap. 2:

i) costruisco un paf privo di rischio che replica il derivato;

ii) essendo il mercato arb.free, questo portafoglio deve avere lo stesso rendi-mento (tasso istantaneo di interesse r) del titolo privo di rischio;

iii) imponendo questa condizione ottengo una edp, che completo con lacondizione al contorno sul valore finale del derivato;

iv) l’unica soluzione di questa edp fornisce il valore del derivato.

6.1 Il modello B & S ’73

Il modello di b&s del 1973 riassume i processi di prezzo di un bond (privo dirischio) e di un’azione nel sistema

dBt = rBt dt,

dSt = αSt dt+ σSt dWt,

con : r, α e σ costanti,

(6.1.1)

e si propone di determinare il prezzo arb.free di un T -derivato (pensiamo puread una call europea) il cui valore finale è Φ (ST ) = max (ST −K, 0). Ripercorroqui la strada in origine seguita da b&s, all’incirca la seguente.

1La storia del modello è molto curiosa. Il saggio di D. Duffie [21] ne rende conto indettaglio, mettendo a fuoco anche il ruolo di Merton (ruolo sostanziale, al punto che sarebbepiù corretto parlare di modello di Black, Scholes e Merton). Questo breve saggio presentaanche una storia, sintetica ma davvero ben fatta, della Finanza Matematica dagli anni ’50 ingiù.

66 Capitolo 6. Il modello B & S: le basi

Suppongo di trovarmi all’istante t con un portafoglio che contiene all’Attivoun certo numero, lo chiamo N, 2, di azioni e tra i Debiti gli impegni che hoassunto sottoscrivendo una call europea, che oggi vale F = F (t, St), valore perme incognito. Questo portafoglio ha un valore netto V (t) all’istante t pari a

V (t) = NSt − F (t, St) ,come illustro nel seguente prospetto contabile:

Stato PatrimonialeAttivo NSt Debiti F (t, St)

Netto V (t)totale NSt totale NSt

È evidente la correlazione perfetta che c’è tra il valore dell’Attivo e quellodel Passivo. Cerco ora di dosare N in modo che il mio portafoglio risulti privodi rischio. Devo cioè imporre che si azzeri il termine di volatilità nell’eds chedescrive dV (t). Calcolo allora dV (t) = d [NSt − F (t, St)] usando la 2a rigadel sistema (6.1.1) per dSt e la formula di Itô (3.5.5) per dF . Per non andarein oca, la riscrivo con le differenze e gli adattamenti del caso:

al posto di scrivo

X = X (t) S = S (t) = St

Ft, FX , FXX Ft, FS , FSS

F (t,X (t)) F (t, St)

µ = µ (t,X (t)) αSt

σ = σ (t,X (t)) σSt

W =W (t) W =Wt

Con un po’ di pazienza ottengo

dV (t) = NdSt − dF= N [αSt dt+ σSt dW ]−

h³Ft + αStFS +

12 (σSt)

´dt+ (σStFS) dW

i=hNαSt −

³Ft + αStFS +

12 (σSt)

´icoefficiente di deriva

dt + [σSt (N− FS) ]coeff. di volatitlità

Qui l’unico modo per ottenere un portafoglio privo di rischio è scegliere

N = FS , cioè N =∂F

∂St, (6.1.2)

2Chiarirò l’uso di questo strano simbolo in una nota a pag. 88.

6.2. Il modello B & S generalizzato 67

dopo di che ho

V (t) = FSSt − F, (6.1.3)

dV (t) = −hFt +

12 (σSt)

idt, (6.1.4)

e il mio Stato Patrimoniale diventa

Stato PatrimonialeAttivo FSSt Debiti F (t, St)

Netto V (t)totale FSSt totale FSSt

Essendo ora il mio portafoglio privo di rischio, la consueta ipotesi che ilmercato sia arb.free impone che l’incremento tra t e (t+ dt) nel suo valoreeguagli proprio rV (t) dt (se me ne scordo, me lo ricorda il teorema 5.3.1!):

dV (t) = V (t) r dt.

Sostituendo ora a V (t) e dV (t) le rispettive espressioni (6.1.3) e (6.1.4) esemplificando, ho

− ¡Ft + 12σ

2S2t FSS¢dt = (FSSt − F ) rdt,

− ¡Ft + 12σ

2S2t FSS¢= r (FSSt − F ) ,

ovvero, riordinando, l’edp

Ft + rStFS +12σ2S2t FSS − rF = 0, (6.1.5)

da completare con la condizione al contorno sul valore finale dell’opzione, cioèF (T, ST ) = Φ (ST ).

