equações e diagramas t_ds
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Equaes e diagramas T-dS
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A segunda lei da termodinmica
A entropia uma propriedade que no conservativa!
S=S 2S1 1
2
QT AExpresso matemtica da segunda lei (para um sistema fechado).
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Entropia
s2s1=1
2
qT int revUnidades kJ
kgK orBtu
lbmR
-
Variao de entropia entre dois estados especficos
Variao de entropia entre dois estados especficos
A mudana da entropia entre dois estados especficos a mesma , seja o processo reversvel ou irreversvel
-
A variao de entropia torna-se uma igualdade: utiliza-se um novo termo
S = 1
2
QT A SgenVariao
da entropia
Transporte de entropia devido ao fluxo de
calor
Gerao ou produo
de entropia
Sgen 0 ; no uma propriedade
-
Produo de entropia Sgen > 0 processo irreversvel real. Sgen = 0 processo reversvel. Sgen < 0 impossvel.
-
Produo de entropia Sgen quantifica as irreversibilidades
(aumenta com o aumento das irreversibilidades).
Processo reversvel no produz entropia, Sgen = 0.
Sgen, depende do processo, logo no uma propriedade
-
Transferncia e produo de entropia
S2S1 = 1
2
QT S genVariao da entropia do sistema. Pode ser +, - ou nulo.
Transferncia de entropia de ou para o sistema via transf. De calor. Pode ser +, - ou nula
Produo de entropia:
> 0 irreversibilidades internas
= 0 no h irrevers. internas
< 0 nunca
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Transferncia e produo de entropia
-
Aumento da entropia A variao da entropia em um sistema
em geral (Ssys) pode ser negativa (devido transferncia de calor para fora do sistema)
A produo de entropia no pode ser negativa
S gen0 : processo IrreversvelS gen=0 :processo ReversvelS gen0 : processo Impossvel
-
Transferncia de entropia
Transferncia de entropia
A variao da entropia deve-se a: transferncia de calor, de massa e a irreversibilidades.
Calor transferido para um sistema aumenta a entropia, e vice-versa.
O efeito das irreversibilidades sempre o aumento da entropia
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Alguns cometrios sobre entropia O processo pode ocorrer apenas em um sentido em
que Sgen 0, e no e qualquer sentido
Entropia uma propriedade no conservativa :a entropia do universo est sempre aumentando.
A performance em sistemas de engenharia degradada pelas irreversibilidades, e a gerao de entropia uma medida da magnitude das irreversibilidades presentes durante o processo.
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A entropia de uma substncia pura determinada atravs de tabelas, assim como para qualquer outra propriedade
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Procedemos da mesma forma que para as demais
propriedades
s=s f x sgs f
s T , p s f T
Das tabelas:
E, para lquidos comprimidos:
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Diagrama T-s para a gua
-
Questo Utilizando as tabelas do livro: Encontre a entropia da gua a 50 kPa e
500C. Especifique as unidades. Encontre a entropia da gua a 100C com
um ttulo de 50%. Encontre a entropia da gua a 1 MPa e
120C.
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Diagrama T-s
w=PdvO trabalho era a rea abaixo da curva
Lembrem-se que no diagrama P-v a anlise da 1a lei foi muito importante, e que,
-
Para o diagrama T-s dS=( QT )int rev
Q int rev=TdS
Qint rev=1
2
TdS
Arrumando:
Integrando:
-
Tr
a
n
s
f
.
d
e
c
a
l
o
r
p
a
r
a
p
r
o
c
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s
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T
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c
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s
s
o
s
i
n
t
e
r
n
.
r
e
v
e
r
s
.
