hampiran solusi analitik pada model epidemik dengan
Post on 23-Oct-2021
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Halaman 1 dari 25
Perjanjian No: III/LPPM/2017-01/20-P
Hampiran Solusi Analitik pada Model Epidemik dengan Menggunakan
Metode Analisis Homotopi
Disusun Oleh:
Benny Yong, S.Si., M.Si.
Livia Owen, S.Si., M.Si.
Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat
Universitas Katolik Parahyangan
2017
Halaman 2 dari 25
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ........................................................................................................................ 2
ABSTRAK............................................................................................................................ 3
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................................... 4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................................... 6
BAB III. METODE PENELITIAN ..................................................................................... 11
BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN ............................................................................... 13
BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................................. 14
BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN............................................................................. 24
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................... 25
Halaman 3 dari 25
ABSTRAK Banyak metode menyelesaikan masalah persamaan diferensial tak linear, salah satunya
adalah dengan menggunakan metode analisis homotopi. Solusi dari metode analisis homotopi
berupa deret pangkat dan kekonvergenan solusi sangat bergantung pada parameter bantu.
Keunggulan metode analisis homotopi dalam menentukan solusi analitik adalah jaminan
kekonvergenan dari solusi deret pangkat dengan memilih parameter bantu yang tepat. Semua
model epidemik melibatkan sistem persamaan diferensial tak linear. Solusi analitik pada
model epidemik jarang ditentukan karena kompleksitas dari penyelesaiannya. Kebanyakan,
penelitian model epidemik hanya melakukan kajian numerik dengan menggunakan metode
RK4 untuk melihat dinamika populasinya. Penelitian ini akan menentukan hampiran solusi
analitik pada beberapa model epidemik, seperti model SI, SIR, dan SEIR. Metode analisis
homotopi akan digunakan untuk menentukan hampiran solusi analitik pada persamaan-
persamaan diferensial tak linear untuk beberapa model epidemik tersebut. Simulasi numerik
akan dilakukan untuk menginvestigasi hasil dinamika sistem dari metode analisis homotopi
dengan metode RK4.
Kata-kata kunci: deret pangkat, model epidemik, metode RK4, metode analisis homotopi
Halaman 4 dari 25
BAB I. PENDAHULUAN
Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Beberapa metode itu antara lain adalah metode Euler, metode Taylor, metode titik tengah,
dan metode Runge-Kutta. Biasanya, permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial tak
linear diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 (RK4). Tidak seperti
pada metode Euler dimana truncation error terus membesar seiring dengan bertambahnya
iterasi, metode RK4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan
truncation error yang jauh lebih kecil. Solusi analitik dari persamaan diferensial tak linear
jarang ditentukan karena kompleksitas penyelesaiannya.
Metode analisis homotopi (MAH) adalah suatu metode analitik untuk menyelesaikan
persamaan diferensial tak linear. MAH memerlukan operator linear dan tak linear. Operator
tak linear ditentukan berdasarkan bentuk fungsi yang dimiliki persamaan diferensial tak
linear itu. Penggunaan MAH dilakukan dengan mendefinisikan suatu fungsi homotopi.
Fungsi homotopi ini memerlukan parameter bantu yang dapat digunakan untuk mengontrol
daerah kekonvergenan dari penyelesaian suatu pesamaan diferensial tak linear. Solusi yang
dihasilkan dari MAH berupa deret pangkat. MAH sangat efektif karena metode ini dapat
digunakan sebagai hampiran solusi analitik dari persamaan diferensial tak linear dengan galat
yang dihasilkan sangat kecil. MAH ini juga efisien karena kekonvergenan solusi diperoleh
dalam selang waktu yang kecil. MAH merupakan suatu metode analitik yang dapat
memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya.
Pemodelan matematika merupakan suatu cara memahami matematika melalui masalah dalam
kehidupan sehari-hari yang direpresentasikan dalam suatu model matematika. Model
matematika dapat dikaitkan dengan permasalahan di bidang teknik, ekonomi, politik, dan
biologi. Model epidemik merupakan model matematika yang dikaitkan dalam bidang biologi.