Devo però dire subito che l’idea di gestire un portafoglio ripetendo ad ognit l’operazione di delta-hedging che ho descritto, cioè aggiornando ad ogni t laquantità N = N (t), non sempre genera un paf. Allora nel prossimo paragraforifaccio le cose per bene, aggiungendo anche qualche ciliegina sulla torta.

6.2 Il modello B & S generalizzato

Considero ora il modello di b&s in una forma un po’ più ampia della suaversione originale.

Ho un mercato con le solite 2 attività, cioè un bond (titolo senza rischio,col prezzo Bt) ed un’azione (col prezzo S = St), coi rispettivi processi di prezzo

dBt = rBt dt,

con : r costante, S = St, α = α (t, St) , σ = σ (t, St) .

(6.2.1)

Il numero r è il cosiddetto tasso di interesse istantaneo (o a breve) delbond, cioè r = d(lnBt)

dt = B0t/Bt. Se preferisco r variabile con t, scrivo r = rt esuppongo, se non si tratta di una funzione deterministica, che esso sia un p.s.FWt -adattato, al pari di α e di σ. In ogni caso r si dice osservabile a t, perchéè noto a t. Dunque il valore del bond è un p.s. localmente deterministico.

La musica cambia per la dinamica del prezzo St dell’azione, cioè per il suotasso di rendimento locale dSt/St = (αdt+ σ dW ), perché il tasso medio localedi rendimento α dell’azione è prevedibile a t, al pari di σ (sia pure con qualchedifficoltà, come vedrò nel par. 7.3), ma (dWt) invece no, sicché l’azione ha untasso di rendimento locale stocastico.

Ora considero un T -derivato, cioè del tipo X = Φ (ST ), che sia trattato sulmercato e con un processo di prezzo F del tipo

F = F (t, St) ,

con F funzione ∈ C2. Per ottenere l’eds che regge F , applico la formula diItô (3.5.5), con le cautele già indicate nel par. 6.1. Abbreviando le scrittureottengo:

dF =Ft + (αS)FS +

¡σ2S2

F| {z }αF

F dt+(σS)FSF| {z }σF

dF = αFF dt+ σFF dW,

Ft + αSFS +12σ2S2FSS

σF =σSFSF

(6.2.2)

Considero ora un paf x che contiene:

• azioni, di prezzo unitario S = St, nella quota yS = yS (t);• derivato, di prezzo unitario F = F (t, St), nella quota yF = yF (t).

Per scrivere l’eds che governa il valore V (t) = V x (t) di questo paf coin-volgendo queste quote sfrutto la (5.2.1), ovviamente adattandola al mio caso(ora ho n = 2, S1 = S > 0, S2 = F > 0, y1 = yS, y2 = yF ):

dV (t) = V (t)

µySdS

6.2. Il modello B & S generalizzato 69

Ma dalle eds di S = St e di F , cioè da

dS = αS dt+ σS dW,

dF = αFF dt+ σFF dW,

S= (α dt+ σ dW ) ,

F= (αF dt+ σF dW ) ,

dunque, sostituendo, ottengo

dV (t) = V (t) [yS (αdt+ σ dW ) + yF (αF dt+ σF dW )] =

= V (t) [αyS + αF yF ]| {z } dtcoefficiente di deriva

+ V (t) [σyS + σF yF ]| {z } dWcoeff. di volatilità

Una cautela. Mi serve che le 2 attività (azione e derivato) siano davverodiverse e non ridondanti. Mi spiego: se fosse σ = σF le attività sarebberodiverse non per rischiosità ma solo per redditività media, misurata da α e αF .Ma a questo punto, con α = αF le 2 attività sono l’una fotocopia dell’altra,sicché una ridonda. Con α 6= αF l’attività che ha lo stesso rischio dell’altra maredditività più bassa ridonda (chi mai sarà così stupido di acquistarla?). Delresto, l’abc della selezione di portafoglio insegna che il legame tra redditività erischio impone che sia

[α,σ] > [αF ,σF ] oppure [α,σ] < [αF ,σF ]

(versione raffinata del proverbio “chi non risiga non rosiga”).

