i dentificaciÓn de s istemas identificacion de modelos no parametricos 1

IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS

Identificacion de modelos no parametricos

1

CONTENIDO Modelos parametricos y no

parametricos Métodos de identificación Análisis de la respuesta transitoria Análisis de la correlación

Algunos comandos en MatlabEjemplos

Analisis de Fourier Analisis espectral

Algunos comandos en MatlabEjemplos

2

Métodos de Identificación

t tYU

U YProceso

Modelo

8

MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN

Métodos no paramétricos, que permiten obtener modelos no paramétricos del sistema bajo estudio.

Métodos paramétricos, que permiten obtener modelos paramétricos.

9

MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS

Algunos de estos métodos son:

análisis de la respuesta transitoria, análisis de la correlación, análisis espectral, análisis de la respuesta en frecuencia, análisis de Fourier, etc.

10

Análisis de la respuesta transitoria

11

SISTEMA GENERADOR DE DATOS

Se supone el sistema generador de datos dado por

0y t G q u t v t

e es un ruido blanco

q es el operador retardo

v t H q e t

12

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA IMPULSO

Esta metodología de identificación consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso.

u(t)

t

1

T

y(t)

t

system

hjh1

13

SALIDA PARA UNA ENTRADA U

La salida esta dada por

1k

y t g k u t k v t

En terminos de la respuesta al impulso

14

SALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO

y t g t v t Amplitud del pulso

u(t)

t

1

T

y(t)

t

system

hjh1

La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre 15

ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO El valor estimado de los coeficientes de la

respuesta impulso se determina a partir de:

con un error de estimación de: v(t)/α.

ˆ

y tg

¿Qué tan importante es el error de estimacion? 16

EJEMPLO 1

Respuesta impulsional del sistema

1 2

1 2

0.5

1 1.5 0.7

q qy t u t v t

q q

1 2

1 2

1 0.2

1 1.5 0.7

q qv t e t

q q

Ver ident_elg_Ej1.m 17

EJEMPLO 1

Respuesta del sistema

0 5 10 15 20 25 30 35 40-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Respuesta impulsiva sin ruido

Respuesta impulsiva con ruido

18

PROBLEMAS DEL METODO DE LA RESPUESTA AL PULSO

Los problemas que se plantean en el análisis de la respuesta impulso son:

gran sensibilidad al ruido,

dificultades con las colas del impulso debido a su larga duración y bajas amplitudes,

queda restringido al estudio de sistemas estables.

19

Análisis de la correlación

23

SISTEMA GENERADOR DE DATOS

Se supone el sistema generador de datos dado por

0y t G q u t v t

e es un ruido blanco

q es el operador retardo

v t H q e t

24

ENTRADA AL SISTEMA

Se escoge como entrada al sistema u(t) un ruido blanco, cuya función de autocorrelacion es:

2

2 si 0

0 si 0u

u uR

25

RESPUESTA DEL SISTEMA

entonces en terminos de la respuesta al impulso la correlacion cruzada entre la entrada y la salida es:

yuR 0uR u g u du

26

ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impulso puede ponerse del

siguiente modo:

0 2

yu

u

Rg

27

ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impuso puede estimarse de

la estimacion de la correlacion-cruzada a partir de las N muestras

1

0

1ˆ :N

Nyu

t

R y t u tN

28

ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO En el caso de una entrada ruido blanco la

estimacion de la respuesta impulsiva es

0 2

ˆyu

u

Rg

Si la señal de entrada no es ruido blanco no es trivial como resolver el problema.

A continuacion se propone un metodo. 29

CASO DE ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA

Si la entrada es cuasi-estacionaria deterministica entonces se usa un filtro L(q) denominado “blanqueante”

30

ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA

fu t L q u t

2f f

f

y u

u

Rg

El filtro L(q) se implementa en el computador

fy t L q y t

31

Algunos comandos en Matlab

32

EJERCICIO

Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos

covf

cra

33

Ejemplos

34

EJEMPLO 2

Estimar la respuesta al impulso del sistema:

35

EJEMPLO 2

Respuestas al impulso real (escalones) y estimada (círculos) mediante análisis de correlación.