Beberapa model epidemik antara lain model Susceptible-Infected (SI), model Susceptible-
Infected-Recovered (SIR), model Susceptible-Exposed-Infected-Recovered (SEIR).
Susceptible adalah kelompok individu sehat yang rentan untuk terkena penyakit, Exposed
adalah kelompok individu yang telah terinfeksi tetapi belum tampak gejalanya, Infected
adalah kelompok individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit, dan Recovered
adalah kelompok individu yang telah sembuh dari penyakitnya.
Halaman 5 dari 25
Dinamika sistem dari model epidemik biasanya diselesaikan dengan menggunakan metode
numerik RK4. Penelitian ini akan membahas tentang formulasi MAH dalam menentukan
hampiran solusi analitik dari beberapa model epidemik. Hasilnya akan dibandingkan dengan
metode RK4. Simulasi numerik untuk parameter bantu akan dilakukan untuk melihat
pengaruh parameter ini terhadap model epidemik.
Hasil yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
1. Formulasi beberapa model epidemik dengan menggunakan MAH
2. Bentuk deret pangkat dari hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH untuk
beberapa hampiran sampai dengan diperoleh solusi yang konvergen
3. Perbandingan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH dan solusi
numerik dengan menggunakan metode RK4
4. Lain-lain: Makalah ilmiah dan terbentuknya subkelompok penelitian Matematika
Biologi (BioMat) dalam kelompok keahlian Matematika Industri di Program Studi
Matematika FTIS UNPAR
Halaman 6 dari 25
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada makalah Efelin, P., Yong, B., dan Owen, L. (2016), telah dibahas model epidemik untuk
penyakit SARS. Pada model tersebut ditinjau pengaruh vaksinasi dengan dua kondisi, yaitu
pemberian vaksin sebelum terjadinya wabah SARS dalam suatu populasi dan pemberian
vaksin selama terdapat penyakit SARS di dalam populasi itu. Model pertama yang digunakan
melibatkan individu rentan, individu terinfeksi tapi belum bisa menularkan, individu yang
diisolasi, individu terinfeksi yang sudah bisa menularkan dan belum terdiagnosa SARS,
individu pulih, dan individu meninggal karena penyakit SARS. Model kedua menambahkan
individu rentan yang telah divaksin. Kondisi ambang batas terjadinya wabah penyakit SARS
dinyatakan oleh bilangan reproduksi dasar yang ditentukan dengan menggunakan matriks
generasi.
Pada makalah Georli, M.A., Owen, L., dan Yong, B. (2015), telah dibahas model epidemik
SIR (Susceptible-Infected-Recovered) dengan laju insidensi yang tak linear dan adanya
perawatan. Pada model ini, laju perawatan diasumsikan sebanding dengan banyaknya
subpopulasi terinfeksi ketika banyaknya subpopulasi terinfeksi di bawah atau mencapai
kapasitas dan akan bernilai konstan ketika banyaknya subpopulasi terinfeksi melebihi
kapasitas. Perubahan titik kesetimbangan dan kestabilan pada model ini dilakukan melalui
analisis trace dan determinan matriks Jacobi. Simulasi numerik dilakukan dengan mengambil
nilai parameter yang berbeda-beda untuk melihat bifurkasi yang terjadi pada model ini. Hasil
simulasi numerik menunjukkan eksistensi dari bifurkasi Saddle-Node.
Pada makalah Octora, E., Yong, B., dan Owen, L. (2014), telah dipaparkan analisis mengenai
model S-I untuk satu dan dua wilayah. Transportasi antar wilayah merupakan salah satu
faktor yang mempengaruhi penyebaran penyakit. Penyebaran penyakit akan mengubah
dinamika populasi pada setiap wilayah. Dalam makalah ini, dibentuk suatu model
matematika penyebaran penyakit untuk satu dan dua wilayah yang bertujuan untuk melihat
bagaimana perbedaan dinamika populasi pada satu wilayah dan di setiap wilayah yang
diakibatkan oleh perpindahan populasi. Model matematika yang digunakan adalah model S-I
(Susceptible-Infected). Untuk model dua wilayah, diasumsikan populasi terinfeksi pada kedua
wilayah terisolasi sehingga perpindahan ke wilayah lain hanya terjadi dari populasi rentan.