Se voglio che il mio portafoglio x sia un paf privo di rischio occorre chescelga il portafoglio relativo y = (yS, yF ) in modo da “ammazzare” la volatilitànel differenziale stocastico dV (t) che ho appena scritto; in più y deve averesomma di componenti 1. Insomma: y deve risolvere il sistema(

σyS + σF yF = 0,

yS + yF = 1,

a conti fatti (ho già visto che è σ 6= σF )

yS =σF

σF − σ, yF =

−σσF − σ

cioè, per la definizione di F e di σF (σF = σSFS/F ),

yS =SFS

SFS − F , yF =−F

SFS − F . (6.2.3)

Il paf così costruito è davvero privo di rischio e in più risulta

dV (t) = V (t) (αyS + αF yF ) dt, (6.2.4)

cioè nella dinamica di V (t) non appare termine di diffusione, proprio comenella (5.3.1). Per l’ipotesi che il mercato sia arb.free, il teorema 5.3.1 imponeallora che sia

αyS + αF yF = r,

cioè che V (t) renda come il bond. Con un po’ di pazienza riscrivo quest’equa-zione usando i valori di yS e yF trovati nella (6.2.3) e la definizione (6.2.2) diαF :

SFS − F +Ft + αSFS +

12σ2S2FSS

−FSFS − F = r,

αSFS −¡Ft + αSFS +

12σ2S2FSS

¢= r (SFS − F ) ,

dunque

Ft + rSFS +12σ2S2FSS − rF = 0, (6.2.5)

proprio come nella (6.1.5). Non devo però scordarmi che dev’essere F (T, ST ) =Φ (ST ). Concludendo, l’ipotesi di assenza di arbitraggi mi dice che F = F (t, St)deve risolvere il seguente problema, del tipo (4.3.2), con t ∈ [0, T ] e sempre conS = St > 0:(

Ft (t, S) + rSFS (t, S) +12σ2S2 (t, S)FSS (t, S)− rF (t, S) = 0,

F (T, ST ) = Φ (ST ) .(6.2.6)

Noto che in questo risultato (! sorpresa !) è proprio scomparso il tasso direndimento α (t, St) del sottostante. È come dire che il prezzo arb.free di unT -derivato su un’azione dipende dal prezzo St e dalla volatilità σ dell’azione,ma non dipende per nulla dal suo rendimento α, 3. Perciò, per usare una frasefamosa di Merton, operatori che hanno magari idee diverse su tale rendimento αe/o sulla propria avversione al rischio, però valutazioni concordi sulla volatilitàσ del sottostante, arrivano comunque allo stesso valore del derivato: è la solitastoria delle valutazioni preference free, più volte commentata. Ci ritornerò neipar. 6.4 e 6.5.2.

3Qualcuno, lasciandosi scappare la mano, ne approfitta per affermare che addirittura ri-sulta α (t, St) = r: una panzana! In realtà, il tasso di rendimento medio α dell’azione nascee resta rischioso (dunque è α > r), ma poiché chiunque può replicare il derivato con unportafoglio non rischioso, nessuno può pretendere, in un mondo arb.free, un compenso extraper un rischio eliminabile.

6.3. Problemi di completezza 71

6.3 Problemi di completezza

6.3.1 Completezza del mercato

Già dal par. 5.3 ho assunto, tra l’altro, che il derivato avesse un proprio mercato.Il seguente teorema mi assicura che esiste un unico prezzo arb.free del derivatoanche facendo a meno di quest’ultima ipotesi, però assumendo la completezzadel mercato.

Teorema 6.3.1 . Suppongo che il T -derivato X (sia o non sia trattato in unproprio mercato), possa essere replicato da un qualche paf x. Assumo ancheche il derivato venga valutato all’istante t con un processo di prezzo del tipoF = F (t,X). Allora:

• il prezzo arb.free all’istante t del derivato è F (t,X) = V x (t);• se esiste anche un altro paf x∗ che replica X, allora risulta V x∗ (t) =V x (t) con P = 1;

• il prezzo del derivato è unico.