d
Em um diagrama T-S a rea abaixo da curva do processo representa a transferncia de calor para processos internamente reversveis
-
Obteno das equaes Tds
Para um sistema fechado simples:
O trabalho dado por:
Substituindo:
QW =dU
W =PdV
Q=dUPdV
-
Para um processo reversvel
Logo,
TdS = dU + PdVEm termos especficos:
Tds = du + Pdv
TdS=Q
Obteno das equaes Tds
-
Equaes Tds
Tds=duPdv
Entropia propriedade Equao Tds expressa a entropia em
funo de outras propriedades As propriedades so independentes do
caminho A equao Tds pode ser utilizada para
calcular a variao da entropia entre 2 estados
-
Utilizando-se a entalpia, h = u + Pv, possvel obter uma segunda equao Tds:
Tds=dhvdP
dh=d uPv =duPdvvdP=TdsvdP
Equaes Tds
-
Variao de entropia de uma substncia pura
Variao de entropia de uma substncia pura
A variao de entropia ou relaes isentrpicas de um processo so:
1.Substncia pura:
Qualquer processo: s = s2 - s1 [kJ/(kg-K)]
Processo isentrpico: s2 = s1
-
Variao de entropia para uma substncia incompressvel
ds=CT T
dT
Primeira equaot Tds:
Substncia incompressvel, v const, logo dv = 0.
Ainda, Cv(T) = C(T), logo:
Tds=CvT dTPdv
-
s2s1=T 1
T2 C T T
dT
s2s1=C lnT 2T 1
Integrando:
Se o calor especfico no varia com a temperatura:
Variao de entropia para uma substncia incompressvel
-
2. Substncia incompressvel:
Qualquer processo:
Processo Isoentrpico : T2 = T1
s2s1=C v lnT 2T 1
Variao de entropia para uma substncia incompressvel
-
Questo
Alumnio a 100oC posto em um tanque rgido adiabtico contendo 10 kg de gua a 30oC. Se a massa do alumnio 0.5 kg, encontre a temperatura final do alumnio e da gua, a variao de entropia do alumnio e da gua, e a variao da entropia total do universo devido a este processo.
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Diagrama
water
AL
Insulated wall
Sistema fechado incluindo o alumnio e a gua
Volume constante, adiabtico, sem trabalho realizado
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Conservao de energiaPrimeira lei
QW=Usys=U WU AL
mW CW T 2T 1 WmAL C AL T 2T 1 AL=0
Mas (T2)W = (T2)AL = T2 no equilbrio
T 2=mW CW T 1 WmAL C AL T 1 AL
mW CWmAL C AL
-
Resolvendo para a temperaturamW = 10 kg, CW = 4.177 kJ/kg.K
mAL = 0.5 kg, CAL = 0.941 kJ/kg.K
T 2=10 kg 4 . 177 kJkgK 303 K 0 . 5 kg 0 . 941
kJkgK 373 K
10 kg 4 . 177 kJkgK
0 . 5 kg 0 . 941 kJ /kgK
T2 = 303.8 K
-
Transferncia de entropiaVariao de entropia para a gua e para o alumnio
S W=mW CW lnT 2T 1,W
= 10kg 4 .177 kJkgK
ln303 .8K303 K
=0 . 1101kJK
S AL=mAL C AL lnT 2T 1, AL
= 0 .5 kg 0 . 941 kJkgK
ln 303. 8K373 K
=0 . 0966kJK
-
Produo de entropiaProduo de entropia para o Universo
Sgen= S total= SW S AL
= 0 .1101 kJK
0 .0966kJK
= 0 . 0135kJK
0
Sgen > 0 : Processo irreversvel
-
Variao de entropia para um gs perfeito
dh=C p dT and v=RT/P
Tds=C p dTRTP
dP
2a equao Tds
dh e v para um gs ideal
Substituindo:
Tds=dhvdP
-
ds=C pdTT
R dPP
Dividindo por T,
Cp = Cp(T)
Variao de entropia para um gs perfeito
-
s2s1=T 1
T2
C p T dTT
R lnP2P1
T 1
T 2
C pdTT
Integrando:
Precisamos avaliar a integral:
Variao de entropia para um gs perfeito
-
Ainda, podemos mostrar de Tds = du + Pdv
que
s2s1=T 1
T2
CvT dT
TR ln
v2
v1
Variao de entropia para um gs perfeito
-
Se a variao de temperatura muito pequena Cp constante (e Cv constante),
1
2
C pdTT
= C p lnT 2T 1
s2s1=C p lnT 2T 1
R lnP2P1
Variao de entropia para um gs perfeito com calores especficos constantes
-
Temos Tds = du + Pdv
Logo
s2s1=C v lnT 2T 1
R lnv2
v1
Variao de entropia para um gs perfeito com calores especficos constantes
-
Is
o
-
l
i
n
h
a
s
d
e
v
e
d
e
P
p
a
r
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d
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g
r
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m
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s
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g
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s
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s
p
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h
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v
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P
p
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m
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s
d
e
g
a
s
e
s
p
e
r
f
e
i
t
o
s
T
s
v = const.