Halaman 7 dari 25
Dari model S-I satu dan dua wilayah ini telah dicari titik kritis dan sifat kestabilannya serta
penyajian hasil simulasi numeriknya.
Pada makalah Rachmiawati, M., Yong, B., dan Martin, I. (2013), kajian peluang untuk
bilangan reproduksi dasar pada model epidemik SIR telah dibahas. Model SIR yang
digunakan dalam makalah ini ada dua macam yaitu model SIR tanpa perawatan penyakit dan
model SIR dengan perawatan penyakit. Dari kedua model SIR ini telah dicari titik
kesetimbangan dan analisis kestabilan titik kesetimbangan, kemudian disimulasikan bilangan
reproduksi dasar dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Hasil simulasi Monte
Carlo memberikan gambaran tentang efek dari perubahan parameter pada model SIR untuk
bilangan reproduksi dasar.
Pada makalah Yong, B. (2007), telah dibahas model epidemik untuk penyebaran HIV dalam
sistem penjara. Model epidemik yang digunakan adalah model SI. Hasil pembahasan
menunjukkan bahwa pemberian terapi antiretroviral (ARV) dapat melambatkan pertumbuhan
virus pada penderita HIV, walaupun tidak membunuh virus tersebut.
Pada makalah Yong, B. dan Owen, L. (2016), telah dikaji model epidemik dari penyakit
MERS-CoV pada dua wilayah. MERS-CoV pertama kali ditemukan di Arab Saudi dan
berdasarkan laporan WHO (World Health Organization), sejak September 2012 sampai
dengan 10 Juni 2015 telah ditemukan 1.257 kasus konfirmasi penyakit ini dengan 448 orang
mengalami kematian (CFR (Case Fatality Rate): 35,64%). Penyakit ini berpotensi menyebar
ke Indonesia mengingat jumlah jamaah umrah/haji asal Indonesia ke Arab Saudi meningkat
setiap tahunnya. Pada makalah ini telah disajikan suatu model deterministik penyebaran
penyakit menular MERS-CoV antar dua wilayah. Dari model yang dibentuk, diperoleh titik
kesetimbangan dan bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan
menggunakan matriks generasi. Pencarian bilangan reproduksi dasar dilakukan untuk melihat
parameter-parameter yang dapat dikontrol dan tidak dapat dikontrol. Kontrol paramater pada
model penyebaran penyakit menular MERS-CoV diharapkan dapat mencegah penyebaran
penyakit ini di Indonesia.
Pada makalah Liao, S.J. (2004), metode analisis homotopi dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah persamaan tak linear. Metode ini menggunakan pendekatan deret
pangkat sebagai solusi akhir dari hampiran solusi persamaan diferensial tak linear. Pada
Halaman 8 dari 25
selang waktu yang pendek, metode ini akan menghasilkan suatu solusi yang konvergen dan
hasilnya cukup baik terhadap hasil eksaknya. Parameter bantu yang termuat di dalam
formulasi metode ini sangat mempengaruhi kekonvergenan dari solusinya.
Pada penelitian sebelumnya, solusi model epidemik ditentukan dengan menggunakan metode
numerik. Liao menawarkan suatu metode analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial
tak linear. Pada penelitian ini, metode analisis homotopi akan diterapkan untuk
menyelesaikan beberapa model epidemik yang merupakan sistem persamaan diferensial yang
melibatkan paling sedikit satu persamaan diferensial tak linear. Hasil metode analitik akan
dibandingkan dengan metode numerik Runge-Kutta 4 (RK4) dan akan dilihat perbedaan
galatnya, apakah metode analitik ini lebih baik dan lebih mudah untuk diaplikasikan untuk
model epidemik atau tidak. Beberapa model epidemik yang akan digunakan adalah model SI,
SIR, dan SEIR.
