imu - 2010 - cert 1
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
SOLUCION PRUEBA 1. 520145.
INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA.
Problema 1. Escriba la negacion de la proposicion
p: ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 : |x − 1| < δ −→ |x2 − 1| < ǫ.
Solucion. La negacion de p es
∼ p : (∃ ǫ > 0, ∀ δ > 0 : |x − 1| < δ ∧ |x2 − 1| ≥ ǫ).
(4 puntos por negar cuantificadores y 6 por negar condicional.)
Problema 2. Demuestre que A ∩ Bc = φ =⇒ A ∩ B = A.
Solucion. Debemos probar que A ∩ B = A, sabiendo que A ∩ Bc = φ.Por definicion de interseccion A ∩ B ⊆ A. (4 puntos.)
Ahora, x ∈ A =⇒ x ∈ B, pues si x /∈ B, entonces x ∈ A ∩ Bc = φ,lo que es una contradiccion. En consecuencia A ⊆ A ∩ B y con elloA ∩ B = A. (6 puntos.)
Obviamente, los alumnos pueden usar otros metodos, como propiedadesde conjuntos.
Problema 3. Encuentre el conjunto solucion para:
x2 + 3
x2 + 4x + 5< 1 ≤
1
1 − x.
Solucion. Se puede hacer separando en dos casos:
i) x2+3
x2+4x+5< 1 y ii) 1 ≤ 1
1−x..
Para (i), se tiene:
x2 + 3
x2 + 4x + 5< 1 ⇐⇒
−4x − 2
x2 + 4x + 5< 0.
1
Como x2 +4x+1 = (x+2)2 +1 > 0, ∀x ∈ R se tiene que la inecuaciones equivalente con
−4x − 2 < 0 ⇐⇒ x > −1
2.
Luego, la solucion Si =] − 1
2, +∞[. (8 puntos)
Para (ii), se tiene:
1 ≤1
1 − x⇐⇒
x
1 − x≥ 0.
Utilizando la tabla auxiliar se obtiene la solucion Sii = [0, 1[.(8 puntos)
Finalmente, la solucion pedida es
S = Si ∩ Sii = [0, 1[. (4 puntos)
Problema 4. Resuelva en R |x − |x + 1|| > 4.
Solucion. La inecuacion es tal que:
|x − |x + 1|| > 4 ⇐⇒ x − |x + 1| < −4 ∨ x − |x + 1| > 4.
equivalente con las desigualdades
|x + 1| > x + 4 ∨ |x + 1| < x − 4.
(8 puntos)
Luego, tenemos los siguientes casos:i) si x > −1, entonces x + 1 > x + 4 ∨ x + 1 < x − 4. Solucion vacıa o
ii) si x < −1, entonces −x − 1 > x + 4 ∨ −x − 1 < x − 4. De donde,x < −5
2∨ x > 3
2y la solucion es ] −∞,−5
2[ o
iii) Si x = −1, entonces no hay solucion.(8 puntos)
En consecuencia, la solucion es S =] −∞,−5
2[. (4 puntos)
26.04.2010.ACQ/MOS/acq.
2
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