P = const.
dT/ds
Tds=duPdv v=const dT /dsv=T /C
v
Tds=dhvdPP=const dT /dsP=T /C P C PCv dT / dsvdT / dsP
0
0
-
Resumo da variao de entropia para uma substncia pura
Resumo da variao de entropia para uma substncia pura
1. Substncia pura:
Qualquer processo: s = s2 s1 [kJ/(kg-K)]
(Tabela)Processo isoentrpico:
s2 = s1
-
Qualquer processo:
Processo isentrpico: T2 = T1
s2s1=C av lnT 2T 1
2. Substncia incompressvel:
Resumo da variao de entropia para uma substncia incompressvel
Resumo da variao de entropia para uma substncia incompressvel
-
3. Gs perfeito:Calores especficos constantes (formulao
aproximativa):
s2s1=C v , av lnT 2T 1
R lnv2
v1 [kJ/ kgK ]
s2s1=C p , av lnT 2T 1
R lnP2P1
[kJ/ kgK ]
Resumo da variao de entropia para um gs perfeito
Resumo da variao de entropia para um gs perfeito
-
Questo : Ar comprimido em um dispositivo pisto cilindro de 90 kPa e 20oC a 400 kPa em um processo isotrmico reversvel. Determinar: (a) a variao de entropia do ar, (b) o trabalho realizado e (c) o calor removido.
90kPa293K
400kPa293 K s
T
12
Q
-
s2s1=C p lnT 2T 1
R lnP2P1
=287 ln 40090 =428 Jkg K
Wcomp=RT ln
P2P1
=287298ln 40090 =1 25 .4kJkg Trabalho compresso isotrmica p/ um gs ideal:
Variao de entropia p/ gs com calor especfico cte.:
Calor rejeitado (1a lei):
QWcomp=U QW comp=1 25 . 4kJkg
-
Sar diminui devido extrao de calor. Considere que o calor rejeitado para um ambiente a 15oC. Encontre a variao de entropia para o ambiente e para o ar.
O ambiente um reservatrio trmico. s = Q/T = 125400/288 = + 435 J/(kg K). A variao de entropia do sistema + a do
ambiente :
s = ssystem + senviron = - 428+ 435 = 7 J/(kg K). Se o ambiente estiver a 20oC, s = 0 porque
ambos esto a mesma temperatura.
-
QuestoUm tanque rgido contm 1 lbm de monxido de carbono (C
v = 0,18
Btu/lbmR) a 1 atm e a 90F. Calor adicionado at que a presso atinja 1.5 atm. Calcular:
(a) A transferncia de calor em Btu.
(b) A variao de entropia em Btu/R.
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Diagrama
Estado 1:P = 1 atmT = 90oF
CO: m= 1 lbmEstado 2:P = 1.5 atm
Tanque rgido => volume cte.
Transferncia de calor
-
Consideraes O sistema o CO no tanque O trabalho nulo (tanque rgido) Variao de energia cintica nula Variao de energia potencial nula CO gs perfeito Calores especficos constantes
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Conservao de energia
QW=U + KE + PE
Q= mCvT 2T 1
Para calores especficos constantes:
0 0 0
Precisa-se de T2 como obt-la?