Ver ident_elg_Ej2.m 36

EJEMPLO 3

Se desea utilizar el análisis de correlación para estimar la respuesta impulso del sistema discreto con un periodo de muestreo de 1 segundo:

q^-1 + 0.5q^-2 y(t) = -------------------------------- u(t) + v(t) 1 - 1.5q^-1 + 0.7q^-2

Ver Problema 2.7 en [Escobet y Morcego, 2003]37

Análisis de Fourier

38

ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es posible determinar la respuesta en

frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida:

Si la entrada tiene energía finita

YG i

U

39

ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En el caso de tener acceso a datos en un

intervalo de tiempo finito 0 < t < S , la transformada de Fourier de las señales son

0

Siwt

SY y t e dt 0

Siwt

SU u t e dt

40

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EMPÍRICA (ETFE) La denominada Estimación de la Función de

Transferencia Empírica (ETFE) se determina con

ˆ sS

s

YG i

U

41

PROPIEDADES DE LA ETFE se deduce que [Ljung94]

2ˆ Su gS

S S

Vc cG i G i

U U

uu t c 0

gg d c

42

PROPIEDADES DE LA ETFE

Para entrada periódica y S es un múltiplo del período:

ETFE está definida para un número fijo de frecuencias.

A estas frecuencias la ETFE converge al valor real y su varianza decrece en función de 1/N.

43

PROPIEDADES DE LA ETFE

Para entrada no periódica:

La ETFE converge asintoticamente a la función de transferencia cuando se incrementa el número de datos,

a mayor S mayor número de frecuencias evaluadas.

La variancia de ETFE no decrece al incrementar S, esta se mantiene constante e igual a la relación señal/ruido para cada frecuencia. 44

VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS DE FOURIER

Es un método fácil y eficiente, especialmente cuando se aplica la FFT.

Permite una buena estimación de G(jw) cuando la entrada es una señal periódica.

Para señales no periódicas la función obtenida es muy fluctuante.

45

Algunos comandos en Matlab

46

EJERCICIO

Consultar en matlab la ayuda del siguiente comando

etfe

47

Ejemplo

48

1 2

1 2

0.5

1 1.5 0.7

q qy t u t v t

q q

1 2

1 2

1 0.2

1 1.5 0.7

q qv t e t

q q

EJEMPLO 4

Utilizando las técnicas frecuenciales del análisis de Fourier determinar la respuesta frecuencial del sistema descrito en el ejemplo 1.

Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003] 49

Análisis Espectral

50

SISTEMA GENERADOR DE DATOS

0y t G q u t v t

v t H q e t

Las señales u y v no estan correlacionadas 51

ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

El espectro discreto es transformado por los sistemas lineales:

Entonces,

Φyu(ω) = G0(e iω)Φu(ω)

0

yui

u

G e

para aquellas frecuencias donde Φu(ω) > 0. 52

ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

un estimado de la respuesta en frecuencia es

ˆˆ

ˆyui

u

G e

Es necesario estimar las dos densidades espectrales

53

ESTIMACION DE LAS DENSIDADES ESPECTRALES La densidad espectral de una señal cuasi-

estacionaria u esta definida por

Cuando el estimado se basa en una secuencia finita de datos

iu uR e

ˆ:N N iu uR e

54

PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS

PASO 1: estimacion de las funciones de correlación

1

0

1ˆ :N

Nu

t

R u t u tN

1

0

1ˆ :N

Nyu

t

R y t u tN

55

PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS

PASO 2: estimacion de las densidades espectrales

ˆˆM

N N iy y M

M

R W e

ˆˆM

N N iyu yu M

M

R W e

ˆˆM

N N iu u M

M

R W e

MW es una ventana de tiempo

56

PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS

PASO 3: estimacion de la funcion de transferencia,

ˆˆ

ˆyui

u

G e

57

PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS

PASO 3: estimacion del espectro del ruido y su funcion de transferencia,

2ˆˆ ˆ

ˆ

NyuN N

v y Nu

2

ˆˆ

Nvi

e

H e

donde e es una señal de ruido blanco con variancia 2e

v = He

58

Algunos comandos en Matlab

59

EJERCICIO

Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos

iddata

spa

plot, bode, nyquist

60

Ejemplos

61

EJEMPLO 5

Con datos de entrada-salida correspondientes a un secador de mano, obtener una estimacion de la respuesta en frecuencia .

Ver ident_elg_EjA3.m

62

EJEMPLO 6

Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003]

63

FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification

for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004

Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005.

Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003

Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003

López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002 64

ULTIMA DIAPOSITIVA

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