fim702: lecture 3

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 8 : Modelisation du rendement

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhDalexander.surkov@usherbrooke.ca

Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke

Le 8 mars 2017

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere

Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere

Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH

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Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements stochastiques

I Les rendements sont senses d’etre aleatoires.

I Par exemple, les rendements logarithmiques sontfrequemment senses d’etre distribues selon la loinormale, ce qui donne le mouvement browniengeometrique pour les prix.

I Les rendements stochastiques sont utilises pourl’evaluation des produits derives (par exemple le modelede Black & Scholes) et pour la modelisation deMonte-Carlo.

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Exemple : rendements stochastiques

I Les estimations du rendement moyen et de la variance

µR = 2.7%, σR = 18.7%

I Le processus pour les rendements et les prix :

Rt = µR ·∆t + Wt · σR√

∆t, Pt = Pt−∆t · expRt

ou ∆t est l’increment du temps (disons, 1/252 ans),Wt ∼ N (0, 1).

I Matlab :

m = 100; % nombre de simulations

n = 252; % nombre d’increments du temps

R = normrnd(mu_R/n, sigma_R/sqrt(n), n, m);

P = 100*cumprod(exp(R),1);

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Stochastique

ARMA

GARCH

Exemple : Monte-Carlo

50 100 150 200 25040

60

80

100

120

140

160

180

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Table de matiere

Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH

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Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Modeles ARMA

I Autoregressive – moving average, ARMA(p, q) :

rt = µ+

p∑i=1

θi rt−i +εt +

q∑i=1

αiεt−i , εt ∼ N(0, σ2

)I La valeur de q peut etre trouvee en utilisant la fonction

d’autocorrelation, tandis que pour determiner p, il fautanalyser la fonction d’autocorrelation partielle.

I Le modele tient compte du fait que les rendements nesont pas independants.

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Fonction d’autocorrelation

I La fonction d’autocorrelation

ACF (τ) = corr (Rt ,Rt−τ )

I La fonction d’autocorrelation partielle est la fonction decorrelation entre Rt et Rt−τ obtenue lorsque l’influencede Rt−1, Rt−2, . . ., Rt−τ+1 a ete retiree.

I Matlab :

autocorr(R); % Attention aux NaNs!

parcorr(R);

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements de l’indice S&P 500 : ACF

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Rendements de l’indice S&P 500 : PACF

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : estimation

I Essayons ARMA(2, 2) :

Mdl = arima(2,0,2);

[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA(2, 2)

ARIMA(2,0,2) Model:

--------------------

Conditional Probability Distribution: Gaussian

Standard t

Parameter Value Error Statistic

----------- ----------- ---------- ----------

Constant 0.0002685 0.0002907 0.9236

AR{1} -0.2359 0.2795 -0.84

AR{2} 0.0231 0.1216 0.1899

MA{1} 0.1226 0.2803 0.438

MA{2} -0.1022 0.1455 -0.7026

Variance 0.0001639 2.04e-06 80.33

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : estimation

I Essayons ARMA(2, 2) :

Mdl = arima(2,0,2);

[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);

I Le critere d’information d’Akaike : AIC = −14 503.

aic = aicbic(logL, 5);

I Pour ARMA(1, 1) et AR(2), AIC = −14 507, AR(2)etant marginalement preferable

Mdl = arima(2,0,0);

[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

AR(2)

ARIMA(2,0,0) Model:

--------------------

Conditional Probability Distribution: Gaussian

Standard t

Parameter Value Error Statistic

----------- ----------- ------------ -----------

Constant 0.000260 0.0002698 0.9638

AR{1} -0.1132 0.0116 -10.15

AR{2} -0.06328 0.008705 -7.269

Variance 0.000164 2.028e-06 80.8

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA :previsions

Mdl = arima(2,0,0);

eMdl = estimate( Mdl, R( 1:(end-21) ) );

[Rf,MSE] = forecast(eMdl,21, ’Y0’, R(1:(end-21)));

plot([R( (end-20):end ) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...

