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Grundlagen der Digitaltechnik

Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der DigitaltechnikGrundlagen der Digitaltechnik

4. Minimierung digitaler Schaltfunktionen4. Minimierung digitaler Schaltfunktionen

Prof. Dr.Prof. Dr.--Ing. Jürgen TeichIng. Jürgen TeichDr.Dr.--Ing. Christian Ing. Christian HaubeltHaubelt

Lehrstuhl für HardwareLehrstuhl für Hardware--SoftwareSoftware--CoCo--DesignDesign

Technische Informatik I 2

Minimierung (Optimierung)Minimierung (Optimierung)

• Aus den schaltalgebraischen Ausdrücken ist ersichtlich, dass der Beschreibungsaufwand sinkt, je wenigerTerme vorhanden sind bzw. je mehr Literale aus den Termen entfallen

– Bei der schaltungstechnischen Realisierung zeigt sich ebenfalls, dass entsprechende Aufwendungen für logische Gatter von den Termen und den verwendeten Literalen abhängen

Minimierung (Optimierung)Minimierung (Optimierung)

– Bei der DNF (KNF) benötigt man für jede Einsstelle (Nullstelle) einen Minterm (Maxterm)-> durch gezieltes Weglassen von Literalen in einem Minterm

(Maxterm) kann dieser Term mehrere Einsstellen (Nullstellen)repräsentieren-> Anzahl der benötigten Terme und Literale wird reduziert-> Minimierung von Schaltfunktionen!

MinimierungMinimierung

• Beispiele

12341234 x&x&x&x)x,x,x,x(f = )}1,0,0,1{(E = 1E =

1341234 x&x&x)x,x,x,x(f = )}1,1,0,1(),1,0,0,1{(E = 2E =

131234 x&x)x,x,x,x(f = )}1,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,0,0{(E = 4E =

Also: die Reduzierung von Literalen in einem Term hat auch die Reduzierung der Anzahl von Termen zur Folge

Gesucht: Terme mit minimaler Anzahl von Literalen, die trotzdem nur Einsstellen (Nullstellen) der zu beschreibenden Funktion erfassen, werden Primterme genannt

• Primterme und Eins- bzw. Nullstellenüberdeckung– Einsstellen (Nullstellen) verschiedener Primterme können

“überlappen“

– (kosten)günstigste Auswahl von Primtermen gesucht, die alleEinsstellen (Nullstellen) der Funktion überdecken

• Überdeckungsproblem!

– das Gesamtproblem nennt man das Minimierungsproblem

• Bewertungskriterium– zur Bewertung unterschiedlicher Lösungen des

Minimierungsproblems wird die Summe der Anzahl von Literalen aller Primterme zuzüglich der Zahl der verwendeten Terme verwendet

• Beispiel:

• Gesucht: Auswahl von Primtermen mit L(y) minimal

( ) ( ) ( )

( ) 123234yL

x&xx&x&xx&x&x&xy 352341234

∨∨=

MinimierungsmethodenMinimierungsmethoden

• Minimierung am Symmetriediagramm– Die Minimierung mit

Symmetriediagrammstellt eine graphischeMethode dar-> Ausnutzung derSymmetrierelationen

– Zusammenfassungvon Belegungenzu maximalen Blöcken

-> Finden aller Primblöcke(charakteristische Terme also Primterme)-> Überdeckung aller Einsstellen (bzw. Nullstellen)

• Minimierung am Symmetriediagramm

- Finden von Primblöcken (Primtermen) in Symmetriediagrammen

- Sukzessive Bildung von Blöcken aus Einsstellen (Nullstellen)und Freistellen durch Spiegelung von kleineren Blöcken (einzelne Einsstellen sind kleinste Blöcke) an allen möglichen Symmetrielinien

• Maximal zusammengefasste Blöcke von Einsstellen sind Primeinsblöcke, wenn keine Spiegelung mehr möglich

• Minimierung am Symmetriediagramm• Beispiel (1):

– Gegeben:y = f (x4, x3, x2, x1) durch die Angabe der Eins- und Nullstellenim Symmetriediagramm