Dimostrazione. Ancora una volta seguo l’idea base per valutare i derivati:il prezzo del derivato deve coincidere col costo del paf che lo replica. Seall’istante t < T ho in mano il capitale V x (t), lo impiego per acquistare ilpaf x = x (t). Essendo un paf, x (t) non mi assorbe né mi produce in futuroaltri fondi e mi conduce ad avere in mano a T un portafoglio di valore V x (T )che replica il derivato qualunque cosa abbiano fatto i prezzi in [t, T ]. Dunquedetenere a t il paf x (t) oppure il derivato è la stessa cosa, perciò dev’essereF (t,X) = V x (t). Controprova: con F (t,X) < V x (t), vendere allo scopertox (t) e acquistare il derivato mi assicura un profitto di arbitraggio, lo stessoche realizzerei se fosse F (t,X) > V x (t) vendendo allo scoperto il derivato ecomprando x (t). Per lo stesso motivo, un altro paf x∗ (t) dotato delle stessevirtù di x (t) deve condurre allo stesso risultato.

6.3.2 Completezza del modello b&s

A pensarci bene c’è ancora in sospeso l’indagine sulla completezza del modellodi b&s generalizzato (6.2.1), cioè

dBt = rBt dt,

con : r costante, α = α (t, St) , σ = σ (t, St) ,

(6.3.1)

sempre con riferimento alla possibilità di replicare un derivato semplice, cioèdel tipo X = Φ (ST ), e con un processo di prezzo del tipo F = F (t, St). Il

seguente teorema indica una condizione capace di garantirmi che il modello ècompleto in questo senso.

Teorema 6.3.2 . Considero il modello di b&s generalizzato (6.3.1) ed un T -derivato X = Φ (ST ). Sia F = F (t, S), con S = St, la soluzione del problemadi valori al contorno (6.2.6), cioè(

Ft + rSFS +12σ2S2FSS − rF = 0,

F (T, ST ) = Φ (ST ) .(6.3.2)

Allora:

• il derivato è replicabile mediante il portafoglio relativo

u (t) = [uB (t) , uS (t)] =

·F − SFS

F,SFSF

• ad u (t) corrisponde il portafoglio assoluto (che è un paf)

x (t) = [xB (t) , xS (t)] =

·F − SFSB (t)

• F (t, S (t)) è il processo di valore V xt di questo portafoglio.

Dimostrazione. Calcolo V xt =F−SFSB(t) B (t) + FSS = F e ottengo proprio

V xt = F , sicché la condizione al contorno nella (6.3.2) mi assicura subito chex (t) replica il derivato. Per capire come si comporta V (t) = F (t, St) uso laformula di Itô e ottengo l’eds

dF =¡Ft + αSFS +

12σ2S2FSS

¢dt+ σSFS dW,

che posso riscrivere nella forma

dF = [ruB (t) + αuS (t)]F dt+ σuS (t)FdW,

purché beninteso risulti([ruB (t) + αuS (t)]F = Ft + αSFS +

12σ2S2FSS,

σSFS = σuS (t)F.

Grazie alla scelta di u (t), la 2a equazione è verificata, mentre la 1a vuol dire

r (F − SFS) + αSFS = Ft + αSFS +12σ2S2FSS,

rF − rSFS = Ft + 12σ2S2FSS,

cioè che vale proprio l’edp nella (6.3.2). A questo punto posso applicare ilCorollario 5.2.2 e ottengo quanto mi serve.

6.4. Valutazione neutrale rispetto al rischio 73

6.4 Valutazione neutrale rispetto al rischio

È il momento di fare il punto sul modello di b&s generalizzato (6.2.1), cheriscrivo:

dBt = rBt dt,

con : r costante, α = α (t, St) , σ = σ (t, St) .

(6.4.1)

Ho visto nei par. 6.1 e 6.2 che, usando la consueta stenografia, il prezzoarb.free di un T -derivato, cioè del tipo X = Φ (ST ), è la funzione F = F (t, St)che risolve il problema di valori al contorno (6.2.6) ovvero (6.3.2), che quiricopio: (

Ft + rSFS +12σ2S2FSS − rF = 0,

F (T, ST ) = Φ (ST ) .(6.4.2)

A questo punto, se provo ad usare, per questo problema, la formula di rap-presentazione stocastica di Feynman-Kac del teorema 4.3.1, mi accorgo subitoche escono 3 problemi:

• devo scrivere St al posto di Xt: è soltanto un banale problema di nota-zione;

• devo riscrivere i coefficienti di deriva e di volatilità tenendo conto chel’eds su cui si lavorava in quel teorema era di tipo generale, mentreora ho a che fare con coefficienti proporzionali ad St (moto brownianogeometrico!): non è la prima volta che devo introdurre adattamenti diquesto tipo;