Konsep dasar MAH adalah sebagai berikut. Misalkan 푁 adalah operator tak linear, 푡 adalah
variabel bebas, dan 휗(푡) adalah fungsi yang tidak diketahui dengan 휗 (푡) merupakan dugaan
nilai awal dari solusi eksak 휗(푡) pada persamaan
푁[휗(푡)] = 0 (2.1)
Saat 휗(푡) = 0, maka operator linear 퐿[휗(푡)] = 0. Definisikan sebuah persamaan homotopi 퐻
dimana terdapat parameter 휌 ∈ [0,1] , parameter bantu ℎ ≠ 0, dan fungsi bantu 퐻(푡) ≠ 0
yang ditulis sebagai persamaan berikut
(1 − 휌)퐿[휙(푡;휌)− 휗 (푡)] − 휌ℎ퐻(푡)푁[휙(푡;휌)] = 퐻[휙(푡;휌);휗 (푡),퐻(푡),ℎ,휌] (2.2)
Dugaan nilai awal 휗 (푡), operator linear 퐿, parameter bantu ℎ, dan fungsi bantu 퐻(푡) dapat
ditentukan dengan bebas. Pandang persamaan homotopi (2.2) bernilai nol, yaitu
퐻[휙(푡;휌);휗 (푡),퐻(푡),ℎ, 휌] = 0
maka persamaan
(1 − 휌)퐿[휙(푡;휌)− 휗 (푡)] = 휌ℎ퐻(푡)푁[휙(푡; 휌)] (2.3)
disebut sebagai persamaan deformasi orde nol. Saat 휌 = 0, maka persamaan (2.3) menjadi
퐿[휙(푡; 0)− 휗 (푡)] = 0
Halaman 9 dari 25
Karena 퐿[휗(푡)] = 0 ketika 휗(푡) = 0, maka
휙(푡; 0) = 휗 (푡) (2.4)
Saat 휌 = 1, maka persamaan (2.3) menjadi
ℎ퐻(푡)푁[휙(푡; 1)] = 0
sehingga
푁[휙(푡; 1)] = 0
Saat 휌 = 1, maka persamaan (2.1) menjadi
휙(푡; 1) = 휗(푡) (2.5)
Jadi, berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.5), peningkatan nilai 휌 dari 0 ke 1 akan menyatakan
perubahan dugaan nilai awal 휗 (푡) menjadi solusi eksak 휗(푡) . Solusi dari persamaan
diferensial dengan menggunakan MAH ini selanjutnya dapat ditentukan dengan
menggunakan pendekatan deret pangkat:
휙(푡;휌) = 휗 (푡) + ∑ 휗 (푡)휌 (2.6)
dengan
휗 (푡) =!
( ; ) (2.7)
Jika operator linear 퐿, dugaan nilai awal 휗 (푡), parameter bantu ℎ, dan fungsi bantu 퐻 telah
ditentukan dengan tepat, maka deret pangkat (2.6) akan konvergen saat 휌 = 1, yaitu
휙(푡; 1) = 휗 (푡) + 휗 (푡)
Sehingga dengan menurunkan persamaan (2.3) terhadap 휌 sebanyak 푚 kali dan
mensubstitusikan persamaan (2.7), diperoleh persamaan deformasi orde m
퐿 휗 (푡)− 휒 휗 (푡) = ℎ퐻(푡)ℜ (휗 (푡)) (2.8)
dengan
휒 = 0,푚 ≤ 11,푚 > 1
Halaman 10 dari 25
Dari persamaan (2.8) dapat ditentukan hampiran solusi analitik dari suatu persamaan
diferensial.
Berikut ini adalah peta dari penelitian yang telah dilakukan:
Yong, B. (2007). Model
Penyebaran HIV dalam
Sistem Penjara. Jurnal
MIPA: Matematika, Ilmu
Pengetahuan Alam, dan
Pengajarannya, 36(1),
pp. 31-47.
Rachmiawati, M., Yong, B., dan Martin, I. (2013). Kajian Peluang untuk Bilangan Reproduksi Dasar pada Model SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 8, pp. 102-110.
Georli, M.A., Owen, L., dan Yong, B. (2015). Bifurkasi Saddle-Node pada Model SIR dengan Laju Insidensi yang Tak Linear dan Adanya Perawatan. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 10, pp. 64-74.
Hmpiran Solusi
Analitik Model
Epidemik dengan
MAH
Octora, E., Yong, B.,
dan Owen, L. (2014).
