graĐevna statika ii 2. vjeŽbevjeŽbe -...

1

GRAĐEVNA STATIKA II GRAĐEVNA STATIKA II –– 1. 1. VJEŽBEVJEŽBE

dr.sc.Tanja Kalman Šipoš, dipl.ing.građ.

Statički neodređeni sustavi

Metoda sila

GRAĐEVNA STATIKA IIGRAĐEVNA STATIKA II 2. 2. VJEŽBEVJEŽBE

SSTATIČKITATIČKI NEODREĐENINEODREĐENI SUSTAVISUSTAVI

Definicija sa statičkog gledišta:

Statički neodređeni sustav je onaj koji može ostati u stanju ravnoteže zabilo koje opterećenje, a broj nepoznatih sila u vanjskim i/ili unutarnjimvezama je veći od broja neovisnih jednadžbi kojima se opisuju uvjetiravnoteže.

Definicija sa kinematičkog gledišta:

Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenjiv sustav ukojem je broj veza, vanjskih i /ili unutarnjih, veći od najmanjeg brojanužnog za njegovu geometrijsku nepromjenjivost.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

2

Karakteristike statički neodređenih sustava:

1. Proračun se vrši pomoću uvjeta ravnoteže sa dodatnim uvjetimadeformacija metodama: – Metoda sila;

– Metoda pomaka;

– Iterativne metode.

2. Promjene temperatura, slijeganje ležaja i netočnosti izvedbe imajuutjecaja na sustav (dijagrami unutarnjih sila mogu imati znatnepromjene veličina).

3. Za proračun je potrebno poznavati karakteristike materijala ipoprečnih presjeka elemenata konstrukcije zbog uvjetadeformacije sustava.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

4. Statički neodređene konstrukcije imaju suvišan broj veza kojeodređujemo kroz stupanj statičke neodređenosti sustava.

Razaranjem jedne veze kod statički određenih sustava dobivamolabilan sustav, dok gubitak jedne veze kod statički neodređenihsustava dovodi do spuštanja stupnja statičke neodređenosti zajedan, ali sustav može ostati geometrijski nepromjenjiv i ne moradoći do sloma.

U takvom sustavu dolazi do preraspodjele unutarnjih sila, te možeostati u stanju ravnoteže ako se u presjecima ne dosegnu graničnanaprezanja materijala.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II –2. vježbe

3

Statički određen sustav

Statički neodređen sustav

2 × st.neodr.sustav

1 veza 1 veza otpuštanje

Labilan sustav

1 × st.neodr.sustav

1 veza otpuštanje

st. određen sustav

Statički neodređeni sustavi su sigurniji od statički određenih !

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Sustavi mogu biti: – statički određeni;

– statički neodređeni.

Formule za određivanje stupnjeva slobode gibanja:

L...Z6Z4Z2D3S)a 432 −−×−×−×−×=

( )LKŠČ2S)b ++−×=Rezultat:

S = 0 nužan, ali ne i dovoljan uvjet za statički određeni sustav

S <<<< 0 statički neodređeni sustav (višak vanjskih i/ili unutarnjih veza)

S >>>> 0 mehanizam

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

4

2 3 43 2 4 6 ...S D Z Z Z L= × − × − × − × − −

broj diskova

broj zglobova

koji povezuju 2 štapa

broj ležajnih reakcija

broj zglobova

koji povezuju 4 štapa

broj zglobova

koji povezuju 3 štapa

7

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

broj čvorova

broj štapova

broj ležajnih reakcija

broj krutih veza

( )2S Č Š K L= × − + +

jedna kruta veza dvije krute veze tri krute veze

Broj krutih veza = broj štapova (spojenih krutom vezom) - 1

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

5

Odrediti stupanj stat. neodređenosti sustava.PRIMJER 1

3613S)a −=−×=

D L

VAŽNO! Kod jednostavnijih sustava možemo bez formula odrediti stupanjstatičke neodređenosti!

