تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور...

Post on 14-Sep-2019

8 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

مکانیک سیاالت

دیفرانسیلیمسایل نمونه در کاربرد صورت معادالت بقاي جرم و اندازه حرکت

1

فهرستجریان هاي لزج سیاالت تراکم ناپذیر

موارد استفاده از جواب ها

شکل برداري معادالت حاکم

آزمایش جواب ها از دیدگاه توزیع گردش

تفکیک حل هاي دقیق

ایجاد جریان بین دو صفحه موازي

جریان کوئت

کوئت صفحه اي

جریان کوئت کلی

جریان پوازیل

جریان پوازیل براي مقطع دایره اي

جریان پوازیل براي مقطع بیضوي

جریان بین استوانه هاي چرخان

مسئله اول استوکس

مسئله دوم استوکس

جریان ضربانی بین صفحات موازي

جریان نقطه سکون

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

جریان روي یک دیواره متخلخل

جریان کوئت بین دو استوانه هم محور

ذره گرد در یک جریان پوازیل از سیال نیوتنی 300شبیه سازي 2

جریان هاي لزج سیاالت تراکم ناپذیر

حل مسائلی که در آنها لزجت سیال به طور ذاتی مهم

.می باشد

3

�. � = 0

��

��+ �. � � = −

1

��� + ���� + �

جریان کوئت

یکی از ساده ترین میدان هاي جریان لزج، جریان بین صفحات موازي

.نداردوجود جریانی y راستاي در

.است xاز فقط تابعی فشار

4

جریان کوئت

5

-a جریان بین صفحات موازي

-bجریان کوئت صفحه اي

-c کلیکوئت جریان

� = �(�) � = � = 0 � = �(�)

� = −��

��+ �

���

���

� � =1

��

��

��

2�� + �

پروفیل سرعت

6

U(0)=0→ � = 0

� = −ℎ

2→ � ℎ = 0

� � = −1

2�

��

���(ℎ − �)

� = −ℎ�

2��

��

��:پارامتر فشار

:پروفیل سرعت

:ثابت ھای انتگرال گیری

پروفیل سرعت

7

�(�)

�= �

ℎ1 −

پروفیل سرعت بر حسب پارامتر فشار

اتفاق می ) y=h/2 (حداکثر سرعت روي خط مرکزي بین صفحات موازي

.می باشد pu/4افتد، و اندازه حداکثر سرعت

کوئت صفحه اي

8

0 = ����

���

ه ثابت نگه داشته می شود در حالی ک y=0صفحه

حرکت Uبا سرعت ثابت xدر راستاي y=hصفحه

.داده می شود

:شرط مرزي

: پروفیل سرعت

� � = �� + �

� 0 = 0 → � = 0

� ℎ = � → � = �/ℎ

�(�)

�=�

جریان کوئت کلی

9

هر یک از دو صفحه با یک سرعت ثابت در حرکت باشند و یک گرادیان فشار خارجی

�(�)

�=�

ℎ+ �

ℎ1 −

جریان کوئت کلی

0 =P :ا گرادیان فشار یا به عنوان محرك ی

به عنوان مقاوم در مقابل حرکت جریان

. برشی لزج عمل خواهد کرد

P>0 ) :dp / dx <0 ( گرادیان فشار به

در حرکت لزجی براي غلبه بر تنش برشی

. صفحه پایینی کمک خواهد کرد

P<0 ) :dp/dx>0 ( گرادیان فشار در

الیی مقابل حرکت القا شده توسط صفحه با

. مقاومت خواهد کرد

10

پوازيجریان

11

ضی جریان پایدار یک سیال لزج در یک کانال با مقطع دلخواه اما با سطح مقطع عر

U(y,z) ،P(x)ثابت

:یک معادله از نوع پواسون

0 = −��

��+ �(

���

���+���

���)

���

���+���

���=1

��

��

جریان پوازیل براي مقطع دایره اي

12

Rگرادیان فشار مستقل از

: پروفیل سرعت

1

�����

��=1

��

��

� � =1

��

��

��

4+ ����� + �

� 0 = متناھیمقدار → � = �

� = −��

����/(��) → � � = 0

:شرایط مرزي

� � = −1

4�

��

��(�� − ��)

جریان پوازیل براي مقطع بیضوي

13

مقدار مقابل در روي مرز برابر

صفر است.