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Equao de estado dos gases perfeitos
P1V 1P2 V 2
=mRT1mRT2
Resolvendo para T2:
T 2=P2P1 T 1=1 . 51 . 0 90460R=825 R
-
Resolvendo para a transferncia de calor
Q = 1 lbm 0 .18 Btulbm R 825550RQ = 49 . 5 Btu
Agora, a variao de entropia ...
-
Para calores especficos constantes
S2 S1=mCv ln T 2T 1 Rlnv2
v1 Como v2 = v1
0
S2S1=mC v lnT 2T 1
S2 S1= 1 lbm 0 .18 Btulb m R ln825 R550 R S2S1 = 0 . 073 Btu/R
-
Variao de entropia em alguns processos
irreversveis
-
Alguns processos irreversveis PROCESSOS EM UM SENTIDO
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: EFEITO JOULESistema Isolado -> no h calor nem trabalho cruzando a fronteira.Toda a energia eltrica transformada em energia interna:
U f U i=Vi[t f ti ] 1a . lei
S fS i=i
fQT
Ps 2a . lei
Toda a energia eltrica convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P
s, pois Q=0.
Como S no depende do caminho, T(t)dS = dU =Vi dt -> PS = Vi t/T(t) > 0 => T(t) crescente .Energia eltrica convertida em energia interna aumentou a entropia do sistema isolado. No possvel converter a mesma quantidade de energia interna em energia eltrica.
RV
iQ
S
i
s
t
e
m
a
I
s
o
l
a
d
o
Tf
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: EFEITO JOULEPor que no possvel converter a mesma quantidade de energia interna em trabalho eltrico?
Do ponto de vista microscpico: o sistema deveria resfriar para diminuir a energia interna e transforma-la em energia eltrica . Certamente este no ser o estado mais provvel de encontr-lo portanto, esta transformao no ser espontnea!
Do ponto de vista macroscpico a entropia do sistema isolado deveria diminuir e isto violaria a 2a. Lei! Note que de (i) (f), PS>0
Um processo reversvel quando PS=0
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: ATRITOSistema Isolado -> no h calorcruzando a fronteira e toda energia Potencial da mola transformada em energia interna:
U f U i=12
k( x )2 (1a . lei )
S fS i=i
fQ /T +P
s (2a . lei )
Toda energ. pot. mola convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P
s, pois Q=0.
Como S no depende do caminho, T(t)S=U=(1/2)k(x)2 => PS=(1/2)k(x)2/T(t) > 0 => T(t) crescente.No possvel converter a mesma quantidade de energia interna em energia potencial da mola!
k
Q
S
i
s
t
e
m
a
I
s
o
l
a
d
o
mx
x0
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: QUEDA LIVRESistema Isolado -> no h calorcruzando a fronteira e toda energia Potencial transformada em energia interna aps choque com gua
U f U i=mg h0 1a . lei
S fS i=i
fQ /TP
s 2a . lei
Toda energ. pot. convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P
s, pois Q=0.
Como S no depende do caminho, T(t)S=U=mgh0 => PS=mgh/T(t) > 0 => T(t) crescente.Aumentou a entropia do sistema isolado. No possvel converter a mesma quantidade de energia interna para elevar a bola na posio inicial h0!
Q
S
i
s
t
e
m
a
I
s
o
l
a
d
o
m
inicial
h0
gua
final
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: DIFERENA TEMP.S
i
s
t
e
m
a
I
s
o
l
a
d
o
Sistema Isolado -> energia internapermanece constante (blocos com mesma massa e calor especfico porm a Th e Tc)U f =UhU cT mix=
T hT c2
1a . lei
S do sistema isolado considerado como a soma de S do sistema quente e frio. Squente diminui mas Sfrio aumenta de modo que a variao total maior que zero.