Analisis Model S-I
untuk Satu dan Dua
Wilayah, Prosiding
Seminar Nasional
Matematika, 9, pp. 100-
110.
Efelin, P., Yong, B., dan Owen, L. (2016). Model Penyebaran Penyakit SARS dengan Pengaruh Vaksinasi. Prosiding Seminar Nasional Matematika, 11, pp. 77-85.
Yong, B. dan Owen, L. (2016). Dynamical Transmission Model of MERS-CoV in Two Areas. AIP Conference Proceedings, 1716, http://dx.doi.org/10.1063/1.4942993
Halaman 11 dari 25
BAB III. METODE PENELITIAN
Bagan alir dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
Sistematika dari usulan penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu:
Tahap 1: Pemilihan beberapa model epidemik dan studi pustaka metode analisis
homotopi
Tahap 2: Penetapan parameter dan kondisi awal dari model epidemik
Mulai
Pemilihan beberapa
model epidemik, seperti
model SI, SIR, dan SEIR
Studi pustaka tentang
metode analisis homotopi
Penetapan parameter dan
kondisi nilai awal dari
model epidemik
Penentuan solusi model
epidemik dengan metode
RK4 dan MAH
Kajian numerik dan
analisis hasil
Selesai
Solusi numerik
dengan metode
RK4
Hampiran solusi
analitik dengan
MAH
Halaman 12 dari 25
Tahap 3: Hampiran solusi analitik beberapa model epidemik dengan menggunakan
metode analisis homotopi dan membandingkan hasilnya dengan metode RK4
Tahap 4: Kajian numerik dan analisis hasil
Mulai tahap 3 dan 4 akan dilakukan diseminasi hasil-hasil yang diperoleh melalui seminar
intern, seminar nasional, atau seminar internasional.
Adapun luaran penelitian yang direncanakan adalah sebagai berikut:
Diperoleh hampiran solusi analitik beberapa model epidemik dengan menggunakan
metode analisis homotopi.
Publikasi pada jurnal internasional dan/atau jurnal nasional terakreditasi.
Dipresentasikan di seminar/konferensi tingkat nasional atau internasional.
Proposal lanjutan. Proposal lanjutan ini merupakan penggunaan metode lain untuk
menentukan hampiran solusi analitik model epidemik dan membandingkan metode
mana yang hasilnya lebih akurat dan efisien.
Halaman 13 dari 25
BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN
Kegiatan
Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November minggu minggu minggu minggu minggu minggu Minggu minggu minggu minggu minggu
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Diskusi Tinjauan Pustaka
Penyusunan Metode Penelitian
Pembuatan Program
Analisis Hasil dan Pembahasan
Penyusunan Laporan Penelitian
Keterangan: kebutuhan orang minggu dalam setiap aktivitas adalah 2 orang
Halaman 14 dari 25
BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model epidemik yang dibahas pada penelitian ini adalah model SI, SIR, dan SEIR dalam
populasi tertutup. Pada setiap model akan ditentukan hampiran solusi analitiknya dengan
menggunakan metode analisis homotopi. Diagram kompartemen untuk ketiga model
epidemik disajikan pada Gambar 5.1 untuk model SI, Gambar 5.2 untuk model SIR, dan
Gambar 5.3 untuk model SEIR.