:پروفیل سرعت

� �, � = �(��

��+��

��− 1)

� =1

2�

��

��

����

�� + ��

� �, � =1

2�

��

��

����

�� + ��(��

��+��

��− 1)

جریان بین استوانه هاي چرخان

14

−��

�= −

1

��

��

0 =�������

+�

��(���)

�� � = ��

2+�

�� �� = ����, �� �� + ����:شرایط مرزي

� =2(����

� − �����)

��� − ���

� = −�������� − ����� − ���

جریان بین استوانه هاي چرخان

15

:توزیع سرعت

�� � =1

��� − ���[ ����

� − ����� � − �� − ��

������

�]

جریان بین استوانه هاي چرخان

16

:باید در رابطه زیر صدق کند p فشار

��

��

=�

(��� − ���)�[ ����

� − ����� �� − 2 �� − �� ����

� − �����������

+ (�� − ��)�������

��

� �

=�

(��� − ���)�� ����

� − ����� �

��

2

− 2 �� − �� ����� − ����

� ���������� − �� − ���������

2��� + �

مسئله اول استوکس

17

در ابتدا هر دو صفحه و سیال در .هستندحالت سکون

در ناگهان صفحه با یک سرعت ثابت.صفحه خودش حرکت داده می شود

مسئله اول استوکس

18

��

��= �

���

���

� 0, � = �0� ≤ 0

�� > 0

� �, � = متناھی

�(�, �)

�= �(�)

� = ��

��

:شرایط مرزي

��

��= −��

��

������ = −��

���

��

��= �

����

���

���= �

��

����"

مسئله اول استوکس

19

متغیر تشابهی

معادله دیفرانسیلی

−���

��� = ��

��

����"

�" +�

2����� = 0

� = ��

��/�

� =�

2 ��

�" + 2��� = 0

������� = −2� ����� = −�� + ����

�� = �����

∴ � �

= �� ����

�� + �

مسئله اول استوکس

20

0 = � �� ����

�� + 1 = �(��

2+ 1

�(�, �)

�= 1 −

2

�� ��

� ��

��

�(�, �)

�= 1 − erf(

2 ��)

u

U= 0.04

� =3

2=

2 ��

∴ � = 3 ��

مسئلھ دوم استوکس

. در مرز نوسان میکند y=0 به جاي شروع ناگهانی حرکت، مرز با زمان

21

مسئله دوم استوکس

22

��

��= �

���

���� 0, � = ������ � �, � متناهی=

� �, � = ��[� � ����]

�� ��� � ���� = ���[���

�������]

∴���

���− �

�� = 0

مسئله دوم استوکس

23

� = ±(1 + �)

2

� � = ���� − 1 + ��

2�� + ���� − 1 + �

2��

� � = ���� −�

2�� exp −�

2��

� �, � = ��[���� −�

2�� ���� �� −

2��

= ���� −�

2�� cos(�� −

2��)

مسئله دوم استوکس

24

� 0, � = ������ → � = �

�(�, �)

�= exp −

2�� cos �� −

2��

1

��= exp −

2��

� = 22�

جریان ضربانی بین صفحات موازي

25

دو صفحه موازي در

براي یک الیه سیال محصور بین دو صفحه با فشار نوسانی

xنوسان گرادیان فشاربا زمان در جهت

� = ±�

��

��= −

1

��

��+ �

���

���

� �, � = � −�, � = 0

��

��= �� cos ��

جریان ضربانی بین صفحات موازی

26

��

��= ��(���

���)

� �, � = ��[� � ����]

�� ������� = −1

���(���

��� + ���(���

�������)

���

���−��

�� =

����

جریان ضربانی بین صفحات موازي

27

� � = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� + ����ℎ[ 1 + �

2��]

0 = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� + ����ℎ[ 1 + �

2��]

0 = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� − ����ℎ[ 1 + �

2��]

جریان ضربانی بین صفحات موازي

28

: به صورت W(Y)بنابراین جواب

: بنابراین عبارت براي سرعت سیال به صورت زیر خواهد شد

� =���

��cosh[(1 + ��2�

�]

� = 0

� � = �����

1 −

cosh 1 + ��2�

cosh[(1 + �)�2� �]

� �, � = �� �����

1 −cosh[ 1 + �

�2� �]

cosh[ 1 + ��2� �]

����

جریان نقطه سکون

29

: پتانسیلجریان هاي

یع از رابطه برنولی، توز:فشار

� = 2��

� = −2��

� = �� − 2���(�� + ��)

��� = �� �� = � ��� = 0

جریان نقطه سکون

:سرعت xمولفه

: معادله پیوستگی

:مولفه عمودي سرعت

30

� = 2���′(�)

��

��= −

��

��= −2��′(�)

� = −2��(�)

جریان نقطه سکون

31

���

��+ �

��

��= −

1

��

��+ �

���

���+���

���

���

��+ �

��

��= −

1

��

��+ �

���

���+���

���

4���(��)�−4�����" = −1

��

��+ 2����"

4����� = −1

��

��− 2���"

جریان نقطه سکون

32

:عبارت فشار ، yانتگرال گیري از معادله آخر نسبت به

g(x)در مقایسه با جریان پتانسیل ، براي

:توزیع فشار در سیال لزج

� �, � = −2���(�)�−2����� + �(�)

� �, � → −2���(�)�−2��� + �(�)

� � = �� − 2����� + 2���

� �, � = �� − 2��� � � + 2��� 1 − �� − 2�����

جریان نقطه سکون

33

: x معادله ممنتوم در راستاي

:بزرگترین درجه هاي مشتق در سمت چپ

4���(��)�−4�����" = 4��� + ���"

2��+ff" − (��)�+1 = 0

جریان نقطه سکون

34

باید ,0v(x=(0در حالی که براي شرط f/)0=(0می طلبد که ,x)0u=(0شرط مرزي f(0)=0 باشد.

