UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

SOLUCION PRUEBA 1. 520145.

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA.

Problema 1. Escriba la negacion de la proposicion

p: ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 : |x − 1| < δ −→ |x2 − 1| < ǫ.

Solucion. La negacion de p es

∼ p : (∃ ǫ > 0, ∀ δ > 0 : |x − 1| < δ ∧ |x2 − 1| ≥ ǫ).

(4 puntos por negar cuantificadores y 6 por negar condicional.)

Problema 2. Demuestre que A ∩ Bc = φ =⇒ A ∩ B = A.

Solucion. Debemos probar que A ∩ B = A, sabiendo que A ∩ Bc = φ.Por definicion de interseccion A ∩ B ⊆ A. (4 puntos.)

Ahora, x ∈ A =⇒ x ∈ B, pues si x /∈ B, entonces x ∈ A ∩ Bc = φ,lo que es una contradiccion. En consecuencia A ⊆ A ∩ B y con elloA ∩ B = A. (6 puntos.)

Obviamente, los alumnos pueden usar otros metodos, como propiedadesde conjuntos.

Problema 3. Encuentre el conjunto solucion para:

x2 + 3

x2 + 4x + 5< 1 ≤

1

1 − x.

Solucion. Se puede hacer separando en dos casos:

i) x2+3

x2+4x+5< 1 y ii) 1 ≤ 1

1−x..

Para (i), se tiene:

x2 + 3

x2 + 4x + 5< 1 ⇐⇒

−4x − 2

x2 + 4x + 5< 0.

1

Como x2 +4x+1 = (x+2)2 +1 > 0, ∀x ∈ R se tiene que la inecuaciones equivalente con

−4x − 2 < 0 ⇐⇒ x > −1

2.

Luego, la solucion Si =] − 1

2, +∞[. (8 puntos)

Para (ii), se tiene:

1 ≤1

1 − x⇐⇒

x

1 − x≥ 0.

Utilizando la tabla auxiliar se obtiene la solucion Sii = [0, 1[.(8 puntos)

Finalmente, la solucion pedida es

S = Si ∩ Sii = [0, 1[. (4 puntos)

Problema 4. Resuelva en R |x − |x + 1|| > 4.

Solucion. La inecuacion es tal que:

|x − |x + 1|| > 4 ⇐⇒ x − |x + 1| < −4 ∨ x − |x + 1| > 4.

equivalente con las desigualdades

|x + 1| > x + 4 ∨ |x + 1| < x − 4.

(8 puntos)

Luego, tenemos los siguientes casos:i) si x > −1, entonces x + 1 > x + 4 ∨ x + 1 < x − 4. Solucion vacıa o

ii) si x < −1, entonces −x − 1 > x + 4 ∨ −x − 1 < x − 4. De donde,x < −5

2∨ x > 3

2y la solucion es ] −∞,−5

2[ o

iii) Si x = −1, entonces no hay solucion.(8 puntos)

En consecuencia, la solucion es S =] −∞,−5

2[. (4 puntos)

26.04.2010.ACQ/MOS/acq.

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