Gambar 5.1 Diagram kompartemen model epidemik SI
Pada model epidemik SI, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu I
dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari
kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu I sebesar 훽푆퐼 . Sehingga sistem
persamaan diferensialnya adalah
푑푆푑푡 = −훽푆퐼푑퐼푑푡 = 훽푆퐼
dengan kondisi nilai awal
푆 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁
Pilih parameter bantu ℎ = −1 dan fungsi bantu 퐻(푡) = −1. Hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SI adalah
푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏
퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡) − 퐼 (휏)− 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏
S I 훽
Halaman 15 dari 25
Gambar 5.2 Diagram kompartemen model epidemik SIR
Pada model epidemik SIR, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu I
dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari
kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu I sebesar 훽푆퐼. Kemudian, dalam
kelompok individu I, individu yang telah sembuh atau pulih dari penyakit akan memasuki
kelompok individu R dengan laju konstan 훾 . Sehingga sistem persamaan diferensialnya
adalah
⎩⎪⎨
⎪⎧
푑푆푑푡 = −훽푆퐼
푑퐼푑푡 = 훽푆퐼 − 훾퐼
푑푅푑푡 = 훾퐼
dengan kondisi nilai awal
푆 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁 ,푅 (푡) = 푁
Pilih parameter bantu ℎ = −1 dan fungsi bantu 퐻(푡) = −1. Hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SIR adalah
푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏
퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡)− 퐼 (휏) − 훽 푆 (휏)퐼 (휏) + 훾퐼 (휏) 푑휏
푅 (푡) = 휒 푅 (푡) − [푅 (휏) − 훾퐼 (휏)]푑휏
S I 훽
R 훾
Halaman 16 dari 25
Gambar 5.3 Diagram kompartemen model epidemik SEIR
Pada model epidemik SEIR, kelompok individu S mengalami infeksi oleh kelompok individu
I dengan laju konstan 훽 . Akibat infeksi ini, individu S yang terinfeksi akan keluar dari
kelompok individu S dan masuk ke kelompok individu E sebesar 훽푆퐼 . Dalam kelompok
individu E, individu yang dapat menularkan penyakit akan memasuki kelompok individu I
dengan laju konsan 휔. Banyaknya individu E yang memasuki kelompok individu I adalah
sebesar 휔퐸. Kemudian, dalam kelompok individu I, individu yang telah sembuh atau pulih
dari penyakit akan memasuki kelompok individu R dengan laju konstan 훾. Sehingga sistem
persamaan diferensialnya adalah
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
푑푆푑푡 = −훽푆퐼
푑퐸푑푡 = 훽푆퐼 − 휔퐸
푑퐼푑푡 = 휔퐸 − 훾퐼
푑푅푑푡 = 훾퐼
dengan kondisi nilai awal
푆 (푡) = 푁 ,퐸 (푡) = 푁 , 퐼 (푡) = 푁 ,푅 (푡) = 푁
Pilih parameter bantu ℎ = −1 dan fungsi bantu 퐻(푡) = −1. Hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode analisis homotopi untuk model epidemik SEIR adalah
푆 (푡) = 휒 푆 (푡) − 푆 (휏) + 훽 푆 (휏)퐼 (휏) 푑휏
퐸 (푡) = 휒 퐸 (푡)− 퐸 (휏) − 훽 푆 (휏)퐼 (휏) + 휔퐸 (휏) 푑휏
S E 훽
I 휔
R 훾
Halaman 17 dari 25
퐼 (푡) = 휒 퐼 (푡) − [퐼 (휏) −휔퐸 (휏) + 훾퐼 (휏)]푑휏
푅 (푡) = 휒 푅 (푡) − [푅 (휏) − 훾퐼 (휏)]푑휏
Gambar 5.4 merupakan hasil solusi numerik dengan menggunakan metode RK4 untuk model
epidemik SI. Sedangkan Gambar 5.5 merupakan hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode MAH untuk model epidemik SI. Parameter yang digunakan adalah
훽 = 0,01 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20 dan 푁 = 10.
Gambar 5.4 Solusi model epidemik SI dengan menggunakan metode RK4
Pada Gambar 5.5 dapat dilihat bahwa nilai parameter bantu yang menyebabkan
kekonvergenan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH terdapat pada ℎ ∈
[−1,−0,5].
Halaman 18 dari 25
(a)
(b)
Gambar 5.5 Solusi model epidemik SI dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai
nilai ℎ; (a) S dan (b) I
Perbandingan galat pada model SI untuk masing-masing kelompok individu dengan
menggunakan metode RK4 dan metode analisis homotopi (ℎ = −1) disajikan pada Tabel
5.1. Dapat dilihat pada Tabel 5.1, banyaknya individu S dan I dengan menggunakan MAH
nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 3.