• dato che nelle relazioni (4.3.1) e (4.3.2) del teorema di Feynman-Kaccompare lo stesso coefficiente µ, l’eds che devo associare al problema(6.4.2) non è la 2a delle (6.4.1), bensì attenzione! quest’altra:

dSt =↓r↑St dt+ σSt dWt. (6.4.3)

Il riquadro e le frecce sul coefficiente r segnalano che questa nuova edsin St assomiglia tanto a quella che davvero regge St nella (6.4.1), salvo che ilcoefficiente di deriva ora è r e non più α. Ciò significa che il legame esplicito,espresso dalla (4.2.4), tra moto di Wiener e quotazione del sottostante, cioè

2σ2¢(T − t) + σ (WT −Wt)

ª, (6.4.4)

lo devo riscrivere sostituendo il tasso di rendimento locale α dell’azione con r =d(lnBt)dt , tasso istantaneo di rendimento per operazioni prive di rischio. Ciò a

testimonianza della faticata con la quale sono riuscito a costruire un portafoglioche, essendo privo di rischio, deve rendere proprio r. Di conseguenza, la stessasostituzione interessa anche la funzione di densità del valore futuro ST delsottostante, funzione che utilizzerò per calcolare il valor medio del derivato,come farò nel par. 6.5.

Questa sostituzione (r al posto di α, mentre σ resta al suo posto) mi deformala distribuzione di probabilità P del p.s. che regge St, facendomi passare aduna nuova distribuzione 4, che chiamo Q, circostanza che segnàlo indicando ilprocesso di Wiener con la scrittura Wt. Parallelamente, viene a cambiare ilvalor medio (4.3.5) che il teorema di Feynman-Kac mi offre per rappresentarela soluzione del problema (6.4.2), soluzione che infatti scrivo nella forma

F (t, St) = e−r(T−t)EQt,St [Φ (ST )] .

Riassumo i risultati di poche righe sopra:

Teorema 6.4.1 . Il prezzo arb.free all’istante t del T -derivato Φ (ST ) è

F (t, St) = e−r(T−t)EQt,St [Φ (ST )] , (6.4.5)

essendo la dinamica di St descritta come nella (6.4.3), cioè dall’eds

dSt = rSt dt+ σ (t, St)St dWt. (6.4.6)

Qualche osservazione.

1. Termini simili ed una regola di valutazione simile si sono già presentati, peròin un ambito discreto, nel par. 2.1.2 per il modello binomiale mono-periodalee nei par. 2.2.2 e 2.2.4 per quello pluri-periodale.

2. Rispolvero qui le stesse osservazioni già anticipate appena dopo le (2.1.10)e (6.2.6): la (6.4.5) è detta formula di valutazione neutrale rispetto al rischioo di valutazione preference free (perché le preferenze non vi compaiono); essanon afferma che il mondo è neutrale rispetto al rischio, ma solo che il prezzodel derivato lo posso calcolare come se davvero il mondo fosse neutrale.3. Nei 2 teoremi 6.3.1 e 6.3.2 il prezzo del derivato è unico proprio perché èil prezzo (che è unico) di un paf che replica il derivato. Dunque, se ci sono2 distribuzioni di probabilità di martingala tra loro equivalenti (par. 14.4.3),

4La v.a. x = ln (ST /St) è gaussiana con valor medio m =¡α− σ2/2

¢(T − t) e varianza

s2 = σ2 (T − t), cioè con funzione di densità f (x) = ¡1/¡√2πs

¢¢exp

¡− 12(x−m)2 /s2¢.

Se moltiplico f (x) per η (x) = exp¡12

£(x−m)2 − (x− r)2¤ /s2¢ ottengo f (x) η (x) =¡

1/¡√2πs

¢¢exp

¡− 12(x− r)2 /s2¢, che è proprio la densità di una gaussiana con valor medio

r ma ancora la stessa varianza s2.

6.5. Black e Scholes scendono dal pero 75

allora le corrispondenti 2 valutazioni devono darmi gli stessi risultati. Nellateoria delle eds il teorema di Girsanov (o di Cameron, Martin e Girsanov)dice che, passando da una misura ad un’altra equivalente (ad esempio, da Pa Q), cambia solo il termine di deriva ma non quello di diffusione. Dunquequello di deriva non svolge alcun ruolo sulla soluzione: ecco perché, come hogià osservato più volte, nella mia soluzione la deriva α del p.s. che governa ilprezzo St dell’azione non compare nella formula.4. La misura Q è detta anche misura di martingala perché il p.s. F = F (t, St)che governa il prezzo di ogni bene trattato (derivato o sottostante) gode dellaseguente proprietà: il corrispondente p.s. di prezzo normalizzato F (t, St) /B (t)(cioè attualizzato al tasso r privo di rischio!) è una martingala sotto Q.