– Gesucht:Kürzester algebraischer Ausdruck-> Disjunktive Minimalform (DMF)

– Primterme zur Bildung einer DMF spezifizierenPrimeinsblöcke-> werden Primimplikanten genannt

(Primimplikate für Konjunktive Minimalform KMF)

– Die farbig dargestellten Primimplikantenüberdecken Eins- und Freistellen

• Minimierung am Symmetriediagramm• Beispiel (2):

– Als Primimplikanten erhält man:

Vorgehensweise:-> Auswahl derjenigen Primimplikanten, die allein eine Einsstelle

überdecken (diese müssen genommen werden)-> sogenannte Kerne

-> sind durch die Kerne alle Einstellen überdeckt-> Minimallösung

-> sonst:sonst: Auswahl weiterer Primimplikanten(Strategie + Bewertung notwendig!)

231 xxw =1242 xxxw = 1343 xxxw = 1234 xxxw = 2345 xxxw =

• Mögliche Lösung:

421 wwwy ∨∨=

• Formale algebraische Minimierung-> Das Nelson/Petrick-Verfahren

– sehr leistungsfähiges algebraisches Verfahren

– Nelson-Verfahren: Bestimmung der Menge aller Primimplikanten(bzw. Primimplikate)

– Petrick-Verfahren: Bestimmung der kostenminimalen Auswahlvon Primimplikanten zur Einsstellenüberdeckung(bzw.Primimplikate zur Nullstellenüberdeckung)

Alternativ: graphisch mit Überdeckungstabelle+ Regeln zur Abarbeitung/Vereinfachung

Ergebnis: kostenminimaler algebraischer Ausdruck der zu realisierenden Schaltfunktion

MinimierungsmethodenMinimierungsmethoden• Nelson-Verfahren:

Ziel: Bestimmung aller Primimplikanten zur Bildung einerdisjunktiven Minimalform DMF(dual dazu: alle Primimplikate für KMF)

Vorgehensweise:

1) alle Freistellen werden zu Einsstellen verfügt: Einsstellenergänzung fE

-> Bildung einer Nullblocküberdeckung für die Einsstellenergänzung fE der gegebenen (unvollständigen) Schaltfunktion: τ0 = {B01,B02,...,B0r}

2) Aufstellen eines schaltalgebraischen Ausdrucks (KNF bzw. KMF)für die Einsvervollständigung fE: fE = W01 & W02 & ... & W0r

3) Schrittweises Ausdistribuieren des Ausdrucks fE = W01 & W02 & ... & W0r aus 2) + Umformen und Streichen überflüssiger Termanteile bzw. Terme

– Anwendung von Distributiv- und Absorptionsgesetzen– aus der konjunktiven Form die gewünschte disjunktive Form

bestimmen

4) Streichen aller im 3. Schritt gefundenen Terme, die nur Freistellenüberdecken

Wiederholung:

Distributivgesetz: (a v b) & (c v d) = (a&c) v (a&d) v (b&c) v (b&d)Absorptionsgesetz: a v (a&b) = a Ferner gilt: a&a = a, bzw. a v a = a und a&a = 0, bzw. a v a = 1

MinimierungsmethodenMinimierungsmethoden• Nelson-Verfahren:• Beispiel:

– Man nehme eine Nullblocküberdeckung:

– Durch Ausdistribuieren + Umformung erhält man:

1 0 0 1

- 0 1 -x2

)xx(&)xx(f 3121

E∨∨=

1 0 0 1

- 0 1 -

Distributivgesetz

gleiches Element

Absorption

)x&x(xxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

)xx(&)xx(f

3221311

32213111

∨∨=

∨∨∨=

∨∨=

• Satz: Jedes Minimalpolynom p einer Schaltfunktion fbesteht ausschließlich aus Primimplikanten von f.

• Überdeckungsproblem (hier auch Auswahlproblem genannt)

– Bei dem Nelson-Verfahren erfolgte nur die Ermittlung aller Primterme

– Weiterhin gesucht: optimale Auswahl der Primterme, wobei eine vollständige Überdeckung aller Einsstellen der gewünschten Funktion gefordert ist.