.ي کردبا تغییر متغیرهاي زیر می توان مسئله پیش رو را از پارامترهاي مذکور پاکساز

� 0 = �� 0 = 0

� → ∞���′(�)→ 1

� � =2�

��′(�) � =

2�

��

جریان نقطه سکون

35

:بنابراین

:میدان سرعت و فشار

���� + ���� − (��)�+1 = 0

� 0 = �� 0 = 0

� → ∞ ∶ �′(�)→ 1

� �, � = 2���′

� �, � = − 2���

� �, � = �� − ����� + 2��� 1 − �� − 2�����

جریان نقطه سکون

.میباشد 2/4تقریباً = 0/99مقدار براي

36

'

2�

�� = 2.4 � = 2.4

2�

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا گی،پیوست معادله آن در که دیگري جریان میدان

تومممن غیرخطی هاي ترم و باشد نمی برقرار ذاتاً

کانال یک در جریان باشند، نمی صفر آن در

.باشد می واگرا یا و همگرا

37

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

لذا توزیع سرعت به

:بودشکل زیر خواهد

ر بنابراین یک جواب براي سرعت به شکل زی:جستجو می شود

1:استوکس –معادله پیوستگی و معادالت ناویر

����� = 0

�������

= −1

��

��+ �

1

��+ �

����

−����

+1

���������

0 = −1

��

��

��+ �

2

�������

�� �, � = � � �(�)

−��

��(�)�= −

1

��

��+��

���"

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

39

:باید زوج معادالت زیر ارضا شوند

: معادله دیفرانسیل چند جمله اي حاصله

: این معادله را می توان با یکبار انتگرال گیري به صورت زیر نوشت

−��

��(�)�= −

1

��

��+��

���"

0 = −1

��

��

��+ 2

��

���′

���� + 4�� + 2��� = 0

��� + 4� + (�)�= �

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

40

. یک متغیر مستقل جدید باشد Fیک متغیر وابسته جدید و لذا فرض می کنیم:بنابراین

ورت زیر با استفاده از این نتیجه براي حذف معادله دیفرانسیلی که باید حل شود به ص : در می آید

G(F)=F'

��

��=

���� =

��

��

���� =

�"

�′=�"

���

��+ 4� + (�)�= �

��

1

2�� = � − 4� − ��

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

41

: Fانتگرال گیري نسبت به

: عبارت به صورت انتگرال بیضوي زیر می باشد

1

2�� = � + �� − 2�� −

1

3��

� � =��

��= 2 � + �� − 2�� −

1

3��

� = ���

2(� + �� − 2�� −13��)

+ �

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

42

: شرایط مرزي فیزیکی که باید برقرار شوند عبارتند از

واگرا

همگرا

:پروفیل هاي سرعت حول محور مرجع، متقارن اند

واگرا

همگرا

�� � = �� −� = 0

�� � + � = �� � − � = 0

�����

�, 0 = 0

�����

�, � = 0

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

43

واگرا

همگرا

عدد رینولدز

� � = � −� = �� 0 = 0

� � + � = � � − � = �� � = 0

�� =���

جریان روي یک دیواره متخلخل

جمالت اینرسی غیر خطی، خطی سازي می شوند و یک شکل کلی براي جواب آنها .وجود دارد

44

جریان روي یک دیواره متخلخل

45

. استوکس به صورت زیر خواهند شد–معادالت پیوستگی و ناویر

:شرایط مرزي

��

��= 0

���

��= �

���

���

���

��+ �

��

��= �

���

���+���

���

� 0 = 0

� �, 0 = −�

� → ∞ ∶ �(�)→ �

جریان روي یک دیواره متخلخل

46

v(x,y)ه هم اکنون از معادله پیوستگی می توان انتگرال گیري کرد تا نشان داده شود ک

. می باشد V–نشان می دهد که این ثابت y=0واقعاً ثابت است و شرط مرزي در

: بنابراین

. معادله ممنتم به شکل تک معادله زیر کاهش می یابد

.انتگرال گرفت yاز معادله دیفرانسیل چند جمله اي مذکور میتوان یکبار نسبت به

� = −�

−���

��= �

���

���

��

��+�

�� = �

جریان روي یک دیواره متخلخل

47

:جواب کلی

� � = � + ������

� � = �(1 − ���� �

)

� = 2�

جریان روي یک دیواره متخلخل

48

:معادله گردش به صورت

: y انتگرال گیري نسبت به

اگر به جاي مکش وزش وجود داشته باشد، جابجایی و نفوذ هر دو در یک جهت اتفاق خواهند

. افتاد، بنابراین جوابی دیگر وجود نخواهد داشت

−���

��= �

���

���

−�� = ���

��

top related