Tabel 5.1 Perbandingan galat kelompok individu S dan I dengan menggunakan RK4 dan
MAH (ℎ = −1)
푡 SRK4 SMAH IRK4 IMAH
1 17,9112 17,9112 12,0888 12,0888
2 15,6981 15,6981 14,3019 14,3019
3 13,4541 13,4541 16,5459 16,5459
4 11,2779 11,2782 18,7221 18,7218
5 9,2568 9,2591 20,7432 20,7409
6 7,4537 7,4677 22,5463 22,5323
7 5,9019 5,9637 24,0981 24,0363
8 4,6072 4,8175 25,3928 25,1825
Halaman 19 dari 25
9 3,5546 4,1326 26,4454 25,8674
10 2,7167 4,0263 27,2833 25,9737
Gambar 5.6 merupakan hasil solusi numerik dengan menggunakan metode RK4 untuk model
epidemik SIR. Sedangkan Gambar 5.7 merupakan hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode MAH untuk model epidemik SIR. Parameter yang digunakan adalah
훽 = 0,01 dan 훾 = 0,02 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20,푁 = 10, dan 푁 = 5,.
Gambar 5.6 Solusi model epidemik SIR dengan menggunakan metode RK4
Pada Gambar 5.7 dapat dilihat bahwa nilai parameter bantu yang menyebabkan
kekonvergenan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH terdapat pada ℎ ∈
[−1,−0,5].
Halaman 20 dari 25
(a)
(b)
(c)
Gambar 5.7 Solusi model epidemik SIR dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai
nilai ℎ; (a) S, (b) I, dan (c) R
Perbandingan galat pada model SIR untuk masing-masing kelompok individu dengan
menggunakan metode RK4 dan metode analisis homotopi (ℎ = −1) disajikan pada Tabel
5.2. Dapat dilihat pada Tabel 5.2, banyaknya individu S dan I dengan menggunakan MAH
nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 3 . Sedangkan untuk
banyaknya individu R dengan menggunakan MAH nilainya sama (dalam 4 desimal) dari
푡 = 1 sampai dengan 푡 = 5.
Halaman 21 dari 25
Tabel 5.2 Perbandingan galat kelompok individu S, I, dan R dengan menggunakan RK4 dan
MAH (ℎ = −1)
푡 SRK4 SMAH IRK4 IMAH RRK4 RMAH
1 17,9314 17,9314 11,8502 11,8502 5,2184 5,2184
2 15,7772 15,7772 13,7485 13,7485 5,4743 5,4743
3 13,6223 13,6223 15,6096 15,6096 5,7680 5,7680
4 11,5510 11,5511 17,3511 17,3510 6,0979 6,0979
5 9,6342 9,6344 18,9050 18,9049 6,4608 6,4608
6 7,9205 7,9201 20,2270 20,2278 6,8526 6,8521
7 6,4341 6,4235 21,2976 21,3105 7,2682 7,2660
8 5,1775 5,0998 22,1197 22,2064 7,7028 7,6938
9 4,1371 3,7581 22,7114 23,1214 8,1515 8,1205
10 3,2896 1,8389 23,1005 24,6440 8,6099 8,5171
Gambar 5.8 merupakan hasil solusi numerik dengan menggunakan metode RK4 untuk model
epidemik SEIR. Sedangkan Gambar 5.9 merupakan hampiran solusi analitik dengan
menggunakan metode MAH untuk model epidemik SEIR. Parameter yang digunakan adalah
훽 = 0,01,훾 = 0,02, dan 휔 = 0,1 dengan nilai awalnya adalah 푁 = 20,푁 = 15,푁 = 10,
dan 푁 = 5,.
Gambar 5.8 Solusi model epidemik SEIR dengan menggunakan metode RK4
Halaman 22 dari 25
Pada Gambar 5.9 dapat dilihat bahwa nilai parameter bantu yang menyebabkan
kekonvergenan hampiran solusi analitik dengan menggunakan MAH terdapat pada ℎ ∈
[−1,−0,5].
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 5.9 Solusi model epidemik SEIR dengan menggunakan metode MAH untuk berbagai
nilai ℎ; (a) S, (b) E, (c) I, dan (d) R
Halaman 23 dari 25
Perbandingan galat pada model SEIR untuk masing-masing kelompok individu dengan
menggunakan metode RK4 dan metode analisis homotopi (ℎ = −1) disajikan pada Tabel
5.3. Dapat dilihat pada Tabel 5.3, banyaknya individu S dengan menggunakan MAH nilainya
sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 5. Untuk banyaknya individu E dan I
dengan menggunakan MAH nilainya sama (dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan
푡 = 6. Sedangkan untuk banyaknya individu R dengan menggunakan MAH nilainya sama
(dalam 4 desimal) dari 푡 = 1 sampai dengan 푡 = 8.