• Lösung: graphische Auswahl der Primterme mit Überdeckungstabelle

-> für jeden Primterm wird angegeben, welche Einsstellen(bzw. Nullstellen) er überdeckt

-> zur Bewertung wird eine Spalte mit Kosten ck angefügt

-> Überdeckungstabelle wird mit Hilfe bestimmter Regeln abgearbeitet (vereinfacht) -> Kernermittlung + Dominanzregel

-> es ist auch eine algebraische Behandlung der optimalen Auswahl von Primtermen möglich

-> Bildung des Petrick-Ausdrucks!

• Ergebnis: kostenminimale Überdeckung der Eins- bzw. Nullstellenmenge der Schaltfunktion

• Überdeckungsproblem– Beispiel:

j k Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 24xx x x p1 c1

223xx x x p2 c2

3134 xxx x x p3 c3

4134 xxx x p4 c4

5124 xxx x x p5 c5

6134 xxx x x p6 c6

7123 xxx x x p7 c7

1 0 0 1

1 0- -

1 1- -

0 1 0 1

• Überdeckungsproblem• Kernermittlung

– Wenn eine Einsstelle (Nullstelle) nur durch einen einzigenPrimterm abgedeckt wird, nennt man den Primimplikanten(Primimplikaten) Kernimplikant (Kernimplikat)

– Kernimplikanten (Kernimplikate) müssen auf jeden Fall in die Überdeckungslösung aufgenommen werden

– Spalten von Einsstellen (Nullstellen) in der Überdeckungstabelle, die von Kernimplikanten (Kernimplikaten) abgedeckt werden können gestrichen werden, und müssen in der weiteren Abarbeitung nicht mehr berücksichtigt werden

• Kernermittlung und Vereinfachung der Überdeckungstabelle

• Beispiel: j k Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 24xx x x p1 c1

2 23xx x x p2 c2

3 134 xxx x x p3 c3

4 134 xxx x p4 c4

5124 xxx x x p5 c5

6 134 xxx x x p6 c6

7 123 xxx x x p7 c7

• Dominanzregeln und Ihre Anwendung (1)• Spaltendominanzregeln:

– Spaltendominanz in der Überdeckungstabelle:

i1 i2X X p1

X X p3

i1 i2X X p1

X X p3

– Wenn die Spalte i2 durch einen der beiden Terme p1 oder p3

überdeckt wird, so wird dadurch auch i1 überdeckt Also: Einsstelle der Spalte i1 ist durch p1 oder p3 auch realisiert

– Man sagt: (“Vektor“ i1) dominiert (“Vektor“ i2) und schreibt: i1 ≥ i2

– Dominierende Spalten (hier: i1) können gestrichen werden

• Dominanzregeln und Ihre Anwendung (2)

• Zeilendominanzregeln:

X X X X c1

...X X X ck

X X X X c1

...X X X ck

X X X X c1

...X X X ck

X X X X c1

...X X X ck

X X X X c1

...X X X ck

– Wenn eine Zeile i2 (für Primterm p2) nur Spalten (Einsstellen) überdeckt, die auch von einer anderen Zeile i1 (für Primterm p1) überdeckt werden (d.h. i2 wird von i1 dominiert: i2 ≤ i1) undzusätzlich für die Kosten c1 ≤ c2 gilt. Dann kann die Zeile i2 gestrichen werden.

– Weiterhin: Wenn i2 ≤ i1 , jedoch c2 < c1 und es existieren keine Zeilen ik (Primterme pk), welche die restlichen Einsstellen der Zeile i1 überdecken können und weniger als die Differenz c1 - c2

kosten (d.h.: c1 ≤ c2 + ck). Dann kann die Zeile i2 auch gestrichen werden.