Rf+1.96*sqrt(MSE) ]);

I Les previsions convergent tres rapidement vers lamoyenne.

I La variance conditionnelle est constante.

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

ARMA : previsions

5 10 15 20−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Ren

dem

ent

Jours

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Modelisation durendement

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ARMA

GARCH

Table de matiere

Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

Modeles GARCH

I Le modele GARCH (generalized autoregressiveconditional heteroscedasticity) permet d’estimer lavariance conditionnelle

σ2t+1 = V (εt+1 |εt , εt−1, . . . )

I Le modele GARCH(p, q) :

rt = µ+n∑

i=1

θi rt−i + εt

εt |εt−1, εt−2, . . . ∼ N(0, σ2

t

)σ2t = ω +

p∑i=1

αiε2t−i +

q∑i=1

βiσ2t−i

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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : specification (1)

I Pour determiner si l’effet ARCH est present, il fautanalyser les fonctions d’autocorrelation des residuscarres du modele ARMA retenu ou effectuer les testsstatistiques correspondants.

I Matlab :

Mdl = arima(2,0,0); % Le modele AR(2) retenu

eMdl = estimate(Mdl, R);

res = infer(eMdl, R); % Les residus

autocorr(res .^ 2); % ACF

parcorr(res .^ 2); % PACF

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : specification (2)

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function

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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : specification (3)

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : estimation (1)

I Si l’effet ARCH est present, le modele GARCH(1, 1) esthabituellement suffisant.

I Matlab :

Mdl = arima(’ARLags’, [1 2],...

’Variance’, garch(1,1));

eMdl = estimate(Mdl, R);

% Les residus et les variances conditionnelles

[res, V] = infer(eMdl, R);

autocorr(res .^ 2 ./ V); % ACF

parcorr(res .^ 2 ./ V); % PACF

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GARCH

GARCH : estimation (2)

Standard t

Parameter Value Error Statistic

----------- ----------- ------------ -----------

Constant 0.0006578 0.0001682 3.912

AR{1} -0.05994 0.02408 -2.489

AR{2} -0.01947 0.02157 -0.903

----------- ----------- ------------ -----------

Constant 2.140e-06 5.834e-07 3.668

GARCH{1} 0.8760 0.01090 80.2

ARCH{1} 0.1069 0.009236 11.58

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : estimation (3)

05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Date

Ren

dem

ent

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : estimation (4)

0 5 10 15 20

Lag

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function

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Alexander Surkov

Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : estimation (5)

0 5 10 15 20

Lag

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function

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Modelisation durendement

Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : previsions (1)

I Les previsions pour les rendements et pour les variancesconditionnelles :

Mdl = arima(’ARLags’, [1 2], ’Variance’,...

garch(1,1));

eMdl = estimate(Mdl, R(1:(end-21)));

[Rf, MSE, Vf] = forecast(eMdl,21, ’Y0’,...

R(1:(end-21)));

plot([R( (end-20): end) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...

Rf+1.96*sqrt(MSE) sqrt(Vf)]);

I La volatilite inconditionnelle

σR =ω

1−p∑

i=1αi −

q∑i=1

βi

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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : previsions (2)

5 10 15 20−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Ren

dem

ent

Jours

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Stochastique

ARMA

GARCH

GARCH : modifications

I Nombreuses modifications de GARCH existent :I Differentes formes fonctionnelles (A-GARCH,

E-GARCH. . .)I Des distributions des residus autres que la loi normale

(t GARCH)

I Modeles GARCH multivaries permettent de capturer ladynamique de la correlation.

I Evidemment, les modeles GARCH peuvent etre utilisesdans les simulations Monte-Carlo.

I Voir :I Alexander, C. Market Risk Analysis : Vol. 2. Practical

Financial Econometrics. John Wiley & Sons, Ltd., 2008.I Tsay, R.S. Analysis of Financial Time Series. John

Wiley & Sons, Inc., 2002.