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Š L

( ) 362342S)b −=++−×=

Č K

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

6

Odrediti stupanj stat. neodređenosti sustava.PRIMJER 2

242223S)a −=−×−×=

D LZ2

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Š L

( ) 244662S)b −=++−×=

Č K

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

7

Odrediti stupanj stat. neodređenosti sustava.PRIMJER 3

454233S)a −=−×−×=

D LZ2

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Š L

( ) 456982S)b −=++−×=

Č K

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

8

Odrediti stupanj stat. neodređenosti sustava.PRIMJER 4

L...Z6Z4Z2D3S)a 432 −−×−×−×−×=

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

( )LKŠČ2S)b ++−×=

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 1. vježbe

9

METODA SILAMETODA SILA

MS je metoda određivanja dijagrama unutarnjih sila kod statičkineodređenih sustava kod koje otpuštanjem unutarnjih i/ili vanjskihveza iz statički neodređenog sustava dobivamo statički određeni sustavkoji nazivamo osnovni sustav!

Osnovni sustav opterećujemo jediničnim opterećenjima na mjestu i usmjeru otpuštenih veza i dobivamo jedinične dijagrame unutarnjihsila.

Od vanjskog opterećenja koje se prenosi na osnovni sustavdobivamo dijagrame unutarnjih sila uslijed vanjskog opterećenja.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Određujemo koeficijente fleksibilnosti (δij) kombinirajući jediničnedijagrame sa samima sobom i sa dijagramima od vanjskog opterećenjapomoću Vereščaginovog pravila.

Pomoću jednadžbi kontinuiteta koje sadrže koeficijente fleksibilnostiodređujemo vrijednosti otpuštenih veza i superpozicijom dijagrama odjediničnih i vanjskih opterećenja na osnovnom sustavu dobivamokonačne dijagrame unutarnjih sila na statički neodređenom sustavu.

Osnovni sustav treba biti što jednostavniji i što bliskiji po deformacijamazadanom sustavu i uvijek mora biti statički određen sustav!

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

10

višak vanjskih

veza

Određivanje osnovnih sustava:

a )

b )

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

višak vanjskih

veza

c )

d )

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

11

višak unutarnjih

veza

e )

f )

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

δδδδ1V

Ideja metode sila:

1×statički neodređeni sustav

osnovni sustav = statički određen sustav

⇒ m1 , t1 , n1 ⇒ δ11

⇒ Mv , Tv , Nv

δij – koeficijenti fleksibilnostii j i j i j

ij

m m t t n nds

E I G A E Aδ

⋅ ⋅ ⋅ = + +

⋅ ⋅ ⋅ ∫

22

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

12

1 × statički neodređen sustav

2 × statički neodređen sustav

δ11 ; δ1V

δ11 ; δ22 ; δ12 ; δ1V ; δ2V

δ12 =δ21

potrebni koeficijenti

fleksibilnosti

δ11 ×X1+δ1V =0δ11 ×X1+δ12 ×X2+δ1V =0δ21 ×X1+δ22 ×X2+δ2V =0

jednadžbekontinuiteta

X1 X1 ; X2vrijednosti otpuštenih

veza

Broj jednadžbi kontinuiteta jednak je broju statičke neodređenostisustava.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe

Prethodno izračunate vrijednosti oslobođenih veza

Unutarnje sile u karakterističnom presjeku na statički neodređenom sustavu

Unutarnje sile na statički neodređenom sustavu dobivamo principomsuperpozicije dijagrama na osnovnom sustavu:

iiVk XmMM ×+= ∑iiVk XtTT ×+= ∑iiVk XnNN ×+= ∑

Unutarnje sile na osnovnom sustavu od jediničnog opterećenja

Unutarnje sile na osnovnom sustavu od vanjskog opterećenja u karakterističnom presjeku

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

Građevna statika II – 2. vježbe