• Überdeckungsproblem

– Um die optimale Überdeckung der Schaltfunktion durch eine optimale Auswahl von Primtermen zu ermitteln, kann das Problem durch die vorgestellten Regeln graphischvereinfacht oder komplett gelöst werden

– Achtung: Oft endet das Verfahren mit einer sog. zyklischen Resttabelle (wenn keine der Regeln mehr anwendbar ist, aber noch keine Überdeckung gefunden wurde)

• Allgemeine Vorgehensweise:

1) Kerne bestimmen und Streichen aller überdeckten Spalten(≅ Einsstellen) (“leergewordene“ Zeilen können auch gestrichen werden)

2) Spaltendominanzen finden und dominierende Spalten streichen

3) Zeilendominanzen finden und dominierte Zeilen streichen nach Möglichkeit (hängt von Kosten ab)

4) Schritte 1-3 wiederholen, bis Überdeckungstabelle nicht mehr reduziert werden kann (keine Änderung mehr möglich)

Beispiel: Zyklische ResttabelleBeispiel: Zyklische Resttabelle

jk Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 24xx x x p1 2

2 23xx x x p2 2

3 134 xxx x x p3 3

4 134 xxx x p4 3

5 124 xxx x x p5 3

6 134 xxx x x p6 3

7 123 xxx x x p7 3

• Lösung des Überdeckungsproblems mit Hilfe des Petrick-Verfahrens– Das Petrick-Verfahren ist eine algebraische Methode, ähnlich

dem Nelson-Verfahren. Es dient zur Bestimmung kostenminimaler Lösungen von Überdeckungsproblemen

– Es kann direkt nach dem Nelson-Verfahren zur kostenminimalen Auswahl von Primtermen verwendet werden

– Spaltendominanzen und Zeilendominanzen können algebraischin Form von Absorptionsregeln bzw. Ausdistribuierenabgearbeitet bzw. bewiesen werden

– Petrick-Verfahren kann auch bei zyklischen Resttabellenverwendet werden!

• Petrick-Ausdruck (PA)

– Der Petrick-Ausdruck ist algebraische Beschreibung der ÜberdeckungsbedingungenOb der Primterm k zur Lösung gehört, wird mit der Booleschen

Präsenzvariable (Auswahlvariable) pk angegeben-> pk = 0 => Primterm k ist nicht in Lösung enthalten-> pk = 1 => Primterm k ist Bestandteil der Lösung

-> zur Überdeckung jeder Einsstelle muss mindestens ein Primterm zur Lösung gehören, der diese Stelle überdeckt

– Petrick-Ausdruck besteht daher aus Termen von disjunktivverknüpften Präsenzvariablen

-> für jede Einsstelle der Tabelle enthält der PA einen Term-> in jedem Term muss mindestens eine Präsenzvariable den

Wert ´1´ haben

– Diese Terme werden konjunktiv zum Petrick-Ausdruck verknüpft-> der Petrick-Ausdruck muss immer eins liefern!

• Beispiel: j k Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 24 xx x x p1 c1

2 23 xx x x p2 c2

3 134 xxx x x p3 c3

4 134 xxx x p4 c4

5124 xxx x x p5 c5

6 134 xxx x x p6 c6

7 123 xxx x x p7 c7

1)pp(&)pp(&)pp(&p&)pp(&)pp(&)pp(PA!

3173214756265 =∨∨∨∨∨∨=

Im Petrick-Ausdruck kann man erfassen (beweisen!), dass die Präsenzvariablen der Kernimplikanten (p4) immer eins sein müssen

• Überdeckungsproblem (Auswahlproblem)– Auch der Petrick-Ausdruck wird durch Distributionsregeln

und Absorptionsregeln vereinfacht

• Beispiel:

1)pppppppppppppppppp(&p1ppppppppppppppppppppppp

...1)pp(&)pp(&)pp(&p&)pp(&)pp(&)pp(PA

7521763265315327614

75421764326543154327641

3173214756265

=∨∨∨∨=

=∨∨∨∨==

=∨∨∨∨∨∨=

1pppppppppppppppppppppppPA 75421764326543154327641 =∨∨∨∨=

• Überdeckungsproblem (Auswahlproblem)