5. Nel séguito userò più volte la notazione introdotta poco sopra, cioè adotteròla seguente

Convenzione . D’ora in poi indico:

• con P la misura di probabilità che governa l’equazione di b&s (6.4.1),• con Q quella del processo St governato dalla (6.4.3) e nella quale Wt èun p.s. di Wiener sotto Q,

• con Wt un p.s. di Wiener sotto P , con Wt uno sotto Q,

• con EP [ · ] ed EQ [ · ] i valori medi sotto P e sotto Q.

6.5 Black e Scholes scendono dal pero

Della soluzione del modello b&s ’73dBt = rBt dt,

con : r, α e σ costanti,

dunque della soluzione F del problema (6.2.6), gli Autori hanno fornito laformula esplicita. Il fatto che essa sia utilizzabile in pratica per calcolare conpoca spesa il prezzo arb.free di una call europea spiega il titolo di questoparagrafo. Avverto che, nel percorrere qui una strada un po’ diversa da quellaseguita da b&s, mi debbo armare di pazienza, certo tanta ma forse meno diquella necessaria sulla strada alternativa che un Fisico batterebbe (quella dellaclassica edp di diffusione del calore: vedi al par. 14.3.2).

6.5.1 I conti

La (6.4.5) mi dice che il prezzo arb.free di un T -derivato Φ (ST ) è

F (t, St) = e−r(T−t)EQt,St [Φ (ST )] , (6.5.1)

la dinamica di St sotto Q essendo data dalla (6.4.6), cioè da

dSt = rSt dt+ σSt dWt,

con Wt p.s. di Wiener sottoQ, cioè dalla (4.2.4) o (6.4.4), che devo qui riscriverecome nella (6.4.3), cioè con r in luogo del coefficiente di deriva originale α:

2σ2¢(T − t) + σ

¡WT − Wt

¢ª, (6.5.2)

diciamo

ST = Stex,

x indicando l’esponente nella (6.5.2). x è variabile normale (cioè gaussiana)con valor medio m e scarto quadratico medio s (e allora scrivo x ∼ N(m, s)):

x ∼ N(m, s) , con : m =¡r − 1

2σ2¢(T − t) , s = σ

√T − t. (6.5.3)

Riscrivo la (6.5.1) nella forma

F (t, St) = e−r(T−t) R +∞

−∞Φ (ST ) f (x) dx,

con f (x) funzione di densità di x. Questa relazione vale per qualunque T -derivato con pay-off finale Φ (ST ). Nel mio caso ho una call europea, dunquecon

Φ (ST ) = max (ST −K, 0) ,perciò riscrivo la (6.5.1) come

F (t, St) = e−r(T−t) R +∞

−∞max (Stex −K, 0) f (x) dx,

e anche, riscrivendo tutto in termini della variabile gaussiana normalizzataz ∼ N(0, 1) con densità f (z) = ¡1/√2π¢ e−z2/2,

F (t, St) = e−r(T−t) 1√

R +∞−∞max

m+sz −K, 0¢ e−z2/2 dz.L’integrando si azzera quando St exp (m+ sz) < K, cioè quando risulta (la

scelta del simbolo d2 è un omaggio a b&s)

z < −d2, con d2 =m+ ln StK

dunque

max¡Ste

m+sz −K, 0¢ = ( Stem+sz −K, se z ≥ −d2,

0, se z < −d2.

Scrivo perciò

F (t, St) = e−r(T−t) 1√

³R −d2−∞ 0e

−z2/2 dz +R +∞−d2

m+sz −K¢ e−z2/2 dz´ == e−r(T−t)

³1√2πStR +∞−d2 e

m+sze−z2/2 dz − 1√

2πKR +∞−d2 e

−z2/2 dz´.