Tabel 5.3 Perbandingan galat kelompok individu S, E, I, dan R dengan menggunakan RK4
dan MAH (ℎ = −1)
푡 SRK4 SMAH ERK4 EMAH IRK4 IMAH RRK4 RMAH
1 17,9788 17,9788 15,4963 15,4963 11,3119 11,3119 5,2131 5,2131
2 15,9494 15,9494 15,9527 15,9527 12,6453 12,6453 5,4526 5,4526
3 13,9606 13,9606 16,3267 16,3267 13,9937 13,9937 5,7190 5,7190
4 12,0556 12,0556 16,5850 16,5850 15,3470 15,3470 6,0124 6,0124
5 10,2710 10,2710 16,7040 16,7040 16,6922 16,6922 6,3328 6,3328
6 8,6345 8,6344 16,6705 16,6705 18,0151 18,0151 6,6799 6,6799
7 7,1645 7,1643 16,4815 16,4818 19,3008 19,3007 7,0532 7,0532
8 5,8704 5,8692 16,1432 16,1447 20,5348 20,5345 7,4516 7,4516
9 4,7525 4,7474 15,6694 15,6756 21,7040 21,7030 7,8741 7,8740
10 3,8041 3,7859 15,0794 15,1009 22,7971 22,7943 8,3193 8,3189
Halaman 24 dari 25
BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN
Beberapa kesimpulan dan saran dari hasil penelitian ini adalah:
1. MAH dapat digunakan untuk menentukan hampiran solusi analitik model epidemik
SI, SIR, dan SEIR.
2. Kekonvergenan hampiran solusi analitik model epidemik SI, SIR, dan SEIR dengan
MAH diperoleh cukup cepat.
3. Pemilihan parameter bantu sangat menentukan kekonvergenan hampiran solusi
analitik dari model epidemik SI, SIR, dan SEIR.
4. Sebagai bahan perbandingan, dapat digunakan metode lain selain MAH untuk
menentukan hampiran solusi analitik untuk model epidemik tersebut.
Halaman 25 dari 25
DAFTAR PUSTAKA Efelin, P., Yong, B., & Owen, L. (2016). Model Penyebaran Penyakit SARS dengan
Pengaruh Vaksinasi. Prosiding Seminar Nasional Matematika 11, (pp. 77-85).
Georli, M. A., Owen, L., & Yong, B. (2015). Bifurkasi Saddle-Node pada Model SIR dengan
Laju Insidensi yang Tak Linear dan Adanya Perawatan. Prosiding Seminar Nasional
Matematika 10, (pp. 64-74).
Liao, S. J. (2003). Beyond perturbation: introduction to the homotopy analysis method. Boca
Raton: Chapman and Hall/CRC Press.
Liao, S. J. (2004). On the homotopy analysis method for nonlinear problems . Applied
Mathematics and Computation, 147(2), 499-513.
Liao, S. J. (2011). Homotopy analysis method in nonlinear differential equations. Springer.
Octora, E., Yong, B., & Owen, L. (2014). Analisis Model S-I untuk Satu dan Dua Wilayah.
Prosiding Seminar Nasional Matematika 9, (pp. 100-110).
Rachmiawati, M., Yong, B., & Martin, I. (2013). Kajian Peluang untuk Bilangan Reproduksi
Dasar pada Model SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika 8, (pp. 102-110).
Yong, B. (2007). Model Penyebaran HIV dalam Sistem Penjara . Jurnal MIPA: Matematika,
Ilmu Pengetahuan Alam, dan Pengajarannya, 36(1), 31-47.
Yong, B., & Owen, L. (2016). Dynamical Transmission Model of MERS-CoV in Two Areas.
AIP Conference Proceedings. 1716. AIP Publishing. doi:10.1063/1.4942993
top related