– Damit der Petrick-Ausdruck ´1´ wird, muss mindestens einerder disjunktiv verknüpften konjunktiven Teilterme eins sein

– Jeder konjunktive Teilterm repräsentiert genau eine mögliche Lösung des Auswahlproblems

– Vergleich der Gesamtkosten K aller möglichen LösungenDadurch können diejenigen Überdeckungen mit minimalen Kosten ermittelt werden

– Zur Auswahl der optimalen Lösung werden die Kosten ck der Primterme pk herangezogen (Anzahl der Literale von pk)

• Beobachtung: Jeder Term stellt eine Überdeckung dar.• Beispiel: Bestimmung einer kostenminimalen Überdeckung

durch Evaluation und Vergleich der Kosten:

1pppppppppppppppppppppppPA 75421764326543154327641 =∨∨∨∨=

K=2+3+3+3+4=15

K=2+3+3+3+3+5=19

K=2+2+3+3+3+5=18

• Überdeckungsproblem (Auswahlproblem)• Beispiel: 1pppppppppppppppppppppppPA 75421764326543154327641 =∨∨∨∨=

jk Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 x2x4 x x p1 c1=22 x2x3 x x p2 c2=2

3 x1x3x4 x x p3 c3=3

4 x1x3x4 x p4 c4=3

5 x1x2x4 x x p5 c5=3

6 x1x3x4 x x p6 c6=3

7 x1x2x3 x x p7 c7=3

p1p4p6p7 K = 15p2p3p4p5 K = 15p1p3p4p5p6 K = 19p2p3p4p6p7 K = 19p1p2p4p5p7 K = 18

Damit ergeben sich zwei kostenminimale Lösungen:p1p4p6p7 und p2p3p4p5

Beispiel einer minimalen ÜberdeckungBeispiel einer minimalen Überdeckung

jk Pl 0 2 4 11 12 14 16 pi ci

1 24xx x x p1 2

2 23xx x x p2 2

3 134 xxx x x p3 3

4 134 xxx x p4 3

5 124 xxx x x p5 3

6 134 xxx x x p6 3

7 123 xxx x x p7 3

5432 ppppy ∨∨∨=

Kosten K:2+3+3+3+4=15

• Beispiel:– die zugehörigen disjunktiven Minimallösungen (DMF)

mit nur 11 Literalen und 4 Termen (Kosten K=15) sind:

1 0 0 1

1 0- -

1 1- -

0 1 0 1

1 0 0 1

1 0- -

1 1- -

0 1 0 1

124134134232123124134241 xxxxxxxxxxxyundxxxxxxxxxxxy ∨∨∨=∨∨∨=

QuineQuine/McCluskey/McCluskey--VerfahrenVerfahren

• Das Quine/McCluskey-Verfahren arbeitet ebenfalls in den zwei Schritten:– Bestimmung der Primimplikanten und – Lösung des Überdeckungsproblems.

• Das Verfahren lässt sich einfach in ein Programm zurautomatischen Vereinfachung von Schaltfunktionenumsetzen.

QuineQuine/McCluskey/McCluskey--VerfahrenVerfahren• Vorgehensweise zur Bestimmung der Primimplikanten (1):

1) Bildung der Disjunktiven Normalform DNF(Alle Belegungen der Redundanzmenge werden zu 1 gewählt und mit berücksichtigt)

2) Sortiere die Implikanten (der Länge i=n) derart, dass sie nach Anzahl ihrer negierten Literale j zu Klassen Qi,j zusammengefasst sind.

3) Implikanten benachbarter Klassen Qi,j und Qi,j-1 werden durch Anwendung des Distributivgesetzes zu einer neuen Klasse Qi-1,j-1zusammengefasst. Die zusammengefassten Terme der Klassen Qi,j und Qi,j-1 werden (als berücksichtigt) markiert.Reduktionsregel: (x & y) v (x & y) = x & (y v y) = xIst ein zusammengefasster Term schon in der Klasse Qi-1,j-1enthalten, so wird dieser nicht ein weiteres Mal eingetragen.