Usando il simbolo N(x) per la funzione di distribuzione, valutata in x, dellanormale normalizzata N(0, 1), il 2◦ integrale esprime la probabilità

1√2π

R z=+∞z=−d2 e

−z2/2 dz = − 1√2π

R −z=−∞−z=d2 e−(−z)

2/2 d (−z) =

= 1√2π

R η=d2η=−∞ e

−η2/2 dη = N(d2) ,

perciò, essendo

f (z) =³1/√2π´e−z

la densità della gaussiana normalizzata z ∼ N(0, 1), riscrivo

F (t, St) = e−r(T−t)

³1√2πStR +∞−d2 e

m+sze−z2/2 dz −KN(d2)

= 1√2πSte

−r(T−t)+m R +∞−d2 exp

¡sz − 1

2z2¢dz| {z }

−Ke−r(T−t)N(d2) .

Ora gestisco il 1◦ addendo, che chiamo A, con 2 trucchetti: col 1◦ uso ladefinizione (6.5.3) di m per scrivere

exp [−r (T − t) +m] = exp £−r (T − t) + ¡r − 12σ2¢(T − t)¤ = e−12σ2(T−t)

e col 2◦ trasformo exp¡sz − 1

2z2¢così:

exp¡sz − 1

2z2¢= exp

³−12 (z − s)2 + 1

2s2´= exp

¡12s2¢exp

³−12 (z − s)2

A questo punto ho:

A = 1√2πSte

−12σ2(T−t)R +∞−d2 exp

¡12s2¢exp

³−12 (z − s)2

´dz =

= 1√2πSte

−12σ2(T−t)+12 s

2 R +∞−d2 e

−12 (z−s)2

Ma per la definizione (6.5.3) di s il 1◦ esponente è nullo:

−12σ2 (T − t) + 12s2 = −12σ2 (T − t) + 1

2σ2 (T − t) = 0,

perciò

A = 1√2πStR z=+∞z=−d2 e

−(z−s)2/2 dz = 1√2πStR −z+s=−∞−z+s=d2+s e

−(−z+s)2/2 d (−z + s) =

= StR −∞d2+s

1√2πe−w

2/2 dw = StN(d2 + s) ,

in definitiva

F (t, St) = StN(d2 + s)−Ke−r(T−t)N(d2) .

6.5.2 La formula pratica

Usando le definizioni (6.5.3) scrivo in chiaro d1 = (d2 + s) e d2:

d2 =ln StK +m

s=ln StK +

¡r − 1

2σ2¢(T − t)

σ√T − t ,

d1 = d2 + s = d2 + σ√T − t = ln StK +

¡r + 1

2σ2¢(T − t)

σ√T − t .

E finalmente posso scrivere nella sua forma classica la formula di b&s peril calcolo del valore di una call europea: se N( · ) indica, al solito, la funzionedi ripartizione gaussiana standard [0, 1]:

N(x) =1√2π

xZ−∞

e−z2/2 dz,

allora

F (t, St)(call)

= StN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2) ,

lnStK+¡r + 1

2σ2¢(T − t)

σ√T − t ,

d2 =lnStK+¡r − 1

2σ2¢(T − t)

σ√T − t = d1 − σ

√T − t.

(6.5.4)

In questa formula pratica proposta da b&s, così come nel loro problema(6.2.6), non compare il tasso di rendimento atteso α del sottostante, né qual-cosa che in qualche modo si colleghi all’avversione al rischio degli investitori:di questo tormentone ho già parlato più volte, l’ultima alla fine del par. 6.4.Queste assenze furono giudicate, almeno all’inizio, per nulla convincenti e peralcuni scandalose, al punto che per un po’ si parlò di un vero e proprio puzzle.Il puzzle fu poi chiarito in via definitiva nei lavori del ’76 di Cox e Ross [16]

e di Merton [37], che introdussero la nozione di probabilità neutrali rispetto alrischio (le stesse del par. 2.1.2), poi formalizzate nel 1981 da Harrison e Kreps[28] e da Harrison e Pliska [29]. Il contributo che forse più di tutti facilitòl’accettazione dei nuovi schemi di valutazione dei derivati fu la proposta delmodello binomiale (quello del cap. 2), introdotto da Cox, Ross e Rubinstein[17] nel ’79. In realtà alcuni risolsero subito il puzzle col semplice buon sen-so, accettando l’idea che, essendo possibile eliminare completamente il rischiocostruendo un portafoglio di replica non rischioso, non ha senso pretendereuna remunerazione superiore a quella (r) di un titolo certo; anzi, realizzare unrendimento 6= r significa generare una possibilità di arbitraggio.