Troca de calor com diferena de temperatura irreversvel. O bloco que atinge T
mix no volta espontaneamente para Th e Tc, necessrio trabalho!
inicial
Frio Tc
final
Quente Th Tmix=
T hT c2
PS=S=C ln(T mixT c )+C ln(T mixT h )=C ln(14
(T c+T h)2
T c T h )>0 (2a . lei )
-
PROCESSOS IRREVERSVEIS: EXPANSO COM DIFERENA DE PRESSO
Sistema Isolado -> na expanso para o vcuo no h calor nem trabalho cruzando a fronteira. A energia interna do gs permanece a mesma. T1 = T2 (1a lei)Processo isotrmico: P1V1 = P2V2 ou P2 = 0.5P1Variao da Entropia:
PS=TdS=dU=0
+PdV dS=PdVT
=MR dVV
S=MR ln[V2V1 ]>0Durante a expanso contra o vcuo a capacidade de realizar trabalho do gs foi perdida (no havia mq. p/ extrair trabalho). A transf. inversa irreversvel pois PS>0 , logo V2>V1
I
n
i
c
i
a
l
S
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s
t
e
m
a
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s
o
l
a
d
o
AR
P =P1V1=VT1=T
AR
P=P2V2 =2VT2=T f i
n
a
l
V
c
u
o
-
Eficincia do processoUm processo reversvel pode aumentar ou diminuir
a entropia, mas NO H PRODUO DE ENTROPIA.
A eficincia a razo entre o trabalho real e o trabalho reversvel ideal.
Um processo real que produz ou recebe trabalho comparado a um processo reversvel ideal.
-
Processo isentrpico
Q REV=0dS=0 or S2=S1Para um processo adiabtico reversvel
Para um gs perfeito -> ds=0 e vdP = CPdT
Com v = RT/P e R = CP-CV ,
C PC v dPP=C P
dTT
P2P1 1
=T 2T 1 Processos gs perfeito adiabtico reversvel,
Pv= const.
-
Q=0 dS0 pois PS 0Processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel
T
s
P1
P2
1
2s2
Para um processo adiabtico (1->->->->2) S nulo ou positivo devido produo de entropia
-
Ts
P1
P2
1
2s2
S nulo ou positivo devido produo de entropia, seja uma compresso ou uma expanso
adiabtica.
T
s
P2
P1
1
2s 2
Expanso, W > 0
Compresso, W < 0
Processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel
-
1A lei para um proc. adiabtico: W = U2 U1
Para compresso, T2S < T2, pois U ~ T, logo um processo reversvel necessita de menos trabalho que um proc. reversvel: |WREV| < |W|
Para expanso, T2S < T2, pois U ~ T, logo um processo reversvel produz mais trabalho que um proc. irreversvel: |WREV| > |W|
Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel
-
1a e 2a leis Q=dUW REALTdS=Q Irr
PdV Irr=W REAL
W REV Irr=W REALW REVW REAL= Irr0
Eliminando Q Mas PdV o modo de trabalho reversvel
Para produo potncia:
1W REALW REV
0 1
O trabalho produzido em um processo reversvel sempre maior ou igual ao produzido em um processo irreversvel
Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel
-
Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel
As irreversibilidades na compresso e expanso geram: Aumento da entropia do sistema devido
produo de entropia pelas irreversibilidades Uma frao do trabalho disponvel gasta
para superar as irreversibilidades, que por sua vez aumentam a energia interna
-
Para que servem os processos reversveis? So teis para estabelecer referncias
entre os processos reais e ideais. A eficincia do processo, definida como a
razo entre os trabalhos produzidos por processos reais e reversveis, compara o quo prximos eles esto
=W
actual
Wreversible
No confundir a eficincia do processo
com a eficincia trmica de mquinas trmicas (ciclos)!
-
Questo
Um carro com uma potncia de 90 kW (120 hp) tem uma eficincia trmica de 28%. Determine a taxa de consumo de combustvel se o poder calorfico do mesmo de 44.000 kJ/kg.
-
QUESTOUm bloco de ao de 50 kg e um bloco de cobre de 20 kg, ambos inicialmente a 80oC, so jogados em um lago a 15oC. O equilbrio trmico atingido aps um certo tempo como resultado da transferncia de calor entre os blocos e a gua do lago. Determinar a variao total de entropia deste processo. (dica: considere que o lago um reservatrio trmico)
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