• Vorgehensweise zur Bestimmung der Primimplikanten (2):

Der Arbeitsschritt wird wiederholt, bis keine weiteren Verkürzungen mehr möglich sind.

4) Alle nicht beim Zusammenfassen von benachbarten Klassen Qi,j und Qi,j-1 berücksichtigten Terme sind die Primimplikanten.

5) Überdeckt ein Primimplikant nur Elemente der Redundanzmenge, so wird er verworfen.

• Beispiel (1):1) DNF

_ _ _x4 x3 x2 x1 v

_ _x4 x3 x2 x1 v

_x4 x3 x2 x1 v

_ _x4 x3 x2 x1 v x4 x3 x2 x1 v

_x4 x3 x2 x1

Redundanzmenge wird mit berücksichtigt!

2) Sortierung der MintermeQ4,4 = { }Q4,3 = { }Q4,2 = { }Q4,1 = { }Q4,0 = { }

_ _ _x4 x3 x2 x1 ,

x4 x3 x2 x1

_ _x4 x3 x2 x1 ,

_ _x4 x3 x2 x1 _

x4 x3 x2 x1 ,_

x4 x3 x2 x1

_ _ _x4 x3 x2 x1

_ _ _x4 x3 x2 x1 v

In der Klasse Q4,2 befinden sich nur Implikanten mit 4 Literalen, wovon 2 negierte Literale sind.

3) Zusammenfassen der MintermeQ4,4 = { }Q4,3 = { }Q4,2 = { }Q4,1 = { }Q4,0 = { }

---------------------------------------------------------------Q3,3 = { } // bleibt leer, da Q4,4 leer ist und mit Q4,3 zu Q3,3 zusammengefasst wird.

Q3,2 = { }Q3,1 = { }Q3,0 = { }

0• Beispiel (2):

_ _ _x4 x3 x2 x1 ,

x4 x3 x2 x1

_ _x4 x3 x2 x1 ,

_ _x4 x3 x2 x1 _

x4 x3 x2 x1 ,_

x4 x3 x2 x1

_ _ _x4 x3 x2 x1

_ _x4 x2 x1 ,

_ _x3 x2 x1 ,

(zusammengefasste Terme markieren)

_ _x4 x3 x2_

x4 x3 x1 ,_x4 x3 x2 ,

_x3 x2 x1

x4 x3 x2 x3 x2 x1 ,

Die Klassen Q4,4 bis Q4,0 sind alle als berücksichtigt markiert.Es gibt folglich keinen Primimplikan-ten, der vier Literale besitzt.

4) rekursives Zusammenfassen der Minterme

Q3,3 = { } Q3,2 = { }Q3,1 = { }Q3,0 = { }

---------------------------------------------------------------Q2,2 = { }Q2,1 = { } Q2,0 = { }

5) Primimplikanten auslesen: w =

0• Beispiel (3):

_ _x4 x2 x1 ,

_ _x3 x2 x1 ,

_ _x4 x3 x2_

x4 x3 x1 ,_x4 x3 x2 ,

_x3 x2 x1

x4 x3 x2 x3 x2 x1 ,

•Der Minterm (x3 & x2) wird nur einmalin die Klasse Q2,0 aufgenommen.

•An dieser Stelle ist keine weitereVereinfachung möglich.

x3 x2 v_ _x4 x2 x1 v

_ _x3 x2 x1 v

_ _x4 x3 x2 v

_x4 x3 x1

Die Auswahl der Primimplikanten (Lösung des Überdeckungsproblems) erfolgt beim Quine/McCluskey-Verfahren mit einer Überdeckungstabelle.

ZusammenfassungZusammenfassung

• Problem I: Bestimmung der Primimplikanten:

– KV-Diagramme (graphisch)– Nelson-Verfahren (algebraisch)– Quine/McCluskey-Verfahren (tabellarisch)

• Problem II: kostenminimale Auswahl der Primimplikanten(Lösung des Überdeckungsproblems)

– KV-Diagramme (graphisch)– Petrick-Verfahren (algebraisch)– Überdeckungstabelle (tabellarisch)

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