La formula di b&s (6.5.4) è facile da applicare: basta saper calcolare (vannobene le tavole di qualunque manuale di Statistica) la funzione di distribuzioneN( · ) di una gaussiana normalizzata e fare due conti. Ad esempio, conSt = 100, K = 105, (T − t) = 0.25 ( = 3 mesi), r = 0.04, σ = 0.1, (6.5.5)

la (6.5.4) mi dà

d1 =ln100105+

³0.04+

12×(0.1)

2´(0.25)

0.1√0.25

' −0.75080328339,

d2 = d1 − 0.1√0.25 ' −0.80080328339,

N(d1) =1√2π

R −0.75080328339−∞ e−z

2/2 dz ' 0.22638552656,

N(d2) =1√2π

R −0.80080328339−∞ e−z

2/2 dz ' 0.21162276895,perciò

F (t, St) = 100× 0.22638552656− 105× e−0.04×(0.25) × 0.21162276895 '' 0.6392584982.

La figura che segue mi dà un’idea di come varia il prezzo della call europeaal variare del prezzo iniziale St, con t fissato.

Prezzo di una call europea al variare di St

Ecco la formula, molto simile alla (6.5.4), per valutare una put europea:

F (t, St)(put)

= −StN(−d1) +Ke−r(T−t)N(−d2) . (6.5.6)

Coi dati (6.5.5) ottengo

−d1 ' 0.75080328339, −d2 ' 0.80080328339,

N(−d1) = 1√2π

R 0.75080328339−∞ e−z

2/2 dz ' 0.77361447344,

N(−d2) = 1√2π

R 0.80080328339−∞ e−z

2/2 dz ' 0.78837723105,

F (t, St)(put)

= −100× 0.77361447344 + 105× e−0.04×(0.25) × 0.78837723105 '

' 4.5944910422.Chi è un po’ pigro può invece aspettare il teorema 7.5.1 per usare una

scorciatoia elegante.

6.5.3 Programmi freeware

Oggi come oggi, per calcolare il valore di una call o put europea nessuno prendecarta e matita e si mette lì a calcolare d1e d2, poi cerca sulle tavole statistichei valori (approssimati) di N(d1) e N(d2) e fa i suoi conti. Esistono infattiprogrammi di calcolo che in un batter di ciglia calcolano il valore dei derivatipiù comuni. Ce ne sono anche di freeware, cioè gratuiti e di pubblico dominio,ovviamente in versione non professionale ma ridotta per uso didattico 5.

6.5.4 Opzioni e effetto leva

Mi metto nei panni di chi ha acquistato a t la call dell’esempio (6.5.5). Se èsfortunato, cioè se a T risulta ST ≤ 105, nel giro di 3 mesi egli vede andare infumo il premio 0.639258 che ha pagato. Se invece ha fortuna, cioè se ST > 105,egli trasforma il costo di 0.639258 in un ricavo di (ST − 105) dopo 3 mesi.Calcolo il tir (tasso interno di rendimento) di quest’operazione, cioè il tassoannuo i che risolve l’equazione

0.639258 (1 + i)0.25 =

0, se ST ≤ 105, cioè i = −100%,

(ST − 105) , se ST > 105, cioè i =µST − 1050.639258

¶4− 1.

5Ne sono esempi i programmi freeware indicati nella nota di pag. 113. Con essi si possonovalutare, ad esempio, opzioni call e put europee o americane (par. 9.5), sia standard chebinarie (par. 9.1), con dividendi continui e costanti (par. 8.1.1), i parametri greci (par. 7.4.1)e la cosiddetta volatilità implicita (par. 7.3.2).

Al contrario, chi acquista a t azioni al prezzo St = 100 realizza invece untir pari alla soluzione j dell’equazione

100 (1 + j)0.25 = ST , cioè: j =µST100

¶4− 1.

Quello che viene chiamato (forse un po’ impropriamente) l’effetto leva pro-dotto da una call, nonché la maggior rischiosità di questo prodotto nel benecome nel male, appaiono in modo drammatico dalla tabella e dal grafico cheseguono (dati approssimati).

ST 100 ∈ (0, 105] 105 ∈ (105, 105.64) 105.64 105.68 105.8 106i% −100 −100 −100 ∈ (−100, 0) 0 24.71 145.28 498.82j% 0 > 0 21.55 ∈ (21.55, 24.54) 24.54 24.71 25.30 26.25

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